Sover het ons net gewerk met ’n eindig additiewe vektormaat ν : F → Y op die algebra F . Ons beskou nou ’n σ-algebra Σ van deelversamelings van Ω en ’n σ- additiewe vektormaat ν : Σ → Y . Die Bartle integraal van ’n ν-integreerbare funksie is self ’n σ-additiewe vektormaat op Σ.
Stelling 5.3.1. (p.346, [3])
As ν : Σ → Y ’n σ-additiewe vektormaat en f : Ω → X ’n ν-Bartle integreerbare funksie is, dan is die vektormaat
νB(E) := Z
E
f dν, E ∈ Σ
σ-additief op Σ.
Bewys. In stelling 5.2.6(2) het ons reeds gesien dat νB’n vektormaat is. Laat (fn) ’n ry defini¨erende trapfunksies vir die integraal van f wees, sˆe fn=
Pr(n) i=1x
(n) i IEi(n). Laat (Fm) ⊆ Σ ’n ry disjunkte versamelings wees. Dan is
Z S∞ m=1Fm fndν = r(n) X i=1 x(n)i ν ∞ [ m=1 Fm∩ Ei(n) ! = r(n) X i=1 x(n)i ∞ X m=1 ν(Fm∩ E (n) i ) = r(n) X i=1 ∞ X m=1 x(n)i ν(Fm∩ Ei(n)) = ∞ X m=1 r(n) X i=1 x(n)i ν(Fm∩ Ei(n)) = ∞ X m=1 Z Fm fndν.
Waar ons die orde van sommasie kan omruil omdat die reeks onvoorwaardelik konvergent is (ν is σ-additief op die σ-algebra Σ). Per definisie is
νB( ∞ [ m=1 Fm) = Z S∞ m=1Fm f dν = lim n→∞ Z S∞ m=1Fm fndν = lim n→∞ ∞ X m=1 Z Fm fndν
en die konvergensie vind gelykmatig plaas (stelling 5.2.4). Ons kan dus die som en limiet omruil en dus is
νB( ∞ [ m=1 Fm) = lim n→∞ ∞ X m=1 Z Fm fndν = ∞ X m=1 Z Fm f dν = ∞ X m=1 νB(Fm)
Onthou dat ’n σ-additiewe vektormaat ν op ’n σ-algebra ’n sterk additiewe vektormaat is. Volgens die Bartle-Dunford-Schwartz lemma (gevolg 1.3.17 op p.33) bestaan daar ’n eindige maat µ : Σ → R sodanig dat kνk(E) → 0 as en slegs as µ(E) → 0. As hierdie eienskap ook vir die semivariasiebν geld, dan sˆe Bartle ν het die ∗-eienskap.
5.3. DIE σ-ADDITIEWE GEVAL 119
Definisie 5.3.2. (Bartle ∗-eienskap)(Definisie 2 p.346, [3])
Ons sˆe ’n σ-additiewe vektormaat ν : Σ → Y het die ∗-eienskap met betrekking tot X as daar ’n eindige maat µ : Σ → R bestaan sodanig dat µ(E) → 0 as en slegs as b
ν(E) → 0.
Voorbeeld 5.3.3. (Vektormate met die ∗-eienskap)(p.436, [3])
Daar is verskeie omstandighede waaronder ’n vektormaat ν : Σ → Y die∗−eienskap kan hˆe:
1. As y∗ν ’n eindige σ-additiewe maat is vir elke y∗ ∈ Y∗, dan het ν die ∗- eienskap met betrekking tot K.
2. As X = K, dan stem die semivariasies kνk en bξ ooreen, dus het ν die ∗- eienskap volgens die lemma van Bartle-Dunford-Schwartz.
