In die vorige afdeling het ons na verskillende maniere gekyk waarop ’n ry funksies kan konvergeer. In hierdie afdeling kyk ons na verskillende tipes trapfunksies en daarna na verskillende meetbare funksies. Ons begin met die tipe meetbaarheid wat in die klassieke geval gebruik word. Die abstrakte Lebesgue integraal word gedefinieer vir re¨elwaardige funksies f : Ω → R waarvoor f−1(B) ∈ Σ vir enige Boreldeelversameling B ⊆ R. In die algemeen noem ons ’n funksie wat aan hierdie voorwaarde voldoen ’n Borel meetbare funksie.
Definisie 3.2.1. (Borel meetbare funksie)
Ons noem die vektorfunksie f : Σ → X Borel meetbaar as f−1(B) ∈ Σ vir elke Boreldeelversameling B ⊆ X.
Ons dui die Borel deelversamelings van X deur B(X) aan. Aangesien die Borel σ-algebra deur die oop deelversamelings voortgebring word, is f Borel meetbaar as en slegs as f−1(Z) ∈ Σ vir enige oop deelversameling Z ⊆ X. As (fn) ’n ry Borel meetbare skalaarfunksies is, dan is supnfn, lim supnfn, lim infnfn en limn→∞fn, as dit bestaan, almal Borel meetbaar.
Definisie 3.2.2. (Σ-trapfunksie)
’n Vektorwaardige funksie f : Ω → X word ’n Σ-trapfunksie genoem as f die vorm
f = r X i=1
xiIEi
het, waar x1, x2, . . . , xr∈ X en {E1, E2, . . . , Er} ⊆ Σ ’n eindige disjunkte verdeling van Ω is.
’n Σ-trapfunksie is dus ’n funksie f : Ω → X wat slegs eindig veel verskillende waardes xi aanneem en waar {f−1(x1), f−1(x2), . . . , f−1(xr)} = (Ei) ∈ DΣ. [[As ’n trapfunksie geskryf word asPri=1xiIEi waar xi6= 0 vir alle i, dan kan ons altyd die term 0IF waar F = Ω\Sri=1Ei byvoeg sonder om die trapfunksie te verander. In hierdie geval is {E1, E2, . . . , Er, F } ’n eindige disjunkte verdeling van Ω.]]
Ons dui die versameling van alle Σ-trapfunksies deur S(Σ, X) aan. Die funksie 0 = I∅(waar 0 die nulfunksie is) is in S(Σ, X) en as f, g ∈ S(Σ, X) en α ∈ K, dan is f + αg ∈ S(Σ, X). Dit is dus vinnig om te sien dat S(Σ, X) ’n vektorruimte is. As f : Ω → X definieer ons die supremumnorm van f deur kf k = supω∈Ωkf (ω)k waar kf (ω)k die norm van die element f (ω) ∈ X is. In die algemeen sal ons die notasie kf kE gebruik om die norm van f oor ’n versameling E ∈ Σ aan te dui. Hiermee bedoel ons
kf kE = sup ω∈E
kf (ω)k = sup ω∈Ω
kf (ω)IE(ω)k = kf IEk.
Dus is kf k = kf kΩ. Tesame met hierdie norm is S(Σ, X) ’n normeerde ruimte. Die draer van f is die versameling Cf = {ω ∈ Ω : kf (ω)k > 0} = {ω ∈ Ω : f (ω) 6= 0}. Die draer van ’n Σ-trapfunksie soos hierbo is dus die vereniging van die versamelings Ei waarvoor xi6= 0. Gevolglik is Cf ∈ Σ vir enige f ∈ S(Σ, X). Proposisie 3.2.3.
3.2. BOREL -, Σ- EN ρ-MEETBARE FUNKSIES 77
Bewys. Laat f ∈ S(Σ, X), sˆe f = Pri=1xiIEi. Vir enige oop deelversameling Z ⊆ X is f−1(Z) ´of leeg ´of die vereniging van sommige van die versamelings Ei. In albei gevalle is f−1(Z) ∈ Σ. Gevolglik is f Borel meetbaar.
In die aanloop tot die definisie van die Dobrakov integraal, maak Dobrakov gebruik van die volgende begrip van meetbaarheid. Om onderskeid met ander meetbaarheidsbegrippe te tref noem ons dit Σ-meetbaarheid.
Definisie 3.2.4. (Σ-meetbare funksie)
’n Funksie f : Ω → X word Σ-meetbaar genoem as daar ’n ry Σ-trapfunksies (fn) bestaan sodanig dat f (ω) = limn→∞fn(ω) vir alle ω ∈ Ω.
Die konsep van Σ-meetbaarheid behels dus die puntsgewyse konvergensie van Σ-trapfunksies. Ons dui die vektorruimte van alle Σ-meetbare funksies f : Ω → X deur M(Σ, X) aan. [[As f, g ∈ M(Σ, X) en α ∈ K, dan is f = limn→∞fn en g = limn→∞gn waar (fn), (gn) ⊆ S(Σ, X), maar dan is (fn+ αgn) ⊆ S(Σ, X) en fn+ αgn→ f + αg, dus f + αg ∈ M(Σ, X).]]
Tot dusver was daar geen maat ter sprake in ons bespreking oor meetbaarheid nie. Laat ρ nou ’n σ-subadditiewe submaat op (Ω, Σ) wees. Op hierdie stadium neem ons nog nie aan dat ρ eindig of σ-eindig is nie.
