Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 20 februari 2021 Brenda Casteleyn, PhD Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

(1)

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop

20 februari 2021 Brenda Casteleyn, PhD

Met dank aan:

Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

(2)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 2

1. Inleiding

Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema.

De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne had een prachtige website maar deze is helaas niet meer online.

2. Oefeningen over functieverloop

1997 – Juli Vraag 2 De functie f: R  R: f(x) =

<A> Heeft geen buigpunt(en)

Vertoont een buigpunt voor x = 0

<C> Vertoont twee buigpunten, voor x = -1 en voor x = +1

<D> Vertoont twee buigpunten, voor x = - √3 en voor x = √3 1997 – Juli Vraag 3

De functie f: R  R, f(x) =

<A> Heeft rechte x = -1 als verticale asymptoot

Heeft rechte x = 1 als horizontale asymptoot

<C> Heeft recht y = 2x + 1 als schuine asymptoot

<D> Heeft rechte y = 2x – 1 als schuine asymptoot 1997 – Juli Vraag 10

Aan de vier hoeken van een rechthoekig stuk karton van 80 cm op 50 cm snijdt men gelijke vierkanten weg. Van de rest maakt men een doos zonder deksel; de maximale inhoud van deze doos in cm³ is:

<A> 14000

16000

<C> 18000

<D> 20000

(3)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 3 1997 –Augustus Vraag 2

Welke van de volgende verzamelingen bevat minstens één nulpunt van de veeltermfunctie:

f : x y(x) = 2x⁴ – 4x³ – 13x²-6x-24 ?

<A> {-5;-1;2;7}

{-4;-1.5;1;16}

<C> {-7;-0.5;3;5}

<D> {-3;-2.5;4;9}

1997 – Augustus Vraag 6

Welke van de volgende beweringen is juist? De rationele functie:

F: xy(x) =

<A> heeft de rechte y = 0 als asymptoot

Vertoont geen relatieve extrema

<C> Heeft de rechte y = x + 2 als schuine asymptoot

<D> Heeft de rechte y = x – 2 als schuine asymptoot 1997 – Augustus Vraag 8

Beschouw een cylindrisch vat (zonder deksel) met gegeven volume V0m³.

Als de oppervlakte van het vat minimaal is, welk verband is er dan tussen de hoogte h (in m) van het vat en de straal r (in m) van het grondvlak?

<A> h = 0.75 r

h = r

<C> h = 1.5r

<D> h = 2r 1997 – Augustus Vraag 9

Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie F: x  y(x) = 6ac x³ + 4bc x² + 9ad x + 6bd

Is NIET juist?

<A> Als a = 0 en bcd ≠0, heeft de veeltermfunctie hoogstens 2 nulpunten

Als 2c+3d=0 dan heeft de veeltermfunctie +1 en -1 als nulpunten

<C> Als cd > 0 dan heeft de veeltermfunctie 2 tegengestelde nulpunten

<D> Als a = 2 heeft de veeltermfunctie –b/3 als nulpunten

(4)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 4 1997 – Augustus Vraag 11

Beschouw de volgende irrationele functie: f: x  y(x) = - √−𝑥 − 2𝑥 + 8 Welke van de volgende beweringen is NIET juist?

<A> Ze heeft een buigpunt voor x = 2

Ze heeft een minimum voor x = -1

<C> Ze is alleen gedefinieerd in het interval [-4,2]

<D> Ze heeft twee snijpunten met y = -2 2000 – Juli Vraag 2

Welke van de volgende beweringen is juist?

De rationale functie f: x  y(x) = x² -

<A> Heeft de recht y = 0 als asymptoot

Vertoont een (relatief) minimum

<C> Heeft de rechte y = x en y = -x als schuine asymptoten

<D> Heeft een schuine asymptoot 2000 – Juli Vraag 8

Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie f: x  y(x): 3x⁴ – 10x³ -12x² + 12x -7

Welke van de volgende beweringen is juist?

<A> Voor x = -1/2 is haar bolle zijde naar boven gekeerd

Voor x = 0 is haar bolle zijde naar boven gekeerd

<C> Voor x = 2 is haar bolle zijde naar boven gekeerd

<D> Voor x = 3 is haar bolle zijde naar boven gekeerd 2001 – Augustus Vraag 1

Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie f: x  y(x) = 2ac x³ + 3bc x² - 8ad x -12bd

Is NIET juist?

<A> Als a = 0 en bcd ≠0, heeft de veeltermfunctie hoogstens 2 nulpunten

Als c=d<0 dan heeft de veeltermfunctie +2 en -2 als nulpunten

<C> Als a = 3 dan heeft de veeltermfunctie b/2 als nulpunt

<D> Als abcd ≠ 0 dan heeft de veeltermfunctie hoogstens 3 nulpunten

(5)

Welke van de volgende beweringen is NIET juist?

De rationale functie: f: x y(x) =

<A> Heeft de rechte y = 2 als asymptoot

Heeft een verticale asymptoot

<C> Heeft een schuine asymptoot

<D> Vertoont een buigpunt 2001 – Augustus Vraag 9

Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3).

Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor met straal 2.

<A> Beide beweringen zijn juist.

Alleen de eerste bewering is juist.

<C> Alleen de tweede bewering is juist.

<D> Beide beweringen zijn onjuist.

2002 - Juli Vraag 1

Beschouw de grafiek van volgende veeltermfunctie:

y(x) = 4 x³ - 21 x²+ 18 x - 9 Welke van de volgende beweringen is juist?

<A> voor x= ¹/2 vertoont zij een relatief minimum

voor x= 3vertoont zij een relatief minimum

<C> voor x= ⁷/4 vertoont zij een relatief maximum

<D> voor x= 3 vertoont zij een relatief maximum 2002 -Juli Vraag 10

Beschouw de kromme x²y + 3y -4 = 0. De waarde van de afgeleide y’ in een punt van de kromme met x=3 is

<A> -1/6

0

<C> 1/6

<D> 1

(6)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 6 2002 - Augustus Vraag 1

Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie y=−2x³+5x²+4x+5. Welk van de volgende beweringen is juist?

<A> x = 5/6 is een relatief maximum

x = -1/3 is een relatief maximum

<C> x = 5/2 is een relatief maximum

<D> x = 2 is een relatief maximum 2002 - Augustus Vraag 10

Gegeven is de vergelijking van een bepaalde kromme: x.y + x – 2y – 1 = 0 Hoeveel bedraagt de afgeleide y’ in een punt van deze kromme voor x = 3?

<A> 1

0

<C> ½

<D> 1

Welke van de volgende beweringen over de rationale functie f: x  y(x) = is NIET juist?

<A> De functie heeft de rechte y = 2 als asymptoot

De functie heeft een verticale asymptoot

<C> De functie heeft een schuine asymptot

<D> De functie heeft twee nulpunten 2008 – Juli Vraag 4

Als 0 ≤ x ≤ 1 dankan 1 + x/2 goed benaderd worden door √1 + 𝑥

Wat is binnen de voorwaarde de grootste afwijking tussen de twee uitdrukkingen?

<A> [0,06;0,07[

[0,07;0,08[

<C> [0,08;0,09[

<D> [0,09;0,10[

(7)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 7 2008 - Juli Vraag 7

We beschouwen de parabool y = + 3x + 6 en zijn afgeleide y’ = -x +3

Welke uitspraak is onjuist?

<A> Het snijpunt van de rechte met de x-as komt overeen met de top van de parabool

De afgeleide functie is een dalende rechte omdat de parabool met zijn holle zijde naar onder ligt.

<C> De afgeleide functie van een parabool heeft steeds twee snijpunten met de parabool.

<D> Als de rechte onder de x-as zit, dan is de parabool dalend.