3. As Y = K, dan is ν ’n skalaarmaat en dus |ν| = kνk =bν. In hierdie geval het ν ook die ∗-eienskap.
Die volgende belangrike feit word nie bewys in [3] nie. Proposisie 5.3.4. (p.346, [3])
As ’n σ-additiewe vektormaat ν : Σ → Y die ∗-eienskap het, dan isν(Ω) < ∞.b Bewys. Laat µ : Σ → R ’n eindige maat wees sodanig dat µ(E) → 0 as en slegs as b
ν(E) → 0. Aangesien µ eindig is, kan ons (Ω, Σ) ontbind in ’n difuse maatruimte (Ω2, Σ2) en ’n maatruimte (Ω1, Σ1) waar Σ1uit ’n aftelbare aantal atome bestaan. Dit wil sˆe Σ1= (En) ⊆ Σ, µ(En) > 0 vir alle n en vir elke n geld dat as Fn∈ Σ, Fn⊂ En en µ(Fn) < µ(En), dan is µ(Fn) = 0.
As E ∈ Σ1en (Ei) ∈ DΣ, dan is r X i=1
µ(E ∩ Ei) = µ(E).
Maar µ is nie-negatief en E ∈ Σ1. Dus is daar presies een 1 ≤ i ≤ r, sˆe i = j sodanig dat µ(E) = µ(E ∩ Ej) en µ(E ∩ Ei) = 0 vir alle i 6= j. Maar dan is kν(E ∩ Ei)k ≤bν(E ∩ Ei) = 0 as i 6= j, wantbν(E) → 0 as en slegs as µ(E) → 0. Dit impliseer ν(E ∩ Ei) = 0 as i 6= j. Beskou ν as die operatormaat ξ : Σ → L(X, Z) waar ξ(E)x := xν(E). Dan is
b ξ(E) = sup kxik≤1 sup (Ei)∈DΣ r X i=1 ξ(E ∩ Ei)xi = sup F ∈Σ sup kxk≤1 kξ(E ∩ F )xk
en aangesien kξ(E)k = supkxk≤1kξ(E)xk geld op dieselfde manier dat
kξk(E) = sup |αi|≤1 sup (Ei)∈DΣ r X i=1 αiξ(E ∩ Ei) = sup F ∈Σ sup |α|≤1 kξ(E ∩ F )αk = sup F ∈Σ sup |α|≤1 sup kxk≤1 kαξ(E ∩ F )xk = sup F ∈Σ sup kxk≤1 kξ(E ∩ F )xk.
Dus is bξ(E) = kξk(E) vir alle E ∈ Σ1. Maar ν is σ-additief op Σ1. Dit impliseer dat ν ’n begrensde vektormaat op (Ω1, Σ1) is (gevolg 1.3.9 op 27). Dit beteken kνk(Ω1) =bν(Ω1) < ∞.
Tweedens, aangesien (Ω2, Σ2) ’n difuse maatruimte is, bestaan daar vir elke δ > 0 ’n eindige verdeling (Ei) ∈ DΣ2 sodanig dat µ(Ei) < δ vir elke i. Verder aangesien µ(E) → 0 as en slegs asbν(E) → 0, bestaan daar vir elke > 0 ’n δ > 0 sodanig dat as µ(E) < δ dan isν(E) < . Dus isb
b ν(Ω2) ≤ r X i=1 b ν(Ei) < · r < ∞
waar (Ei) ’n eindige disjunkte verdeling van Ω2 is sodanig dat µ(Ei) < δ vir elke i. Tesame met die vorige deel volg dat bν(Ω) ≤ν(Ω1) +b bν(Ω2) < ∞.
Sˆe nou die σ-additiewe vektormaat ν : Σ → Y het die ∗-eienskap, dit wil sˆe, b
ν(E) → 0 as en slegs as µ(E) → 0 vir een of ander eindige maat µ. Dan is bν eindig en as (En) ⊆ Σ en En ↓ ∅, dan µ(En) → 0 as n → ∞, want µ is ’n eindige maat. Maar dan ν(Eb n) → 0 as n → ∞. Dit beteken ν is ’n kontinue submaatb bν. Maar dan is bν ook σ-subadditief. Dus, as ρ =bν, dan is ’n ν-meetbare funksie ’n (II)ρ-meetbare funksie. As ν die ∗-eienskap het dan volg dat f ook ’n (I)ρ-meetbare funksie is.
Proposisie 5.3.5.