Definisie 3.2.5. (ρ-trapfunksie)
’n Σ-meetbare trapfunksie f = Pri=1xiIEi word ’n ρ-trapfunksie of anders ’n ρ- integreerbare trapfunksie genoem as ρ(Ei) < ∞ vir elke versameling Ei= f−1(xi) waarvoor xi6= 0.
Ons dui die vektorruimte van alle ρ-trapfunksies deur Sρ(Σ, X) aan. [[As f en g twee ρ-trapfunksie is, dan kan ons f en g met betrekking tot dieselfde eindige disjunkte verdeling skryf. Aangesien ρ monotoon is volg dat f + αg weer ’n ρ- trapfunksie is vir enige α ∈ K]]. Per definisie is enige ρ-trapfunksie ook ’n Σ- trapfunksie, dus Sρ(Σ, X) ⊆ S(Σ, X). As ρ(Ω) < ∞, dan is enige Σ-trapfunksie ook ’n ρ-trapfunksie. Met ander woorde Sρ(Σ, X) = S(Σ, X) as ρ(Ω) < ∞. Definisie 3.2.6. (Tipe I ρ-meetbare funksie)
’n Funksie f : Ω → X word tipe I ρ-meetbaar genoem (ons skryf (I)ρ-meetbaar) as daar ’n ry ρ-trapfunksies (fn) bestaan sodanig dat (fn) ρ-byna oral na f konvergeer. Definisie 3.2.7. (Tipe II ρ-meetbare funksie)
’n Funksie f : Ω → X word tipe II ρ-meetbaar genoem (ons skryf (II)ρ-meetbaar) as daar ’n ry ρ-trapfunksies (fn) bestaan sodanig dat (fn) in ρ-maat na f konvergeer. Definisie 3.2.8. (Tipe III ρ-meetbare funksie)
’n Funksie f : Ω → X word tipe III ρ-meetbaar genoem (ons skryf (III)ρ-meetbaar) as daar ’n ry ρ-trapfunksies (fn) bestaan sodanig dat (fn) ρ-byna gelykmatig na f konvergeer.
Die konsep van ρ-meetbaarheid behels dus konvergensie van ρ-trapfunksies. By tipe I vind konvergensie ρ-byna oral, by tipe II in ρ-maat en by tipe III ρ-byna gelykmatig plaas. Ons dui die vektorruimtes van tipe I, tipe II en tipe III ρ- meetbare funksies f : Ω → X deur M1ρ(Σ, X), M2ρ(Σ, X) en M3ρ(Σ, X) onder- skeidelik aan. [[Laat (fn), (gn) ⊆ Sρ(Σ, X) telkens rye trapfunksies wees wat na meetbare funksie f en g konvergeer en laat α ∈ K. Dan is elke funksie fn+ αgn weer ’n ρ-trapfunksie en volgens proposie 3.1.12 konvergeer (fn+ αgn) na f + αg
op dieselfde wyse waarop (fn) en (gn) na f en g onderskeidelik konvergeer. Dus is f + αg ∈ M1ρ(Σ, X), M2ρ(Σ, X) of M3ρ(Σ, X) as f, g ∈ M1ρ(Σ, X), M2ρ(Σ, X) of M3
ρ(Σ, X).]] In die geval waar iets vir enige tipe ρ-meetbare funksie geld, sal ons net praat van ’n ρ-meetbare funksie.
Vanuit die verskillende verbande wat tussen die tipes konvergensie bestaan (stel- lings 3.1.7, 3.1.8 en 3.1.10), kan ons die volgende verband tussen die verskillende tipes ρ-meetbare funksies aflei.
Proposisie 3.2.9.
Beskou ’n σ-subadditewe submaat ρ : Σ → X en ’n funksie f : Ω → X. Beskou die volgende bewerings:
1. f is (I)ρ-meetbaar; 2. f is (II)ρ-meetbaar; 3. f is (III)ρ-meetbaar.
Dan geld 2 ⇐⇒ 3 ⇒ 1. As ρ kontinu is en ρ(Ω) < ∞, dan geld 1 ⇒ 3. Bewys. Neem deurgaans aan dat (fn) ’n ry ρ-trapfunksies is.
3 ⇒ 2.As f ’n (III)ρ-meetbare funksie is, dan konvergeer (fn) ρ-byna gelykmatig na f . Volgens stelling 3.1.7(1) konvergeer (fn) in ρ-maat na f . Dus is f ’n (II)ρ- meetbare funksie.
2 ⇒ 3. As f ’n (II)ρ-meetbare funksie is, dan konvergeer (fn) in ρ-maat na f . Volgens stelling 3.1.8 bestaan daar ’n deelry (fnk) (wat dus ’n ry ρ-trapfunksiesis) wat ρ byna gelykmatig na f konvergeer. Dus is f ’n (III)ρ-meetbare funksie.
3 ⇒ 1.As f ’n (III)ρ-meetbare funksie is, dan konvergeer (fn) ρ-byna gelykmatig na f . Vanuit stelling 3.1.7 volg dat (fn) ρ-byna oral na f konvergeer. Dus is f ’n (I)ρ-meetbare funksie.
1 ⇒ 3 Neem aan ρ is kontinu en ρ(Ω) < ∞. As f ’n (I)ρ-meetbare funksie is, dan konvergeer (fn) ρ-byna oral na f . Volgens Egoroff se stelling (stelling 3.1.10), konvergeer (fn) ρ-byna gelykmatig na f . Dus is f (III)ρ-meetbaar.