2008 - Augustus Vraag 8

Beschouw de veeltermfunctie: f(x) = 3x³+27x²+5

Welke uitspraken over nulpunten, extrema en buigpunten is verkeerd?

<A> De functie heeft x=5 en x=1 niet als nulpunt.

De functie heeft twee extrema bij x=0 en x=-6.

<C> De functie heeft een buigpunt bij x=-3

<D> De holle kant van de functie ligt naar onder in de buurt van x=0

(8)

Gegeven is een parabolische functie: f (x) = 2 x²- 2x -1 Waar ligt de top van deze parabool?

<A> X = - 1/2

X = 1/2

<C> X = 1

<D> X = 2 2009 – Juli Vraag 2

Gegeven is een derdegraadsfunctie:

f (x) = 4 x³ + 2 x²+ x -1/6 Welke buigpunten heeft deze functie?

<A> een buigpunt op x = -1/6

eeen buigpunt op x = 1/6

<C> een buigpunt op x = 0

<D> een buigpunt op x = 1 2009 - Juli Vraag 3

Gegeven is een parabolische functie: f(x) = 2x² – 2x -1 Waar ligt de top van deze parabool?

<A> x = - 1/2

x = ½

<C> x = 1

<D> x =2 2009 - Juli Vraag 10

Hoeveel reële nulpunten heeft deze functie x³ – x² – 3x -9

<A> 0

1

<C> 2

<D> 3

(9)

De grafiek van de functie y(x)=(x²−4x)/(x+2)²:

<A> Vertoont een relatief minimum tussen de twee nulpunten

Vertoont een relatief minimum buiten de twee nulpunten

<C> Vertoont een relatief maximum tussen de twee nulpunten

<D> Vertoont een relatief maximum buiten de twee nulpunten 2011 - Juli Vraag 3

Gegeven is de volgende veelterm: x⁴ – 3x³ + x² – 5x + 6 Hoeveel reële nulpunten heeft deze veelterm?

<A> 1

2

<C> 3

<D> 4 2011 - Juli Vraag 7

Gegeven is de functie y =

Slechts één van de volgende uitspraken over asymptoten en buigpunten is correct, welke?

<A> Deze functie heeft een verticale asymptoot en geen buigpunten

Deze functie heeft een verticale asymptoot en één buigpunt

<C> Deze functie heeft een schuine asymptoot en één buigpunt

<D> Deze functie heeft een schuine asymptoot en twee buigpunten 2011 - Augustus Vraag 3

Gegeven is de volgende rationele functie: y = Welke uitspraak is verkeerd?

<A> Deze functie heeft geen nulwaarden en één verticale asymptoot

Deze functie heeft één buigpunt en een verticale asymptoot

<C> Deze functie heeft één verticale asymptoot en één schuine asymptoot

<D> Deze functie heeft geen buigpunt en een schuine asymptoot

(10)

Hieronder is de functie y=2x²+2x+3/2 afgebeeld.

Een niet horizontale rechte gaat door punt P(2,1) en heeft een raakpunt met deze parabool.

Hoeveel bedraagt de helling van deze raaklijn.

A. 8 B. 12 C. 20 D. 32

2012 – Juli Vraag 5

In een onderzoek gaat men het verband na tussen onverwachte mortaliteit (y) en het gemiddelde aantal uren slaap (x) van deze personen.

Dit verband wordt weegegeven door de volgende best passende functie:

Y = 100x² – 1500x + 600

Bij welk gemiddeld aantal uren slaap was in dit onderzoek de mortaliteit het kleinst?

<A> 6,5 uur

7 uur

<C> 7.5 uur

<D> 8 uur 2012 – Augustus Vraag 7

De werking van een geneesmiddel wordt onderzocht voor dosissen van 0 tot 2 gram/dag.

Na regressieanalyse van de waarnemingen was men in staat het percentage genezen mensen (A) uit te drukken als functie van de toegediende dosis (d) van een bepaald geneesmiddel.

A = -d² + 2d + 3 (0 ≤ d ≤ 2)

(11)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 11 Walke dosis van dit geneesmiddel is het meest effectief?

<A> 2

3/2

<C> 1

<D> ½

We beschouwen de kwadratische functie: y = -2x² + 2

Een rechte die de y-as snijdt in het punt (0;4) heeft één punt gemeenschappelijk met deze parabool. Hoeveel bedraagt de helling van die rechte?

De gezochte rechte is niet verticaal en is niet parallel met de rechte y = 4x.

<A> -4

¼

<C> -2

<D> ½

2013 - Juli Vraag 3 versie1

We beschouwen de volgende rationale functie: 𝑦 =

Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie:

1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1 3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1 4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Welke van deze uitspraken zijn correct?

<A> 1

2

<C> 1 en 3

<D> 2 en 4 2013 - Juli Vraag 3 versie2

We beschouwen de volgende rationale functie: 𝑦 =

(12)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 12 1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1

2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1 3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1 4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Welke van deze uitspraken zijn correct?

<A> 1 en 4

2 en 3

<C> 1,2 en 3

<D> 1, 2 en 4 2013 - Juli Vraag 6

We beschouwen de functie: 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 + 4

Hoeveel raaklijnen aan deze functie zijn evenwijdig met de rechte 3x - y = 2

<A> 0

1

<C> 2

<D> 3

(13)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 13 2013 - Juli Vraag 8 versie 1

Welke van de volgende grafieken geeft de functie y = Ln(x-2) +1 weer?

2013 - Juli Vraag 8 versie 2

In de volgende grafiek zijn 4 logaritmische functies getekend. Welke van de volgende curven geeft de functie y = Ln(2-x) + 1 weer?

(14)

We beschouwen de volgende rationale functie: y(x) = Welke uitspraak is correct?

A. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -1 B. De functie bereikt een locaal maximum voor x = +1 C. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -√3 D. De functie bereikt een locaal maximum voor x = √3 2013 - Augustus Vraag 7

Hoeveel raaklijnen kan men tekenen aan de functie y = x² + 2x door het punt (-1/2, -3)?

<A> 0

1

<C> 2

<D> 3

(15)

Hieronder staan vier functies getekend in een grafiek.

y = 1 - (x - 2)³ y = 1 + (x - 2)³ y = 2 - (x - 1)³ y = 2 + (x - 1)³

Welk van deze grafieken stelt de functie y = 1 + (x-2)³ voor?

<A> grafiek A

grafiek B

<C> grafiek C

<D> grafiek D

(16)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 16 2014 – Juli Vraag 3

Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie.

Welk functievoorschrift is correct?

<A> Y = 300 + 200.𝑒 ^.

Y = 300 + 200.𝑒 ^.

<C> Y = 500 - 200.𝑒 ^.

<D> Y = 500 - 200.𝑒 ^.

Gegeven zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte.

Y = -x – ¼ y = x² +m.x + 2

Bij geschikte waarden voor de parameter m raakt de rechte aan de parabool. Hoeveel bedraagt de som van die waarden voor m?

<A> 6

-6

<C> 2

<D> -2

Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie

x

y

(17)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 17 Welk functievoorschrift is correct?

<A> Y = 700 – 200.e^-0,025x

Y = 700 – 200.e^0,025x

<C> Y = 500 + 200.e^0,025x

<D> Y = 500 + 200.e ^-0,025x 2015 - Juli Vraag 4

Hoeveel snijpunten hebben de parabolen y = x² + x + 1 en y = 2x² -2x +3

<A> 4

2

<C> 1

<D> 0 2015 - Juli Vraag 9

Bepaal het domein van S, als een sinus van hoek α is.

<A> ]- ∞ , 0]

]- ∞ , 0]U [2/3, + ∞ [

<C> ]- ∞ , 1/2]

<D> ]- ∞ , -1/2]U [1/2, + ∞ [

2015 - Juli Vraag 10

Gegeven is een parabool: y = 2x² + (a-1)x + (a² - 1) met a ϵ ⌈0,1⌉

x y

700

500

300

100

(18)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 18 We beschouwen de som van de kwadraten van de nulpunten van deze parabool.

