Uitleggen door analogie en context

Uitleggen door analogie en context

S.L.Kemme

V a k g r o e p W i s k u n d e

R i j k s u n i v e r s i t e i t G r o n i n g e n

Summary

In the introduction of mathematical concepts and activities the role played by realistic situations (contexts) is still increasing.

However, the effects of embodiments in contexts are very different and unpredictable. Three similar contexts are analysed with respect to their suggested analogies to formal, symbolic operations. The effects of these contexts upon pupils' learning have also been investigated. As a result some reasons are given that mighl explain the differences.

1. Inleiding

H e t g e b r u i k v a n r e a l i s t i s c h e c o n t e x t e n begint gemeengoed te w o r d e n b i j de o n t w i k k e l i n g v a n het r e k e n - en w i s k u n d e o n d e r - w i j s . V a n z e l f s p r e k e n d ontstaan daarbij nieuwe d i d a k t i s c h e p r o - b l e m e n .

G o f f r e e c.s. (1988) signaleren het p r o b l e e m van sluiproutes die ontstaan b i j de intr oductie v a n b e w e r k i n g e n met negatieve g e t a l l e n aan de h a n d v a n situaties b i n n e n c o n t e x t e n . O n d e r sluiproutes verstaan ze ongewenste, b l i n d uitgevoerde v e r k o r t i n - gen d i e niet gedragen w o r d e n d o o r i n z i c h t vanuit praktische e r v a r i n g e n o f t h e o r e t i s c h e b e s c h o u w i n g e n . T e r e c h t plaatst B r o e k m a n (1989) de nodige vraagtekens b i j h u n b e s c h o u w i n g e n . H i j vraagt z i c h a f of: "negatieve getallen en de rekenregels d i e gelden i n het formele systeem (Z,+,.) te k r i j g e n z i j n vanuit de a a n g e r e i k t e contexten, o f alleen op te leggen door een i n t e r - p r e t a t i e aan m i n g e t a l l e n te geven." N a a r m i j n idee raakt h i j hiermee é é n v a n de kernvragen over het gebruik van contexten i n het w i s k u n d e o n d e r w i j s .

In relatie met deze problematiek w o r d e n i n d i t a r t i k e l drie situaties v a n contextgebruik geanalyseerd: de heks en het t r e i n - tje ( b e w e r k i n g e n m e t negatieve getallen) en de w e e g s c h a a l (oplossen v a n l i n e a i r e v e r g e l i j k i n g e n ) . Deze voorbeelden z i j n o n t l e e n d aan M o d e r n e W i s k u n d e , b r u g k l a s d e e l , 4e e d i t i e en tweede klas deel, 5e editie.

In het b i j z o n d e r zal i k me r i c h t e n op de volgende vragen:

1. Waarom is de heks w è l een effectieve context en het treintje niet?

2. H o e treden v e r k o r t i n g e n op b i j het leren oplossen v a n l i n e a i - re v e r g e l i j k i n g e n vanuit de weegschaal en wat z i j n de v e r - s c h i l l e n d a a r i n tussen atheneum-2 en m a v o - 2 leerlingen?

2. Analogie en context

O n d e r een context verstaat m e n i n het a l g e m e e n de situatie w a a r i n een w i s k u n d i g probleem w o r d t gepresenteerd. K l a s s i e k is het voorbeeld van de w o o r d p r o b l e m e n b i j het traditionele r e k e n - o n d e r w i j s . B i j een realistische context is de situatie g e ë n t op i n de realiteit herkenbare feiten. H e t begrip realiteit heeft h i e r i n een wat ruimere betekenis d a n g e b r u i k e l i j k (Treffers). D e feiten h o e v e n niet f y s i s c h correct te z i j n . D e situatie moet voor de leerling voldoende realiteitswaarde hebben. D a t k a n dus ook een sprookjeswereld z i j n .

H e t doel van d i t contextgebruik is heel v e r s c h i l l e n d . C o n t e x - ten k u n n e n tot doel hebben o m de leerlingen v e r t r o u w d te m a - ken met het hanteren v a n w i s k u n d e i n praktijksituaties. In dat geval is de praktische waarde v a n de context essentieel. C o n t e x - ten k u n n e n echter ook tot doel hebben een leeromgeving voor de leerlingen te bieden voor de o n t w i k k e l i n g v a n algemene w i s - k u n d i g e b e g r i p p e n en t e c h n i e k e n . D e realiteitswaarde is dan geen essentieel punt. H e t gaat er veel meer o m dat de l e e r l i n g een d e n k m o d e l k r i j g t a a n g e r e i k t dat v o l d o e n d e r i j k is v a n structuur en w a a r i n de leerling z i c h voldoende k a n i n l e v e n . H e t is de bedoeling dat leerlingen geconfronteerd w o r d e n met s i t u a - ties die voor hen vanzelfsprekend en aanvaardbaar z i j n .

D i t geschetste onderscheid i n functies v a n contexten is geen strikt onderscheid. M e t name i n de rekendidactiek k u n n e n beide functies samenvallen.

In d i t a r t i k e l zal i k me beperken tot contexten w a a r i n het accent ligt op de b e g r i p s v o r m i n g . D e L a n g e (1987) noemt d i t contexten van de derde soort. V o o r a l i n de fase van b e g r i p s v o r - m i n g van de w i s k u n d e wordt veel waarde gehecht aan het g e - b r u i k v a n contexten (Treffers en G o f f r e e , 1985). H e t w i s k u n d i g begrip o f w i s k u n d i g model o n t w i k k e l t z i c h aan de hand v a n een context.

Sommige contexten b l i j k e n w e l het gewenste effect te h e b - ben, b i j andere b l i j k t dat gewenste effect niet te w o r d e n gerea-

liseerd. O o k b l i j k e n leerlingen heel v e r s c h i l l e n d te reageren. M e t name ligt de vraag voor o f z w a k k e leerlingen w e l zoveel baat hebben b i j het g e b r u i k v a n contexten. O f ze niet b l i j v e n steken i n het verhaaltje en daarmee niet voldoende aan de w i s k u n d i g e essentie toekomen.

In de gekozen voorbeelden w o r d e n gefantaseerde denkbeeldige s i t u a t i e s g e p r e s e n t e e r d . H e t gaat o m een h e k s , tr ei n tj es e n b a l a n s e n . Situaties d i e l e e r l i n g e n i n w e r k e l i j k h e i d niet z u l l e n tegenkomen. Je k u n t echter rekenen met negatieve getallen "net zo als de heks dat doet met blokjes" o f "zoals dat met treintjes gaat". Je lost v e r g e l i j k i n g e n "net zo op als met weegschalen".

H e t g e b r u i k v a n het k o p p e l w o o r d 'als' geeft aan dat a n a l o g i e ë n h i e r i n een b e l a n g r i j k e r o l spelen.

Analogie is een veelgebruikt m i d d e l tot uitleg w a a r b i j n i e u w e , onbekende zaken v e r k l a a r d w o r d e n aan de hand v a n bekende.

H i e r b i j v i n d t overdracht van kennis over de ene, bekende s i t u a - tie plaats naar de andere, nieuwe situatie. P o l y a (1945) w e r k t een aantal w i s k u n d i g e p r o b l e m e n u i t die door m i d d e l v a n a n a l o - gie m e t andere b e k e n d e , reeds opgeloste p r o b l e m e n , k u n n e n w o r d e n aangepakt. H i j concentreert z i c h vooral op a n a l o g i e ë n b i n n e n het w i s k u n d i g e p r o b l é e m o p l o s s e n . A n a l o g i e ë n w o r d e n d a a r b i j gekenmerkt door het aanwijzen o f herkennen v a n o v e r - eenkomsten tussen verschillende situaties. K e r n v a n het o p l o s - singsproces is het herkennen v a n deze overeenkomst tussen een v e r t r o u w d e , b e k e n d e en een n i e u w e , o n b e k e n d e s i t u a t i e en v e r v o l g e n s het toepassen v a n d i e overeenkomst i n de nieuwe situatie.

