Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: integralen en afgeleiden 20 februari 2021 Brenda Casteleyn, PhD Met dank aan: Atheneum van Veurne Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: integralen en afgeleiden

20 februari 2021 Brenda Casteleyn, PhD

Met dank aan:

Atheneum van Veurne

Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 2

1. Inleiding

Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema.

De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website met uitgewerkte antwoorden en extra oefeningen.

2. Oefeningen over integralen

1997 – juli Vraag 7

Bereken de waarde van de volgende bepaalde integraal:∫ 𝑒 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥

<A> -1

<B> 0

<C> 1

<D> 2 1997 – Juli Vraag 8

Beschouw de volgende functie: 1 ⁶

( ) . .(6. ( ) 1) y x  36 x Ln x  C Deze functie is het resultaat van:

<A>

5. ^x x e dx



<B>

5. ( ) x Ln x dx



<C>

7. ^x x e dx



<D>

 ^{Ln x ( )} 

^dx



1997 – Augustus Vraag 4

Eerste bewering: ∫ 𝑥𝑒 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 − ∫ e + 𝐶

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 3 Tweede bewering: als u(x) ebn v(x) afleidbare functies zijn, dan geldt:

𝑢(𝑥)𝑑𝑣(𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − 𝑣(𝑥)𝑑𝑢(𝑥)

<A> Alleen de eerste bewering is juist

<B> Alleen de tweede bewering is juist

<C> Beide beweringen zijn juist

<D> Beide beweringen zijn onjuist 1997 – Augustus Vraag 10

De waarde van ∫ 𝑑𝑥 is

<A> ln 4

<B> ½ ln4

<C> 2 ln²4

<D> 2ln²2 2000 – Juli Vraag 3

De waarde van ∫ ^/ 𝑥𝑒 𝑑𝑥 is:

<A> e/3

<B> 1/3

<C> 1/4

<D> 1/5 2001 – Augustus Vraag 7 De waarde van ∫ 𝑑𝑥 is:

<A> e-5

<B> e-3

<C> 0

<D> e-1 2002 – Juli Vraag 9

∫ x. sin 𝑥 𝑑𝑥 =

<A> –π

<B> –π/2

<C> π/2

<D> π

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 4 2007 – Augustus Vraag 1

Stel dat de functies F(x) en G(x) primitieve functies zijn van de functie f(x). Welke van onderstaande beweringen is dan juist?

<A> De functies F(x) en G(x) zijn gelijkwardig

<B> Er bestaat een reëel getal r zodat F(x) = rG(x)

<C> De functies F(x) en G(x) kunnen hoogstens in een constante verschillen

<D> F(x) en G(x) kunnen alleen rationale functies zijn 2007 – Augustus Vraag 7

Gegeven is ∫ = ln x en ∫ cos 𝑥𝑑𝑥 = sin 𝑥 Welke bewerig is dan juist

<A> ∫ = ln sin x

<B> ∫ = sin ln x

<C> ∫ = ln x +

<D> ∫ is niet te berekenen alleen op grond van de gegevens 2008 -Augustus Vraag 2

Voor partiële integratie geldt:

 f x g x dx g x f x ( ). '( )  ( ). ( )   g x f x dx ( ). '( )

Bepaal de volgende bepaalde integraal:

0

.(sin( ) cos( ))

x x x dx



 

<A> ^/2

<B> ^-/2

<C> π + 2

<D> π - 2 2010 – Augustus Vraag 7

Be beschouwen twee uitdrukkingen:

Uitdrukking 1:

 ln( ) x dx  ln( ) x   x c

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 5 Uitdrukking 2:

2

1 1

(2 ) (4 )

2 8

Sin x dx  x  Cos x  c



Welke uitdrukkingen zijn wiskundig juist?

<A> Uitdrukkingen 1 en 2 zijn juist.

<B> Uitdrukkingen 1 en 2 zijn fout.

<C> Uitdrukkingen 1 is juist en uitdrukking 2 is verkeerd.