Hoeveel bedraagt deze som maximaal?

<A> 1/2

5/4

<C> 0

<D> 3/2 2015 – Augustus Vraag 3

De functie f is bepaald door het voorschrift f(x) = x²e^-x. Over welk interval is deze functie monotoon dalend?

<A> ]1,2[

]-1,1[

<C> ]0,1[

<D> ]2,3[

Het aantal snijpunten van de parabolen met vergelijking y = x² en x = y² is gelijk aan

<A> 4

3

<C> 2

<D> 1

2016 - Juli geel Vraag 10

Gegeven is de functie met voorschrift f(x) = x³ – 11 x² – 25x – 13. De rechte met vergelijking y = px + q raakt de grafiek van f in het punt A(a,f(a)) en snijdt de grafiek van f in het punt B(13,0). Als A en B verschillende punten zijn, dan is p + q gelijk aan

<A> -2352

-1

<C> 0

<D> 1

2016 - Juli geel Vraag 13

Beschouw drie functies f, g en h met functievoorschriften f(x) = sin (x/2) g(x) = 1 – e^-x h(x) =

De grafieken van f, g en h gaan door de oorsprong O. De volgende figuur toont de grafieken van deze functies op een gesloten interval waarvan het linkereindpunt de oorsprong is.

(19)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 19 Welke grafiek stemt overeen met welke functie?

<A> (a) met f, (b) met g, (c) met h

(a) met g, (b) met f, (c) met h

<C> (a) met g, (b) met h, (c) met f

<D> (a) met f, (b) met h, (c) met g 2016 - Augustus geel Vraag 4

Beschouw de punten P(√2, √2) en Q (√4, √2) De grafieken van de functies f en g met voorschrift f(x) : x² - √2 en g(x) = √𝑥 snijden elkaar

<A> in P en in Q

in P,maar niet in Q

<C> in Q, maar niet in P

<D> niet in P en niet in Q 2016 - Augustus geel Vraag 5

In deze figuur staat de grafiek van één van de functies f waarvan het voorschirft hieronder is gegeven. Wat is dat voorschrift?

(20)

<A> f(x) = e^x – sin 2x

f(x) = e^x – sin x

<C> f(x) = e^x + sin x

<D> f(x) = e^x + sin 2x 2016 – Augustus geel Vraag 10

Beschouw de functie f bepaald door het voorschrift f(x) = (x – 1).e^-x. Als de punten A(a,f(a)) en B(b,f(b)) de raakpunten zijn van de raaklijnen uit de oorsprong aan de grafiek van f, dan is a + b gelijk aan

<A> -2

-1

<C> 1

<D> 2

2016 – Augustus geel Vraag 11

Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) = en de acht open intervallen

-4,-3, -3,-2, -2,-1, -1,0, 0,1, 1,2, 2,3, 3,4

De functie is negatief

<A> in precies één van deze intervallen

in precies twee van deze intervallen

(21)

<C> in precies drie van deze intervallen

<D> in precies vier van deze gevallen 2017 – Juli geel Vraag 6

Gegeven is de functie f met functievoorschrift f(x) = + 𝑥 + (𝑎 + 2)𝑥 + 𝑎

met a een reële constante. De grafiek van f heeft geen enkele raaklijn die evenwijdig is met de eerste bissectrice als en slechts als

<A> a ≤ 0

a ≥ 0

<C> a < 0

<D> a > 0 2017 – Juli geel Vraag 7

De functies f en g worden gegeven door de functievoorschriften f(x) = 3 – x² en g(x) = 2/x waarbij x > 0

De grafieken raken aan elkaar in het punt P. Bepaal de vergelijkjing van de gemeenschappelijke raaklijn in P.

<A> y = -x +3

y = -2x +4

<C> y = -3x +5

<D> y = -4x +6 2017 – Juli geel Vraag 13

De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = x + 2cos x.

Noem a de kleinste positieve waarde waarin f een lokaal maximum bereikt. Noem b de kleinste positieve waarde waarvoor het punt (b, f(b)) een buigpunt is van f. Bepaal de oppervlakte tussen de grafiek van f, de x-as en de verticale rechten met vergelijking x = a en x = b.

<A> +1

+1

<C> +1

(22)

<D> +1

De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = tan²x. De raaklijn aan de grafiek van f in het punt P (π/4, f(π/4)) en de verticale rechte door P snijden de x-as respectievelijk in Q en R. Bepaal de oppervlakte van de driehoek PQR.

<A> 1/16

1/8

<C> ¼

<D> ½

Stel dat a en b reële getallen zijn. De functie f met functievoorschrift f(x) = ^.

heeft een schuine asymptoot met vergelijking y = 4x – 3. Bepaal a + b.

<A> 1

2

<C> 4

<D> 5

2018 – Arts geel Vraag 4

De verzameling van de punten (x,y) in het vlak die voldoen aan de vergelijking y² – x² – y – x = 0

<A> Bestaat uit twee evenwijdige rechten

Is een cirkel

<C> Is een parabool

<D> Bestaat uit twee snijdende rechten 2018 – Arts geel Vraag 6

Voor welke waarde van p raakt de grafiek van de functie f met als functievoorschrift f(x) = 4/3 x³- 2x² + x + p

aan de x-as?

<A> -1/6

-1/4

(23)

<C> -1/3

<D> -1/2

2018 – Tandarts geel Vraag 2

De kwadratische vergelijking ax² + bx + c = 0 heeft twee reële oplossingen x1 en x2 die verschillen van nul. Welke vergelijking heeft als oplossingen 1/x1 en 1/x2?

Het aantal reële oplossingen van de vergelijking (x² + x + 1)² = - (x²+x+1)(x²+x -1/2)

Is gelijk aan

<A> 1

2

<C> 3

<D> 4

De functie f is bepaald door het voorschift f(x) = – 2x +1

Wat is de coördinaat van het snijpunt van de twee asymptoten van de grafiek van deze functie?

<A> (1,3)

(1,-2)

<C> (1,-1)

<D> (1,1)

2019 – Arts geel Vraag 5

(24)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 24 De functie f is bepaald door het voorschrift

f(x) = (x+1) ^3/2

Wat is de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het snijpunt met de y-as?

<A> Y - 3x = 1

Y + 3x = 1

<C> 2y - 3x = 2

<D> 2y + 3x = 2

De functie f is bepaald door het voorschrift f(x) =

Deze functie bereikt een lokaal extremum als x gelijk is aan

<A> ½

1

<C> √2

<D> 2 2020 – Arts Vraag 9

Gegeven zijn de functies f en g met voorschrift:

f(x) x²ln x en g(x) = 2x² – 5x +1.

De raaklijn in het punt P(a,g(a)) aan de grafiek van g staat loodrecht op de raaklijn in het punt Q(1,f(1)) aan de grafiek van f. Bepaal g(a).

<A> -2

-1

<C> 8

<D> 1 2020 – Arts Vraag 10

Gegeven is de functie f met functievoorschrift f(x) = 5 − |3 − 𝑥|

Voor welk van de volgende x-waarden bereikt f GEEN lokaal extremum?

(25)

<A> 8

-2

<C> 2

<D> 3

2020 – Tandarts Vraag 1

De functie f is bepaald door het voorschrift f(x) = ½ tan (2x + π)

Wat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in P (-π/2, f(-π/2) aan de grafiek van f?