D a v i d P i m m (1987) geeft een o m s c h r i j v i n g van analogie v a n u i t een t a a l k u n d i g e i n v a l s h o e k . H e t verschijnsel 'metafoor' speelt h i e r i n een belangrijke r o l . D e metafoor is de taalkundige u i t - d r u k k i n g w a a r b i j de analogie wordt overgedragen. In " h i j brieste als een leeuw" w o r d e n de briesende, a f s c h r i k w e k k e n d e e i g e n - schappen v a n een leeuw op de persoon i n kwestie overgedragen.

B i j een dergelijke overdracht v a n eigenschappen w o r d t het hele bijbehorende semantische veld overgedragen, i n c l u s i e f de o n d e r - l i g g e n d e s t r u c t u u r tussen de eigenschappen en de associatieve samenhangen.

A l s a a n v u l l i n g op het a n a l o g i e - b e g r i p b i n n e n de w i s k u n d e van P o l y a , hanteert P i m m het idee van de buiten-wiskunde metafoor.

Daarmee w o r d e n metaforen bedoeld d i e w i s k u n d i g e i d e e ë n en processen proberen u i t te leggen en te interpreteren i n termen

van gebeurtenissen uit de o m g e v i n g s w e r e l d . D o e l is h i e r echter ook o m los te k o m e n van de metafoor. Dat k a n gebeuren door de grenzen van de metafoor té bepalen, door te laten zien w e l k e e i g e n s c h a p p e n niet v a n toepassing z i j n i n de n i e u w e situatie.

M a a r ook door te laten zien dat het maar o m een metafoor gaat.

A l s voorbeeld van b u i t e n - w i s k u n d i g e metafoor noemt P i m m onder meer de weegschaal o m v e r g e l i j k i n g e n te leren vereenvoudigen.

D e z e b e s c h r i j v i n g v a n b u i t e n - w i s k u n d i g e m e t a f o o r l i j k t b i j uitstek geschikt o m het gebruik van contexten b i j w i s k u n d i g e b e g r i p s v o r m i n g te analyseren.

A n a l o g i e ë n z i j n dus a s y m m e t r i s c h e r e l a t i e s tussen twee s i t u a t i e s . Z e s u g g e r e r e n een o v e r e e n k o m s t tussen een meer bekende en een m i n d e r bekende situatie. D o o r de analogie treedt er overdracht van kennis op i n é é n r i c h t i n g : van een v e r t r o u w - de, aanvaarde situatie naar een onbekende o f n i e u w e situatie.

O p v a l l e n d is het g e b r u i k v a n k o p p e l w o o r d e n . Z e leggen de v e r b i n d i n g tussen de twee werelden en t e g e l i j k e r t i j d w e r k e n ze als een signaal dat de analogie niet letterlijk bedoeld is, dat het maar o m een analogie gaat. V e r g e l i j k b i j v o o r b e e l d de z i n : "een v e r g e l i j k i n g is zoiets als een weegschaal" met "een v e r g e l i j k i n g is een weegschaal". In de eerste z i n k o m t naar v o r e n dat b e - paalde eigenschappen van de weegschaal w é l en andere niet op v e r g e l i j k i n g e n van toepassing z i j n . In de tweede z i n treedt een identificatie op tussen v e r g e l i j k i n g en weegschaal. N u z i j n alle eigenschappen van weegschaal van toepassing op ' v e r g e l i j k i n g ' . V e r g e l i j k d i t met: "een v e r g e l i j k i n g is een f o r m u l e met een = - t e k e n erin." H i e r i n w o r d e n v e r g e l i j k i n g e n g e ï d e n t i f i c e e r d met formules met een speciale eigenschap.

H e t g e b r u i k v a n k o p p e l w o o r d e n geeft dus een d u i d e l i j k e b e p e r k i n g aan de overdracht van betekenissen van weegschaal naar v e r g e l i j k i n g . Welke eigenschappen precies z u l l e n w o r d e n o v e r g e d r a g e n z a l sterk v a n de s i t u a t i e a f h a n g e n w a a r i n de a n a l o g i e is g e p r e s e n t e e r d , v a n de associaties d i e l e e r l i n g e n hebben met 'weegschalen' en van het vermogen van l e e r l i n g e n om het gebruik van k o p p e l w o o r d e n i n deze z i n te interpreteren ( V a n D o r m o l e n , 1987).

Samengevat: b i j het leren van nieuwe begrippen door m i d d e l van een context spelen a n a l o g i e ë n een belangrijke r o l . B i n n e n de context z i j n a n a l o g i e ë n het v e r w i j z i n g s m i d d e l van de v e r t r o u w d e w e r e l d (de context) naar nieuwe onbekende feiten en begrippen.

D e a n a l o g i e ë n gaan daarmee functioneren als een v e r k l a r i n g s -

m i d d e l . Dat is de kracht van a n a l o g i e ë n i n een u i t l e g . Z o a l s de bewegingen i n het zonnestelsel v e r k l a a r d k u n n e n w o r d e n aan de hand van een tekening met c i r k e l s , zo k u n n e n b i n n e n het w i s - k u n d e o n d e r w i j s de c o n t e x t e n f u n c t i o n e r e n als m o d e l l e n d i e v e r k l a r i n g e n leveren voor nieuwe onbekende b e g r i p p e n .

3 . De heks en het treintje in Moderne Wiskunde

D e eerste k e n n i s m a k i n g met negatieve getallen doet een sterk beroep op het voorstellingsvermogen van l e e r l i n g e n . In de dage- lijkse o m g e v i n g hebben n a t u u r l i j k e getallen een hoeveelheids- è n een o r d e n i n g s - b e t e k e n i s ( c a r d i n a a l - en o r d i n a a l - g e t a l l e n ) . B i j o p t e l l e n en a f t r e k k e n v a n n a t u u r l i j k e g e t a l l e n k u n n e n deze b e t e k e n i s s e n a f z o n d e r l i j k v a n b e l a n g z i j n . Z o k a n o p t e l l e n corresponderen met toevoegen en samenvoegen, o f met d o o r t e l - len. In de eerste twee gevallen is vooral de hoeveelheidsbeteke- nis v a n b e l a n g , i n het laatste g e v a l is de ordeningsbetekenis essentieel. B i j het aftrekken treedt iets soortgelijks op. A f t r e k - k e n k a n z i j n : wegnemen o f v e r g e l i j k e n ( v e r w i j z e n d naar h o e - veelheden) respectievelijk terugtellen ( v e r w i j z e n d naar posities op de getallenlijn). O o k b i j v e r m e n i g v u l d i g e n k u n n e n v e r w i j z i n - gen naar hoeveelheid en o r d e n i n g optreden. 3x2 k a n betekenen:

het getal 2 en dat 3 keer. D e factor 3 is een aantal i n die z i n , dat h i j aangeeft hoe op de (hoeveelheid) 2 te opereren.

D i t is o o k zo als de v e r m e n i g v u l d i g i n g op de g e t a l l e n l i j n w o r d t weergegeven: 3 keer (een aantal) 2 plaatsen naar rechts.

In een v e r m e n i g v u l d i g i n g s t a b e l v e r w i j s t 3 x 2 naar posities: 3 v e r t i k a a l en 2 horizontaal geeft 6 op het k r u i s p u n t .

B e l a n g r i j k is dat b i j gebruik van n a t u u r l i j k e getallen i n de o m g e v i n g s w e r e l d , beide betekenissen (hoeveelheid en o r d e n i n g ) k u n n e n optreden, door elkaar, i n afwisseling en ondersteuning van elkaar. B e i d e betekenissen k u n n e n functioneren als v e r k l a - r i n g s m i d d e l : 3x2 = 6 vanwege het herhaalde o p t e l l e n , 3x2 = 2x3 vanwege de symmetrie i n de v e r m e n i g v u l d i g i n g s t a b e l . Deze b e - gripsmatige v e r a n k e r i n g i n de o m g e v i n g s w e r e l d draagt b e l a n g - r i j k b i j aan het vermogen o m z i c h getallen voor te stellen.

