Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2020-2021: eerste ronde

1. In de figuur zie je de grafiek van een functie f . Welke van de volgende uitspraken is correct?

x y

1 2 3 4

1 2 3 4

(A) f (0) < f (1) (B) f (1) < f (2) (C) f (2) < f (3) (D) f (3) < f (4) (E) f (x) =√

x

2. Als p + q = 12, q + r = 7 en r + s = 13, hoeveel is p + s dan?

(A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 (E) 18

3. Een deel van een 3×3×3-kubus wordt blauw geschilderd in de vorm van een verpakkingslint eromheen, zoals in de figuur. Hoeveel van de 27 kleine kubusjes hebben minstens ´e´en blauw zijvlak?

(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 20 (E) 22

4. Waaraan is sin 2021^◦

sin 41^◦ + cos 2021^◦

cos 41^◦ gelijk?

(A) −2 (B) −1 (C) 0 (D) 1 (E) 2

5. Selena, Taylor en Miley hebben elk een profiel op InstaMath. In het begin van het jaar had Selena half zo veel volgers als Taylor en had Taylor 50 % meer volgers dan Miley. In de loop van het jaar steeg het aantal volgers van Selena met 10 %, het aantal volgers van Taylor met 6 % en het aantal volgers van Miley met 8 %. Welke uitspraak is waar?

(A) Miley kreeg er meer volgers bij dan Taylor, maar minder dan Selena.

(B) Miley kreeg er meer volgers bij dan Selena, maar minder dan Taylor.

(C) Selena kreeg er meer volgers bij dan Taylor, maar minder dan Miley.

(D) Selena kreeg er meer volgers bij dan Miley, maar minder dan Taylor.

(E) Taylor kreeg er meer volgers bij dan Selena, maar minder dan Miley.

6. Arno, Bea, Clara, Danny en Eran zitten elk in een strandcabine met de eerste letter van hun voornaam op de deur. Twee personen wisselen van cabine en daarna wisselen nog twee anderen van cabine. Hoeveel deuren moet je dan maximaal openen om zeker te weten wie nog in de oorspronkelijke cabine zit?

A B C D E

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

7. De ribben van een viervlak zijn gelabeld van 1 tot en met 6. Voor elk hoekpunt berekent Paolo de som van de labels van de aanliggende ribben. Drie van die sommen zijn gelijk aan 10. Waaraan is de vierde som gelijk?

(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) 15

8. Een cilinder is versierd met twaalf banden in de kleuren zwart, wit en rood.

Hieronder zie je drie aanzichten van die cilinder. Hoeveel banden zijn wit?

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

9. De hoeken van een convexe vijfhoek vormen een rekenkundige rij. De kleinste van die hoeken is een rechte hoek. Hoe groot is de grootste hoek van die vijfhoek?

(A) 108^◦ (B) 112^◦ (C) 117^◦ (D) 126^◦ (E) 135^◦

10. In een cirkel staat een middelpuntshoek van 60^◦ op de boog ¯[AB]. In de figuur is de omtrekshoek AP B’ gelijk aan α. Als P beweegt op de cirkel, kan de omtrekshoek veranderen naar

60^◦ α

A B

P

(A) 2α (B) 3α (C) 4α (D) 5α (E) 6α

11. De punten M1(3, 5), M2(5, 6) en M3(4, 3) zijn de middens van de zijden van een driehoek. Welk van de volgende co¨ordinaten hoort bij een hoekpunt van die driehoek?

(A) (2, 2) (B) (2, 3) (C) (4, 4) (D) (4, 9) (E) (6, 5)

12. In een regelmatige zeshoek met oppervlakte 60 wordt een aantal diagonalen getekend, zoals in de figuur. Wat is de oppervlakte van de gekleurde zeshoek die zo ontstaat?

(A) 15 (B) 18 (C) 20 (D) 24 (E) 30

13. Waaraan is 10⁽²⁸⁾− 10⁽³⁵⁾

10⁽⁷²⁾− 10⁽⁶²⁾ gelijk?

(A) 1 (B) 10 (C) 1000

11 (D) 10²⁰⁶ (E) 10²⁰⁷

14. Op de zijden van een rechthoek met oppervlakte 11 construeren we twee vierkanten.

De som van de oppervlakten van die twee vierkanten is 71. Wat is het verschil tussen de lange en de korte zijde van de rechthoek?

(A) 11

2 (B) 6 (C) 13

2 (D) 7 (E) 15

2

15. We markeren een punt X₁op een cirkel. Vanuit dat punt lopen we in bogen van 50^◦ in wijzerzin langs de cirkel. Zo markeren we de punten X2, X3, X4, . . . Wat is het eerste punt dat samenvalt met X₁?

X₄ X3

X₂

X1

(A) X₈ (B) X₃₆ (C) X₃₇ (D) X₁₈₀₀ (E) X₁₈₀₁

16. De figuur bestaat uit cirkels en cirkelbogen met middelpunt A, B, C, D of E en straal 1, 2, 3 of 4. We verbinden elk van de vijf punten door middel van een lijnstuk met minstens een van de vier andere punten. Wat is de kleinst mogelijke som van de lengtes van die lijnstukken?