Proposisie 3.2.10.
Beskou ’n willekeurige funksionaal x∗ ∈ X∗. As f : Ω → X ’n Σ-trapfunksie, ρ-trapfunksie of Borel meetbare trapfunksie is, dan geld dieselfde vir kf k en x∗f . Gevolglik, as f ’n Borel, Σ- of ρ-meetbare funksie is, dan geld dieselfde vir kf k en x∗f .
Bewys. Beskou ’n vaste x∗∈ X∗ en ’n trapfunksie
f = r X
i=1 xiIEi.
1a. As f Borel meetbaar is, dan is f−1(Z) ∈ Σ vir enige oop deelversameling Z ⊆ X. Aangesien die norm op X en x∗ beide kontinue afbeeldings is, volg vir die saamgestelde funksies dat kf k−1(S) ∈ Σ en (x∗f )−1(S) ∈ Σ vir enige oop deelver- sameling S ⊆ R. Gevolglik is kf k en x∗f Borel meetbaar.
3.2. BOREL -, Σ- EN ρ-MEETBARE FUNKSIES 79
2a. As f ’n Σ-trapfunksie is, dan is (Ei) ∈ DΣ. Aangesien die versamelings Ei disjunk is, volg dat
kf k = r X i=1 kxik IEi en x∗f = r X i=1 x∗(xi)IEi.
Beide kf k en x∗f het dus die korrekte vorm vir ’n re¨eelwaardige Σ-trapfunksie.
3a. As f ’n ρ-trapfunksie is, dan is (Ei) ∈ DΣen ρ(Ei) < ∞ vir elke versameling Ei waarvoor xi 6= 0. Aangesien kxik = 0 en x∗xi = 0 as xi = 0, volg dat kf k en x∗f weer re¨elwaardige ρ-trapfunksies is.
Beskou nou ’n algemene funksie f : Ω → X.
1b. As f Borel meetbaar is, dan volg dat kf k en x∗f Borel meetbaar is net soos in die trapfunksie geval.
2b. As f ’n Σ-meetbare funksie is dan bestaan daar ’n ry Σ-trapfunksies (fn) wat oral na f konvergeer. Maar dan konvergeer die rye Σ-trapfunksies (kfnk) en (x∗fn) oral na kf k en x∗f . Gevolglik is kf k en x∗f albei Σ-meetbare funksies.
3b. As f een van die tipes ρ-meetbare funksies is, dan bestaan daar ’n ry ρ- trapfunksies wat op een van die drie maniere na f konvergeer. Volgens proposisie 3.1.11 konvergeer die rye ρ-trapfunksies (kfnk) en (x∗fn) op dieselfde manier na kf k en x∗f . Gevolglik is kf k en x∗f weer ’n ρ-meetbare funksie.
Vir re¨eelwaardige funksies het ons die volgende verband tussen die meetbaar- heidsbegrippe. Ons neem nou aan dat ρ ’n σ-eindige submaat is. Dit beteken dat daar ’n ry versamelings (Ωn) bestaan sodanig dat Ω =S∞n=1Ωn en ρ(Ωn) < ∞. Ons sˆe ρ is volledig as N ∈ Σ met ρ(N ) = 0 impliseer dat M ∈ Σ vir enige M ⊆ N . Proposisie 3.2.11.
Laat ρ ’n σ-eindige σ-subadditiewe submaat op (Ω, Σ) wees. Beskou die volgende bewerings vir ’n re¨elwaardige funksie f : Ω → R:
1. f is Borel meetbaar; 2. f is Σ-meetbaar; 3a. f is (I)ρ-meetbaar; 3b. f is (II)ρ-meetbaar; 3c. f is (III)ρ-meetbaar.
Dan geld 1 ⇐⇒ 2 ⇒ 3a en 3b ⇐⇒ 3c ⇒ 3a. As ρ volledig is, dan geld 3a ⇒ 1. As ρ kontinu en eindig is, dan geld 3a ⇒ 3c.
Bewys. Neem aan ρ is σ-eindig. Laat (Ωn) ’n ry meetbare versamelings wees waarvoor dit geld dat Ω =S∞n=1Ωn en ρ(Ωn) < ∞ vir alle n.
1 ⇒ 2. As f Borel meetbaar is, dan is beide die positiewe deel f+ en die nega- tiewe deel f− van f ook Borel meetbaar. Aangesien f+ en f− positiewe funksies
is, bestaan daar rye Σ-trapfunksies (gn) en (hn) sodanig dat gn(ω) ↑ f+(ω) en hn(ω) ↑ f−(ω) vir alle ω. Stel fn = gn− hn vir elke n. Dan is (fn) ’n ry Σ- trapfunksies wat oral na f+− f−= f konvergeer. Dus is f ’n Σ-meetbare funksie.
2 ⇒ 1. As f ’n Σ-meetbare funksie is, dan bestaan daar ’n ry Σ-trapfunksies (fn) wat oral na f konvergeer. Maar elke Σ-trapfunksie fn is ook Borel meetbaar. Aangesien f die limiet van Borel meetbare funksies is, is f ook self Borel meetbaar.