O m voor negatieve getallen voldoende v e r a n k e r i n g i n de o m - gevingswereld te realiseren ligt het voor de hand om ook nega- tieve getallen i n te voeren aan de hand van diverse contexten uit de omgevingswereld: beneden de zeespiegel, temperatuur, de z a k r e k e n m a c h i n e , de b a n k r e k e n i n g , de voetbaltabel, de getallen- l i j n en f i g u r e n i n een c o ö r d i n a t e n s t e l s e l (zie M o d e r n e W i s k u n d e ) .

H i e r i n z i j n de ordenings-betekenis en de positieve en negatieve h o e v e e l h e i d s - b e t e k e n i s terug te v i n d e n . E e n v e r s c h i l met de n a t u u r l i j k e g e t a l l e n is echter dat negatieve h o e v e e l h e d e n i n wezen positieve hoeveelheden in contrast met andere positieve h o e v e e l h e d e n z i j n . S c h u l d is een p o s i t i e v e h o e v e e l h e i d , het negatieve aspect van schuld komt alleen maar aan de orde als s c h u l d geplaatst w o r d t i n contrast met bezit. N e g a t i e f heeft i n dat contrast a l t i j d de betekenis van ' m i n d e r ' te z i j n dan p o s i - tief. In deze z i n z i j n h o e v e e l h e i d - en ordenings-betekenis b i j negatieve getallen o n a f s c h e i d e l i j k met elkaar v e r w e v e n . ' N e g a - tieve h o e v e e l h e i d ' is een begrip dat afgeleid is van 'positieve hoeveelheid' en komt alleen maar voor i n een o r d e n i n g s - r e l a t i e met positieve hoeveelheden. In de verschillende genoemde c o n - texten is dit i n meerdere o f mindere mate terug te v i n d e n . B i j zeespiegel en t e m p e r a t u u r is v o o r a l het o r d e n i n g s a s p e c t van b e l a n g , b i j b a n k r e k e n i n g en voetbaltabel vooral het negatieve hoeveelheidsaspect.

H e t vervelende is echter dat de transformatie van positieve naar negatieve hoeveelheden niet i n alle situaties te m a k e n is.

H e e l d u i d e l i j k is d i t b i j 'aantal' als k e n m e r k van een herhaalde , h a n d e l i n g . Je kunt 3 keer hetzelfde doen (bijv. 2 e r b i j tellen), je

k u n t aan -3 keer hetzelfde doen geen betekenis geven. H i e r d o o r v e r l i e s t het herhaald optellen z i j n verklarende waarde b i j het v e r m e n i g v u l d i g e n , wanneer de operator tenminste negatief is.

3 x - 2 is n a t u u r l i j k w e l vanuit het herhaalde optellen te v e r k l a r e n . D o o r de context van de heks wordt een kunstmatige wereld ge- c r e ë e r d w a a r i n het optellen en aftrekken met negatieve getallen aanvaardbaar en voorstelbaar w o r d e n gemaakt.

H e t v e r m e n i g v u l d i g e n van negatieve getallen wordt uitgelegd aan de hand van het treintje. E r z i j n twee soorten l o c o m o t i e - ven: positieve en negatieve. De positieve staan met hun voorkant naar rechts, de negatieve staan naar l i n k s . 3 x .... betekent dat het betreffende treintje v o o r u i t r i j d t , -3 x .... betekent dat het betreffende treintje achteruit r i j d t . 3 x - 2 is dus: het negatieve t r e i n t j e legt 3 keer de afstand 2 v o o r u i t af, -3 x - 2 is: het negatieve treintje legt 3 keer de afstand 2 achteruit af.

In de p r a k t i j k b l i j k t de h e k s - c o n t e x t a a n z i e n l i j k beter te w e r k e n d a n de t r e i n t j e s c o n t e x t . L e e r l i n g e n g e b r u i k e n w e l de h e k s e n c o n t e x t als v e r k l a r i n g s m i d d e l b i j het u i t r e k e n e n v a n o p g a v e n ( G o f f r e e , 1986), maar niet de t r e i n t j e s c o n t e x t . B i j navraag b i j een aantal leraren b l i j k t dat leerlingen vooral p r o -

hekserij?

17 We gaan op bezoek bij een heks, die in een grote ketel een vreemd drankje klaarmaakt. Ze heeft wonderlijke blokjes om de temperatuur in die ketel te regelen.

Ze gebruikt warme blokjes die niet afkoelen en koude blokjes die niet smelten.

AJs er evenveel warme als koude blokjes in de ketel zitten, is de temperatuur in de ketel 0 ° . Gooit ze er nu bijvoorbeeld 8 warme blokjes bij, dan zal de

temperatuur 8 ° worden. Als het recept van het i drankje aangeeft dat de temperatuur 5 graden moet I

dalen, dan gooit ze er 5 koude blokjes in. I

a De temperatuur i n de ketel is — 4 ° .

De heks doet er 6 warme blokjes bij. ' D e temperatuur w o r d t . . .

b De temperatuur in de ketel is 8 ° . De heks gooit er 10 koude blokjes in.

De temperatuur w o r d t . . .

c D e temperatuur in de ketel is — 2 ° . De heks gooit er 3 koude blokjes in.

De temperatuur w o r d t . . .

blemen hebben met het idee van negatieve treinen die achteruit r i j d e n ( Z i e ook: G o f f r e e , 1986). D e c o m b i n a t i e is te i n g e w i k k e l d en vraagt teveel uitleg die nog meer v e r w a r r i n g schept. A l l e e n sterke leerlingen hebben i n de gaten dat je het 'abstract moet b e k i j k e n ' . V e r m e n i g v u l d i g i n g e n met negatieve getallen w o r d e n , ondanks de aanwezigheid van een context, direct met de formele hulpregels ' m i n x m i n = plus' enz., uitgevoerd. O o k i n het recent verschenen 'Tegengesteld' ( G o f f r e e , B u y s , e.a. 1989), w o r d e n de p r o b l e m e n met de treintjescontext gesignaleerd. H e t omzetten naar de voorbeeldsituatie vraagt o m nogal wat 'vertaal'regels.

D a t is m e r k w a a r d i g omdat er zo op het eerste gezicht geen d i d a c t i s c h v e r s c h i l tussen beide contexten valt te bespeuren. H e t betreft i n beide gevallen bedachte, kunstmatige situaties w a a r b i j de notatie z i c h kan o n t w i k k e l e n als een adekwate b e s c h r i j v i n g van die situaties. Gedetailleerde analyse van de analogie geeft echter een heel ander beeld. De opgave - 2 - (-3) laat z i c h i n de heksensituatie als volgt interpreteren:

— ^{- 4}

~-2

Ë

— -0

1

—1

i \

—4

— M

li

-

t

{negatief blokje wegnemen

t e m p e r a t u u r in de ketel

Deze interpretatie b l i j f t d i c h t b i j de g e b r u i k e l i j k e ' w e g n e e m ' - interpretatie van a f t r e k k i n g e n en b i j de interpretatie van t h e r - mometersommen. H e t enige v e r s c h i l is de introductie van nega- tieve blokjes. H e l e m a a l o n b e k e n d hoeft d i t niet voor leerlingen te z i j n . K a m p e e r - k o e l b o x e n w o r d e n g e b r u i k e l i j k gekoeld door het toevoegen van koude koelblokjes. De interpretatie van ( - 2 ) x ( - 3 ) i n de treintjescontext ligt veel verder weg.

(-2) K (-3)

<••• • |- t

I t r e i n t ie r i j d t a f s t a n d 3 a c h t e r u i t !

i i 'lerhaling

aantal keer

t r e i n t j e ' k i j k t ' naar l i n k s

D e i n g e w i k k e l d h e i d van deze v e r t a l i n g is o n v e r m i j d e l i j k en hangt ten nauwste samen met de interpretatie van het x - t e k e n . In de betekenis van het x - t e k e n als h e r h a l i n g , staat het x - t e k e n voor het aantal keer dat iets herhaald moet w o r d e n . D o o r d a t er n u een negatief getal staat wordt de v e r w a c h t i n g gewekt dat er een n e g a t i e f aantal z o u moeten staan. H e t aantal-begrip laat z i c h echter niet transformeren tot negatieve aantallen. In de context w o r d t dat opgelost als een combinatie van een treintje dat de andere kant ' u i t k i j k t ' en een aantal. D i t is niet i n overeenstem- m i n g met wat je zou verwachten.