<A> 1

-1

<C> ½

<D> -1/2 2020 – Tandarts Vraag 7 De functie f met als voorschrift f(x) =

heeft twee lokale extrema. De corresponderende punten op de grafiek liggen op de rechte met als vergelijking:

<A> y = 12x

y = 3x

<C> y =6x

<D> y = 2x 2020 – Tandarts Vraag 8 Voor de matrices

met x en y reële getallen, geldt dat AB = BA. Dan is

<A> x = -y – 1/3

x = - y + 1/3

<C> x = y + 1/3

<D> x = y – 1/3

(26)

3. Oplossingen oefeningen

Gegeven: De functie f: R  R: f(x) = Gevraagd: buigpunt

Oplossing: Buigpunt  2^de afgeleide

f’(x) = ₍ ₎ = ₍ ₎ = ₍ ₎ = ₍ ⁽ ₎ ⁾

f’’(x) = ⁽ ⁾ ^.

( )

= ⁽ ^)[ ⁽ ⁾ ^]

( )

= ⁽ ₍ ₎

= ⁽ ⁾

( )

Tekenverloop:

x -1 0 1

f”(x) - Ι + 0 - Ι +

Tekenverandering in 0, dus buigpunt enkel in 0

 Antwoord B 1997 – Juli Vraag 3 Ter herinnering:

Verticale asymptoot: nulwaarde(n) van de noemer, die niet in de teller voorkomen.

Horizontale asymptoot: als de graad van de teller kleiner of gelijk is aan de graad van de noemer. Door waarden in te vullen,kan je de asymptoot vinden.

Schuine asymptoot: als de graad van de teller groter is dan de graad van de noemer. Je vindt die asymptoot door de euclidische deling van teller gedeeld door noemer en die vergelijking mag maar van de eerste graad zijn, anders is het geen asymptoot meer

Niets: als de graad van de teller meer dan 1 eenheid groter is dan de graad van de noemer, heb je geen asymptotisch gedrag.

(27)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 27 Gegeven: De functie f: R  R, f(x) =

Gevraagd: VA, HA, SA?

Oplossing:

VA: x = 1 (= nulpunt noemer) Geen HA want graad T > graad N SA bestaat want graad T = graad N+1 Snelste manier is volgende deling 2x²-3x+4 x-1

-2x²+2x 2x-1 -x+4

-x-1 3 SA: y = 2x-1

 Antwoord D 1997 – Juli Vraag 10 Gegeven:

x 80-2x x x

50-2x

Met x < 25, anders is er geen doos Gevraagd: maximale inhoud in cm³

Bereken de inhoud van de doos: oppervlakte grondvlak x hoogte

Inhoud = (80-2x)(50-2x).x = (80-2x)(50x-2x²) = 4000x-160x²-100x²+4x³ = 400x-260x²+4x³= 4(1000x-65x²+x³)

Maximale waarde: afgeleide = 0 voor extremum en via tekenverloop maximum bepalen.

Inhoud’(x) =(4(x³-65x²+1000x))’ = 4 (3x² -130x + 1000) Nulpunten van deze afgeleide: x = 10 en x = 100/3

(28)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 28 Tekenverloop:

X 10 100/3

Inhoud(x) stijgt daalt stijgt

Inhoud’(x) + 0 - 0 +

De inhoud bereikt dus een maximale waarde voor x=10 De inhoud is dan I(10) = (80-2.10)(50-2.10).10= 18000

 Antwoord C 1997 –Augustus Vraag 2

Gegeven: f : x y(x) = 2x⁴ – 4x³ – 13x²-6x-24 Gevraagd: nulpunten

Oplossing:

Alle delers van -24 zijn mogelijke nulpunten, dus 1, -1,2,-2,3,-3 4,-4,8,-8,12,-12 Gebruik regel van Horner:

2 -4 -13 6 -24

-2 -4 16 -6 24

2 -8 3 -12 0

(x+2)(2x³-8x²+3x-12)

Opnieuw Horner toepassen

2 -8 3 -12

4 8 0 12

2 0 3 0

(x+2)(x-4)(2x²+3) Nulpunten: -2 en 4

 Antwoord D

(29)

Gegeven: f: xy(x) =

Gevraagd: asymptoten, extrema Oplossing:

Geen H.A;. want graad T > graad N

Schuine asymptoot: deling: x²-2x+1 : x = x-2 SA: y = x-2

 Antwoord D 1997 – Augustus Vraag 8 Gegeven: volume cilinder V0m³

Gevraagd: verband hoogte vat en straal grondlvak bij minimale oppervlakte vat Oplossing:

Formule volume cilinder: V = πr²h

Formule oppervlakte vat: oppervlakte grondvlak + oppervlakte mantel Oppervlakte vat = πr² + 2πrh

Vervang h uit formule van volume: h = V/ πr² Dus: Oppervlakte vat = πr² + 2πr. V/ πr² Vereenvoudig: Oppervlakte vat = πr² + 2. V/ r Een minimale oppervlakte: eerste afgeleide = 0 ( πr² + 2. V/ r)’ =2 πr + -1.2. V/ r² = 0

2 πr = 2 V/ r²

We kunnen nu V vervangen door de formule van volume:

2 πr = 2 πr²h / r² 2 πr = 2 πh r = h

 Antwoord B

(30)

Gegeven: f: x  y(x) = 6ac x³ + 4bc x² + 9ad x + 6bd Gevraagd: welke optie is fout.

Oplossing:

Mogelijkheid A: Als a = 0 en bcd ≠ 0, dan wordt de vergelijking:

y(x) = 4bc x² + 6bd Aantal mogelijke nulpunten: 0, 1 of 2 want kwadratische vergelijking Mogelijkheid B: Als 3d = -2c, dan wordt de vergelijking:

y(x) = 6ac x³ + 4bc x² + (-6c)a x - 4bc y(-1) = -6ac + 4bc +6ac -4bc = 0 y(1) = 6ac +4bc -6ac -4bc = 0

Mogelijkheid D: Als a=2, dan wordt de vergelijking:

y(x) = 12c x³ + 4bc x² + 18d x + 6bd

y(-b/3) = 12c(-b³/27) + 4bc(b²/9+18d(-b/3) +6bd

= -12cb³/27 + 4cb³/9 -18bd/3 + 6bd = 0

 Antwoord C 1997 – Augustus Vraag 11

Gegeven: de irrationele functie: f: x  y(x) = - √−𝑥 − 2𝑥 + 8 Gevraagd: foute bewering

Oplossing:

Mogelijkheid B: Minimum voor x = -1?

Afgeleide van - √−𝑥 − 2𝑥 + 8

= -1/2(-2x-2)(-x²-2x+8)^-1/2

=_√

Dit wordt = 0 bij x =-1. Uit tekenverloop blijkt dit een minimum te zijn.

Mogelijkheid C: alleen gedefinieerd in interval [-4,2]?

(31)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 31 Domein is beperkt door voorwaarde dat wat onder vierkantswortel staat positief moet zijn.

Dus −𝑥 − 2𝑥 + 8> 0

Bereken nulpunten: D = 36 en x1 = -4 en x2 = 2

Bepaal tekenverloop: X -4 2

√−𝑥 − 2𝑥 + 8 /// 0 ++++++ 0 ///

-√−𝑥 − 2𝑥 + 8 /// 0 --- 0 ///

Dus domein inderdaad tussen -4 en 2 Mogelijkheid D: 2 snijpunten met y = -2?

Los daarvoor volgende vergelijking op:

-2 = - √−𝑥 − 2𝑥 + 8 2 = √−𝑥 − 2𝑥 + 8 4 = −𝑥 − 2𝑥 + 8 0 = −𝑥 − 2𝑥 + 4

Bereken de nulpunten: D² = 4 + 16 = 20. Dat geeft twee nulpunten Dus twee snijpunten.

