Die Nikod´ ym begrensdheidstelling - Vektorintegrasie met toepassings op stogastiese prosesse i

1.4 Die Nikod´ym begrensdheidstelling

Neem regdeur hierdie afdeling aan dat Σ ’n σ-algebra van deelversamelings van Ω is. As X en Y normeerde ruimtes is, dan is L(X, Y ) die ruimte van alle begrensde lineˆere operatore van X na Y . ’n Deelversameling T ⊆ L(X, Y ) is gelykmatig begrens as sup{kT k : T ∈ T } < ∞. Die versameling T is puntsgewys begrens as daar vir elke x ∈ X ’n Mx> 0 bestaan sodanig dat kT xk ≤ Mx vir alle T ∈ T . As die normeerde ruimte X ’n Banach ruimte is, dan sˆe die klassieke gelykmatig begrensdheid stelling dat T gelykmatig begrens is as T puntsgewys begrens is.

Laat X nou ’n Banach ruimte wees. Nikodým se begrensdheid stelling handel oor families van begrensde vektormate νi: Σ → X, dit is, vektormate νi waarvoor kνik(Ω) < ∞. Die stelling sê dat as so ’n familie versamelingsgewys (dit wil sê, puntsgewys) begrens is, dan is die familie gelykmatig begrens.

Stelling 1.4.1. (Nikod´ym begrensdheid stelling)(Stelling 1 p.14, [8])

Laat {νi: i ∈I } ’n familie van X-waardige begrensde vektormate op Σ wees. As supi∈_I kνi(E)k < ∞ vir elke E ∈ Σ, dan is die familie {νi : i ∈I } gelykmatig begrens, dit wil sˆe, supi∈_I kνik(Ω) < ∞.

Bewys. Neem aan supi∈_I kνi(E)k < ∞ vir elke E ∈ Σ. Dan volg ook dat sup_i∈_I sup_x∗_∈BX∗ |x∗νi(E)| < ∞ vir elke E ∈ Σ. As die familie van skalaarmate {x∗_νi_{: x}∗ _{∈ BX}_∗_{, i ∈}_{I } gelykmatig begrens is, dan is}

sup i∈I kνik(Ω) = sup i∈I sup x∗_∈B X∗ |x∗_ν i|(Ω) < ∞,

want vir skalaarmate soos x∗νi is |x∗νi| = kx∗νik. Gevolglik is dit voldoende om die stelling vir ’n familie van begrensde skalaarmate {µi : i ∈I } te bewys. Ver- der, as sup_i∈_I|µi|(Ω) = α, waar α ∈ R, dan bestaan daar ’n ry (µn) ⊆ {µi : i ∈ I } sodanig dat limn→∞|νn|(Ω) = α. Ons kan dus sonder verlies in algemeen- heid, die stelling vir ’n ry begrensde skalaarmate (µn) op Σ met die eienskap dat sup_n|µn(E)| < ∞ vir alle E ∈ Σ, bewys.

Neem dus aan (µn) is ’n ry van begrensde skalaarmate met die eienskap dat sup_n|µn(E)| < ∞ vir alle E ∈ Σ, maar dat supn|µn|(Ω) = ∞. Vanuit proposisie 1.1.17(5) volg dat |µn|(Ω) ≥ sup{|µn(E)| : E ∈ Σ} vir elke n. Dus is sup_nsup_E∈Σ|µn(E)| = ∞.

Ons wys nou dat daar vir enige α ∈ R ’n k ∈ N en ’n verdeling {E, F } ∈ DΣ_be- staan sodanig dat |µk(E)| > α en |µk(F )| > α. Aangesien supnsupE∈Σ|µn(E)| = ∞, kan ons vir enige α ’n k en ’n E ∈ Σ kry sodanig dat

|µk(E)| > sup n

|µn(Ω)| + α > α.

Gevolglik, as F = Ω\E, dan geld dat

|µk(F )| = |µk(Ω) − µk(E)| ≥ |µk(E)| − |µk(Ω)| > α.