E x t r a m o e i l i j k h e i d is nog dat niet d u i d e l i j k is waarom een t r e i n t j e dat naar rechts wijst positief genoemd w o r d t en een t r e i n t j e dat n a a r l i n k s w i j s t negatief. B i j het v e r t a l e n v a n p o s i t i e f e n n e g a t i e f naar rechts en l i n k s gaat de e s s e n t i ë l e eigenschap v e r l o r e n dat positief meer is dan negatief.

V e r g e l i j k e n we beide contexten met b e t r e k k i n g tot analogie

dan zien we een b e l a n g r i j k v e r s c h i l . In de heksencontext w o r d t geprobeerd de betekenis v a n het a f t r e k k e n v a n positieve g e t a l - len als temperatuursverandering door het wegnemen v a n blokjes, d o o r a n a l o g i e o v e r te dragen op het a f t r e k k e n v a n negatieve getallen. D o o r d a t positieve temperatuur naar negatieve t e m p e r a - tuur k a n w o r d e n getransformeerd en positieve warmte naar n e - gatieve warmte, slaagt de analogie. In de treintjescontext w o r d t geprobeerd de betekenis v a n het v e r m e n i g v u l d i g e n v a n positieve g e t a l l e n als het h e r h a a l d v e r p l a a t s e n v a n een t r e i n t j e , d o o r analogie over te dragen op het v e r m e n i g v u l d i g e n v a n negatieve g e t a l l e n . D o o r d a t e c h t e r ' a a n t a l h e r h a l i n g e n ' z i c h n i e t laat t r a n s f o r m e r e n tot 'negatief aantal h e r h a l i n g e n ' , moet een toe- v l u c h t w o r d e n genomen tot een andere interpretatie en gaat de analogie v e r l o r e n . V o o r w a a r d e voor het slagen v a n een analogie is k e n n e l i j k het intact laten v a n de begripsstructuur.

4. De weegschaal in Moderne Wiskunde

H e t formele letterrekenen w o r d t i n het algemeen ervaren als é é n v a n de belangrijkste k n e l p u n t e n i n het w i s k u n d e o n d e r w i j s op l b o / m a v o n i v e a u . A l g e m e e n k e n m e r k is een mechanistisch a l g o - r i t m i s c h e aanpak w a a r b i j l e e r l i n g e n w o r d e n g e t r a i n d i n het oplossen v a n formele w i s k u n d i g e p r o b l e m e n . L e e r l i n g e n k u n n e n f o r m e l e o p g a v e n oplossen v o l g e n s s t r i k t e regels. H e t hoe en w a a r o m v a n deze regels b l i j f t voor hen duister. D e z e w i s k u n d e is voor hen een mysterieus spel met s y m b o l e n waarvan de z i n hen ontgaat. H e t is kennis zonder i n z i c h t , d i e i n het algemeen w e i n i g wendbaar is.

T o c h is het b e d r i j v e n v a n w i s k u n d e ondenkbaar zonder f o r - mele technieken. D i e technieken k o m e n op alle niveaus voor. H e t rekenen met letters is er é é n v a n . In de brochure ' V a a r d i g h e d e n ' ( V a n D o r m o l e n , e.a. 1975) w o r d t vaardigheid o msch re v e n als routine d i e met i n z i c h t gepaard gaat. D a t betekent dat l e e r l i n - gen i n r e d e l i j k e t i j d adekwaat en intentioneel k u n n e n handelen i n situaties d i e b e t r e k k e l i j k n i e u w z i j n . D i t geeft een o m s c h r i j - v i n g v a n het leerdoel v a n het o n d e r w i j s dat z i c h met het v e r - w e r v e n v a n v a a r d i g h e d e n b e z i g h o u d t . D e v r a a g b l i j f t welke leerstof h i e r v o o r geschikt is. D e brochure f o r m u l e e r t h i e r v o o r de volgende c r i t e r i a : de leerstof moet voldoende aansluiten b i j de beginsituatie, moet doelgericht z i j n en moet voldoende variatie b i e d e n .

V a n u i t de theorie v a n de cognitieve psychologie geeft D a v i s

(1984) aan dat de leerling aan de hand van de leerstof i n staat moet z i j n om een geschikte representatie van de handeling op te b o u w e n . E e n representatie is de georganiseerde kennis van de leerling r o n d o m het p r o b l e e m v e l d die leidt tot een doelgerichte h e r k e n n i n g van de p r o b l e m e n , van waaruit i d e e ë n over o p l o s - s i n g s s t r a t e g i e ë n w o r d e n g e l e v e r d en die de l e e r l i n g i n staat stellen de v e r w o r v e n informatie te v e r w e r k e n .

In de gangbare wiskundemethodes worden de eerste stappen v a n het l e t t e r r e k e n e n doorgaans gezet aan de h a n d v a n het oplossen van lineaire v e r g e l i j k i n g e n . De vraag doet z i c h voor o f d i t een geschikte keuze is in het licht van de h i e r b o v e n ge- schetste c r i t e r i a . E r z i j n uiteraard meer motieven die de keuze van ' v e r g e l i j k i n g e n ' i n de onderbouw rechtvaardigen. B i j v o o r - beeld het aspect van het horizontaal mathematiseren: een realis- t i s c h e s i t u a t i e l e r e n w e e r g e v e n i n een f o r m e e l s y m b o l i s c h e gedaante. B i j de w i s k u n d i g e didactische analyse van ' v e r g e l i j k i n - gen' zal ik me echter concentreren op het aspect van het r e k e - nen met letters.

H e t idee van v e r g e l i j k i n g e n sluit goed aan b i j de ' s t i p ' - s o m - men waarmee leerlingen in het basisonderwijs hebben k e n n i s - gemaakt. De vraag daarbij is welk getal op een stip moet w o r - den gezet om een som k l o p p e n d te k r i j g e n . In die z i n is er een goede a a n s l u i t i n g b i j de b e g i n s i t u a t i e v a n b r u g k l a s l e e r l i n g e n mogelijk. V e r g e l i j k i n g e n geven haast van nature goede m o g e - l i j k h e d e n voor een d u i d e l i j k e d o e l g e r i c h t e aanpak: het gaat immers om het v i n d e n van een onbekend getal. L i n e a i r e v e r g e - l i j k i n g e n k o m e n in vele verschillende typen voor: met o f zonder b r e u k e n , met negatieve o p l o s s i n g e n , z o n d e r oplossingen, alle getallen als oplossing, v e r g e l i j k i n g e n met alleen +-tekens, v e r - g e l i j k i n g e n i n de gedaante = 0,... D i t gegeven biedt zeer veel mogelijkheden tot variatie.

Biedt het onderwerp ook voldoende m o g e l i j k h e d e n voor de leerlingen om een eigen adekwate representatie van het o p l o s - singsproces op te bouwen? Centraal bij het oplossen van v e r - g e l i j k i n g e n staat het idee om links en rechts van het =-teken dezelfde b e w e r k i n g toe te passen. O p z i c h is het niet zo m o e i - l i j k om leerlingen deze handelingen bij te brengen. G e b r u i k e l i j k gebeurt dit door de bewerkingen: 'getallen naar rechts en letters naar l i n k s brengen'. D i t is een formeel symbolische manipulatie volgens strikte regels, waarbij op geen enkele manier zichtbaar b l i j f t op welke w i j z e de g e l i j k w a a r d i g h e i d van de v e r g e l i j k i n g e n

b l i j f t bestaan. V a n een kale uitleg van dit algoritme o m tot een oplossing te k o m e n , kan dan ook alleen maar verwacht w o r d e n dat die een formeel symbolische betekenis geeft aan het o p l o s - singsproces en aan de oplossing. V a n u i t een d i d a c t i s c h standpunt is d i t zeer ongewenst. ' V e r g e l i j k i n g e n oplossen' is é é n v a n de basisvaardigheden v a n de w i s k u n d e die i n de meest uiteenlopende typen v e r g e l i j k i n g e n te pas komt. U i t l e g i n alleen f o r m e e l s y m - bolische betekenis zal leiden tot een groot aantal verschillende a l g o r i t m e n , v o o r elk type v e r g e l i j k i n g een ander. E e n omvattend c o n c e p t zal ontbreken. D i t zal leiden tot gefragmenteerde r e - ceptmatige handelingen, waarbij het zicht op de basisvaardigheid zal o n t b r e k e n . In de eigen constructies van een adekwate r e p r e - sentatie zal de o n t w i k k e l i n g van omvattende basisconcepten v a n ' v e r g e l i j k i n g ' en ' v e r g e l i j k i n g oplossen' dus een b e l a n g r i j k e rol moeten spelen.