Besluit: Mogelijkheid A moet fout zijn

 Antwoord A 2000 – Juli Vraag 2

Gegeven: De rationale functie f: x  y(x) = x² - Gevraagd: asymptoten, maxima

y(x) =( x³-27)/x

Er is geen schuine asymptoot want graad teller ≠ graad noemer +1 Er is ook geen horizontale asymptoot want graad teller ≠ graad noemer

 Antwoord B

(32)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 32 2000 – Juli Vraag 8

Gegeven: f: x  y(x): 3x⁴ – 10x³ -12x² + 12x -7

Gevraagd: juiste bewering: voor welke waarde van x bolle zijde naar boven?

Berekening van tweede afgeleide:

(3x⁴ – 10x³ -12x² + 12x -7)’= 12x³-30x²-24x+12 (12x³-30x²-24x+12)’= 36x² – 60x -24

Mogelijkheid A: y’’(-1/2) = 36/4 + 30 – 24 = 15 >0 (bol onder) Mogelijkheid B: y’’(0) = -24  bol boven

Mogelijkheid C: y”(2) = 144-120-24 = 0  buigpunt Mogelijkheid D: y”(3) = 324-180-24= 120  bol onder

 Antwoord B 2001 – Augustus Vraag 1

Gegeven: f: x  y(x) = 2ac x³ + 3bc x² - 8ad x -12bd Gevraagd: foute bewering?

Oplossing:

Mogelijkheid A: als a = 0 en bcd ≠ 0, dan wordt de vergelijking:

y(x) = 3bc x² -12bd, dit is een kwadratische vergelijking die geen, 1 of 2 nulpunten heeft Mogelijkheid B: Als c=d<0, dan wordt de vergelijking:

 y(x) = 2ac x³ + 3bc x² - 8ac x -12bc Y(2) = 16ac + 12bc – 16ac – 12bc = 0 Y(-2) = -16ac + 12bc +16ac -12bc = 0

Mogelijkheid C: Als a = 3, dan wordt de vergelijking:

y(x) = 6c x³ + 3bc x² - 24d x -12bd

y(b/2) = 6c(b/2)³ + 3bc(b/2)² – 24d(b/2) -12bd

= 6cb³/8 + 3cb³/4-12db -12bd≠0

 Antwoord C

(33)

Gegeven: De rationale functie: f: x y(x) = Gevraagd: foute bewering

Graad teller = graad noemer, dus wel een horizontale asymptoot Graad teller≠ graad noemer +1, dus geen schuine asymptoot.

Gegeven: Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3).Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor met straal 2.

Gevraagd: welke bewering juist?

Oplossing:

Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3).

Om de top te berekenen zoek je de afgeleide van x in functie van y:

X = ¼( y² - 6y + 1) en zoek je de afgeleide:

(¼( y² - 6y + 1))’ = ¼(2y-6)  deze vergelijking wordt 0 voor y = 3 Met de oorspronkelijke vergelijking vinden we bij y = 3 de waarde x=-2 De top is dus (-2,3)

Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor metstraal 2.

De standaardvorm van de vergelijking van een cirkel is: (x-a)²+(y-b)²=r² met middelpunt (a,b) en straal r.

We vormen de vergelijking om naar de standaardvorm:

y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0

y² - 6y +9-9 + x² - 4x+4-4 + 4 = 0 (toevoeging +9-9 en +4-4 om merkwaardig product te kunnen toepassen)

(y-3)²-9+ (x-2)²-4+4 = 0

(y-3)² + (x-2)² = 3² De straal van de cirkel is dus 3.

(34)

 Antwoord B 2002 – Juli Vraag 1

Gegeven: veeltermfunctie: y(x) = 4 x³ - 21 x² + 18 x - 9 Gevraagd: juiste bewering

Oplossing:

(4 x³ - 21 x² + 18 x – 9)’ = 12x² – 42x + 18

Nulpunten: discriminant = 900 en x1 = ½ en x2 = 3

Tweede afgeleide: 24x – 42  nulpunt: x = 7/4 (= buigpunt) Tekenverloop:

X ½ 7/4 3

f’(x) +++ 0 --- --- 0 +++++++++

f’’(x) --- 0 +++++++++++++++

f(x) max buigpunt min

 Antwoord B 2002 - Juli Vraag 10

Gegeven: Kromme x²y + 3y -4 = 0

Gevraagd: waarde van afgeleide y’ in punt van de kromme met x =3 Oplossing:

Herschrijf de vergelijking: y(x²+3)-4 = 0 of y = 4/(x²+3) (4/(x²+3))’ =( 0(x²+ 3) – 8x) /(x²+3)²

=-8x /(x²+3)² y’(3) = -1/6

 Antwoord A 2002 - Augustus Vraag 1

Gegeven: veeltermfunctie y=−2x³+5x²+4x+5 Gevraagd: extrema?

(35)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 35 Oplossing:

(−2x³+5x²+4x+5)’= -6x² +10x +4 = -2(3x^2-5x-2) Ontbinden via Horner: = -2(x-2)(3x+1)

Nulpunten: 2 en -1/3 Tweede afgeleide:

(-6x² +10x +4)’= -12x+10

Het nulpunt x = 10/12 = 5/6 is een buigpunt Tekenverloop

x -1/3 0 5/6 2

y’ --- 0 ++++++++++++++++++ 0 --- y” ++++++++++++++++++++++++ 0 ---

y min buigpt max

 Antwoord D

Gegeven: vergelijking: x.y + x – 2y – 1 = 0

Gevraag: afgeleide y’ in een punt van deze kromme voor x = 3?

Oplossing:

xy + x – 2y – 1 = 0 y(x-2) + x = 1 y = (1-x)/(x-2) y’ = ⁽ ₍ ^{) (}₎ ⁾

y’ = ₍ ₎ y’(3) = 1

 Antwoord D

(36)

Gegeven: de rationale functie f: x  y(x) = is NIET juist?

Gevraagd: foute bewering Oplossing:

Horizontale asymptoot: limx∞ = 2, dus bewering A is juist Nulpunten: teller heeft twee nulpunten, dus ook D is juist

Er is geen schuine asymptoot want graad teller niet gelijk aan graad noemer +1

 Antwoord C 2008 – Juli Vraag 4

Gegeven: Als 0 ≤ x ≤ 1 dankan 1 + x/2 goed benaderd worden door √1 + 𝑥 Gevraagd: Wat is binnen de voorwaarde de grootste afwijking tussen de twee uitdrukkingen?

Oplossing:

Grootste afwijking of grootste verschil: maximum of minimum Verschil: V= 1 + x/2 - √1 + 𝑥 extremum  afgeleide = 0 V’ = ½ - ₍ ₎ = 0  x = 0

Is x 0 een minimum of een maximum: invullen: 1 + 0/2 = 1 en √1 + 0 = 1  verschil

=0

Er is geen maximum, dus moeten we kijken binnen de toegelaten voorwaarde wat de hoogste waarde is, nl. 1: invullen: 1 + ½ = 3/2 en √1 + 1 = √2 Verschil: 3/2 – 1,4141

= 0,0858

 Antwoord C 2008 - Juli Vraag 7

Gegeven: de parabool y = + 3x + 6 en zijn afgeleide y’ = -x +3 Gevraagd: onjuiste uitspraak

Oplossing:

Uitspraak A: Het snijpunt van de rechte met x-as komt overeen met de top van de parabool.

Op het snijpunt van de rechte met x is de waarde van y = 0, de afgeleide is er dus 0. Dat is

(37)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 37 exact hoe we een extremum vinden. Dus, voor de x waar de rechte kruist met de x-as, is er een extremum, in dit geval een maximum. Deze uitspraak klopt.

Uitspraak B: De richtingscoëficiënt van de afgeleide is negatief en de afgeleide is dus een dalende functie. De tweede afgeleide = -1, dus negatief  holle zijde is dan naar onder.