2 ⇒ 3a. As f ’n Σ-meetbare funksie is, dan bestaan daar ’n ry Σ-trapfunksies (gn) wat oral na f konvergeer. Stel fn = gnIΩn vir elke n. Dan is elke fn ’n ρ-trapfunksie en (fn) konvergeer oral (en dus ook ρ-byna oral) na f . Dus is f ’n (I)ρ-meetbare funksie.
3a ⇒ 1. Neem aan ρ is volledig. As f ’n (I)ρ-meetbare funksie is, dan bestaan daar ’n ry ρ-trapfunksies (fn) en ’n ρ-nulversameling N sodanig dat fn(ω) → f (ω) vir alle ω ∈ Ω\N . Nou, elke trapfunksie fnIΩ\N is ’n Σ-trapfunksie en is dus ook Borel meetbaar. Die ry Borel meetbare funksies (fnIΩ\N) konvergeer oral na f IΩ\N. Die funksie f IΩ\N is dus Borel meetbaar en ρ-byna oral gelyk aan f . Aangesien ons aanneem dat ρ volledig is, volg dat f self ook Borel meetbaar is.
Die res van die resultaat volg direk uit proposisie 3.2.9.
Ons begin nou te ondersoek onder watter voorwaardes ’n f : Ω → X meetbaar in een of ander sin is. Ons kyk eerstens na Σ-meetbare funksies.
’n Deelruimte Ψ ⊆ X∗ word normerend vir S ⊆ X genoem as
kxk = sup x∗∈Ψ |x∗x| kx∗k = sup x∗∈Ψ,kx∗k=1 |x∗x|
vir elke x ∈ S. Die volgende lemma wys dat as S separabel is, ons ’n ry een- heidsvektore uit Ψ kan kry wat normerend vir S is. Die lemma word gebruik in hieropvolgende meetbaarheidstellings.
Lemma 3.2.12.
As S ⊆ X ’n separabele deelruimte van X is en Ψ ⊆ X∗ ’n normerende deelruimte vir S is, dan bestaan daar ’n ry (x∗n) ⊆ Ψ sodanig dat
kx∗ nk = 1 en kxk = sup n |x∗ nx| vir elke x ∈ S.
Bewys. Aangesien S ⊆ X separabel is, kan ons ’n digte ry (xn) ⊆ S kry. Aange- sien Ψ normerend vir S is, volg dat ons vir elke n en enige > 0 ’n x∗ ∈ Ψ kan kry sodanig dat kx∗k = 1 en |x∗
xn| > kxnk − . In die besonder kan ons vir elke n ’n x∗nkry sodanig dat kx∗nk = 1 en |x∗
nxn| ≥ (1 − 1
n)kxnk. Ons wys nou dat hierdie ry (x∗n) normerend vir S is. Beskou ’n willekeurige x ∈ S en laat > 0. Kies n groot genoeg dat n1
≤ en kx − xnk < (en dus ook kxk ≤ kxnk + ). Dan kry ons (1 − )kxk ≤ 1 − 1 n kxk ≤ 1 − 1 n kxnk + 1 − 1 n ≤ |x∗n xn| + ≤ |x ∗ nx| + 2
3.2. BOREL -, Σ- EN ρ-MEETBARE FUNKSIES 81 [[|x∗nxn − x∗ nx| ≤ kx∗nkkxn − xk ≤ 1 en gevolglik is |x ∗ nxn| ≤ |x ∗ nx| + ]]. Aangesien > 0 willekeurig is, volg dat kxk ≤ supn|x∗nx|. Omgekeerd is supn|x∗nx| ≤ supx∗∈Ψ,kx∗k=1|x∗x| = kxk.
Definisie 3.2.13. (Separabelwaardige funksie)(Stelling 2 p.42,[8])
’n Funksie f : Ω → X word separabelwaardig genoem as f (Ω) ’n separabele deel- versameling van X is.
Stelling 3.2.14. (Stelling 1.5 p.4, [25])
’n Funksie f : Ω → X is Σ-meetbaar as en slegs as 1. f separabelwaardig is;
2. daar ’n normerende deelruimte Ψ ⊆ X∗ vir f (Ω) bestaan sodanig dat x∗f Borel meetbaar is vir elke x∗∈ Ψ.
Bewys. As f Σ-meetbaar is, dan bestaan daar ’n ry meetbare trapfunksies (fn) wat oral op Ω na f konvergeer.
Elke versameling fn(Ω) is eindig en A := S∞n=1fn(Ω) is aftelbaar. Vir enige ω ∈ Ω is f (ω) die limiet van die ry (fn(ω)) ⊆ A. Dus is f (ω) ∈ A vir alle ω, met ander woorde, f (Ω) ⊆ A. Maar A is separabel, dus is f self ook separabelwaardig. Tweedens volg vanuit proposisies 3.2.10 en 3.2.11 dat x∗f vir elke x∗ ∈ X∗ ’n Borel meetbare funksie is.