D e basisvaardigheid ' v e r g e l i j k i n g oplossen' zal z i c h k u n n e n o n t w i k k e l e n volgens de volgende vragen:

- wat is een v e r g e l i j k i n g ?

- wat is een oplossing van een v e r g e l i j k i n g ? - hoe los je een v e r g e l i j k i n g op?

D e z e v r a g e n staan niet los van elkaar. D e betekenis van een v e r g e l i j k i n g w o r d t mede bepaald door wat je ermee k u n t d o e n , dus door de oplossing en het oplossingsproces. D e vragen hebben een sterke onderlinge samenhang. D o o r de keuze van een ge- schikte context moet het m o g e l i j k z i j n deze vragen g e l i j k t i j d i g en i n samenhang actueel te m a k e n .

In M o d e r n e W i s k u n d e (hoofdstuk 4, deel 2, 5e editie) w o r d t de weegschaalcontext g e b r u i k t om v e r g e l i j k i n g e n te leren v e r - e e n v o u d i g e n . D o e l van de uitleg is het k u n n e n herleiden van lineaire v e r g e l i j k i n g e n tot een gedaante w a a r i n je de oplossing zo ziet zitten. H e t gaat om v e r g e l i j k i n g e n van het type:

3x - 12 = 4 - 5.x.

D e getallen en de c o ë f f i c i ë n t e n v o o r x k u n n e n ook b r e u k e n z i j n . In het voorbeeld wordt l i n k s en rechts 5x b i j de v e r g e l i j - k i n g opgeteld:

8* - 12 = 4

D e v e r g e l i j k i n g kan nu worden opgelost door op de plaats van

8 x een bordje te denken en je af te vragen wat daar voor getal op zou moeten staan om de zaak k l o p p e n d te k r i j g e n . Dat levert d i r e k t dat 8x = 16 en dus x =2. H e t is ook m o g e l i j k o m é é n stap verder te gaan door l i n k s en rechts 12 b i j de v e r g e l i j k i n g op te tellen. O o k dat levert 8 x = 16.

A l s er b r e u k e n i n de v e r g e l i j k i n g v o o r k o m e n , w o r d t eerst een getal opgespoord waarmee l i n k e r - en rechterkant k u n n e n w o r - den v e r m e n i g v u l d i g d o m de breuken k w i j t te r a k e n .

7 In de vergelijking 5.x + 2 = 2.x •+- 14 komt de veranderlijke (in dit geval .x) links én rechts van het gelijkleken voor.

De bordjes manier van Marian helpt nu niet meteen.

In z o n geval kunnen we de waarmaker van de vergelijking vinden met behulp van een weegschaal.

Op de linkerschaal staan 5 gewichtjes van .x gram en een gewicht van 2 gram. Op de rechterschaal staan

2 gewichtjes van ,x gram. één van 10 gram en twee Het gelijkleken

gewichtjes van 2 gram. De weegschaal is in evenwicht.

De weegschaal blijft in evenwicht als je aan beide kanten evenveel weghaalt of erbij doet.

beide fomta\

-gewichtjes wnxqram

weg

D o o r v e r g e l i j k i n g e n op te vatten als een symbolische weergave v a n de w e e g s c h a a l s i t u a t i e met o n b e k e n d e g e w i c h t e n , w o r d t o n m i d d e l l i j k d u i d e l i j k wat de oplossing is en hoe je die k u n t v i n d e n . Wat b i j de plaatjes gebeurt, is o n m i d d e l l i j k terug te v i n d e n i n de v e r g e l i j k i n g e n . D o o r de analogie rnet de weegschaal w o r d t verwezen naar een bestaande situatie w a a r i n die b e w e r - k i n g e n vanzelfsprekend z i j n . Het evenwicht moet gehandhaafd b l i j v e n en dat kan alleen maar gebeuren door de l i n k e r en de rechterschalen op dezelfde wijze te veranderen. O o k het zoeken van een o p l o s s i n g is heel v a n z e l f s p r e k e n d : het gaat o m het bepalen van het gewicht van een onbekend v o o r w e r p . H o e w e l de leerlingen w a a r s c h i j n l i j k nog nooit met een weegschaal hebben gewerkt, is deze situatie v o l k o m e n d u i d e l i j k voor hen en heeft geen v e r d e r e u i t l e g n o d i g . Z e k a n dus f u n c t i o n e r e n als een

v e r k l a r i n g s m i d d e l voor het b e t r e k k e l i j k n i e u w e v e r s c h i j n s e l v a n v e r g e l i j k i n g e n .

D e context v a n de weegschaal bevat meer regels dan n o d i g z i j n voor een adekwate o n t w i k k e l i n g van het algoritme. Z o k u n je b i j een weegschaal ook zoveel elementen toevoegen tot l i n k s en rechts p r e c i e s h e t z e l f d e op de schalen staat. Het l i n k s en rechts toegevoegde moet d a n o o k g e l i j k aan elkaar z i j n . D a t l e v e r t een n i e u w e s i t u a t i e op d i e soms o o k d i r e k t is op te lossen. In het boek komt deze situatie eenmaal i n een opgave voor.

55 Leonie moet de vergelijking 5 • (* + 1) = 3 • .x + 13 oplossen. Eerst gaat ze herleiden:

5-x + 5 = 3-x+ 13

Ze vindt dat een vergelijking wel wat op een weegschaal lijkt: de 5 gewichtjes van x gram plus nog 5 gram zijn net zo zwaar als de 3 gewichtjes van x gram plus nog 13 gram.

Ze denkt: als aan beide kanten dezelfde gewichtjes liggen, is de weegschaal ook in evenwicht.

Daarom legt ze links 8 gram bij en rechts 2 gewichtje van x gram.

T o e n ze dat deed zei ze: 'Ik zie het al, de waarmaker van de vergelijking is 4.'

K l o p t haar antwoord? Hoe heeft ze het gevonden?

E e n d e r g e l i j k e aanpak heeft echter geen weerspiegeling i n de g e b r u i k e l i j k e formele aanpak o m een v e r g e l i j k i n g op te lossen.

H e t is dus geen wonder dat de auteurs hier niet op doorgaan.

A l l e e n de regels uit de context w o r d e n gepresenteerd die r e l e - vant z i j n voor de o n t w i k k e l i n g van het formele analogon.

In een volgende fase zal de analogie moeten w o r d e n losgela- ten. H e t gaat i m m e r s o m v e r g e l i j k i n g e n , niet o m weegschalen. D e m e t h o d e kiest voor een g e l e i d e l i j k e overgang. E r k o m t steeds meer nadruk op de v e r g e l i j k i n g e n te liggen en de bijbehorende plaatjes v e r d w i j n e n u i t e i n d e l i j k . E r is é é n o g e n b l i k w a a r i n de grenzen van de analogie e x p l i c i e t aan de orde w o r d e n gesteld.