As ν die ∗-eienskap het, dan is ’n funksie f ’n ν-meetbare funksie as en slegs as daar ’n ry ν-trapfunksies (fn) bestaan sodanig dat (fn) ν-byna oral na f konvergeer. Bewys. As ν die ∗-eienskap het, dan is ν ’n kontinue submaat enb ν(Ω) < ∞.b Volgens proposisie 3.2.9 val die (I)bν-meetbare- (dit wil sˆe, ν-meetbare-) en (II)bν- meetbare funksies saam. Die (II)bν-meetbare funksies is presies die funksies wat die ν-byna oral limiet van ν-trapfunksies is.
Volgens gevolg 3.2.24 op p.87 is die ruimte Mν(Σ, X) geslote is onder die neem van ν-byna oral limiete as ν die ∗-eienskap het.
Die volgende stelling wys dat die definisie van die Bartle integraal vereenvoudig as die vektormaat ν die ∗-eienskap het.
Stelling 5.3.6. (Stelling 9 p.247, [3])
Neem aan ν het die ∗-eienskap, dan is ’n funksie f : Ω → X ν-integreerbaar as en slegs as daar ’n ry ν-trapfunksies (fn) bestaan sodanig dat
1. fn→ f ν-byna oral.
2. Die ry (νn(E)) konvergeer in die norm van Z vir elke E ∈ Σ.
Bewys. Neem aan µ : Σ → R is ’n eindige maat sodanig dat µ(E) → 0 as en slegs as bν(E) → 0. Dan isν ’n eindige kontinue submaat.b
Neem aan f is ν-integreerbaar. Dan bestaan daar ’n ry ν-trapfunksies (fn) wat in ν-maat na f konvergeer. Laat (νn) die ry vektormate deur hierdie trapfunksies voortgebring wees. Dan is die ry gelykmatig bν-absoluut kontinu en ekwikontinu met betrekking tot bν. Volgens stelling 3.1.8, bestaan daar ’n deelry (fnk) wat ν-byna gelykmatig na f konvergeer. Die deelry (νnk) voldoen aan dieselfde voor- waardes waaraan (νn) voldoen. Dus volg vanuit stelling 5.2.4 dat die ry (νnk(E))
5.3. DIE σ-ADDITIEWE GEVAL 121
gelykmatig in die norm van Z konvergeer vir elke E ∈ Σ.
Andersom, as (fn) ’n ry ν-trapfunksies is wat aan die voorwaardes van die stelling voldoen, dan konvergeer (fn) ook in ν-maat na f volgens stellings 3.1.10 en 3.1.7 .
Tweedens, aangesien elke νn die integraal van ’n ν-trapfunksie is, volg dat lim
b
ν(E)→0νn(E) = 0 vir elke n (sien proposisie 5.2.2). Maar dan geld ook dat limµ(E)→0νn(E) = 0 vir elke n. Per aanname bestaan die funksie νB(E) := limn→∞νn(E). Volgens stelling 5.3.1 is elke νn ’n σ-additiewe vektormaat. Dus volg vanuit die Vitali-Hahn-Saks stelling (stelling 1.5.17) dat limµ(E)→0νn(E) = 0 gelykmatig in n. Maar dan volg dat lim
b
ν(E)→0νn(E) = 0 gelykmatig in n. Dit beteken (νn) is gelykmatigbν-absoluut kontinu.
Derdens, aangesien ν die ∗-eienskap het, volg dat bν(Ω) < ∞. Die ekwikon- tinu¨ıteit van (νn) volg dus automaties.
Die ry (fn) is ’n ry defini¨erende trapfunksies vir die integraal van f . Die funksie f is dus ν-integreerbaar.
Laastens gee ons Vitali se konvergensiestelling vir ν-integreerbare funksies waar ν die ∗-eienskap het.
Stelling 5.3.7. (stelling 10 p.347, [3])
As ν die ∗-eienskap het en (fn) ’n ry van ν-integreerbare funksies is wat aan die volgende voldoen:
1. (fn) konvergeer ν-byna oral na f .
2. As > 0, dan bestaan daar ’n δ > 0 sodanig dat as E ∈ Σ enν(E) < δ, danb is Z E fndν < vir elke n.
Dan is f ’n ν-integreerbare funksie en Z
E
f dν = lim n→∞fndν gelykmatig in E ∈ Σ.