Deze uitspraak klopt

Uitspraak C: Er zijn niet altijd 2 snijpunten tussen een parabool en zijn afgeleide. Deze uitspraak klopt niet. (voorbeeld: y = x² + 10 en afgeleide: y’ = 2x, er zijn geen snijpunten) Uitspraak D: Als de rechte onder de x-as is, dan is de afgeleide negatief (na het nulpunt). De parabool is dan dalend. Deze uitspraak klopt.

 Antwoord C 2008 - Augustus Vraag 8

Gegeven: veeltermfunctie: f(x) = 3x³+27x²+5 Gevraagd: foute uitspraak

Oplossing:

Mogelijkheid A: f(5) = 3.5³+27.5⁵+5 ≠0 f(1) = 3+27.5 ≠0 Mogelijkheid B: (3x³+27x²+5)’ = 9x² +54x

= x(9x+54)

Nulpunten: x = 0 en x =-6, dit zijn de twee extrema Mogelijkheid C: buigpunt berekenen  tweede afgeleide:

(9x² +54x )’ = 18x +54

Nulpunt = -54/18 = -3 is een buigpunt

Mogelijkheid D: f’’(0) = 18.0+54 = 54 >0 (hol naar boven)

 Antwoord D 2009 - Juli Vraag 1

Gegeven: parabolische functie: f (x) = 2 x²- 2x -1 Gevraagd: top?

Oplossing: Berekening van de top: afgeleide gelijk aan 0

(38)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 38 ( 2 x²- 2x -1)’ = 4x -2 = 0  x=1/2

 Antwoord B 2009 – Juli Vraag 2

Gegeven: f (x) = 4 x³ + 2 x²+ x -1/6 Gevraagd: Buigpunten

Oplossing:

(4 x³ + 2 x²+ x -1/6)’ = 12x² +4x +1 (12x² +2x +1)’ = 24x +4

Nulpunt: -1/6

 Antwoord A 2009 - Juli Vraag 3

Gegeven: parabolische functie: f(x) = 2x² – 2x -1 Gevraagd: top van deze parabool?

Oplossing: top  y’ = 0 Y’ = 4x -2 = 0  x = ½

Gegeven: de functie x³ – x² – 3x -9 Gevraagd: aantal reële nulpunten Oplossing:

Alle delers van 9 kunnen nulpunten zijn: 1,-1,2,-2,3,-3,9,-9 Experimenteel vind je bij x=3 een nulpunt: f(3)=27-9-9-9=0 Regel van Horner:

1 -1 -3 -9

3 6 9

3 1 2 3 0

(39)

 (x-3)(x²+2x+3)

Nulpunten van (x²+2x+3) berekenen Discriminant = 4-4.3.1 = -8 <0 Er is dus maar 1 reëel nulpunt

 Antwoord B 2010 - Augustus Vraag 5

Gegeven: functie y(x)=(x²−4x)/(x+2)² Gevraagd: waar is extremum tov nulpunten Oplossing:

y = x(x-4)/(x+2)² nulpunten: x=0 en x =4 Berekening extremum:

y’ = [(2x-4)(x+2)² – 2(x+2)(x²-4x)] / (x=2)⁴

= (8x -8)/(x+2)³

Nulpunt bij x=1 (= extremum) Tekenverloop:

X -2 0 1 4

Y +++++ +++++ 0 --- 0 +++++

(8x-8) --- --- 0 ++++++++++++++++

(x+2)³ --- +++++++++++++++++++++++++++++++++++

Y’ +++++ --- 0 ++++++++++++++++

y min

 Antwoord A 2011 - Juli Vraag 3

Gegeven: veelterm: x⁴ – 3x³ + x² – 5x + 6 Gevraagd: aantal reële nulpunten

(40)

Delers van 6 kunnen nulpunten zijn, dus 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6 Experimenteel: f(1) = 0

Via Horner:

1 -3 1 -5 6

1 -2 -1 -6

1 1 -2 -1 -6 0

(x-1)(x³-2x²-x-6)

Delers van 6 kunnen nulpunten zijn, dus 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6 Experimenteel: f(3)=0

1 -2 -1 -6

3 3 6

3 1 1 2 0

(x-1)(x-3)(x²+x+2) D² = 1 – 8 = -7 <0

Er zijn dus 2 reële nulpunten, nl. 1 en 3

 Antwoord B 2011 - Juli Vraag 7 Gegeven: functie y =

Gevraagd: asymptoten en buigpunten?

Oplossing:

Graad teller = 1 + graad noemer -> er is een schuine asymptoot Verticale asymptoot: x = -2/3

Onderzoek buigpunten: via nulpunten van tweede afgeleide:

y’ =[2x(3x+2)-3(x²)]/(3x+2)² = [6x²+4x-3x²]/(3x+2)²

= (3x²+4x) / (3x+2)²

(41)

y” = ⁽ ⁾⁽ ⁾ ⁽ ⁾⁽ ⁾

( )

= ⁽ ⁾⁽ ⁾₍ ⁽₎ ⁾⁽ ⁾

= (18x²+24x+8-18x²-24x)/(3x+2)³

= 8/(3x+2)³

Deze functie heeft geen nulpunten  dus ook geen buigpunten.

 Antwoord A 2011 - Augustus Vraag 3

Gegeven: rationele functie: y =

Gevraagd: asymptoten en buigpunten?

Oplossing:

Teller heeft geen nulpunten D² = -3 <0 Verticale asymptoot: x = -2

Schuine asymptoot: y = ax + b A = 1 en b = -1

Dus y = x-1

Horizontale asymptoot: geen

Eerste afgeleide: y’ = [(2x+1)(x+2) – (x²+x+1)] / (x+2)²

= (2x²+4x+x+2-x²-x-1)/ (x+2)²

= x²+4x+1/(x+2)² Nulpunt teller:

D² = 12 en nulpunten: x = (-8 -√12)/2 en x = (-8 +√12)/2 , dit zijn de extrema Tweede afgeleide geven de buigpunten:

Y” = [(2x+4)(x+2)² – 2(x+2)(x²+4x+1)] / (x+2)⁴

= (2x² + 4x+4x+8-2x²-8x-2)/(x+2)³

= 6/(x+2)³ geen nulpunten, dus ook geen buigpunten

(42)

Gegeven: functie y=2x²+2x+3/2

Gevraagd: helling van raaklijn door punt P(2,1) Oplossing:

De afgeleide is de raaklijn, dus vgl van de raaklijn is y’=4x+2

Anderzijds wordt de helling van de rechte bepaald door( y-y0)/(x-x0) Gegeven in tekening volgend punt op de raaklijn: X0 = 2 en y0 = 1 Dus 4x+2 =( y-1)/x-2

Vul de uitdrukking van y in in deze vergelijking:

4x+2 =(( 2x²+2x+3/2 )-1)/x-2 (4x+2)(x-2) = 2x²+2x+1/2 4x²+2x-8x-4-2x²-2x-1/2=0 2x²-8x-4-1/2=0

2x²-8x-9/2=0 4x²-16x-9=0

D²= 16²+(4.4.9) = 400

Nulpunten zijn: x = -1/2 en x =9/2 X invullen in y’:

Y’ = 4(-1/2) = 2 = 0  horizontale raaklijn Y’ = 4(9/2)+2 = 20

 Antwoord A 2012 – Juli Vraag 5

Gegeven: verband onverwachte mortaliteit (y) en gemiddeld aantal uren slaap:

y = 100x² – 1500x + 600

Gevraagd: bij welk gemiddeld aantal uren slaap was de mortaliteit het kleinst?

(43)

Minimum berekenen  afgeleide y’ = 200x – 1500 = 0

X = 1500/200 = 7.5 uur

Gegeven: A = -d² + 2d + 3 (0 ≤ d ≤ 2)

Gevraagd: voor welke waarde van d is A maximaal?