N i e t iedere v e r g e l i j k i n g laat z i c h consistent interpreteren als een situatie op een weegschaal. D e v e r g e l i j k i n g 5x + 8 = 3x + 2 laat z i c h interpreteren als een weegschaal met l i n k s 5 z a k k e n met x k n i k k e r s en 8 losse en rechts 3 z a k k e n met x k n i k k e r s en 2 losse k n i k k e r s . De oplossing x = -3 is echter rechtstreeks i n s t r i j d met een i n t e r p r e t a t i e van een weegschaal. D e methode

neemt daarmee afstand v a n de weegschaalcontext e n legt het accent op het oplossen v a n v e r g e l i j k i n g e n :

"We hoeven niet altijd aan echte zakken met knikkers te den- ken. De weegschaalmethode betekent alleen : doe steeds links en rechts van het gelijkleken hetzelfde."

B i j v e r g e l i j k i n g e n met negatieve c o ë f f i c i ë n t e n is zelfs de rechtstreekse i n t e r p r e t a t i e d o o r een weegschaal a l n i e t meer m o g e l i j k . Plaatjes met weegschalen k o m e n d a n niet meer voor.

W e l b l i j f t de notatie gehandhaafd waarbij l i n k s en rechts de b e w e r k i n g op o f binnen een v e r g e l i j k i n g w o r d t aangegeven.

23 In de vergelijking 3x + 2 = —2.x 4- 12 komt de ^ " ^ - f 2

veranderlijke ,x zowel links als rechts voor. ~^-2x -IX.

Marijke wil het minteken uit de vergelijking -C~~$óc-hl = wegwerken.

f • •

Zij telt links en rechts hetzelfde op. In dit geval 2*.

Kijk maar naar het blaadje hiernaast, a Los de vergelijking 5.x + 2 = 12 op.

b Controleer de gevonden waarmaker in de vergelijking 3x + 2 = -2.x 4- 12

B i j het g e l i j k n a m i g maken v a n breuken i n een v e r g e l i j k i n g en het w e g w e r k e n v a n de breuken door links en rechts met e e n - zelfde getal te v e r m e n i g v u l d i g e n , gaat deze methode niet meer op. D e leerlingen w o r d e n daarmee feitelijk gedwongen deze los te laten en te verkorten tot een rechtstreekse aanpak waarbij i n gedachten de b e w e r k i n g e n dienen te w o r d e n uitgevoerd en alleen het resultaat wordt opgeschreven.

Samengevat zien we dat de context v a n de weegschaal v o l - doende mogelijkheden moet bieden tot het o p b o u w e n v a n een a d e k w a t e representatie v a n het o p l o s s i n g s p r o c e s v a n lineaire v e r g e l i j k i n g e n . Deze representatie bestaat uit een progressieve o p b o u w v a n een analogie tussen een weegschaal en het formele o p l o s s i n g s p r o c e s . E r is een b i j n a visuele overeenkomst tussen plaatjes van weegschalen en v e r g e l i j k i n g e n . Het =-teken f u n c t i o - neert h i e r i n als een symbool voor evenwicht. D i t gegeven geeft een direkte sturing van en v e r k l a r i n g voor de handeling v a n het vereenvoudigen door links en rechts hetzelfde te doen.

5. Treinen in de klas

T o t zover is alleen vanachter het bureau naar de verschillende contextsituaties gekeken. H e t wordt tijd o m ook eens te zien hoe dat i n de klas toegaat. Helaas is er geen materiaal b e s c h i k -

baar over de heks i n de klas. In d i t v e r b a n d k u n n e n we alleen m a a r v e r w i j z e n naar de observaties van G o f f r e e (1986), waar A n n e m a r i e i n een b i j l e s s i t u a t i e op heel n a t u u r l i j k e w i j z e de heksencontext als v e r k l a r i n g s m i d d e l hanteert.

In het volgende lesfragment komt de treintjes-context aan de orde.

K l a s : B r u g k l a s , m a v o , havo,atheneum.

M e t h o d e : M o d e r n e W i s k u n d e , 4 de editie.

T h is de docent.

Het h u i s w e r k was opgave 38 t / m 43.

De antwoorden van opgave 38 z i j n door de leerlingen beurtelings voorgelezen.

1. T h : Opgave 39. Dat ging over dat negatieve treintje, daar w e r d gevraagd o m i n een tekening d u i d e l i j k te m a k e n hoe je -3 x - 2 uit k u n t rekenen. H o e heb je dat gedaan R e m c o ?

2. R : E h j a , je s c h r i j f t het gewoon als 3 x 2 .

3. T h : H o e heb je dat getekend? Je moest er een t e k e n i n g b i j m a k e n .

4. R : Dat heb i k niet.

5. T h : D a t staat er t o c h [leest voor]: " M a a k een t e k e n i n g waaruit je de uitkomst van deze v e r m e n i g v u l d i g i n g k u n t aflezen." M e t behulp van zo'n treintje.

6. R : Dat heb i k niet gedaan.

7. T h : Sandra?

8. S: [onverstaanbaar]

9. T h : Ik zal hem tekenen. [Pakt geodriehoek, tekent g e t a l l e n - l i j n op het b o r d , geroezemoes.]

O K . M a r g r i e t , hoe heb je het gedaan? [Verbetert de t e k e n i n g op a a n w i j z i n g e n van de leerlingen.] Ja. O K , iedereen even z i j n m o n d d i c h t .

10. M : Ik heb er een treintje ingetekend.

11. T h : Ja. [Tekent op het bord.]

12. Wat voor treintje is het?

13. M : [onverstaanbaar]

14. T h : Welke kant staat de voorkant op? D i e kant? [wijst naar rechts.] H i j gaat naar links h è , -3 x - 2 [wacht]. [Naam]

zegt dat er - 6 u i t k o m t , -3 x - 2 . Wie is het daar niet mee eens? Ja? [Naam]

15. A : 6.

bord

• i i i i i i i i r i " i i t i i ; ' i i i

-9-S -7-6 -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 S 9

16. T h : Hoe heb je het getekend dan?

17. A : Ik heb het niet getekend, maar 3x2 is 6 en het is twee keer m i n .

18. T h : J a w e l , maar dat heb je nog niet gehad.

19. A : M i j n vader z e i , m i n , m i n is plus. [onverstaanbaar]

20. T h : Ja maar dat doe je b i j optellen en a f t r e k k e n , maar dit is v e r m e n i g v u l d i g e n . [Naam]

21. B : Ik dacht -3 naar l i n k s en dan - 2 keer de andere kant opdoen.

22. T h : [Wacht] Wat komt er dan uit? Je zegt het een beetje onhandig. Ja?

23. C : M o e t m i n keer m i n plus z i j n ?

24. T h : Ja dat klopt w e l maar dat k r i j g je straks pas, dat heb j e n i e t g e h a d , het is de v r a a g hoe je dat met dat t r e i n t j e moest t e k e n e n . A l s j e n o u 3 x - 2 h a d , hoe tekende je dat? M e t dat treintje? [wacht] Ja?

25. D : [onverstaanbaar]

26. T h : J a . D a t g i n g dus 3 k e e r , d a n g i n g het m i n - t r e i n t j e vooruit. [Tekent p i j l e n i n de figuur.] E n als je nou -3 x - 2 hebt ,wat zou je dan doen H a r o l d ?

27. H : D a n gaat ie de andere kant op.

28. T h : D a n rijdt ie achteruit, inderdaad. D i t treintje r i j d t 3x2 achteruit. D a n k o m je b i j 6 terecht. Ja? [Wacht, k i j k t rond] Is dat d u i d e l i j k ? Wie heeft daar nog vragen over?

[Geen reacties] O K , dan doen we er gewoon nog eentje.

A l s ik - 2 x -4 heb.

[Schrijft - 2 x -4 op het bord] Peter! Wat k r i j g je dan?

29. P: -8 achteruit.

30. T h : -8 achteruit?

31. P: N o u , hij gaat naar - 8 . 32. T h : H i j gaat naar - 8 , - 2 x - 4 ?

33. P: O h , 8.

34. T h : H i j r i j d t inderdaad 2x4 achteruit. D u s [tekent 2 pijlen]:

Ja? G o e d laten we naar som 40 k i j k e n . Z i e n o f je dat wel goed gedaan hebt.

