We geven eerst de rekenregels voor logaritmen en leggen daarna uit dat deze volgen uit de rekenregels voor machten.

(1)

Eigenschap 1(Rekenregels logaritmen).

Logaritme van een product:

log_𝑎(𝑥⋅ 𝑦) = log_𝑎𝑥+ log_𝑎𝑦 of, in woorden, de logaritme van een product is de som van de logaritmen.

of, in andere woorden, de som van logaritmen is het logaritme van het product.

Logaritme van een quotiënt:

log_𝑎 (𝑥

𝑦 )

= log_𝑎𝑥− log_𝑎𝑦

of, in woorden, de logaritme van een quotiënt is het verschil van de logaritmen.

of, in andere woorden, het verschil van logaritmen is het logaritme van het quotiënt.

Voor 𝑥 = 1 wordt dit log𝑎

(1 𝑦

)

= − log_𝑎𝑦 Logaritme van een macht:

log_𝑎(𝑥^𝑠) = 𝑠⋅ log_𝑎𝑥 Verandering van grondtal:

log_𝑎𝑥= log_𝑏𝑥 log_𝑏𝑎 Voor 𝑏 = 𝑥 wordt dit log𝑎𝑥= 1

log_𝑥𝑎

Uitleg 1(Rekenregels logaritmen).

Logaritme van een product:

De rekenregel voor het product van machten: 𝑏^𝑥⋅ 𝑏^𝑦= 𝑏^𝑥+𝑦. Stellen we 𝑥 = 𝑎^𝑟en 𝑦 = 𝑎^𝑠dan geldt:

log_𝑎(𝑥⋅ 𝑦) = log_𝑎(𝑎^𝑟⋅ 𝑎^𝑠) = log_𝑎(𝑎^𝑟+𝑠) = 𝑟 + 𝑠 Merk nu op dat 𝑟 = log_𝑎𝑥en 𝑠 = log_𝑎𝑦zodat:

log_𝑎(𝑥⋅ 𝑦) = log_𝑎𝑥+ log_𝑎𝑦

Logaritme van een quotiënt:

De rekenregel voor het quotiënt van machten: 𝑏^𝑥

𝑏^𝑦 = 𝑏^𝑥−𝑦. Stellen we 𝑥 = 𝑎^𝑟en 𝑦 = 𝑎^𝑠dan geldt:

log_𝑎 (𝑥

𝑦 )

= log_𝑎 (𝑎^𝑟

𝑎^𝑠 )

= log_𝑎𝑎^𝑟−𝑠= 𝑟 − 𝑠 Merk nu op dat 𝑟 = log_𝑎𝑥en 𝑠 = log_𝑎𝑦zodat:

log_𝑎 (𝑥

𝑦 )

= log_𝑎𝑥− log_𝑎𝑦.

(2)

Alternatieve verklaring (met rekenregels voor logaritme van product en macht):

log_𝑎 (𝑥

𝑦 )

= log_𝑎(𝑥⋅ 𝑦⁻¹) = log_𝑎𝑥+ log_𝑎(𝑦⁻¹) = log_𝑎𝑥− log_𝑎𝑦

Logaritme van een macht:

De rekenregel voor een macht van een macht luidt: (𝑏^𝑥)^𝑦= 𝑏^𝑥⋅𝑦. Stellen we 𝑥 = 𝑎^𝑟dan geldt:

log_𝑎(𝑥^𝑠) = log_𝑎(𝑎^𝑟)^𝑠= log_𝑎𝑎^𝑟⋅𝑠= 𝑟𝑠 Merk nu op dat 𝑟 = log𝑎𝑥zodat:

log_𝑎(𝑥^𝑠) = 𝑠⋅ log_𝑎𝑥

Verandering van grondtal: Stellen we 𝑥 = 𝑎^𝑟dan geldt:

log_𝑏𝑥= log_𝑏𝑎^𝑟= 𝑟⋅ log_𝑏𝑎 Merk nu op dat 𝑟 = log_𝑎𝑥zodat:

log_𝑏𝑥= log_𝑎𝑥⋅ log_𝑏𝑎 Als we dit herschrijven krijgen we:

log_𝑎𝑥= log_𝑏𝑥 log_𝑏𝑎

Voorbeeld 1(Basisvoorbeelden).

• log 4 + log 25 = log(4 ⋅ 25) = log(100) =2

• log84 =log₂4 log₂8 = 2

3

• log 16

log 2 = log₂16 =4

• log5125op 2 manieren

log₅125 = log₅(5⋅ 25) = log₅5 + log₅25= 1 + 2 =3.

log₅125 = log₅(5³) =3.

• log₂(32 4

)

=op 2 manieren log₂

(32 4

)

= log₂32 − log₂4= 5 − 2 =3

( )

(3)

• log₂4⁵op 2 manieren

log₂4⁵= 5⋅ log₂4= 5 ⋅ 2 =10.

log₂4⁵= log₂(2²)⁵= log₂2¹⁰ =10.

Waarschuwing 1(Veelgemaakte fouten). Bekijk grondig volgende uitdrukkingen:

1. log₅(20 + 5)≠ log520 + log₅5

Uitwerking: Een logaritme van een som, is niet gelijk aan de som van de logaritmen.

Wel geldt dat log520 + log₅5 = log₅(5⋅ 20) = log₅100

2. ln(20 + 5)≠ ln 20 ⋅ ln 5

Uitwerking: Een logaritme van een som, is niet gelijk aan het product van de logaritmen.

Kijk goed naar de regenregel Logaritme van een product voor de juiste regel.