Hoofstuk 6
Die Dobrakov integraal
Die Dobrakov integraal is die laaste vektorintegraal wat ons gaan bestudeer. Laat Σ ’n σ-algebra van deelversamelings van Ω wees. Laat X, Y en Z Banach ruimtes wees. Bartle het die integraal van vektorwaardige funksies f : Ω → X ten opsigte van ’n vektormaat ν : Σ → Z gedefinieer waar daar ’n bilineˆere afbeelding op X ×Z bestaan. Enige so ’n vektormaat kan as ’n operatormaat ξ : Σ → L(X, Y ) beskou word. Dobrakov definieer ’n integraal van X-waardige funksies ten opsigte van ’n σ-additiewe L(X, Y )-waardige operatormaat. Bartle se maat is ’n σ-additiewe vektormaat (ξ is σ-additief in die GOT van L(X, Y )) waar Dobrakov se maat ’n σ-additiewe operatormaat is (ξ is σ-additief in die SOT van L(X, Y )).
6.1
ξ-Meetbare funksies
Die teorie van die Dobrakov integraal ontwikkel ons soos Dobrakov dit in sy artikel [9] gedoen het. Ons gebruik egter die resultate wat ons in afdeling 3.2 gekry het om die resulate duideliker saam te vat.
Laat (Ω, Σ) ’n meetbare ruimte wees en laat ξ : Σ → L(X, Y ) ’n σ-additiewe operatormaat wees. Dan is die semivariasie ξ ’n σ-subadditiewe submaat (sien proposisie 2.1.13 op p.62). Ons definieer ’n ξ-trapfunksie as ’n bξ-trapfunksie (sien definisie 3.2.5 op p.77).
Definisie 6.1.1. (ξ-Trapfunksie, ξ-integreerbare trapfunksie)(Definisie 1 p.513, [9])
As ξ : Σ → L(X, Y ) operatormaat is, dan word ’n Σ-trapfunksie f =Pri=1xiIEi ’n ξ-trapfunksie of ’n ξ-integreerbare trapfunksie genoem as xi ∈ X vir elke i en b
ξ(Ei) < ∞ vir elke versameling Ei waarvoor xi6= 0.
Ons dui die vektorruimte van ξ-trapfunksies deur Sξ(Σ, X) aan. Enige ξ- trapfunksie is per definisie ook ’n Σ-trapfunksie, dus Sξ(Σ, X) ⊆ S(Σ, X). As b
ξ(Ω) < ∞, dan is Sξ(Σ, X) = S(Σ, X).
Ons sal sien dat dit vir die Dobrakov integraal van ’n ξ-trapfunksie geld dat Z E f dξ ≤ kf kEξ(E).b 122
6.1. ξ-MEETBARE FUNKSIES 123
Ons wil graag hˆe die term aan die regterkant moet eindig wees. Gevolglik wil ons versamelings E ∈ Σ beskou waarvoor dit geld dat bξ(E) < ∞. Ons sal sien dat hierdie versamelings ’n δ-ring vorm.
’n Versameling R van deelversamelings van Ω word ’n ring genoem as R aan die volgende voorwaardes voldoen
1. E ∪ F ∈ R vir alle E, F ∈ R; 2. E\F ∈ R vir alle E, F ∈ R.
’n Delta ring P is dan ’n ring tesame met die volgende bykomende eienskap: 3δ. T∞n=1En∈ P vir enige ry (En) ⊆ P.
Soortgelyk is ’n sigma ring ’n ring S tesame met die volgende eienskap: 3σ. S∞n=1En∈ S vir enige ry (En) ⊆ S.
As voorwaardes 2 en 3σ vir ’n ring R geld, dan volg vanuit die re¨els van de Mor- gan dat voorwaarde 3δ vir R geld [[As (En) ⊆ R, dan is E1\(S∞n=1(E1\En)) = T∞
n=1(E1\(E1\En)) = T∞
n=1En ∈ R ]]. Enige σ-ring is dus ook ’n δ-ring. As P ’n δ-ring is, dan is die σ-ring deur P voortgebring die kleinste σ-ring wat P bevat. Ons dui dit aan deur σ(P). Elke versameling S ∈ σ(P) kan geskryf word as die aftelbare vereniging van disjunkte versamelings Pn∈ P. Enige σ-algebra Σ is ook ’n σ-ring. Andersom, as S ’n σ-ring is sodanig dat Ω ∈ S, dan is S ’n σ-algebra.