Omgekeerd, aangesien f (Ω) separabel is, kan ons ’n ry (xn) ⊆ f (Ω) kry wat dig in f (Ω) is en volgens lemma 3.2.12 kan ons ’n ry (x∗n) ⊆ Ψ kry sodanig dat
kx∗nk = 1 en kxk = sup n
|x∗nx|
vir elke x ∈ f (Ω). Neem nou ’n vaste n en beskou die punte x1, x2, . . . , xn. Aan- gesien ons net ’n eindige aantal punte het, bestaan die minimum
min
1≤i≤nkf (ω) − xik
vir elke ω ∈ Ω. Die minimum mag egter dalk by meer as een van die punte i voorkom. Laat kn
ω die kleinste natuurlike getal wees waar dit gebeur, met ander woorde, laat kωn:= min 1 ≤ j ≤ n : kf (ω) − xjk = min 1≤i≤nkf (ω) − xik . Vir elke ω ∈ Ω is kn
ω uniek bepaal. Ons kan dus ’n trapfunksie fn : Ω → {x1, x2, . . . , xn} definieer deur fn(ω) := xkn
ω. Let op dat as m > n, dan is kf (ω) − xkm
ωk = min1≤i≤mkf (ω) − xik ≤ min1≤i≤nkf (ω) − xik = kf (ω) − xknωk. Vir ’n ω ∈ Ω en ’n 1 ≤ k ≤ n is fn(ω) = xk as en slegs as
1. kf (ω) − xkk = min1≤i≤nkf (ω) − xik;
2. k die kleinste 1 ≤ j ≤ n is waarvoor kf (ω) − xjk = min1≤i≤nkf (ω) − xik, dit wil sˆe, kf (ω) − xjk > min1≤i≤nkf (ω) − xik vir elke j = 1, 2, . . . , k − 1.
Dus, vir elke 1 ≤ k ≤ n, is f−1 n (xk) = {ω ∈ Ω : fn(ω) = xk} = A (n) k ∩ B (n) k = E (n) k , waar A(n)k = ω ∈ Ω : kf (ω) − xkk = min 1≤i≤nkf (ω) − xik B(n)k = ω ∈ Ω : kf (ω) − xjk > min
1≤i≤nkf (ω) − xik vir elke j = 1, 2, . . . , k − 1
.
Ons kan dus die trapfunksie fn skryf as
fn= n X k=1 xkIE(n) k .
Nou vir elke 1 ≤ k ≤ n is hk(ω) := kf (ω) − xkk = supn|x∗
n(f (ω) − xk)| ’n Borel meetbare funksie. [[Elke skalaar funksie x∗n(f (ω) − xk) = x∗f (ω) − x∗xkIΩ is ’n Borel meetbare funksie, want per aanname is elke x∗nf Borel meetbaar. Gevolglik is elke |x∗n(f (ω) − xk)| en dus ook hk Borel meetbaar.]] Dus is {ω ∈ Ω : hk(ω) = α} ∈ Σ vir elke α ∈ R en {ω ∈ Ω : hj(ω) > α} ∈ Σ vir elke α ∈ R en elke j = 1, 2, . . . , k − 1. Dit volg dat al die versamelings A(n)k , B(n)k en dus ook al die versamelings Ek(n), 1 ≤ k ≤ n, in Σ is. Dus is fn ’n Σ-trapfunksie. Vir elke vaste ω ∈ Ω en enige > 0 kan ons ’n N kry sodanig dat kf (ω) − xNk < en xN= xkN
ω = fN(ω). Vir alle n ≥ N is kf (ω) − fn(ω)k = kf (ω) − xkn
ωk ≤ kf (ω) − xkNω (ω)k < . Die ry (fn) is dus ’n ry Σ-trapfunksies wat oral na f konvergeer.
As ’n gevolg kry ons dat die ruimte M(Σ, X) geslote is onder die neem van puntsgewyse limiete.
Gevolg 3.2.15. (Gevolg 1.7 p.5, [25])
As (fn) ’n ry Σ-meetbare funksies is sodanig dat fn(ω) → f (ω) vir alle ω ∈ Ω, dan is f ’n Σ-meetbare funksie
Bewys. Stelling 3.2.14 impliseer dat elkeen van die versamelings fn(Ω) separabel is. Aangesien fn oral op Ω na f konvergeer, is
f (Ω) ⊆ ∞ [ n=1
fn(Ω).
Gevolglik is f separabelwaardig. Vanuit proposisies 3.2.10 en 3.2.11 volg dat elkeen van die funksies x∗fn en dus ook x∗f Borel meetbaar is vir alle x∗∈ X∗. Stelling 3.2.14 verseker dat f ’n Σ-meetbare funksie is.
Gevolg 3.2.16. (Gevolg 1.7 p.5, [25])
As f : Ω → X ’n Σ-meetbare funksie is en T : X → Y ’n kontinue operator is, dan is T f : Ω → Y ’n Σ-meetbare funksie.
Bewys. Laat fn : Ω → X ’n ry Σ-trapfunksies wees wat oral na f konvergeer. Sˆe
fn= r(n) X i=1 x(n)i IE(n) i
3.2. BOREL -, Σ- EN ρ-MEETBARE FUNKSIES 83 waar (Ei(n)) ∈ DΣ. Laat ω ∈ Ω, sˆe ω ∈ E(n) k waar 1 ≤ k ≤ r (n). Dan is T fn(ω) = T r(n) X i=1 x(n)i IE(n) i (ω) = T x (n) k = r(n) X i=1 T x(n)i IE(n) i (ω)
en x(n)k → f (ω) as n → ∞. Ons kan dit vir enige ω ∈ Ω doen. Ons sien dus dat elke T fn ’n Y -waardige Σ-trapfunksie is en vanuit die kontinu¨ıteit van T volg dat T fn(ω) → T f (ω) vir alle ω ∈ Ω. Dus is T f ’n Σ-meetbare funksie.
Vanuit stelling 3.2.14 kry ons die volgende verband tussen Borel meetbare funk- sies en Σ-meetbare funksies.