Daar bestaan dus ook ’n kleinste natuurlike getal k = n1waarvoor daar ’n verdeling {E1, F1} ∈ DΣ _{bestaan sodanig dat |µn}

1(E1)| > 2 = α1 en |µn1(F1)| > 2 = α1. Aagesien {E1, F1} ’n verdeling van Ω is, geld vir elke n en enige E ∈ Σ dat

Maar sup_nsup_E∈Σ|µn(E)| = ∞, dus moet sup_nsup_E∈Σ|µn(E ∩ E1)| = ∞ of supnsupE∈Σ|µn(E ∩F1)| = ∞. As supnsupE∈Σ|µn(E ∩E1)| = ∞, stel A1= E1en B1= F1anders, as supnsupE∈Σ|µn(E ∩ F1)| = ∞, stel A1= F1en B1= E1(A1is dus telkens ’n versameling waarvoor die supremum oneindig is). Weer bestaan daar ’n kleinste natuurlike getal n2> n1waarvoor daar ’n meetbare disjunkte verdeling {E2, F2} van A1 bestaan sodanig dat

|µn₂(E2)|, |µn₂(F2)| > 3 + |µn₂(B1)| := α2.

Net soos in die vorige stap moet dit waar wees dat sup_nsup_E∈Σ|µn₂(E2)| = ∞ of sup_nsup_E∈Σ|µn₂(F2)| = ∞. Definieer weer A2 as die versameling waarvoor ons oneindig kry en B2 as die ander versameling. Net soos in die vorige stap bestaan daar dan ’n kleinste n3> n2waarvoor daar ’n meetbare verdeling {E3, F3} van A2 bestaan sodanig dat

|µn₃(E3)|, |µn₃(F3)| > 4 + |µn₃(B2)| + |µn₃(B1)| := α3.

Deur induktief op hierdie manier voort te gaan, kry ons ’n ry (Bn) van disjunkte meetbare versamelings en ’n streng stygende ry (nk_{) ⊆ N, sodanig dat}

|µn_k(Bk)| > αk = (k + 1) + k−1 X i=1

|µn_k(Bi)|.

Herskryf die ry (µk) := (µnk) en verdeel N in oneindig veel disjunkte versamelings N1, N2, ..., Nk, . . . Aangesien die variasie |µ1| σ-supadditief is, geld

∞ X k=1 |µ1| [ n∈Nk Bn ! ≤ |µ1| ∞ [ k=1 [ n∈Nk Bn !! = |µ1| ∞ [ n=1 Bn ! ≤ |µ1|(Ω).

Die ry (µn) is ’n ry van begrensde skalaarmate, dus is die reeks hierbo konvergent. Gevolglik weet ons |µ1| S

n∈NkBn → 0 soos k → ∞. Dus kan ons ’n deelry (Bkl) van (Bk), k ≥ 2 kry sodanig dat

|µ1| ∞ [ l=1 Bkl ! < 1.

Herhaal die argument met |µk₁| in die plek van |µ1|, dan geld ∞ X l=1 |µk1| [ n∈Nl Bkn ! ≤ |µk1| ∞ [ k=1 [ n∈Nl Bkn !! = |µk1| ∞ [ n=1 Bkn ! ≤ |µk1|(Ω).

Kies nou weer ’n deelry (Bklm) van (Bkl), l ≥ 2 sodanig dat

|µk₁| ∞ [ m=1 Bk_lm ! < 1.

Gaan nou voort op die bostaande manier en veronderstel (pr_{) ⊆ N is die ry met} p1= 1, p2= k1, p3= kl₁, . . . Dan geld dat

|µpr| ∞ [ s=r+1 Bps ! < 1,

1.4. DIE NIKOD ´YM BEGRENSDHEIDSTELLING 37

Vanuit die omgekeerde driehoeksongelykheid en ongelykhede 1.4.1 en 1.4.2, volg µp_r ∞ [ s=1 Bp_s ! = µp_r r−1 [ s=1 Bp_s ! + µp_r(Bp_r) + µp_r ∞ [ s=r+1 Bp_s ! ≥ |µp_r(Bp_r)| − r−1 X s=1 |µp_r(Bp_s)| − |µp_r| ∞ [ s=r+1 Bp_s ! ≥ (pr+ 1) − 1 = pr.

Gevolglik is sup_r|µp_r(S∞_s=1Bp_s) | = ∞, maar dit is ’n te¨espraak met die aanname dat sup_n|µn(E)| < ∞ vir alle E ∈ Σ.

Die volgende voorbeeld wys waarom die Nikod´ym begrensdheid stelling slegs vir ’n σ-algebra gegee word.