Beskou nou al die deelversamelings E ∈ Σ waarvoor bξ(E) < ∞. Sˆe Σ1:= {E ∈ Σ : bξ(E) < ∞}, E, F ∈ Σ1 en (En) ⊆ Σ1. Dan volg vanuit die monotoniteit van bξ dat
1. bξ(E ∪ F ) ≤ bξ(E) + bξ(E) < ∞ en dus E ∪ F ∈ Σ1; 2. E\F ⊆ E, dus bξ(E\F ) ≤ bξ(E) < ∞ en dus E\F ∈ Σ1;
3δ. T∞n=1En⊆ E1, dus bξ(T∞n=1En) ≤ bξ(E1) < ∞ en dusT∞n=1En ∈ Σ1. Ons sien dus dat Σ1 ’n δ-ring is. Ons noem die versamelings in Σ1 integreerbare versamelings. Ons noem ’n funksie f =Pri=1xiIEi ’n Σ1-trapfunksie as Ei ∈ Σ1 vir elke i. Ons kan nie vereis dat E1, E2, . . . , Er ’n verdeling van Ω vorm nie, want Ω is nie noodwendig in Σ1 nie. Elke Σ1-trapfunksie is ook ’n ξ-trapfunksie, want per definisie is bξ(E) < ∞ vir alle E ∈ Σ1. Beskou nou die σ-ring deur Σ1 voortgebring. Enige versameling E ∈ σ(Σ1) kan as ’n vereniging
S∞
n=1En geskryf word waar (En) ⊆ Σ1 ’n ry van disjunkte versamelings is. As Ω ∈ σ(Σ1), dan is σ(Σ1) ’n σ-algebra wat σ-eindig in die sin dat daar ’n ry (disjunkte) versamelings (Ωn) ⊆ Σ1bestaan sodanig dat Ω =S∞n=1Ωn en bξ(Ωn) < ∞ vir elke n.
Definisie 6.1.2. (σ-eindige operatormaatruimte)
As ξ : Σ → L(X, Y ) ’n operatormaat op die meetbare ruimte (Ω, Σ) is, dan sˆe ons (Ω, Σ, ξ) is ’n σ-eindige operatormaatruimte as daar ’n ry versamelings (Ωn) ⊆ Σ bestaan sodanig dat Ω =S∞n=1Ωn en bξ(Ωn) < ∞ vir elke n.
In die ontwikkeling wat Dobrakov doen, beskou hy ’n δ-ring P0 van deelversa- melings van Ω en die σ-ring σ(P0) deur P0voortgebring. Hy werk dan met ’n ope- ratormaat ξ : P0 → L(X, Y ) en P0-trapfunksies f =
Pr
elke i. Hy beskou dan die δ-ringe P1= {E ∈ σ(P0) : bξ(E) < ∞} en P := P0∩ P1. Dan is P die versameling van deelversamelings E ∈ P0 waarvoor bξ(E) < ∞. Do- brakov beskou dan die σ-ring σ(P) en gebruik dit as sy versameling van meetbare versamelings. As Ω ∈ σ(P), dan is (Ω, σ(P), ξ) ’n σ-eindige operatormaatruimte.
Ons definieer nou ’n ξ-meetbare funksie as die puntsgewyse limiet van ’n ry ξ- trapfunksies (fn). Aangesien (fn) oral na f konvergeer, konvergeer dit ook bξ-byna oral na f . Enige ξ-meetbare funksie is dus ook ’n (I)bξ-meetbare funksie.
Definisie 6.1.3. (ξ-meetbare funksie)
’n Funksie f : Ω → X word ξ-meetbaar genoem as daar ’n ry ξ-integreerbare trapfunksies (fn) bestaan wat oral na f konvergeer.
Ons dui die vektorruimte van ξ-meetbare funksies f : Ω → X deur Mξ(Σ, X) aan. Ons sien nou dat Σ-meetbaarheid en ξ-meetbaarheid ooreenstem op ’n σ- eindige operatormaatruimte.