Stelling 3.2.17. (Proposisie 1.8 p.5, [25]) ’n Funksie f : Ω → X is Σ-meetbaar as en slegs as
1. f separabelwaardig is; 2. f Borel meetbaar is.
Bewys. Neem aan f is Σ-meetbaar. Laat (fn) ’n ry Σ-trapfunksies wees wat oral na f konvergeer en laat Z ⊆ X ’n oop deelversameling wees. Volgens stelling 3.2.14 is f separabelwaardig. Tweedens, laat B(x, r) die oop bol rondom ’n punt x ∈ X met straal r > 0 wees. Stel Zk = {x ∈ Z : B(x,1k) ⊆ Z}. Elke Zk is ’n oop versameling. Aangesien Z oop is en fn oral op Ω na f konvergeer, is f (ω) ∈ Z as en slegs as daar N ∈ N bestaan sodanig dat fn(ω) ∈ Z vir alle n ≥ N . Maar dit geld as en slegs as daar ’n k bestaan sodanig dat fn(ω) ∈ Zk vir alle n ≥ N . Dus is f−1(Z) = {ω ∈ Ω : ∃k ∈ N, ∃N ∈ N : fn(ω) ∈ Zk ∀n ≥ N } = ∞ [ k=1 ∞ [ N =1 ∞ \ n=N fn−1(Zk) !! .
Maar elke Σ-trapfunksie fnis ook Borel meetbaar, dus is elke versameling fn−1(Zk) in Σ. Aangesien f−1(Z) die resultaat van aftelbaar veel versamelingsbewerkings met die versamelings fn−1(Zk) is, volg dat f−1(Z) ∈ Σ. Dus is f Borel meetbaar.
Andersom, vanuit 2 is x∗f Borel meetbaar vir elke x∗∈ X∗. Dus, tesame met 1 kan ons stelling 3.2.14 toepas en dit lewer dat f ’n Σ-meetbare funksie is.
Vir re¨elwaardige funksies f het ons gesien dat die konsepte van Borel- en Σ- meetbaarheid ooreenstem. Let op dat die re¨ele getalle separabel is. Vanuit stelling 3.2.17 volg dat dit in die algemeen ook waar is.
Gevolg 3.2.18.
As die Banach ruimte X separabel is, dan is f : Ω → X ’n Σ-meetbare funksie as en slegs as f Borel meetbaar is.
Ons sˆe ’n funksie f is ρ-byna oral Σ-meetbaar as daar ’n Σ-meetbare funk- sie g bestaan sodanig dat f = g ρ-byna oral. Dus is f ρ-byna oral Σ-meetbaar as daar ’n ry Σ-trapfunksies (fn) en ’n ρ-nulversameling N bestaan sodanig dat fn(ω) → f IΩ\N(ω) = g(ω) vir alle ω ∈ Ω. Die volgende proposisie wys dat (I)ρ- meetbaarheid en ρ-byna oral Σ-meetbaarheid ooreenstem as ρ ’n σ-eindige submaat is.
Proposisie 3.2.19. (Proposisie 1.10 p.6, [25])
As ρ ’n σ-eindige submaat is, dan is die funksie f : Ω → X ’n (I)ρ-meetbare funksie as en slegs as f ρ-byna oral Σ-meetbaar is.
Bewys. Neem aan f is ’n (I)ρ-meetbare funksie. Dan bestaan daar per defini- sie ’n ρ-nulversameling N ∈ Σ sodanig dat ρ(N ) = 0 en fn(ω) → f (ω) vir alle ω ∈ Ω\N waar (fn) ’n ry ρ-trapfunksies is. Dan is (fnIΩ\N) ’n ry Σ-trapfunksies en fnIΩ\N(ω) → f IΩ\N(ω) vir alle ω ∈ Ω. Dit wys dat f ’n ρ-byna oral Σ-meetbare funksie is.
Andersom, neem aan f is ’n ρ-byna oral Σ-meetbare funksie. Sˆe fn(Ω) → f IΩ\N(ω) vir alle ω ∈ Ω, waar (fn) ’n ry Σ-trapfunksies is en ρ(N ) = 0. Laat (Ωn) ’n ry wees waarvoor Ω =S∞n=1Ωn en ρ(Ωn) < ∞ vir alle n. Dan is elke fnIΩn ’n ρ-trapfunksie en (fnIΩn) konvergeer ρ-byna oral na f .
Gevolg 3.2.20.
As ρ kontinu is en ρ(Ω) < ∞ dan is die volgende bewerings ekwivalent: 1. f is Σ-meetbaar;
2. f is (I)ρ-meetbaar; 3. f is (II)ρ-meetbaar; 4. f is (III)ρ-meetbaar.
Bewys. Aangesien ρ ook σ-eindig is as ρ(Ω) < ∞, volg die aanspraak direk vanuit proposisies 3.2.19 en 3.2.9.
Definisie 3.2.21. (Swak ρ-meetbaar, Ψ-ρ-meetbaar, swak∗-ρ-meetbaar) (Definisie 1 p.41, [8])
’n Funksie f : Ω → X word swak ρ-meetbaar genoem as die skalaarfunksie x∗f ’n ρ-meetbare funksie is vir elke x∗ ∈ X∗. In die algemeen as Ψ ⊆ X∗ dan word f Ψ-ρ-meetbaar genoem as x∗f ’n ρ-meetbare funksie is vir elke x∗∈ Ψ. As f → X∗ X-meetbaar is (waar X as ’n deelruimte van X∗∗ beskou word), dan sˆe ons f is swak∗-ρ-meetbaar.