[ L e e r l i n g e n lezen beurtelings de goede a n t w o o r d e n op tot opgave k. Deze opgave k r i j g t een nadere uitleg. ]

35. T h : Wat heb je uit -4 x - i ? 36. E : D i e heb i k niet.

37. T h : A l s je die met het treintje doet, wat doet die dan?

38. E : A c h t e r u i t .

39. T h : Hoe vaak gaat die achteruit?

40. E : Ja dat weet i k niet.

41. T h : Wie kan me dat vertellen? [Wacht] A l f o n s misschien?

42. A l f : Som k ? 43. T h : Ja som k.

44. A l f : -1

45. T h : - 1 ? [Wacht]. O K , w i e is het daar niet mee eens? R i t a ? 46. R i : [onverstaanbaar]

47. T h : E r komt 1 u i t , j a . H o e k u n je dat, als je dat nog niet zo k u n t , hoe k u n je dat met het treintje doen dan?

K i j k er staat -4 keer A l s het tweede getal negatief is, g e b r u i k je het negatieve treintje. Ja? H e t positieve treintje g e b r u i k je als het tweede getal positief was. Je hebt dus een afstand van {. E r staat - 4 keer }, dus h i j gaat 4 keer i achteruit. N o u waar k o m t die dan re- tort]

I I ) I I I I I .' [ I I I -' I 1 ! I " i i

-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 3 9

48. R e : 49. T h :

recht? R e m c o ? E h , - 6 .

Nee i k heb het nog steeds over de letter k.

50. F : 1.

51. T h : 1, j a . O K .

[ E r is w e i n i g aandacht tijdens de uitleg. D e les gaat verder met de behandeling van opgave 41.]

We zien dat hier regelmatig sprake is van de door G o f f r e e c.s. (1988) geschetste sluiproutes. L e e r l i n g e n k o m e n er g e w o o n - weg niet toe -3 x - 2 uit te rekenen met behulp van treintjes (zie uitspraken 2, 17, 23). Hetzelfde geldt voor andere opgaven van deze v o r m . T i j d e n s de uitleg van de docent met behulp van treintjes verslapt de aandacht. L e e r l i n g e n die een beurt k r i j g e n weten niet meer over welke som het e i g e n l i j k gaat (42, 48). H e t is d u i d e l i j k dat i n deze les de treintjescontext niet w e r k t . L e e r - lingen hanteren b i j dit soort opgaven de bekende formele regels (2, 17, 19, 23). T r o u w e n s , ook de docent herleidt het p r o b l e e m tot een v e r m e n i g v u l d i g i n g met positieve getallen (28, 47). D e weg tot d i t resultaat is echter lang en i n g e w i k k e l d . M e t name de stap naar het links ' k i j k e n d e ' treintje b i j -3 x - 2 neemt v e e l t i j d ( 1 4 - 2 9 ) . D i t is v o l l e d i g i n overeenstemming met de theoretische analyse. Het is geen wonder dat de leerlingen de v o o r k e u r geven aan een k o r t e r e weg d i e ook tot het goede resultaat leidt.

6. V e r g e l i j k i n g e n i n klas 2 M a v o en A t h e n e u m

D e Chr.Scholengemeenschap de Waezenburg in L e e k is een school voor m a v o , havo en v w o . De brugklas is gemeenschappelijk voor alle l e e r l i n g e n . Pas aan het e i n d v a n de b r u g k l a s v i n d t een selectie plaats naar de drie schooltypen. Dat betekent dat alle leerlingen hetzelfde w i s k u n d e p r o g r a m m a volgen i n de brugklas.

D a a r b i j wordt gebruik gemaakt van de methode M o d e r n e W i s - k u n d e , 4e editie. O o k i n de tweede klas volgen de leerlingen hetzelfde w i s k u n d e p r o g r a m m a , hoewel ze dan in verschillende schooltypen zitten. D a a r b i j wordt gebruik gemaakt van M o d e r n e W i s k u n d e , 5e e d i t i e . D e z e methode streeft een i n z i c h t e l i j k e o p b o u w v a n het oplossen v a n v e r g e l i j k i n g e n na v a n u i t een c o n t e x t r i j k e aanpak zoals i n paragraaf 4 is geschetst. O m na te gaan wat het effect is van een dergelijke aanpak op de v e r - s c h i l l e n d e schooltypen, z i j n de situaties vergeleken tussen een m a v o - en een a t h e n e u m k l a s , b i j é é n leraar en b i j hetzelfde onderwerp. In beide klassen is een les op de v i d e o opgenomen.

D i t materiaal is v e r w e r k t in protocollen.

Wat allereerst o p v a l t is het verschil in tempo tussen mavo en atheneum. D e atheneum-les v o n d plaats op 11 december, de m a v o - l e s op 9 j a n u a r i . R e k e n i n g houdend met de kerstvakantie, is d i t een v e r s c h i l v a n r u i m twee weken ( « 6 lessen). O o k i n het protocol is d i t v e r s c h i l i n tempo terug te v i n d e n . D e behandeling van opgave 25 a t / m f duurt b i j de atheneum klas 8 m i n u t e n , b i j de m a v o - k l a s duurt de behandeling v a n 25 c t / m f c i r c a 10 m i n u t e n . Opgave 28 a t / m f neemt b i j atheneum 5 m i n u t e n , b i j mavo 13 m i n u t e n . In beide klassen laat de docent de gemaakte h u i s w e r k o p g a v e n door leerlingen op het b o r d s c h r i j v e n . In de atheneum-klas volgt een korte controle e n , i n d i e n n o d i g , korte toelichting door de docent. In de m a v o - k l a s w o r d t iedere u i t - w e r k i n g n o g eens v o l l e d i g nabesproken. O p v a l l e n d is o o k dat veel m a v o - l e e r l i n g e n de opgave v e r k e e r d uit het boek hebben o v e r g e s c h r e v e n . D i t komt i n totaal 4 keer voor. H o e w e l deze verkeerd opgeschreven opgaven toch goed w o r d e n opgelost, kost het uiteraard extra t i j d o m ook nog de o o r s p r o n k e l i j k e opgave te behandelen.

Tussen beide klassen is geen significant verschil in het aantal gemaakte fouten i n de door leerlingen op het b o r d geschreven opgaven ( « 25%). Wel o p v a l l e n d is het verschil in de gehanteerde oplossingsmethode. In de m a v o - k l a s w o r d e n 80% v a n de gepre- senteerde opgaven opgelost met behulp v a n de ' w e e g s c h a a l ' - en de 'bordjes'-methode. B i j de atheneum-klas is dat 30%. K a r a k - teristiek voor d i t v e r s c h i l z i j n de volgende u i t w e r k i n g e n .

MAVO Atheneum

- 7z + 2 = - 9z + 10 + 92 + 9 z 2z + 2 = 1 0

- 7 z + 2 = - 9 s - 22 + 2 = - 10

z = - 6

0

IJ z = 4

B i j de 'weegschaal'-methode komt de weegschaal zélf niet meer ter sprake. D e oplossingsmethode ziet er f o r m e e l u i t , w a a r b i j de toe te voegen o f a f te halen elementen consequent onder het

l i n k e r en r e c h t e r l i d van de v e r g e l i j k i n g w o r d e n geschreven. U i t het p r o t o c o l valt a f te l e i d e n dat de r e c h t e r - u i t w e r k i n g een v e r k o r t i n g is v a n de l i n k e r . R e g e l m a t i g treedt v e r w i j z i n g op naar het i n gedachten l i n k s en rechts erbij tellen v a n e l e m e n - ten, i n gedachten proberen te bepalen w e l k getal op een b e p a a l - de plaats hoort te staan. D e volgende fouten i n de A t h e n e u m - klas z i j n m o g e l i j k een gevolg van te snelle v e r k o r t i n g :

7 + 2lx = 6 —> 2lx = 6 3 = 3x - 6 — > lx = - 9 2x + 1 = 13 —> 2x = 13:2 = 7

Slechts é é n keer komt de weegschaal e x p l i c i e t aan de orde. Dat gebeurt i n de atheneum-klas als de docent uitlegt waarom je een v e r g e l i j k i n g met breuken mag vereenvoudigen door die l i n k s en rechts met 18 te v e r m e n i g v u l d i g e n .