<D> Uitdrukkingen 1 is verkeerd en uitdrukking 2 is juist.

2012 – Juli Vraag 6 versie 1

Bereken de volgende onbepaalde integraal:

3 2

.

x e dx



<A>

3 . 2

3

2 .

e x

e

e  c

<B>

3 . 2

3 . .

e x e  c

<C>

3 2

2

3

ex

e

e  c

<D>

3 2

.

3

ex

x e

e  c

2010 – Juli Vraag 6 versie 2

Bereken de volgende onbepaalde integraal:

2 2

.

x e dx



<A>

2 2

4 3

3

x te

e c

<B>

2 2

3 3

4

e x k

<C>

2 2

2

3

e

 k

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 6

<D>

2 2

3

2

e

 k

2012 – Augustus Vraag 6

Bereken de volgende onbepaalde integraal:

5 2 2 .

Sin  x   dx

 

 



<A>

2 5 2

5 2

Cos x   C

<B>

2 5 2

5 2

Cos x  C

  

<C>

5 5 2

2 2

Cos x  C

  

<D>

5 5 2

2 2

Cos x   C

2014 – Juli – Vraag 2

Werk de volgende onbepaalde integraal uit:

<A>

1

. ( ) 4.

I  x Ln x   x e  C

<B>

1

. ( )

4 e

I  x Ln x   x  C

<C>

1

. ( )

4 e

I  x Ln x   C

<D>

1

. ( ) 4.

I  x Ln x  e  C

1

( )

I   Ln x  e dx

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 7 2014 – Augustus – Vraag 2

Gegeven zijn twee uitwerkingen van een onbepaalde integraal:

I1 = ∫ 𝑥. cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥. sin(𝑥) + cos(𝑥) + 𝑐 I2 = ∫ 𝑒 . 𝑑𝑥 = 2𝑥. 𝑒 + 𝑐

Welke van deze twee uitwerkingen zijn correct?

<A> I1 en I2 zijn correct

<B> I1 en I2 zijn verkeerd

<C> I1 is verkeerd en I2 is correct

<D> I2is verkeerd en I1 is correct 2015 - Juli Vraag 1

Gegeven de volgende gelijkheid

𝑥 𝑑𝑥 + (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 + (𝑥 − 2) 𝑑𝑥 + … (𝑥 − 𝑛 + 1) 𝑑𝑥 = 280 Welke waarde heeft n in deze vergelijking?

<A> 100

<B> 93,3

<C> 120

<D> 200 2015 - Juli Vraag 12

Bereken de volgende bepaalde integraal:

sin(𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥

/

<A> 3/2

<B> 3/4

<C> 3/8

<D> 3

2015 – Augustus Vraag 6

Voor welke waarde van x geldt dat

(3𝑡 − 1) 𝑑𝑡 = 21

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 8

<A> x = 6

<B> x = 5

<C> x = 3

<D> x = 2 2015 – Augustus Vraag 14 Bepaal n waarvoor

∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 + 3 ∫ (𝑥 − 2)𝑑𝑥 … + 𝑛 ∫ (𝑥 − 𝑛 + 1)𝑑𝑥 = 18

<A> n = 14

<B> n = 10

<C> n = 8

<D> n = 7 2016 – Juli geel Vraag 2

Gegeven is de functie f met als voorschrift f(x) =

Wat is het voorschrift van de afgeleide functie f’?