Voorbeeld 1.4.2. (Nikod´ym se begrensdheidstelling geld nie vir algebras nie)(Voorbeeld 5 p.18, [8])

Laat F die algebra van deelversamelings van N wees wat of self eindig is of ’n eindige komplement het. Vir elke n laat λn(E) = 1 as n ∈ E en λn(E) = 0 as n /∈ E, E ∈ F . Vir elke n definieer µn deur

µn(E) = (

n(λn+1(E) − λn(E)) as E eindig is n(λn(E) − λn+1(E)) _{as N\E eindig is}

Laat E ∈ F . Dan is E eindig of N\E is eindig.

1. As E eindig is dan is E = {n1, n2, . . . , nk} vir een of ander k ∈ N. Orden E s´o dat n1≤ n2≤ . . . ≤ nk. Dan is λi(E) = 1 vir i = n1, n2, . . . , nk en λ(E) = 0 as i > nk. Dus is sup_i|µi(E)| = sup_i|i(λi+1(E) − λi(E))| = nk < ∞. 2. As N\E eindig is, dan is N\E = {n1, n2, . . . , nk} vir een of ander k. Orden

N\E weer s´o dat n1≤ n2≤ . . . ≤ nk. Dan is λi(E) = 0 vir i = n1, n2, . . . , nk en λi(E) = 1 vir alle i > nk. Dus is µi(E) = i(λi(E) − λi+1(E)) = 0 vir alle i > nk. En dus is sup_i|µi(E)| = nk < ∞.

Dit wys dat sup_n|µn(E)| < ∞ vir alle E ∈ F . Die voorwaarde van Nikod´ym se stelling word dus bevredig. Maar as ons nou ’n ry versamelings (En) ⊆ F definieer deur En= {1, 2, . . . , n, 0, 0, . . .}, dan is elke En ’n eindige versameling en vir elke n is supk|µk(En)| = n. Gevolglik is supnsupk|µk(En)| = ∞ en dus ook supnsupE∈F|µn(E)| = ∞. Nikod´ym se begrensdheidstelling geld dus nie in hierdie

Onthou dat ons in afdeling 1.2 die versameling van meetbare funksies f : Ω → K deur M∞_{(F , K) aangedui het. Daar het ons M}∞(F , K) toegerus met die supremum norm kf k = sup{kf (ω)k : ω ∈ Ω}. Die trapfunksies S(Σ, K) is dig in M∞_{(F , K).}

Gevolg 1.4.3. (Gevolg 2 p.16, [8])

Laat {Ti : i ∈ I } ’n familie van begrensde lineˆere operatore van die meetbare funksies M(Σ, R) na X wees. As supi∈IkTiIEk < ∞ vir alle E ∈ Σ, dan is sup_i∈_I kTik < ∞.

In die besonder, as µ : Σ → R ’n maat is, en {Ti : i ∈ I } ’n familie van begrensde lineˆere operatore Ti : L∞(µ) → X is, dan is supi∈I kTik < ∞ as sup_i∈_I kTiIEk < ∞.

Bewys. Vir elke i ∈I en E ∈ Σ, stel νi(E) := TiIEsoos in die bewys van stelling 1.2.8. Dan is {νi : i ∈I } ’n familie van begrensde vektormate νi : Σ → X. Per aanname is sup_i∈_Ikνi(E)k < ∞ vir alle i ∈I en E ∈ Σ. Dus volgens Nikod´ym se begrensdheid stelling geld dat sup_i∈_Ikνik(Ω) < ∞. As Iν_i nou die integraal van afdeling 1.2 is, dan is Iν_i = Tien kIνik = kνik(Ω). Dus is

sup i∈I kTik = sup i∈I kIν_ik = sup i∈I kνik(Ω) < ∞.

As Y ’n Banach ruimte is dan word Y0 ⊆ Y ’n totale deelversameling van Y genoem as die span van Y0 dig in Y is. Die volgende resultaat wys dat ’n versamelingsfunksie wat swak begrens en swak additief is, ’n begrensde vektormaat is.