Ons sal byvoorbeeld skryf f is swak (I)ρ-meetbaar, Ψ-(II)ρ-meetbaar of swak∗- (III)ρ-meetbaar.
Enige ρ-meetbare funksie is ook ’n swak ρ-meetbare funksie van dieselfde tipe. [[As (fn) ’n ry ρ-trapfunksies is wat na f konvergeer, dan konvergeer die ry skalaar ρ-trapfunksies (x∗fn) vir alle x∗ ∈ X∗ na x∗f op dieselfde wyse (sien proposisie 3.1.11).]] Vanuit proposisies 3.2.10 en 3.2.11 volg dat as ρ ’n volledige σ-eindige σ-subadditiewe submaat is en f swak ρ-meetbaar is, dat x∗f Borel meetbaar is vir elke x∗∈ X∗.
’n Funksie f : Ω → X word ρ-byna separabelwaardig genoem as daar ’n ρ- nulversameling N ∈ Σ bestaan sodanig dat f (Ω\N ) ’n separabele deelversameling van X is.
Stelling 3.2.22. ((I)ρ-meetbaarheid stelling)(Stelling 1.11 p.7, [25])
As ρ ’n volledige σ-eindige σ-subadditiewe submaat is, dan is f : Ω → X (I)ρ- meetbaar as en slegs as
3.2. BOREL -, Σ- EN ρ-MEETBARE FUNKSIES 85
2. daar ’n normerende deelversameling Ψ ⊆ X∗ bestaan sodanig dat f Ψ-(I)ρ- meetbaar is.
Bewys. Neem aan f is (I)ρ-meetbaar. Dan is f ρ-byna oral Σ-meetbaar (pro- posisie 3.2.19). Sˆe f IΩ\N is Σ-meetbaar waar ρ(N ) = 0. Stelling 3.2.14 gee dan dat f IΩ\N separabelwaardig is en dat daar ’n normerende deelruimte Ψ ⊆ X∗ bestaan sodanig dat x∗f I
Ω\N Borel meetbaar is vir elke x∗ ∈ Ψ. Maar dan is f IΩ\N(Ω) = f (Ω\N ) ’n separabele deelversameling van X. Die funksie f is dus ρ-byna separabelwaardig. Tweedens is die skalaarfunksies x∗f IΩ\N almal Σ- meetbaar (proposisie 3.2.11). Proposisie 3.2.19 gee nou dat x∗f ’n (I)ρ-meetbare funksie is vir elke x∗∈ Ψ. Dit beteken dat f ’n Ψ-(I)ρ-meetbare funksie is.
Andersom, as voorwaardes 1 en 2 geld, dan bestaan daar ’n ρ-nulversameling N ∈ Σ sodanig dat f (Ω\N ) separabel is. Laat (xn) ’n digte ry in f (Ω\N ) wees. Volgens lemma 3.2.12 kan ons ’n ry (x∗n) ⊆ Ψ kry sodanig dat
kx∗nk = 1 en kxk = sup n
|x∗nx|
vir elke x ∈ f (Ω\N ). Definieer die re¨elwaardige funksie h op die hele Ω deur h(ω) = sup
n |x∗
n(f (ω))|
vir ω ∈ Ω. Aangesien ρ volledig is, is h ’n Borel meetbare funksie [[h is die supremum van die funsies |x∗nf | en elkeen van die funksies x∗nf is ρ-meetbaar en dus ook Borel meetbaar volgens proposisie 3.2.11]]. Verder is h(ω) = kf k(ω) vir alle ω ∈ Ω\N en dus is kf k = hIΩ\N + kf kIN ’n Borel meetbare funksie [[h is Borel meetbaar en kf kIN is ook Borel meetbaar want ρ is volledig]]. Defnieer nou
hn(ω) = f (ω) − xn
vir elke n en alle ω ∈ Ω. Dan is elke hn ’n Ψ-(I)ρ-meetbare funksie. [[Vir elke x∗ ∈ Ψ is x∗(h(ω)) = x∗(f (ω)) − x∗(x
n)IΩ, wat ’n skalaar (I)ρ-meetbare funksie is.]] Verder is elkeen van die versamelings hn(Ω\N ) ’n separabele versameling. [[Die versameling Y = {ym:= xm− xn : m ∈ N} is aftelbaar en vir elke > 0 en vir elke ω ∈ Ω\N bestaan daar ’n m = N sodanig dat kf (ω) − xNk < . Dus is
khn(ω) − yNk = k(f (ω) − xn) − (xN− xn)k = kf (ω) − xNk < .
Die aftelbare versameling Y is dus dig in hn(Ω\N ).]] Maar dan voldoen elke funksie hn aan presies dieselfde voorwaardes waaraan f voldoen [[hn is Ψ-(I)ρ-meetbaar en ρ-byna separabelwaardig]] en kan ons net soos in die argument met f , ’n Borel meetbare skalaarfunksie gn kry sodanig dat gn(ω) = khn(ω)k op Ω\N . Aangesien die maat ρ volledig is, volg weer dat khnk Borel meetbaar is.