<A> f’(x) =

<B> f’(x) =

<C> f’(x) =

<D> f’(x) = 2016 – Juli geel Vraag 3

De afgeleide van een functie f, gedefinieerd op 0, + is gegeven door f’(x) = ln x. Bovendien is f (e ) = e

. Dan is f (e

) gelijk aan:

<A> e

<B> 2e

<C> 2 + e

<D> e

2016 – Augustus geel Vraag 12

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 9 Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) = . De afgeleide functie f’ heeft als

voorschrift

<A> f’x) =

<B> f’(x) =

<C> f’(x) = −

<D> f’(x) =- 2017 – Juli geel Vraag 3

Bereken ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx

<A> 7 ln4

<B> 9 ln4

<C> 14 ln4

<D> 16 ln4

2017 – Augustus geel Vraag 3

De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = Ae^ωx. Hierbij zijn A en ω constanten. Er is gegeven dat f(0) =2 en f’(0) = 1

Bepaal ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

<A> 4(√𝑒 +1)

<B>

√ – 4

<C> 4√𝑒

<D> 4(√𝑒 -1)

2017 – Augustus geel Vraag 13 Bereken de integraal ∫ _{( )}𝑥. 𝑒 𝑑𝑥

<A> ln √2

<B> 1 + ln √2

<C> ln √2𝑒

<D> 1 + ln √2𝑒 2018 – Arts geel Vraag 5

Bepaal de afgeleide van de functie f met voorschrift f(x) = (x – 1)tan(x²)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 10 voor x = √𝜋

<A> 2√𝜋

<B> √𝜋 1 − √𝜋

<C> 2√𝜋 (√𝜋 − 1)

<D> 2√𝜋(√𝜋 + 1) 2019 – Arts geel Vraag 1

Als t een reëel getal is waarvoor

∫ 𝑥 + 𝑑𝑥 = -2 Dan is

<A> t³ + t – 6 = 0

<B> t³ + t – 2 = 0

<C> t³ + t + 2 = 0

<D> t³ + t + 6 = 0

2020 – Tandarts Vraag 5

De getoonde grafiek van de functie f werd verkregen door de grafiek van de functie g met functievoorschrift g(x) = 2√𝑥 te verschuiven in het vlak. Wat is de afgeleide functie van f?

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 11

<A>

√

<B>

√

<C>

√

<D>

√

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 12

3. Oplossingen oefeningen

1997 – juli Vraag 7

𝑒 𝑑𝑥 − 1

1 + 𝑥𝑑𝑥

e⁰ – e^-∞ - ∫ 𝑑𝑦 (waarbij y = 1+x en dy = dx; ennieuwe grenzen:

voor x = 0  y=1 en voor x = e-1  y =e)) 1 – 0 - (ln(e) – ln(1))

1 – (1-0) = 0

 Antwoord B 1997 – Juli Vraag 8

Gegeven:

1 6

( ) . .(6. ( ) 1) y x 36 x Ln x  C

Gevraagd: van welke integratie is deze functie het resultaat Oplossing: vanprimitieve terug naar integraal = afleiden:

Y’(x) = [6x⁵(6lnx – 1) + x⁶ ]

= [36x⁵lnx –6x⁵ + 6x⁵]

= x⁵lnx

 Antwoord B 1997 – Augustus Vraag 4

Gegeven: Eerste bewering:∫ 𝑥𝑒 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 − ∫ e + 𝐶

Tweede bewering: als u(x) en v(x) afleidbare functies zijn, dan geldt:

𝑢(𝑥)𝑑𝑣(𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − 𝑣(𝑥)𝑑𝑢(𝑥) Gevraagd: welke beweringen juist?

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 13 Oplossing:

De eerste bewering is een toepassing van de tweede bewering. Ze zijn allebei juist:

 Antwoord C 1997 – Augustus Vraag 10 De waarde van ∫ 𝑑𝑥 is Oplossing:

Gebruik substitutie: y = ln x dan is dy = 1/x dx Vervanging in de integraal geeft: ∫ 𝑦 𝑑𝑦 Primitieve: = ln(x)²/2

Invulling van waarden: = ^{( )} – ^{( )}

= ^{( )} – 0 (want ln 1 = 0) Pas eigenschappen log toe: logaxⁿ = n logax

= ^{( )}

= 2𝑙𝑛 2

 Antwoord D 2000 – Juli Vraag 3

De waarde van ∫ ^/ 𝑥𝑒 𝑑𝑥 is:

Gebruik substitutie en partiëel integratie:

