Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2019-2020: eerste ronde

1. In een eenrichtingsstraat zijn vijf genummerde parkeerplaatsen zoals in de figuur. Op plaats 1 staat een Xerxedes, op plaats 3 een Yundaj. Elke auto die in de straat wil parkeren, komt van links en parkeert in de eerste vrije parkeerplaats die hij tegenkomt.

X Y

1 2 3 4 5

Het volgende doet zich voor: eerst parkeert een Audit, daarna parkeert een BTW. Nadien rijdt de Yundaj weg, gevolgd door de BTW. Tot slot parkeert een Limo¨en. Hoe staan de auto’s uiteindelijk?

(A) X A L

1 2 3 4 5

(B) X L A

1 2 3 4 5

(C) X L A

1 2 3 4 5

(D) X L A

1 2 3 4 5

(E) X A L

1 2 3 4 5

2. Brad, Leonardo, Antonio, Matt, Julia, George en Angelina staan op een rij.

Brad fluistert 643152 in het oor van Leonardo. Leonardo, Antonio, Matt, Julia en George veranderen elk ´e´en cijfer van het getal dat in hun oor gefluisterd wordt, en fluisteren dat nieuwe getal in het oor van de volgende in de rij. Welk van de volgende getallen kan Angelina onmogelijk te horen krijgen?

(A) 983666 (B) 847324 (C) 613880 (D) 152643 (E) 643152

3. Gebruik alle getallen van 1 tot en met 9 precies

´e´en keer om het volgende schema aan te vullen. Welk getal komt op de plaats van het vraagteken?

+ =

=

: =

×

− ? =

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw 2020c

4. Welke van de volgende uitspraken is waar?

(A) 6,4· 10¹⁶ is 2⁸ keer 3,2· 10⁸

(B) 6,4· 10¹⁶ is het kwadraat van 3,2· 10⁸ (C) 6,4· 10¹⁶ is het dubbele van 3,2· 10⁸ (D) 6,4· 10¹⁶ is 2· 10⁸ keer 3,2· 10⁸ (E) 6,4· 10¹⁶ is 320 000 000 keer 3,2· 10⁸

5. Mieke, Lotte, Jef, Leo en Fleur zijn de vijf kinderen van Stijn. Stijn heeft in totaal 15 kleinkinderen. Mieke is de tante van 13, Lotte de tante van 12, Jef de nonkel van 11 en Leo de nonkel van 10 van die kleinkinderen. Hoeveel kinderen heeft Fleur?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

6. Hoeveel congruente kubussen moet je minimaal aan de constructie toevoegen om de ruimtelijke kronkel te sluiten door de kubussen met de zijvlakken aan elkaar te kleven?

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10

7. Amira is de code van oma’s huis vergeten. Ze weet nog dat de code uit vijf cijfers bestaat. Ze ziet dat op het klavier de toetsen 1 en 3 precies evenveel afgesleten zijn en dat de toets 7 n´og meer is afgesleten. De andere toetsen zijn blijkbaar nog nooit gebruikt. Als Amira het slim aanpakt, hoeveel codes moet ze dan hoogstens intikken om de deur te openen?

7 4 1

0 8 5 2

9 6 3

(A) 20 (B) 30 (C) 40 (D) 60 (E) 120

8. We noteren n! voor het product van de natuurlijke getallen 1 tot en met n.

Zo is 5! = 1· 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Waaraan is

√10!

6! gelijk?

(A) 2√

3 (B) 2√

6 (C)√

7 (D) 7 (E) 24

9. Kobe tekent een scherpe hoek α in een kwartcirkel zoals in de figuur. Hij projecteert het lijnstuk [OP ] loodrecht op de stralen die de kwartcirkel begrenzen. Hij construeert twee vierkanten met die projecties als zijde.

Voor welke hoek(en) α is de som van hun oppervlaktes het grootst?

P

α O

(A) 15^◦ en 75^◦ (B) 20^◦ en 70^◦ (C) 30^◦ en 60^◦ (D) 45^◦ (E) De som is steeds even groot.