Proposisie 6.1.4.
As (Ω, Σ, ξ) ’n σ-eindige operatormaatruimte is, dan is f ’n Σ-meetbare funksie as en slegs as f ’n ξ-meetbare funksie is.
Bewys. Neem aan f is Σ-meetbaar, dan bestaan daar ’n ry Σ-trapfunksies fn wat oral na f konvergeer. Laat (Ωn) ⊆ Σ ’n ry wees sodanig dat Ω =
S∞ n=1Ωn en bξ(Ωn) < ∞ vir alle n. Dan is elke fnIΩn ’n ξ-trapfunksie en fnIΩn → f IΩ. Gevolglik is f ’n ξ-meetbare funksie.
Andersom, aangesien enige ξ-trapfunksie fnook ’n Σ-trapfunksie is en (fn) oral na f konvergeer, volg dat f ook Σ-meetbaar is as f ’n ξ-meetbare funksie is.
Vanuit stellings 3.2.14 op p.81 en 3.2.17 op p.83 en proposisie 6.1.4 kry ons nou direk die volgende stellings oor ξ-meetbare funsies.
Stelling 6.1.5.
As (Ω, Σ, ξ) ’n σ-eindige operatormaatruimte is, dan is f : Ω → X ’n ξ-meetbare funksie as en slegs as
1. f separabelwaardig is;
2. daar ’n normerende ruimte Ψ ⊆ X∗ bestaan sodanig dat x∗f ’n ξ-meetbare funksie is vir elke x∗∈ X∗.
Volgens stelling 6.1.4 en gevolg 3.2.15 op p.82 is die ruimte Mξ(Σ, X) geslote onder die neem van puntsgewyse limiete.
Gevolg 6.1.6.
As (Ω, Σ, ξ) ’n σ-eindig operatormaatruimte is en (fn) ’n ry ξ-meetbare funksies is wat oral na f konvergeer, dan is f ’n ξ-meetbare funksie.
Net soos by proposisie 3.2.10 op p.78 volg dat x∗f en kf k ξ-meetbaar is as f ξ-meetbaar is.
Proposisie 6.1.7.
As f ’n ξ-trapfunksie is en x∗∈ X∗, dan is kf k en x∗f beide skalaar ξ-trapfunksies. Gevolglik, as f ’n ξ-meetbare funksie is, dan is kf k en x∗f ook ξ-meetbare funksies. Vanuit proposisies 6.1.4 en 3.2.11 kry ons nou dat Borel-, Σ- en ξ-meetbaarheid ooreenstem vir re¨elwaardige funksies.
6.1. ξ-MEETBARE FUNKSIES 125
Proposisie 6.1.8.
As (Ω, Σ, ξ) ’n σ-eindige operatormaatruimte is en f : Ω → R, dan is die volgende ekwivalent:
1. f is Borel-meetbaar;
2. f is Σ-meetbaar; 3. f is ξ-meetbaar.
Hieruit sien ons dat die draerversameling Cf = {ω ∈ Ω : kf (ω)k > 0} van enige ξ-meetbare funksie f ’n meetbare versameling is [[kf k is ’n re¨elwaardige ξ-meetbare funksie en dus ook ’n Borel-meetbare funksie en gevolglik is {ω ∈ Ω : f (ω) > α} ∈ Σ vir alle α ∈ R]].
As ν ’n vektormaat is, dan word ’n versameling N ∈ Σ ’n ν-nulversameling genoem as kνk(N ) = 0. ’n Ry funksies (fn) konvergeer ν-byna oral na f as daar ’n ν-nulversameling N ∈ Σ bestaan sodanig dat fn(ω) → f (ω) vir alle ω ∈ Ω\N . Vanuit Egoroff se stelling (sien byvoorbeeld stelling 3.1.10 op p.73) kan ons die volgende resultaat oor die konvergensie van Σ-meetbare funksies kry.