A

E B

D C

(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D) 24 (E) 28

17. Als p 3 +√

8 = 1 +√

x dan is x gelijk aan

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

18. Op hoeveel verschillende manieren verkrijg je een ware uitspraak als je op de drie stippen elk van de letters A, B en C precies ´e´en keer invult?

Voor elke drie verschillende punten A, B en C geldt−→

•B +−→

•C =−→ A•.

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 6

19. Een koppel kreeg in drie opeenvolgende jaren op 1 april telkens een zoon:

eerst Bert, dan Bart en tot slot Burt. Op de p-de verjaardag van Bert wordt Bart q jaar en Burt r jaar. Op die dag heeft Bert 1

r-de van zijn leven achter de rug, Bart 1

q-de en Burt 1

p-de. Wie wordt uiteindelijk het oudst?

(A) Bert (B) Bart (C) Burt

(D) Bert en Burt worden beiden het oudst.

(E) Deze vraag is onmogelijk op te lossen met die gegevens.

20. In de videogame Nine Lives heeft de kat Felix negen levens. Hij maakt gevaarlijke sprongen die hem een leven kunnen kosten. Bij de n-de sprong belandt Felix met kans 1

n netjes op zijn poten, in het andere geval verliest hij een leven. Wat is de kans dat Felix na 10 sprongen nog niet alle levens opgebruikt heeft?

(A) 0 (B) 1

10 (C) 1

9 (D) 8

9 (E) 9

10

21. Hoeveel gehele getallen k voldoen aan

Åk²− 17 8

ã^k2−1

= 1?

(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8

22. Een rij cirkels met stralen 1 2, 1

4, 1

8, . . . raken elkaar uitwendig en raken een grote cirkel met straal 1 inwendig zoals in de figuur. We verbinden het middelpunt van de grote cirkel en de middelpunten van twee opeenvolgende kleinere cirkels met elkaar. De omtrek van de verkregen driehoek is steeds gelijk aan

(A) π

2 (B) √

3 (C) 7

4 (D) 2 (E) 3√

2 2

23. De veelterm P (x) van graad 10 heeft als nulwaarden de getallen 3, 4, 5, 6, 7,1

3,1 4,1

5,1 6 en 1

7. Waaraan is P(2) P

Å1 2

ã gelijk?

(A) 2² (B) 2⁵ (C) 2⁷ (D) 2¹⁰ (E) 2¹⁴

24. Aan een ronde tafel zitten acht vrouwen en een aantal mannen. De rechterbuur van precies de helft van de vrouwen is een vrouw. De rechterbuur van precies driekwart van de mannen is een man. Hoeveel personen zitten er dan aan de tafel?

(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D) 24 (E) 28

25. Het jaartal 2020 is de som van de kwadraten van vier opeenvolgende priemgetallen: 2020 = 17² + 19² + 23² + 29². Over hoeveel jaar gebeurt dat opnieuw?

(A) 196 jaar (B) 324 jaar (C) 672 jaar

(D) 1080 jaar (E) 3840 jaar

26. Pieter staat naast een rotonde en telt hoeveel wagens er langs hem voorbijrijden. Op de figuren zie je hoeveel wagens er de rotonde op en af rijden. Geen enkele wagen rijdt volledig rond de rotonde. Hoeveel verschillende wagens telt Pieter?

8

13

9

,

11

9

10

,

(A) minstens 11 en hoogstens 19 (B) minstens 12 en hoogstens 20 (C) minstens 13 en hoogstens 21 (D) minstens 14 en hoogstens 22

(E) minstens 15 en hoogstens 23

27. Aida dobbelt met drie speciale, kubusvormige dobbelstenen. Van twee dobbelstenen is de ontvouwing gegeven. De derde dobbelsteen heeft op elk zijvlak drie of vier ogen en heeft in totaal 20 ogen. Wat is de kans dat de som van de gegooide ogen gelijk is aan 12?

(A) 1

54 (B) 1

18 (C) 1

9 (D) 7

54 (E) 1

6

28. Van de veeltermfuncties f en g met voorschrift f (x) = 9x³+ x²+ x + 1 en g(x) = 9x⁴− x²− 17x − 2 zijn enkele co¨effici¨enten onleesbaar. De drie nulwaarden van f zijn ook nulwaarden van g. Bepaal f (1).

(A) −37 (B) −35 (C) 1 (D) 35 (E) 37

29. Aan welke vergelijking voldoen de co¨ordinaten (x, y ) van de punten die op de gesloten kromme uit de figuur liggen?

x y

1 1

(A) x²y⁴− x²y²+ x²+ y⁴= 16 (B) x²y³− x²y + x²+ 2y³= 16 (C) x⁵y³− x³y + x²+ y⁴= 16 (D) x⁵y⁴− x³y²+ x³+ y⁴= 16

(E) x²y⁴− x y + x²+ y⁴= 16

30. Vier cirkels raken elkaar en de rechthoek zoals in de figuur. De stralen van de cirkels c1, c2, c3 en c4 zijn respectievelijk 9, 4, 6 en 27(5 − 2√

6). Wat is de lengte van de rechthoek?

c₃

c₂

c₁

c₄

(A) 33 (B) 34 (C) 35 (D) 36 (E) 37

Antwoordsleutel eerste ronde VWO 2021

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

B E B A B B B B D D A C E D C

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

B A E B E D D D D C B D E A A