10. Enkele segmenten van de digitale klok van Joris, die gebruikmaakt van de cijfers , zijn kapot en lichten niet meer op. Wanneer Joris op een avond naar bed gaat, geeft de klok het volgende weer:

Wanneer hij wakker wordt, toont de klok het volgende:

Wat is het exacte aantal kapotte segmenten?

(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13

(E) Dat valt niet te achterhalen met de huidige gegevens.

11. In een 4×4-rooster zijn 16 opeenvolgende natuurlijke getallen ingevuld zodat alle rijsommen gelijk zijn aan elkaar en alle kolomsommen gelijk zijn aan 38.

Wat is het product van alle getallen in het rooster?

(A) 0 (B) 38⁴ (C) 16! (D) 17! (E) 18!

2

12. In de figuur zie je de parabool met vergelijking y = 1

2x² − 3x + 4. De co¨ordinaten van P zijn:

x y

P

(A) (−2, −1) (B) (−3, −5

2) (C) (−4, −2) (D) (−5, −5

2) (E) (−6, −3)

13. In driehoek△ABC is X het midden van [AB]

en Y het midden van [AC]. Op zijde [BC]

nemen we een punt Z zodat de oppervlakte van vierhoek AXZY zo groot mogelijk is.

Welk deel van driehoek △ABC wordt dan bedekt door die vierhoek?

X Z Y

A B

C

= =

−

−

(A) 9

20 (B) 1

2 (C) 11

20 (D) 3

5 (E) 13

20

14. Op een cirkel met middelpunt M nemen we de punten A, B, C en D zoals in de figuur. Hoe groot is C bBM?

B A

D

C 100^◦

71^◦ M

(A) 61^◦ (B) 69^◦ (C) 71^◦ (D) 79^◦ (E) 80^◦

15. Een winkel verkoopt zes soorten noten. Hazel en Amandine kiezen elk vier soorten. Coco kiest drie soorten. Geen enkele soort noten wordt door precies twee personen gekozen. Wat kan je besluiten?

(A) E´en soort werd door niemand gekozen.

(B) Twee soorten werden door niemand gekozen.

(C) Drie soorten werden door precies ´e´en persoon gekozen.

(D) Vier soorten werden door precies ´e´en persoon gekozen.

(E) Alle soorten werden gekozen.

16. Voor elk re¨eel getal x noteren we met {x} het getal in [0, 1[ waarvoor geldt dat x − {x} een geheel getal is. Zo is bijvoorbeeld {π} = 0,1415 . . .

Stel dat x, y en z re¨ele getallen zijn waarvoor geldt dat







x +{y } = {x} + 1,2 y +{z} = {y } + 2,3 z +{x} = {z} + 3,4 Dan is x gelijk aan

(A) 1,1 (B) 1,4 (C) 2,2 (D) 2,3 (E) 3,3

17. Het stadsbestuur wil in een laan zeven bomen planten en heeft keuze uit drie boomsoorten: eiken, beuken en iepen. De buurtbewoners krijgen inspraak in het plan en stellen de volgende eisen:

• Linde zegt: “Ik wil geen twee dezelfde bomen naast elkaar zien staan.”

• Beukje zegt: “Ik hou van beuken en ik wil er minstens drie in onze laan!”

• Els zegt: “Ik wil dat de eerste en de laatste boom dezelfde zijn.”

• Olijfje zegt: “Ik wil van iedere soort zeker ´e´en boom zien staan!”

Hoeveel mogelijkheden heeft het bestuur om aan ieders eisen te voldoen?

(A) 16 (B) 18 (C) 24 (D) 30 (E) 32

18. Welke uitdrukking is correct voor elke x ∈ ]−1, 0[ ?

(A) x + 1 < x²+ 1 < (x + 1)² (B) x + 1 < x²+ 1 > (x + 1)² (C) x + 1 > x²+ 1 < (x + 1)² (D) x + 1 > x²+ 1 > (x + 1)²

(E) x + 1 6 x²+ 1 6 (x + 1)²

19. Vul de getallen 1 tot 36 in het rooster in zodat twee opeenvolgende getallen in aangrenzende vakjes staan. Welk getal komt op de plaats van het vraagteken?

36

10 1 24

7

29 4

16

?