Stelling 6.1.9 (Egoroff-Lusin). (Stelling p.520, [9])
Beskou ’n σ-additiewe vektormaat ν : Σ → Y en ’n ry meetbare funksies (fn) ⊆ M(Σ, X) wat ν-byna oral na die meetbare funksie f ∈ M(Σ, X) konvergeer. Stel
F = ∞ [ n=0
{ω ∈ Ω : kfn(ω)k > 0}
waar f = f0. Dan bestaan daar ’n ν-nulversameling N ∈ Σ en ’n stygende ry (Fk) ⊆ Σ sodanig dat
∞ [ k=1
Fk = F \N
en sodanig dat (fn) gelykmatig na f konvergeer op elke Fk.
Bewys. Neem aan die ry (fn) konvergeer ν-byna oral na f . Sˆe fn(ω) → f (ω) vir alle ω ∈ Ω\M , waar kνk(M ) = 0. Laat Cndie draerversameling van elke funksie fn wees. Laat F , soos in die stelling, die vereniging van die draerversamelings Cnwees. Aangesien ν ’n σ-additiewe vektormaat op ’n σ-algebra is, bestaan daar volgens die Bartle-Dunford-Schwartz lemma (gevolg 1.3.17 op p.33) ’n eindige maat µ : Σ → R sodanig dat µ(E) ≤ kνk(E) en limµ(E)→0kνk(E) = 0. Gevolglik is µ(M ) = 0 en dit beteken dat (fn) µ-byna oral na f konvergeer. Aangesien enige µ-nulversameling ook ’n ν-nulversameling is, is dit voldoende om die stelling vir µ te bewys.
Aangesien µ ’n eindige maat is, verseker Egoroff se stelling dat (fn) ook µ-byna gelykmatig na f konvergeer. Daar bestaan dus vir 1= 1 ’n versameling G1∈ Σ sodanig dat µ(G1) < 1 en (fn) gelykmatig na f konvergeer op F \G1 := F1. Weer vir 2 = 1/2 bestaan daar ’n versameling G2 ∈ Σ sodanig dat sodaning dat µ(G2) < 2 en (fn) gelykmatig na f konvergeer op F \G2 en dus ook op F \(G1∩ G2) = (F \G1) ∪ (F \G2) = F1∪ (F \G2) := F2. Let op dat µ(F \F2) = µ(G1∩ G2) ≤ µ(G2) < 2. Gaan nou induktief voort op hierdie wyse om vir elke m = 1/m ’n versameling Gm ∈ Σ te kry sodanig dat µ(Gm) < m en (fn)
gelykmatig op F \Gm na f konvergeer. Stel Fm = F \G1∪ F \G2∪ . . . ∪ F \Gm. Dan is (Fm) ’n stygende ry, (fn) konvergeer gelykmatig na f op elke Fm en
µ F \ m [ k=1 Fk !! = µ m \ k=1 Gk ! ≤ µ(Gm) < 1 m
vir elke m. Stel nou N = F \S∞k=1Fk dan is µ(N ) = 0 en Fk↑ F \N . Die volgende lemma sal dikwels later gebruik word.
Lemma 6.1.10.
Laat (Ω, Σ, ξ) ’n σ-eindige operatormaatruimte wees. As f ’n ξ-meetbare funksie en (fn) ’n ry ξ-integreerbare trapfunksies is wat oral na f konvergeer, dan kan ons (fn) s´o kies dat kfn(ω)k ↑ kf (ω)k as n → ∞ vir alle ω ∈ Ω. In die besonder geld dat kfn(ω)k ≤ kf (ω)k vir alle n en alle ω ∈ Ω.
Bewys.
Aangesien kf k ’n ξ-meetbare skalaarfunksie en dus ook ’n nie-negatiewe Borel- meetbare funksie is, kan ons ’n ry nie-negatiewe ξ-integreerbare trapfunksies (φn) kry sodanig dat φn(ω) ↑ kf (ω)k vir alle ω ∈ Ω. Stel nou
gn(ω) = φn(ω)fn(ω) kfn(ω)k
vir elke n. Dan is elke gn ’n ξ-integreerbare trapfunksie en as n → ∞, dan
gn(ω) →kf (ω)kf (ω)
kf (ω)k = f (ω)
vir alle ω ∈ Ω. Vir elke n geld dat kgn(ω)k = φn(ω) ≤ kf (ω)k vir alle ω ∈ Ω. Dus kgn(ω)k ↑ kf (ω)k.