Gevolg 1.4.4. (Dieudonn´e-Grothendieck)(Gevolg 3 p.16, [8])

Beskou ’n totale deelversameling Ψ ⊆ X∗ en ’n versamelingsfunksie ν : Σ → X. As x∗ν ’n begrens en additief is vir elke x∗∈ Ψ, dan is ν ’n begrensde vektormaat. Bewys. As x∗ ∈ X∗ _{= spanΨ, dan bestaan daar ’n net (x}∗

i) ⊆ spanΨ sodaning dat x∗ = limix∗_i. Aangesien elke x∗₀ν, waar x∗₀ ∈ Ψ, begrens en eindig additief is, is elke x∗_iν ook begrens en eindig additief. Gevolglik, vir enige twee disjunkte versamelings E, F ∈ Σ, is x∗ν(E ∪ F ) = lim i x ∗ iν(E ∪ F ) = lim_i x ∗ iν(E) + lim_i x ∗ iν(F ) = x ∗_{ν(E) + x}∗_{ν(F ).}

Aangesien ons dit vir enige x∗∈ X∗_{kan doen, volg dat ν ’n vektormaat is. Volgende} sien ons dat

kνk(Ω) = sup x∗_∈B X∗ |x∗ν|(Ω) ≤ sup x∗_∈X∗ |x∗ν|(Ω).

Dus, as ons kan wys dat x∗ν begrens is vir elke x∗∈ X∗_{, dan volg vanuit die Ni-} kod´ym begrensdheid stelling dat sup_x∗_∈X∗|x∗ν|(Ω) < ∞ en dus dat ν ’n begrensde vektormaat is.

Beskou dus nou die versameling M = {x∗ ∈ X∗ _{: |x}∗_{ν|(Ω) < ∞}. Ons wys} dat M = X∗. Vanuit die eienskappe van die variasie van ’n vektormaat (proposisie 1.1.9) weet ons dat M ’n lineˆere versameling is. Tweedens is Ψ ⊆ M per aanname. Gevolglik is spanΨ ⊆ M . Maar spanΨ = X∗ in die swak∗ topologie, so M is ’n swak∗-digte deelversameling van X∗. Stel BM = {x∗∈ M : kx∗_{k ≤ 1} = BX}_∗_{∩ M .} Die versameling BX∗is konveks. Dus, as ons kan wys dat B_M swak∗-geslote is, volg

1.4. DIE NIKOD ´YM BEGRENSDHEIDSTELLING 39

vanuit die stelling van Krein-Smulian dat M swak∗-geslote is en dus dat M = X∗. Om te sien dat BM swak∗-geslote is, let ons op dat vir elke E ∈ Σ dit geld dat

sup x∗_∈BM

|x∗ν(E)| ≤ sup x∗_∈BM

kx∗kkν(E)k ≤ kν(E)k < ∞.

Volgens Nikod´ym se begrensdheid stelling bestaan daar ’n K < ∞ sodanig dat sup

x∗_∈BM sup E∈Σ

|x∗ν(E)| = K.

Laat (x∗_i) ⊆ BM ’n net wees sodanig dat limix∗i = x∗0 in die swak∗-topologie. Dan is kx∗₀k ≤ 1 en |x∗

0ν(E)| = limi|x∗iν(E)| ≤ K vir alle E ∈ Σ. Dus is

|x∗0ν|(Ω) = sup (Ei)∈DΣ r X i=1 |x∗0ν(E)| < ∞. Dit beteken x∗₀∈ M en kx∗

0k ≤ 1; dus x∗0∈ BM. Aangesien BM nou swak∗-geslote is volg M = X∗.

Die volgende toepassing van Nikodým se begrensdheid stelling sê dat as ’n begrensde lineêre operator in die meetbare funksies M_{∞(F , K) afbeeld en die indi-} katorfunksies in die beeld van die operator bevat is, dan is die beeld die hele ruimte M∞_{(F , K).}

Gevolg 1.4.5. (Seever)(Gevolg 4 p.17, [8])

As T : X → M_{∞(Σ, K) ’n begrensde lineˆere operator is en as {I}E: E ∈ Σ} in die beeld van T bevat is, dan is T X = M_{∞(Σ, K).}

Bewys. As f ∈ M_{∞(Σ, K), dan is f die gelykmatige limiet van ’n ry skalaar} Σ-trapfunksies (f_{n) ⊆ S(Σ, K). Sˆe} fn = r(n) X i=1 α(n)_i I_E(n) i .