Y = 2x, dus dy = 2dx

Vervanging in integraal geeft: ∫ ^/ 𝑦𝑒 𝑑𝑦

= (𝑦𝑒 − 𝑒 )

= (2𝑥𝑒 − 𝑒 )

= 2 𝑒 − 𝑒 – (0 − 1)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 14

= (𝑒 − 𝑒) +

= ¼

 Antwoord C 2001 – Augustus Vraag 7 De waarde van ∫ 𝑑𝑥 is:

Oplossing: ∫ 𝑑𝑥 (in teller 2 optellen en terug aftrekken)

= ∫ 1 − 𝑑𝑥

= x – 2ln(x+1) Ι0e-1

= (e-1-2lne) – (0-2ln1)

= e-1-2 (ln1 = 0)

= e-3

 Antwoord B 2002 – Juli Vraag 9

x. sin 𝑥 𝑑𝑥

Gebruik partieel integratie:

∫ x. sin 𝑥 𝑑𝑥= (-cos x)x – ∫(− cos 𝑥) 𝑑𝑥

= -x cos x + sin x

Waarden invullen: (-πcos π + sin π) – ((-0.cos(0) + sin(0)) = -π(-1)+0 =π

 Antwoord D 2007 – Augustus Vraag 1

Stel dat de functies F(x) en G(x) primitieve functies zijn van de functie f(x). Welke van onderstaande beweringen is dan juist?

De functies F(x) en G(x) kunnen hoogstens in een constante verschillen

 Antwoord C 2007 – Augustus Vraag 7

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 15 Gegeven is ∫ = ln x en ∫ cos 𝑥𝑑𝑥 = sin 𝑥

Welke bewering is dan juist

∫ = ln sin x

∫ = sin ln x

∫ = ln x +

∫ is niet te berekenen alleen op grond van de gegevens Gemakkelijkste manier is uitkomst van elke oplossing afleiden:

Bij A: (ln sinx)’ = ^{( )} = (gebruik: (ln f)' = f'/f ) Bij B: (sin ln x)’ = cos lnx . (lnx)’ = cos 𝑙𝑛𝑥

Bij C: (ln x + )’ = − A, B en C zijn alledrie onjuist

 Antwoord D

Om de integraal op te lossen: gebruik ∫ = ln

∓ + Cte

∫ = ∫ = ∫ ^{( )} = ln + Cte

2008 -Augustus Vraag 2

Voor partiële integratie geldt:

 f x g x dx g x f x ( ). '( )  ( ). ( )   g x f x dx ( ). '( )

Bepaal de volgende bepaalde integraal:

0

.(sin( ) cos( ))

x x x dx



 

Oplossing:

∫ 𝑥. (sin 𝑥 + cos 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥. sin 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥

= −cos x. x— ∫ −cos x 𝑑𝑥 + sin x .x – ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥

= -cos x.x + sinx + sin x.x + cos x

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 16 Waarden invullen:

= (-cosπ.π + sinπ + sin π.π + cosπ)- (-cos(0).0 + sin(0) + sin (0).0 + cos (0))

= (-(-1)π + 0 + 0.π + (-1)) - (-1.0 + + 0 + 1)

= π – 1 -1

= π -2

 Antwoord D 2010 – Augustus Vraag 7

Be beschouwen twee uitdrukkingen:

Uitdrukking 1:

 ln( ) x dx  ln( ) x   x c

Uitdrukking 2:

2

1 1

(2 ) (4 )

2 8

Sin x dx  x  Cos x  c



Welke uitdrukkingen zijn wiskundig juist?

