Technische Universiteit Delft
Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft
Opgaven 1. Gegeven is het stelsel, eerste orde, differentiaalvergelijkingen:
dy dt =
0 1
−2 t2
2 t
y (t > 0) (1)
(a) Toon aan dat de functies y1 en y2, die gegeven worden door:
y1(t) =
"
t 1
#
en y2(t) =
"
t2 2t
#
oplossingen zijn van (1).
(b) Toon aan dat deze oplossingen lineair onafhankelijk zijn.
(c) Toon aan dat de functie:
y = c1y1 + c2y2 (c1, c2∈ R) (2)
voor alle c1, c2∈ R een oplossing is van (1).
Voeg aan het stelsel differentiaalvergelijkingen (1) de beginvoorwaarde:
y(1) =
"
α β
#
(3)
toe.
(d) Leg uit waarom het beginwaardeprobleem (1), (3) voor alle waarden van α, β precies ´e´en oplossing heeft en geef een zo groot mogelijk interval waarop deze oplossing bestaat.
(e) Leg uit waarom die oplossing van de vorm (2) is.
(f) Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem (1), (3) voor α = 3 en β = 2.
2. Gegeven is het stelsel, eerste orde, differentiaalvergelijkingen:
dy1
dt = 5y1 + 3y2
dy2
dt = −6y1 − 4y2
(4)
(a) Laat u =
"
y1
y2
#
en schrijf (4) in de vorm:
du
dt = Au (5)
voor zekere matrix A.
(b) Toon aan dat de functies u1 en u2 op R die gegeven worden door:
u1(t) = e−t
"
1
−2
#
en u2(t) = e2t
"
1
−1
#
, lineair onafhankelijke, oplossingen zijn van (5).
(c) Toon aan dat de functie:
u = c1u1 + c2u2 (c1, c2∈ R) (6)
voor alle c1, c2∈ R een oplossing is van (5).
Voeg aan het stelsel differentiaalvergelijkingen (5) de beginvoorwaarde:
u(0) =
"
α β
#
(7)
toe.
(d) Leg uit waarom het beginwaardeprobleem (5), (7) voor alle waarden van α, β precies ´e´en oplossing heeft en geef een zo groot mogelijk interval waarop deze oplossing bestaat.
(e) Leg uit waarom die oplossing van de vorm (6) is.
(f) Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem (5), (7) voor α = −1 en β = 0.
(g) Bepaal de functies y1en y2 die oplossing zijn van het stelsel differentiaalvergelijkingen (4) en boven- dien voldoen aan y1(0) = 0 en y2(0) = −1.
3. Gegeven is het stelsel, eerste orde, differentiaalvergelijkingen:
dy1
dt = y1 − 2y2
dy2
dt = 2y1 + y2
(8)
(a) Laat u =
"
y1
y2
#
en schrijf (4) in de vorm:
du
dt = Au (9)
voor zekere matrix A.
(b) Toon aan dat de functies u1 en u2 op R die gegeven worden door:
u1(t) = et
"
− sin(2t) cos(2t)
#
en u2(t) = et
"
cos(2t) sin(2t)
#
, lineair onafhankelijke, oplossingen zijn van (9).
Beantwoord nu opnieuw de vragen (c) t.m. (g) uit de vorige opgave waarbij natuurlijk de verwijzingen moeten worden aangepast.
4. Gegeven is het stelsel, eerste orde, differentiaalvergelijkingen:
dy dt =
0 1
−2 t2
2 t
y +
"
t3 t4
#
(t > 0) (10)
(a) Toon aan dat yp =
1 20t6 + 1
6t4 + 1 4t2 − 7
15t 3
10t5 − 1 3t3 + 1
2t − 7 15
een oplossing is van (10).
(b) Bepaal de algemene oplossing van (10).
(c) Bepaal de oplossing van (10) die voldoet aan de beginvoorwaarde:
y(1) =
"
0 0
#
(Hint: Kijk eens naar Opgave 1.)