(A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 17 (E) 18

20. Dertig leerlingen staan in een cirkel. Iedereen kijkt naar zijn linkerbuur of naar zijn rechterbuur. Er zijn tien leerlingen die elkaar aankijken. Op een gegeven moment draait iedereen zich om en kijkt naar zijn andere buur. Hoeveel leerlingen zijn er dan die elkaar aankijken?

(A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 20

(E) Dat aantal leerlingen is onmogelijk te bepalen.

21. Achteraan het getal 2020 voegen we twee willekeurige cijfers toe. Wat is de kans dat het getal van zes cijfers dat we zo krijgen, deelbaar is door 9?

(A) 9

100 (B) 1

10 (C) 11

100 (D) 3

25 (E) 1

5

22. Een vis zwemt in een aquarium dat gemaakt is van vierkante glazen tegels. In de figuur zien we een steen en de weg die de vis aflegt in vooraanzicht en in zijaanzicht. Welke weg legt de vis af als je van bovenuit naar het aquarium kijkt?

(A) (B) (C)

(D) (E)

23. Alle toppen van de parabolen met vergelijking y = x²+ bx, met b∈ R, liggen op

(A) een rechte (B) een cirkel (C) een hyperbool (D) een bergparabool (E) een dalparabool

24. De som van een aantal natuurlijke getallen is gelijk aan 99. Elk cijfer van 0 tot en met 9 komt precies ´e´en keer voor in de termen van de som. Welke van de volgende uitspraken is waar?

(A) Een term van de som kan behoren tot [60, 69].

(B) Een term van de som kan behoren tot [70, 79].

(C) Een term van de som kan behoren tot [80, 89].

(D) Een term van de som kan behoren tot [90, 99].

(E) Geen van de vorige uitspraken is waar.

25. Als ⁴ q

»3 √ x ⁵

q

»4

√3

x ⁶ q

»5

√4

x ⁷ q

»6

√5

x = √^m

x voor alle x > 0, dan is m gelijk aan

(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 20

26. Een rechthoek is verdeeld in vierkanten, zoals in de figuur. Het witte vierkantje heeft zijde 1.

Wat is de omtrek van de rechthoek?

(A) 84 (B) 88 (C) 92 (D) 96 (E) 100

27. In een rechthoek met zijden 3 en 1 worden drie hoeken getekend zoals in de figuur.

Hoe groot is de som van die drie hoeken?

α β γ

= = =

=

(A) 90^◦ (B) 95^◦ (C) 100^◦ (D) 105^◦ (E) 110^◦

28. In de eerste ronde van de Vlaamse Wiskunde Olympiade zijn er 30 meerkeuzevragen. Voor een goed antwoord krijg je 5 punten, voor een blanco antwoord 1 punt en voor een foutief antwoord 0 punten. Sommige scores kan je op meerdere manieren halen. Bijvoorbeeld, 75 kan je halen door 15 goede en 15 foute antwoorden, maar ook door 12 goede, 3 foute en 15 blanco antwoorden. Wat is de laagste score hoger dan 75 die je maar op ´e´en manier kan behalen?

(A) 114 (B) 119 (C) 124 (D) 146 (E) 149

29. Matteo heeft n houten stokjes met lengte 1 cm, 2 cm, 3 cm, . . . , n cm. Hij gebruikt alle stokjes om een vierkant af te bakenen. In de figuur zie je een voorbeeld voor n = 7. Voor welke van de volgende waarden van n kan hij ook een vierkant afbakenen?

7 cm 4 cm

3 cm

5 cm 2 cm 6 cm 1 cm

(A) n = 11 (B) n = 12 (C) n = 13 (D) n = 14 (E) n = 15

30. Een segment van een cirkel wordt zodanig omgevouwen dat die de middellijn raakt. Het raakpunt verdeelt de middellijn in lijnstukken met lengte 3 en 1. Hoe lang is de vouwlijn?

?

3 1

(A) 2√

2 (B) √

11 (C) 3

2

√5 (D) 2√

3 (E)√

13

Antwoordsleutel eerste ronde VWO 2020

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A D E D A A A C E C

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D C B A A B C B D B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

C E D A B D A B E B