Oplossing:

Uitdrukking 1: gebruik partiële integratie toegepast op ∫ 1. ln 𝑥 𝑑𝑥

∫ ln 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 𝐶𝑡𝑒, dus uitdrukking 1 is fout

Uitdrukking 2: zet het kwadraat om door gebruik te maken van machtsreductieregel:

𝑠𝑖𝑛 𝑥 = ^{( )}

De integraal uit uitdrukking 2 wordt dan

∫ ^{( )}𝑑𝑥 = ∫ - ∫ cos(4𝑥)𝑑𝑥 =

= x - ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 (met u = 4x en du = 4dx)

= x - sin 𝑢 + 𝐶𝑡𝑒

= x - sin 4𝑥 + 𝐶𝑡𝑒 Ook uitdrukking 2 is fout

 Antwoord B

2012 – Juli Vraag 6 versie 1

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 17 Bereken de volgende onbepaalde integraal:

3 2

.

x e dx



Oplossing:

Gebruik substitutie: = 𝑢

du = = 𝑒. (𝑥 )′ = 3 ex dx  dx =

De integraal wordt dan: ∫ 𝑒 𝑑𝑢 = ∫ 𝑒 𝑑𝑢 = 𝑒 = 𝑒

 Antwoord C

2010 – Juli Vraag 6 versie 2

Bereken de volgende onbepaalde integraal:

2 2

.

x e dx



Oplossing:

Gebruik subsitutie: e = u

du = (e )′ = e . ( x )′ = e . ( x)dx dx = du/e . x

De integraal wordt dan: ∫

. 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 = e + Cte Antwoord B

2012 – Augustus Vraag 6

Bereken de volgende onbepaalde integraal:

5 2

2 .

Sin x  dx

 

 



Oplossing:

Gebruik substitutie: = 𝑢

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 18 du = 5/2 dx, dus: dx = 2/5 du

De integraal wordt dan: ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 = − cos + Cte

 Antwoord B 2014 – Juli – Vraag 2

Gevraagd: bereken = ∫ 𝐿𝑛(𝑥) + 𝑒 𝑑𝑥

Oplossing: splits de somI = ∫ 𝐿𝑛(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑒 𝑑𝑥

Bereken de eerste term van de som dmv partiële integratie:

∫ 𝐿𝑛(𝑥)1𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥) − ∫ 𝑥 𝑑(ln(𝑥))= x.ln(x) - ∫ 𝑥. 𝑑𝑥 = x.ln(x) – x Bereken de tweede term dmv substitutie:

¼ x = t, dus dt = d(1/4x) = ¼ dx en dus is dx = 4.dt Vervang: ∫ 𝑒 𝑑𝑥 = ∫ 4. 𝑒 𝑑𝑡 = 4.𝑒 = 4. 𝑒 Dus I = x.ln(x) – x + 4. 𝑒 +C

 Antwoord A

2014 – Augustus – Vraag 2

Gegeven zijn twee uitwerkingen van een onbepaalde integraal:

I1 = ∫ 𝑥. cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥. sin(𝑥) + cos(𝑥) + 𝑐 I2 = ∫ 𝑒 . 𝑑𝑥 = 2𝑥. 𝑒 + 𝑐

Welke van deze twee uitwerkingen zijn correct?

Oplossing:

2 manieren: ofwel integraal uitwerken. Ofwel oplossing terug afleiden.

I1 : via integraal:

I1 = ∫ 𝑥. cos(𝑥) 𝑑𝑥 =

= sin(x).x - ∫ sin (𝑥).1. 𝑑𝑥 (gebruik partiëel integratie waarbij x = u en cos x = v’)

= 𝑥. sin(𝑥) + cos(𝑥) + 𝑐

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 19 Via afleiding:

(𝑥. sin(𝑥) + cos(𝑥))′ = (xsin(x)’ + (cos(x))’

= sin(x) + x.cos(x) – sin(x)

= x.cos(x)

 I1 is juist I2 via integraal:

I2 = ∫ 𝑒 . 𝑑𝑥 = formule voor normaalverdeling, heeft geen primitieve functie.