Oplossing:

Maximum bij A’ = 0  2d +2 = 0  d = 1

Gegeven: de kwadratische functie: y = -2x² + 2Een rechte die de y-as snijdt in het punt (0;4) heeft één punt gemeenschappelijk met deze parabool. De gezochte rechte is niet verticaal en is niet parallel met de rechte y = 4x

Gevraagd: Hoeveel bedraagt de helling van die rechte?

Oplossing:

(0.4)

(0,2)

De tekening geeft (met wat verbeelding, word heeft zijn beperkingen...) een raaklijn links en één rechts. De rechte y = 4x loopt parallel met de linkse raaklijn. De y-as mag niet omdat ze verticaal is. We zoeken dus de rechter raaklijn.

(44)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 44 Vermits de raaklijn door punt (0,4) gaat is de vergelijking van die rechte van de vorm:

y = ax +4. Om het gemeenschappelijk punt met de parabool te vinden stellen we de vergelijkingen aan elkaar gelijk:

ax + 4 = -2x² + 2 2x² + + ax + 2 = 0

Slechts één oplossing (één raakpunt)  discriminant = 0 Dus: √𝑎 − 4.2.2 = 0  a² = 16  a = 4 of a = -4

Voor a = 4 krijgen we de linkse raaklijn en voor a = -4 de rechtse raaklijn

 Antwoord A 2013 - Juli Vraag 3 versie1

Gegeven: de volgende rationale functie: 𝑦 =

1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1 3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1 4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Gevraagd: Welke van deze uitspraken zijn correct?

Oplossing:

VA: nulpunt van de noemer (maar mag niet het nulpunt van de teller zijn).

VA = 1 (nulpunt noemer) en nulpunt teller is niet 1

SA: er is geen schuine asymptoot want want graad T ≠ graad N+1 Er is ook geen HA want lim van x-->∞ = ∞

 Antwoord B 2013 - Juli Vraag 3 versie2

Gegeven: de volgende rationale functie: 𝑦 =

(45)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 45 1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1

2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1 3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1 4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Gevraagd: Welke van deze uitspraken zijn correct?

Oplossing:

Bepaal nulpunten van teller en noemer:

𝑦 = 2𝑥 + 𝑥 − 𝑥

𝑥 − 1 = (2𝑥 + 𝑥 − 1)𝑥 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) telpunten noemer: 1 en -1

nulpunten teller: geen nulpunt voor x = 1; dus wel een verticale asymptoot voor x = 1 bij x = -1 wel een nulpunt voor teller, we kunnen (2𝑥 + 𝑥 − 1) delen door (x+1). Via Horner verkrijgen we voor deze deling: (2𝑥 + 𝑥 − 1)/ (x+1) =2x -1

Dus (2𝑥 + 𝑥 − 1)= (2x -1)(x+1)

We vervangen dit in y = ⁽₍ ⁾⁽₎₍ ⁾₎ = ⁽ ⁾

( ) =

x = -1 is dus geen verticale asymptoot

SA: er is een schuine asymptoot want want graad T = graad N+1 Berekening: SA: y = ax + b waarbij a = lim

→

( ) en b = lim

→ (𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥) Bereken a: lim

→

( )

= 2 Bereken b: lim

→ − 2𝑥 = lim

→

( )

= = lim

→

) = 1 De schuine asymptoot is dus y = 2x + 1

Gegeven: de functie: 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥 + 4

Gevraagd: Hoeveel raaklijnen aan deze functie zijn evenwijdig met de rechte 3x - y = 2

(46)

3x - y = 2 --> y = 3x - 2

De helling van de rechte y is de richtingscoëfficiënt nl. 3. Als de rechte y = 3x -2 dezelfde richting heeft als de raaklijnen van de functie , dan is de afgeleide van de functie y = 3.

Bepaal de afgeleide van de gegeven functie: 3x² - 2en stel ze gelijk aan 3. We vinden dan twee oplossingen: x = - en x =

Er zijn dus twee raaklijnen evenwijdig

 Antwoord C

Gevraagd: Welke van de volgende grafieken geeft de functie y = Ln(x-2) +1 weer?

Oplossing:

(47)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 47 Zie onderstaande figuur: bij ln(x) is het nulpunt x = 1; bij ln(x+3) is het nulpunt x = -2 En voor y = Ln(x-2) is het nulpunt dan x = 3 (dit vind je door x-2 gelijk te stellen aan 1). Vermits er nog 1 wordt bijgeteld is de waarde van y voor x =3 niet 0 maar 1. Dat is het geval voor grafiek D

 Antwoord D

Gegeven: In de volgende grafiek zijn 4 logaritmische functies getekend.

Gevraagd: Welke van de volgende curven geeft de functie y = Ln(2-x) + 1 weer?

Oplossing:

Zie de grafiek in vorige oefening: bij ln(x) is het nulpunt x = 1; bij ln(x+3) is het nulpunt x = -2 En voor y = Ln(2-x) is het nulpunt dan x = 1 (dit vind je door 2-x gelijk te stellen aan 1).

Vermits er nog 1 wordt bijgeteld is de waarde van y voor x =1 niet 0 maar 1. Dat is het geval voor grafiek D

(48)

 Antwoord D 2013 - Augustus Vraag 4

Gegeven: volgende rationale functie: y(x) = Gevraagd: Welke uitspraak is correct?

A. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -1 B. De functie bereikt een locaal maximum voor x = +1 C. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -√3 D. De functie bereikt een locaal maximum voor x = √3 Oplossing:

Verticale asymptoten voor x = -1 en x = 1. Op die punten kan er dus geen locaal maximum liggen. A en B zijn dus fout.

Om maxima te berekenen, moeten we het tekenverloop van de eerste afgeleide berekenen:

y' = ₍ ₎ ^. = ₍ ₎ = ₍ ₎ = ₍⁽ ₎⁾

(49)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 49 nulpunten: x= 0; x= +√3 en x = -√3

Tekenverloop:

x -√3 -1 0 1 +√3

x² +++++ + ++++ / ++ 0 +++ / ++++ + ++++

x²-3 +++++ 0 --- / ---- - ---- / --- 0 ++++

(x²-1)²+++++ + ++++ / +++ + ++++ / +++ + ++++

y' +++++ 0 --- / ---- 0 ---- / --- 0 ++++

y max VA VA min

Dus: enkel bij -√3 is er een locaal maximum.

Gevraagd: Hoeveel raaklijnen kan men tekenen aan de functie y = x² + 2x door het punt (-1/2, -3)?

Oplossing: De raaklijn aan de functie en de lijn door het punt moeten dezelfde helling of richtingscoëfficiënt hebben.

Richtingscoëfficiënt van een lijn: a =

Richtingscoëfficiënt van raaklijn aan grafiek = afgeleide van y Dus: y' =

Dus: ingevuld voor de functie y en punt (-1/2, -3) geeft dat:

(x² +2x)' = ⁽ ⁾

( )

bereken afgeleide links en vervang y rechts:

2x + 2 = ⁽ _/⁾

(2x+2)(x+1/2) = x² + 2x +3 2x² +1 + 2x +x = x² + 2x +3 x² + x -2 = 0

(50)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 50 Oplossing: x = -2 en x = 1. Dus 2 oplossingen

Gegeven: Hieronder staan vier functies getekend in een grafiek.

y = 1 - (x - 2)³ y = 1 + (x - 2)³ y = 2 - (x - 1)³ y = 2 + (x - 1)³

Welk van deze grafieken stelt de functie y = 1 + (x-2)³ voor?