Neem nou ’n vaste n en beskou die punte x1, x2, . . . , xn uit die ry (xn). Ons konstrueer nou net soos in die bewys van stelling 3.2.14 Σ-meetbare trapfunksies gn. Vir elke n en alle ω ∈ Ω stel
kωn:= min 1 ≤ j ≤ n : kf (ω) − xjk = min 1≤i≤nkf (ω) − xik .
Definieer ’n trapfunksie gn : Ω → {x1, x2, . . . , xn} deur gn(ω) := xkn
ω. Net soos in die bewys van 3.2.14 geld dat kf (ω) − xkm
1 ≤ k ≤ n stel A(n)k = ω ∈ Ω : kf (ω) − xkk = min 1≤i≤nkf (ω) − xik B(n)k = ω ∈ Ω : kf (ω) − xjk > min
1≤i≤nkf (ω) − xik vir elke j = 1, 2, . . . , k − 1 . Dan is g−1n (xk) = A (n) k ∩ B (n) k := E (n)
k vir elke 1 ≤ k ≤ n. Ons kan dus die trapfunksie gn skryf as gn= n X i=1 xkIE(n) k .
Aangesien elke funksie khnk Borel meetbaar is, is elkeen van die versamelings A(n)k en Bk(n) en dus ook elke Ek(n) ’n meetbare versameling. Gevolglik is gn ’n Σ- trapfunksie. Definieer nou die trapfunksie fn deur
fn= n X i=1 xkIE(n) k \N .
Dan is fn = gnIΩ\N vir elke n. Aangesien (xn) dig in f (Ω\N ) is, kan ons vir alle ω ∈ Ω\N en enige > 0 ’n Nkry sodanig dat kf (ω) − xNk < en xN= xkN
ω = fN(ω) = gN(ω). Dus, vir alle ω ∈ Ω\N en alle n ≥ Nis
kf (ω) − fn(ω)k = kf (ω) − xkn
ωk ≤ kf (ω) − xkNω (ω)k < .
Die ry (fn) is dus ’n ry Σ-trapfunksies waarvoor fn(ω) → f (ω) vir alle ω ∈ Ω\N . Vir elke n is die funksie fnIΩn’n ρ-trapfunksie [[want ρ((E(n)k \N )∩Ωn) ≤ ρ(Ωn) < ∞]] en fnIΩn→ f ρ-byna oral. Die funksie f is dus (I)ρ-meetbaar.
Weer eens kan ons vanuit proposisie 3.2.9 die volgende afleiding maak. Gevolg 3.2.23.
Laat ρ : Σ → R ’n volledige σ-eindige σ-subadditiewe submaat wees. Beskou die volgende bewerings oor ’n funksie f : Ω → X.
1. f is (II)ρ-meetbaar; 2. f is (III)ρ-meetbaar;
3. f is ρ-byna separabelwaardig en daar bestaan ’n normerende deelversameling Ψ ⊆ X∗ sodanig dat f Ψ-(I)ρ-meetbaar is.
Dan geld 1 ⇐⇒ 2 ⇒ 3. As ρ eindig en kontinu is, dan geld 3 ⇒ 1.
Bewys. Volgens proposisie 3.2.9 geld 1 ⇐⇒ 2. Verder, as f (III)ρ-meetbaar is, dan is f (I)ρ-meetbaar. Dus geld 3 volgens stelling 3.2.22. As ρ eindig en kontinu is, dan volg vanuit stelling 3.2.22 dat f (I)ρ-meetbaar is, maar in hierdie geval impliseer dit ook dat f (III)ρ-meetbaar is.
As ρ σ-eindig en σ-subadditief is, kry ons vanuit gevolg 3.2.15 en proposisie 3.2.19 dat die ruimte M1
3.2. BOREL -, Σ- EN ρ-MEETBARE FUNKSIES 87
Gevolg 3.2.24. (Gevolg 1.12 p.7, [25])
Laat ρ ’n σ-eindige σ-subadditiewe As (fn) ’n ry (I)ρ-meetbare funksies is wat ρ-byna oral na f konvergeer, dan is f (I)ρ-meetbaar.
Bewys. Sˆe fn(ω) → f (ω) vir alle ω ∈ Ω\N met ρ(N ) = 0. Elke (I)ρ-meetbare funksie fn is volgens proposisie 3.2.19 ρ-byna oral Σ-meetbaar. Sˆe vir elke n is fnIΩ\Nn Σ-meetbaar waar ρ(Nn) = 0 vir elke n. Stel M =
S∞
n=1Nn. Aangesien ons aanneem dat ρ σ-subadditief is, is ρ(M ) = 0. Verder is elke funksie fnIΩ\(M ∪N ) Σ-meetbaar, ρ(M ∪ N ) ≤ ρ(M ) + ρ(N ) = 0 en fnIΩ\(M ∪N )(ω) → f (ω)IΩ\(M ∪N ) vir alle ω ∈ Ω. Dus, volgens gevolg 3.2.15 is f IΩ\(M ∪N ) ook Σ-meetbaar. Met ander woorde, f is ρ-byna oral Σ-meetbaar en dus (I)ρ-meetbaar volgens proposisie 3.2.19.
Gevolg 3.2.16 tesame met proposisie 3.2.19 gee die volgende resultaat. Gevolg 3.2.25. (Gevolg 1.14 p.7, [25])
As ρ ’n σ-eindige submaat is en f ’n (I)ρ-meetbare funksie is en T : X → Y ’n begrensde operator is, dan is T f : Ω → Y ook ’n (I)ρ-meetbare funksie.