3. log₅(30 − 5)≠ log₅30 log₅5

Uitwerking: Een logaritme van een verschil, is niet gelijk aan het quotiënt van de logaritmen.

Kijk goed naar de regenregel Logaritme van een quotiënt voor de juiste regel.

4. (log 10)³≠ 3 ⋅ log 10

Uitwerking: Verwar een logaritme van een macht niet met een macht van een logaritme. Het linkerlid is gelijk aan 1³= 1en het rechterlid gelijk is aan 3 ⋅ 1 = 3.

5. 2 ln𝑒 4 ≠ ln𝑒²

4

Uitwerking: Als je een factor die voor de logaritme staat, naar de exponent wilt brengen, moet je heel het argument van de logaritme verheffen tot die factor. Een veelgemaakte fout is enkel de teller kwadrateren in plaats van de hele breuk. De juiste gelijkheid is 2 ln𝑒

4 = ln((𝑒 4

)²)

= ln 𝑒² 16

In het algemeen kan je dus niet veel doen met de logaritme van een som (of verschil) (zie1,2en3).

Opmerking 1(Logaritmen met rekenmachine).

Eenvoudige rekentoestellen kennen soms enkel de functie ’log()’. Je kan hiermee log10(25)berekenen maar niet bijvoorbeeld log5(25). Je kan echter gebruik maken van de formule om van grondtal te veranderen zodat je log5(25)kan bereken alslog 25

log 5 .

Voorbeeld 2(Voorbeelden waarin verschillende rekenregels tegelijk gebruikt worden). • Schrijf de

(4)

uitdrukking 2 ⋅ log3𝑥− 3⋅ log₃𝑦+ 0.5⋅ log₃𝑧als één logaritme:

2⋅ log₃𝑥− 3⋅ log₃𝑦+ 0.5⋅ log₃𝑧= log₃(𝑥²) − log₃(𝑦³) + log₃(𝑧^0.5)

= log₃(𝑥²𝑧^0.5) − log₃(𝑦³)

= log₃

(𝑥²𝑧^0.5 𝑦³

)

= log₃ (𝑥²√

𝑧 𝑦³

) .

Hierbij hebben we eerst de rekenregel voor machten gebruikt, daarna de rekenregel voor product en tenslotte de rekenregel voor quotiënt.

• Op eenzelfde manier kunnen we de uitdrukking log¹

5

𝑥− log1 5

(𝑦𝑧) + 2 log1 5

𝑧herschrijven als één logaritme:

log1 5

𝑥− log1 5

(𝑦𝑧) + 2 log1 5

𝑧= log1 5

𝑥− log1 5

(𝑦𝑧) + log1 5

(𝑧²)

= log1 5

(𝑥𝑧²) − log1 5

(𝑦𝑧)

= log1 5

(𝑥𝑧² 𝑦𝑧

)

= log1 5

(𝑥𝑧 𝑦

) .

Opnieuw hebben we gebruik gemaakt van de rekenregel voor machten, de rekenregel voor product en de rekenregel voor quotiënt, in deze volgorde, vooraleer de breuk binnen de logaritme te vereenvoudigen.

• We berekenen de waarde van log₂3 − log₂12zonder gebruik te maken van een rekentoestel. We kunnen dat doen door gebruik te maken van de quotiëntregel:

log₂3 − log₂12 = log₂( 3 12

)

= log₂(1 4 )

= log₂(2⁻²) = −2.

Een alternatieve manier gebruikt de productregel:

log₂3 − log₂12 = log₂3 − log₂(3⋅ 4) = log₂3 − log₂3 − log₂4

= − log₂(2²) = −2.

• Veronderstel dat gegeven is dat log 𝑥 = 2.4 en dat log 𝑦 = −1.1. We berekenen nu log(√

𝑥⋅ 𝑦³) . Dit kan gebeuren op twee manieren.

Eerst gebruiken we de betekenis van de logaritme om 𝑥 en 𝑦 te bepalen: 𝑥 = 10^2.4en 𝑦 = 10^−1.1. Dan geldt:

(5)

Anderzijds kunnen we gebruik maken van de rekenregels van logaritmen om de gegeven formule te herschrijven als een uitdrukking in log 𝑥 and log 𝑦:

log(√

𝑥⋅ 𝑦³ )

= log(

𝑥^0.5⋅ 𝑦³)

= log(𝑥^0.5) + log(𝑦³)

= 0.5⋅ log 𝑥 + 3 ⋅ log 𝑦

= 0.5⋅ 2.4 + 3 ⋅ (−1.1) = 1.2 − 3.3 = −2.1.

• We herschrijven de uitdrukking log_𝑎

√ 𝑦𝑧²

𝑎𝑥 in functie van log_𝑎𝑥, log_𝑎𝑦en log_𝑎𝑧, weer door gebruik te maken van de rekenregels:

log_𝑎

√ 𝑦𝑧²

𝑎𝑥 = log_𝑎 (𝑦𝑧²

𝑎𝑥 )0.5

= 0.5 log_𝑎 (𝑦𝑧²

𝑎𝑥 )

= 0.5⋅(

log_𝑎(𝑦𝑧²) − log_𝑎(𝑎𝑥))

= 0.5⋅(

log_𝑎𝑦+ 𝑙𝑜𝑔_𝑎(𝑧²) − log_𝑎𝑎− log_𝑎𝑥)

= 0.5⋅(

− log_𝑎𝑥+ log_𝑎𝑦+ 2 log_𝑎𝑧− 1) .

We schrijven eerst de vierkanstwortel als een macht, passen dan de rekenregel voor machten toe, vervolgens de regel voor quotiënt, de regel voor product en nogmaals de regel voor macht.