Via afleiding

2𝑥. 𝑒 = 2. 𝑒 + 2𝑥. 𝑒 . 2𝑥

= 2. 𝑒 + 4𝑥 . 𝑒

 I2 is fout

 Antwoord D 2015 - Juli Vraag 1

Gegeven de volgende gelijkheid

𝑥 𝑑𝑥 + (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 + (𝑥 − 2) 𝑑𝑥 + … (𝑥 − 𝑛 + 1) 𝑑𝑥 = 280 Gevraagd: Welke waarde heeft n in deze vergelijking?

Elke term in deze som heeft dezelfde algemene vorm: nl. ∫ (𝑥 − 𝑛 + 1) 𝑑𝑥 waarbij n gaat na 1 tot n.

Bereken de waarde van de eerste term met n = 1:

∫ 𝑥 𝑑𝑥 = + C = 8/3 - 1/3 = 7/3

Vermits elke term dezelfde vorm heeft is dit ook de uitkomst van elke term.

Het aantal termen is gelijk aan n want we vertrekken van 1 en eindigen bij n.

Wanneer we dan delen door 7/3 weten we n: 120

 Antwoord C 2015 - Juli Vraag 12

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 20 Bereken de volgende bepaalde integraal:

sin(𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥

/

Oplossing:

Gebruik substitutie: stel sin(x) = u dan is du = cos (x), dus cos (x) = du De integraal wordt dan ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = + 𝐶 = ^{( )} + C

Invullen grenzen: ^{( / )} - ^{( )} = - 0 = ^/ = 3/8

 Antwoord C 2015 – Augustus Vraag 6

Voor welke waarde van x geldt dat

(3𝑡 − 1) 𝑑𝑡 = 21 Oplossing:

(3𝑡 − 1) 𝑑𝑡 = 21

9 𝑡 + 1 − 6𝑡) 𝑑𝑡 = 21

+ 𝑡 − 6. = 21

Voor x = 2: ^. + 2 – 6. - (-3 -1 – 3) = 24 + 2 -12 +3 +1 +3 = 21

 Antwoord D 2015 – Augustus Vraag 14 Bepaal n waarvoor

∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 + 3 ∫ (𝑥 − 2)𝑑𝑥 … + 𝑛 ∫ (𝑥 − 𝑛 + 1)𝑑𝑥 = 18 Oplossing:

Zoek de oplossing van de algemene term n∫ (𝑥 − 𝑛 + 1) 𝑑𝑥 Substitutie: x-n+ 1 = t d(t) = d(x-n+1) = dx

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 21 n∫ (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑛 = 𝑛 ^{( )} = n(1/2 – 0) = ½ n

Dus voor n = 1 geldt: 1∫ (𝑥) 𝑑𝑥 = ^{( )} = ½ - 0 = 1.1/2

Voor n = 2 geldt: 2∫ (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = 2 ^{( )} = 2.(½ - 0 )= 2.1/2 We krijgen dan voor heel de reeks S = ½ + 2/2 + 3/2 + … + (n-1)/2 + n/2 De vraag is nu voor welke n deze som gelijk wordt aan 18?

Zet ½ buiten de haakjes:

S = ½ (1 + 2 + 3 + … (n-1) + n) = 18 of (1+2+3+ … (n-1) + n = 36 Tel op tot je aan 36 komt: 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36

 n = 8

 Antwoord C 2016 – Juli Vraag 2

Gegeven is de functie f met als voorschrift f(x) = Wat is het voorschrift van de afgeleide functie f’?

Oplossing:

(1/f’) = -f’/f²

’ = =

. =( )(

. ) = = _{( )}

 Antwoord A 2016 – Juli Vraag 3

De afgeleide van een functie f, gedefinieerd op 0, + is gegeven door f’(x) = ln x. Bovendien is f (e ) = e². Dan is f (e²) gelijk aan:

Oplossing:

𝑓( 𝑥) = ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 𝐶 f( e) = e ln e – e + c = e.1 – e + c = c

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 22 maar we weten ook dat f (e ) = e² dus c = e²

f(x) = x lnx – x + e²

f(e²) = e².ln e² – e² + e² = e² ln e² = e². 2.ln e = 2.e²

 Antwoord B 2016 – Augustus Vraag 12

Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) = . De afgeleide functie f’ heeft als voorschrift