Aangesien {IE : E ∈ Σ} ⊆ ranT , bestaan daar x(n)₁ , x(n)₂ , . . . , x(n)_r(n) sodanig dat T x(n)_i = I_E(n) i en dus is fn = r(n) X i=1 α(n)_i T x(n)_i = T   r(n) X i=1 α_i(n)x(n)_i  ∈ ranT,

want T is lineˆer enPr_i=1(n)α(n)_i x(n)_i ∈ X. Ons sien dus dat limn→∞fn = f ∈ ranT en dus volg dat M_{∞(Σ, K) = T X [[ die insluiting T X ⊆ M∞(Σ, K) geld altyd} want T : X → M∞_{(Σ, K) en ons het sopas gewys M}∞(Σ, K) ⊆ T X]]. Dus, as ons kan wys dat T X geslote is, dan volg dat T X = M∞_{(Σ, K).}

Maar ranT is geslote as en slegs as ranT∗ geslote is, waar T∗ : M_{∞(Σ, K)}∗→ X∗die toegevoegde operator van T is. Vanuit stelling 1.2.8 is M∞_{(Σ, K)}∗isomorf aan die ruimte van begrensde skalaarmate [[M∞_{(Σ, K)}∗ = L(M∞_{(Σ, K), K) is} isomorf aan die ruimte van alle begrensde mate µ : Σ → K volgens stelling 1.2.8 (vir skalaarmate is die variasie en semivariasie van die maat gelyk aan mekaar)]].

Neem in teenstelling aan dat T∗(M_{∞(Σ, K)}∗) nie geslote is nie. Ons wys nou dat ons ’n ry begrensde mate (µk) ⊆ M∞_{(Σ, K)}∗kan kry sodanig dat

lim

k→∞|µk|(Ω) = ∞ en kT

∗_{µkk = 1}

vir alle k. Aangesien T∗_(M_{∞(Σ, K)}∗_{) nie geslote is nie kan ons ’n ry (x}∗ n) ⊆ T∗_(M_{∞(Σ, K)}∗_{) kry wat konvergeer na ’n x}∗_{∈ X}∗_{, x}∗_{∈ T}_/ ∗_(M_{∞(Σ, K)}∗_{). Met an-} der woorde daar is ’n ry (µn) ⊆ M∞(Σ, K)∗sodanig dat (T∗µn) ⊆ T∗(M∞(Σ, K)∗, maar x∗ = limn→∞T∗µn ∈ T/ ∗(M∞(Σ, K)∗). Neem sonder verlies in algemeen- heid aan dat kx∗k = 1 en kT∗_µ

nk = 1 vir alle n. Neem aan (µn) is wel begrens in M_{∞(Σ, K)}∗, dan het (µn) ’n limietpunt, sˆe µ0, in die swak∗-topologie. Maar aangesien T per aanname lineˆer en begrens is, is T∗ swak∗-kontinu. Dus T∗µ0= T∗(limn→∞µn) = limn→∞T∗µn, maar dan is x∗ = T∗µ0 ∈ T∗_(M

∞(Σ, K)∗), ’n te¨espraak. Gevolglik is (µn_{) onbegrens. Dit impliseer dat daar vir elke k ∈ N ’n} nk is sodanig dat kµn_kk(Ω) ≥ k. Stel (µk) = (µn_k), dan kT∗µkk = 1 vir alle k en limk→∞|µk|(Ω) = ∞.

Nou as E ∈ Σ, dan is daar ’n x ∈ X sodanig dat T x = IE, want {IE : E ∈ Σ} ⊆ T X. Aangesien T∗ die toegevoegde operator is, volg dat

T∗µn(x) = µn◦ T (x) = µn◦ IE= µn(E) en dus is sup k |µk(E)| = sup k |T∗_µ k(x)| ≤ sup k kT∗_µ kkkxk = kxk < ∞.

Dus volgens Nikod´ym se begrensdheid stelling is sup_k|µk|(Ω) < ∞, ’n te¨espraak met die feit dat limk|µk|(Ω) = ∞. Die aanname dat T∗_(M

∞(Σ, K)∗) nie geslote is nie, is dus vals en gevolglik is T X = M_{∞(Σ, K).}

In document Vektorintegrasie met toepassings op stogastiese prosesse in Riesz ruimtes (pagina 42-48)