Oplossing: de grafieken hebben vier verschillende nulpunten en vier verschillende snijpunten met de y-as. Gemakkelijkste om te berekenen: snijpunten met y-as: stel voor elk x = 0 Uit de posities van de snijpunten kunnen we dan de grafieken bepalen:

y = 1 - (0 - 2)³ --> y= 9 (grafiek D) y = 1 + (0 - 2)³ --> y = -7 (grafiek B)

(51)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 51 y = 2 - (0 - 1)³ --> y = 3 (grafiek C)

y = 2 + (0 - 1)³ --> y = 1 (grafiek A)

 Antwoord B 2014 – Juli – Vraag 3

Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie.

Welk functievoorschrift is correct?

Oplossing: vul voor x de waarde 0 in en de waarde

∞

Als x 0 is moet y = 300 (zie tekening). Dat is enkel bij oplossingen C en D. Naarmate x stijgt, moet ook y stijgen, dat geldt enkel bij negatieve exponent van e (getal dat van 500 moet worden afgetrokken moet kleiner worden).

Y = 500 - 200.𝑒 ^.

 Antwoord C 2014 – Juli Vraag 8

Gegeven: zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte.

Y = -x – ¼ y = x² +m.x + 2

Gevraagd: Bij geschikte waarden voor de parameter m raakt de rechte aan de parabool.

Hoeveel bedraagt de som van die waarden voor m?

Oplossing: In het raakpunt zijn de twee vergelijkingen aan elkaar gelijk.

x

y

(52)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 52 x² + m.x + 2 = X – ¼ =

x² + m.x - x + 2 + 1/4= 0 x² + (m-1).x + 9/4= 0

Bereken de discriminant en stel die gelijk zijn aan 0 vermits er maar één raakpunt is.

Discriminant = (m-1)² – 4.1.9/4 = 0 m² + 2m +1 -9 = 0

(m-2)(m+4) = 0

 m kan dus gelijk zijn aan 2 of -4. Optelling geeft -2

 Antwoord D 2014 – Augustus Vraag 3

Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie

Gevraagd: Welk functievoorschrift is correct?

Oplossing:

Bereken voor elke oplossing de waarde voor y bij x = 0 en x =  Voor oplossing A:

Y = 700 – 200.e^{-0,025 (0)}= 700 – 200.1 = 500

Y = 700 – 200.e^{-0,025 ()} = 700 – 200/e^ = 700 – 0 = 700

x y

700

500

300

(53)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 53 Voor oplossing B:

Y = 700 – 200.e^{0,025 (0)}= 700 – 200.1 = 500

Y = 700 – 200.e^{0,025 ()} = 700 – 200.e^ = 700 -  = -

Voor oplossing C:

Y = 500 + 200.e^{0,025 (0)}= 500 + 200.1 = 700

Y = 500 + 200.e^{0,025 ()} = 500 + 200.e^ = 500 +  =  Voor oplossing D:

Y = 500 + 200.e^{-0,025 (0)} = 500 + 200.1 = 700

Y = 500 + 200.e^{-0,025 ()} = 500 + 200.e^- = 500 + 200/e^= 500 +0 = 500

 Antwoord D 2015 - Juli Vraag 4

Hoeveel snijpunten hebben de parabolen y = x² + x + 1 en y = 2x² -2x +3 Oplossing:

Stel de vergelijkingen gelijk aan elkaar: x² + x + 1 = 2x² -2x +3 en bepaal x x² + x + 1 - 2x² +2x - 3 = 0

- x² + 3x - 2 = 0

Discriminant = 9 - 4.(-1)(-2) = 1 x1 = (-3 + 1)/-2 = 1

x2 = (-3 - 1)/-2 = 2

Er zijn dus twee snijpunten

Bepaal het domein van S, als een sinus van hoek α is.

Teken de grafiek.

(54)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 54 Bepaal de grenzen sin α ligt tussen -1 en 1: aangeduid met accolade op tekening

= -1 en = 1 s-1 = -1 + 2s s-1 = 1 - 2s

s - 2s = 0 s+ 2s = 2

-s = 0 3s = 2

s = 0 s = 2/3

De waarden van s in het linkerdeel van de grafiek lopen van -∞ tot 0 en aan de rechterkant van 2/3 tot + ∞

]- ∞ , 0]U [2/3, + ∞ [

Gegeven is een parabool: y = 2x² + (a-1)x + (a² - 1) met a ϵ ⌈0,1⌉

We beschouwen de som van de kwadraten van de nulpunten van deze parabool.

Hoeveel bedraagt deze som maximaal?

Oplossing:

Bepaal de nulpunten:

Discriminant = (a-1)² - 4.2.(a² -1) = a² + 1 - 2a -8a² + 8 = -7a² -2 a +9 x1 = ⁽ ^{) √}

(55)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 55 x2 =⁽ ^{) √}

Bepaal de som van de kwadraten:

S = x12 + x22 = (⁽ ^{) √} ) + (⁽ ^{) √} )

= ⁽ ⁾ ^.( ^{) √} ⁽ ^{) .}+

( ) .( ) √ ( ) .

= (1 - 2a + a²- 7a²- 2a + 9) = (1 - 2a + a²- 7a²- 2a + 9) = (-6a² -4a + 10) Afgeleide S' berekenen en gelijkstellen aan 0

S' = . (-12a - 4) = 0 S' = . (-6a - 2) = 0 --> a = - 2/6 = -1/3

De som stijgt voor a: 1 --> 0 en is maximaal in a =0 S = 1/4 (-3.0² - 2.0 + 5) = 1/4 . 5 = 5/4

 Antwoord B 2015 – Augustus Vraag 3

De functie f is bepaald door het voorschrift f(x) = x²e^-x. Over welk interval is deze functie monotoon dalend?

Oplossing y = x²e^-x = x²/ e^x

Bepaal afgeleide y’ = ^.₍ ₎ ^. = ⁽ ₍ ₎⁾ = ⁽₍ ₎ ⁾ = ⁽ ⁾ Nulpunten: x(2-x) = o voor x =2 of x = O en e^x is altijd positief Functieverloop

X 0 2

Y’ --- 0 +++++ 0 ---

(56)

Y 0

Min Max

y’ is negatief voor ]-∞,0[ en in ]2,+∞[

 Antwoord D 2015 - Augustus Vraag 5

Het aantal snijpunten van de parabolen met vergelijking y = x² en x = y² is gelijk aan ? Oplossing

y = x²

x = y²: vervang hierin y door x² (gegeven in eerste vgl): x = (x²)² = x⁴ x – x⁴ = 0  x(1-x³) = 0

 x kan 0 of 1 zijn. De twee snijpunten zijn dus (0,0) en (1,1)

 Antwoord C 2016 - Juli Geel Vraag 10

Gegeven is de functie met voorschrift f(x) = x³ – 11 x² – 25x – 13 . De rechte met vergelijking y = px + q raakt de grafiek van f in het punt A(a,f(a)) en snijdt de grafiek van f in het punt B(13,0). A en B zijn verschillende punten

Gevraagd: p + q Oplossing

Ontbind x³ – 11 x² – 25x – 13 met Horner:

1 -11 -25 -13

13 13 26 13

1 2 1 0

f(x) = (x-13)(x² + 2x +1)

Bepaal nulpunten voor (x² + 2x +1) D = 0

x1 = x2 = -2/2 = -1 Tekenverloop:

(57)

X -1 13

(x-13) - - - 0 + +

(x² + 2x +1) + 0 + + + + + +

(x-13)(x² + 2x +1) - 0 - - - 0 + +

Grafiek

De enige raaklijn die door het punt (13,0) gaat en een ander raakpunt heeft dan (13,0) is de x-as: y = 0, dus p + q = 0

 Antwoord C 2016 - Juli Geel Vraag 13

Gegeven: Beschouw drie functies f, g en h met functievoorschriften f(x) = sin (x/2) g(x) = 1 – e^-x h(x) =

De grafieken van f, g en h gaan door de oorsprong O. De volgende figuur toont de grafieken van deze functies op een gesloten interval waarvan het linkereindpunt de oorsprong is.