A. f’x) = B. f’(x) = C. f’(x) = − D. f’(x) =- Oplossing:

= = 1/sin x

f’ = (1/sin x)’ = ^{( )} = ^{( )} = −

 Antwoord C 2017 – Juli geel Vraag 3

Bereken ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx Oplossing:

2∫ dx + 4 ∫ dx + 8 ∫ dx

= 2[ln 𝑥] + 4[ln 𝑥] + 8[ln 𝑥]

= 2(ln2 – ln1) + 4(ln4 – ln2) + 8(ln8 – ln4)

= 2 (ln2) + 4(ln2) + 8(ln2)

= 14 (ln2)

= 7.2 ln2

= 7 ln2²

= 7 ln4

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 23

 Antwoord A 2017 – Augustus geel Vraag 3

De functie f wordt gegeven door het functievoorschrift f(x) = Ae^ωx. Hierbij zijn A en ω constanten. Er is gegeven dat f(0)=2 en f’(0) = 1

Bepaal ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Oplossing: vermits f(0) en f’(0) = 1 weten we dat A = 2 en ω = ½ Immers: Ae^ω0 = 2 als A =2 en

(Ae^ω0)’ = 1 als (A.e^ω0.ω) = 1 of A.ω = 1 en vermits A = 2, is ω = 1/2

Ae 𝑑𝑥

Substitutie: stel 1/2x = t d(1/2x) = dt

d(x) = dt/1/2 = 2.dt

2.2 e 𝑑𝑡

= 4 𝑒 ^/

= 4(e^1/2 – e⁰)

= 4(√𝑒 -1)

 Antwoord D 2017 – Augustus geel Vraag 13 Bereken de integraal ∫ _{( )}𝑥. 𝑒 𝑑𝑥 Oplossing:

Gebruik partiële integratie:

∫ 𝑥. 𝑒 = x.e^x - ∫ 𝑒

De berekening wordt dan: [𝑥. 𝑒 − 𝑒 ] _{( )}

= (e – e) – (ln ½ e^ln1/2 – e^ln1/2)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 24

= -ln1/2. (1/2) + ½

= ½ (-ln ½ + 1)

Noteer dan ln ½ = ln1 – ln 2 = -ln2 en dat 1 = ln e en vervang

= ½ (ln2 + lne)

= ½ (ln 2e )

= ln (2e)^1/2

= ln √2𝑒

 Antwoord C

2018 – Arts geel Vraag 5 f(x) = (x-1)tan(x²)

f’(x) = (x-1)’tan(x²)+ (x-1)((tan(x²))’

= (tan(x²) + (x-1)( ⁽ ₍⁾ ₎

= (tan(x²) + (x-1)(

( )

= (tan(√𝜋²) + (√𝜋-1)( ^√

(√ )

= 0 + (√𝜋-1) ₍ ^√₎

= + (√𝜋-1) 2√𝜋



∫ 𝑥 + 𝑑𝑥 =-2

+ 1/3𝑥 =( + t) – 0 = -2 t³ + t = -6

t³ + t +6 = 0

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 25

 Antwoord D 2020 – Tandarts Vraag 5

De getoonde grafiek van de functie f werd verkregen door de grafiek van de functie g met functievoorschrift g(x) = 2√𝑥 te verschuiven in het vlak. Wat is de afgeleide functie van f?

Waarden voor g(x) (uit formule) en f(x) (uit grafiek) x 0 1 x -3 -2

g(x) 0 2 f(x) 2 4

 De grafiek is 2 eenheden naar boven en 3 naar links verschoven.

We vinden de functie f dus door bij x 3 bij te tellen en van f(x) 2 af te trekken f(x)-2 = 2 (𝑥 + 3)

f(x) = 2 (𝑥 + 3) + 2 f’(x) = 2. ½ (x+3)^-1/2 =

√

 Antwoord A