1. R i j : M a a r goed, waarom ga je nu alles keer 18 doen? D a n ben je al die b r e u k e n k w i j t .

2. N : Ja.

3. R i j : M a g dat zomaar?

4. O: Waarom niet?

5. P: Ja.

6. Q: Je hebt w el een hele andere v e r g e l i j k i n g .

7. R i j : Je hebt w el een hele andere v e r g e l i j k i n g , dat w e l j a . M a g dat zo maar?

8. O: Ja.

9. P: Ja w e l beide.

10. R i j . - Wat zeg je?

11. P: A l s je beide met 18 v e r m e n i g v u l d i g t w e l .

12. R i j : Ja hoe beide, hoe beide? Waar v e r g e l i j k e n we dat ook weer mee zo'n v e r g e l i j k i n g ?

M e t een weegschaal h é . [Tekent op het bord.]

13. P: Ja je hebt beide evenveel bijgebracht.

bord

14. R i j : A l s hier iets opstaat en daar staat iets op en i k maak die 18 keer zo groot en i k maak d i e 18 keer zo groot, b l i j f t er d a n e v e n w i c h t ?

15. Q : J a . 16. U : J a .

17. R i j : J a h é . D u s dat mag?

18. V : N e e . 19. R i j : Nee?

20. V : O p é é n voorwaarde.

21. R i j : O p é é n voorwaarde.

22. V : A l s je [onverstaanbaar]

23. R i j : U i t e r a a r d [onverstaanbaar] maar dat is z o , k i j k maar daar staat een =-teken, h è .

24. W: H a ! H a ! H a !

G e z i e n de reacties v a n de leerlingen is er niet zoveel behoefte aan deze uitleg. Z e z i j n al zo v e r t r o u w d met het idee dat j e v e r g e l i j k i n g e n mag veranderen door l i n k s en rechts hetzelfde te d o e n , dat het vanzelfsprekend is dat dat ook geldt voor v e r m e - n i g v u l d i g e n . Z e hebben dat w a a r s c h i j n l i j k ook al gewoon gedaan, h o e w e l dat n o g niet e x p l i c i e t i n de methode aan de orde is gesteld.

Samengevat zien we dat de weegschaal-analogie functioneert als een v e r k l a r i n g s m i d d e l ter introductie van een algoritme v o o r het oplossen v a n lineaire v e r g e l i j k i n g e n . H e t functioneert niet als v e r k l a r i n g s m i d d e l achteraf, maar als m i d d e l w a a r b i j de v a n - zelfsprekende regels w o r d e n overgedragen op een n i e u w g e c r e - ë e r d e f o r m e e l - s y m b o l i s c h e w e r e l d . Is d i t eenmaal b e r e i k t , d a n w o r d t het m i d d e l losgelaten en o n t w i k k e l e n nieuwe regels z i c h vanzelf, naar analogie v a n reeds bestaande, b i n n e n deze n i e u w e o m g e v i n g .

V e r s c h i l l e n tussen a t h e n e u m - en m a v o - l e e r l i n g e n z i j n er niet i n de mate w a a r o p het m i d d e l w o r d t losgelaten. W e l z i j n er a a n z i e n l i j k e v e r s c h i l l e n geconstateerd i n de s n e l h e i d waarop v e r k o r t i n g e n i n de o n t w i k k e l d e p r o c e d u r e s optreden w a a r b i j m a v o - l e e r l i n g e n langer een visuele v o r m hanteren d i e r e c h t - streeks verwijst naar de weegschaal.

7. Conclusies

D e bestudeerde contexten vertonen sterke overeenkomsten met e l k a a r . Z e h e b b e n a l l e d r i e b e t r e k k i n g op een gefantaseerde

w e r e l d . H e t z i j n alledrie contexten ter introductie v a n formele begrippen en notaties. H e t doel is v a n het begin a f aan o m de c o n t e x t los te laten. H e t visuele aspect speelt een b e l a n g r i j k e rol i n de presentatie. Desondanks zien we grote v e r s c h i l l e n i n effect:

- de h e k s e n c o n t e x t en de weegschaalcontext hebben w e l een verklarende waarde b i j de formeel symbolische handelingen, - de treintjescontext heeft geen verklarende waarde.

A l s m o g e l i j k e v e r k l a r i n g voor de verschillen tussen de heks en de weegschaal enerzijds en het treintje anderzijds hebben we geconstateerd dat de vertalingen v a n de formele notatie naar de context i n beide situaties nogal v e r s c h i l l e n . B i j de h e k s e n - c o n t e x t en de w e e g s c h a a l c o n t e x t z i j n de g e b r u i k e l i j k e i n t e r - pretaties v a n de s y m b o l e n i n de context terug te v i n d e n . B i j de treintjescontext is dat niet het geval. D e context leidt niet op een vanzelfsprekende manier tot de andere gewenste i n t e r p r e - tatie v a n de s y m b o l e n . Z o onstaat de situatie dat de i n t e r p r e t a - tie v a n de s y m b o l e n zélf aangepast dient te w o r d e n v ó ó r d a t een vertaling naar de context betekenis k a n hebben. O p een beteke- n i s - n i v e a u laat analyse v a n de g e b r u i k t e a n a l o g i e ë n b i j de treintjescontext zien dat er te w e i n i g structurele overeenstem- m i n g is en dat de ' v e r t a a i ' - p r o b l e m e n dus o n v e r m i j d e l i j k z i j n b i j deze keuze v a n context.

V a n m a v o - l e e r l i n g e n zou j e verwachten dat ze langer gebruik b l i j v e n m a k e n van de weegschaal-analogie b i j het oplossen van v e r g e l i j k i n g e n dan van atheneum leerlingen. Dat verschil is niet terug te v i n d e n i n de geobserveerde klassen. B i j beide groepen speelt de analogie geen expliciete r o l meer b i j het oplossen. D e toegepaste algoritmes z i j n voor beide groepen f o r m e e l - s y m b o l i s c h van karakter. A l l e e n treden b i j de atheneum leerlingen sneller v e r k o r t i n g e n op i n de algorithmes en w e r k e n ze doelgerichter naar de oplossing toe.

Literatuur

B r o e k m a n , H . (1989) Sluiproutes o f alternatieve wegen? Tijd- schrift voor Didactiek der Ji-wetenschappen, 7, 1, 61-12.

D a v i s , R . B . (1984) Learning Mathematics, N e w Y o r k : R o u t l e d g e . D o r m o l e n , J . v a n , e.a. (1975) Vaardigheden, U t r e c h t : Nederlandse

V e r e n i g i n g v a n Wiskundeleraren.

D o r m o l e n , J.van (1987) M e t a f o r e n als t a a l k u n d i g h u l p m i d d e l b i j het l e r e n v a n w i s k u n d e , Tijdschrift voor Didactiek der fi- wetenschappen, 5, 1, 1-15.

G o f f r e e , F . (1986) A n n e m a r i e , de e r e d i v i s i e , een heks en de N S , Euclides, 62, 4, 9 7 - 1 0 3 .

G o f f r e e , F . , J . V e d d e r & K . B u y s (1988) Sluiproutes door r e a l i s - tische l e e r g a n g e n - o n g e w e n s t e v e r k o r t i n g e n , Tijdschrift voor Didactiek der ]i-wetenschappen, 6, 1, 5 - 2 3 .

G o f f r e e , F . , K . B u y s , e.a. (1989) Tegengesteld, B a a r n : B e k a d i d a c t . L a n g e , J . de (1987) Mathematics, Insight and Meaning, U t r e c h t :

O W & O C .

P i m m , D . (1988) Speaking Mathematically, L o n d o n : R o u t l e d g e &

K e g a n P a u l .

P o l y a , G . (1945) How to solve it, P r i n c e t o n : P r i n c e t o n U n i v e r s i t y Press.

T r e f f e r s , A . & F . G o f f r e e (1985) R a t i o n a l A n a l y s i s o f R e a l i s t i c M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n . In: L.Streefland ( E d . ) . Proceedings of the Ninth International Conference for the Psychology of Mathematics Education, U t r e c h t : O W & O C .