Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 20 februari 2021 Brenda Casteley, PhD Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

(1)

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool

20 februari 2021 Brenda Casteley, PhD

Met dank aan:

Atheneum van Veurne,

Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

(2)

Brenda Casteleyn, PhD www.keu6.be Page 2

1. Inleiding

Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema.

De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website aar helaas is die niet meer online.

2. Oefeningen uit vorige examens

1997 – Juli Vraag 15

De cirkel met als vergelijking 4x²+4y-16x+20y-283=0 heeft als straal:

<A> √283

81

<C> 9

<D> Geen van de bovenstaande antwoorden is juist 1997 – Augustus Vraag 15

De vergelijking x²+y²-10x-6y+9=0

<A> stelt geen cirkel voor

stelt een cirkel voor met straal 3

<C> stelt een cirkel voor met straal 5

<D> stelt een cirkel voor met straal 9 2001 – Juli Vraag 9

1^ste bewering: de vergelijking y²-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3) 2de bewering: y²+x²-6y-4x+4=0 stelt een cirkel voor met straat 2

<A> Beide beweringen zijn juist

Alleen de eerste bewering is juist

<C> Alleen de tweede bewering is juist

<D> Beide beweringen zijn onjuist 2002 – Juli Vraag 7

1^ste bewering: y = 6x-x² stelt een parabool voor met top (3,9) 2^de bewering: x²+y²-10x+16y = 0 stelt een cirkel voor met r = 3

(3)

<A> Vergelijkingen 1 en 2 zijn juist

Vergelijking 1 is juist

<C> Vergelijking 2 is juist

<D> Vergelijking 1 en 2 zijn juist 2007 – Augustus Vraag 9

Eerste bewering: de vergelijking y²-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3).

Tweede bewering: de vergelijking y²+x²-6y-4x+4=0 stelt een cirkel voor met straal 2

<A> Beide beweringen zijn juist

Alleen de eerste bewering is juist

<C> Alleen de tweede bewering is juist

<D> Beide beweringen zijn onjuist 2008 – Juli Vraag 5

We beschouwen de vergelijking van een cirkel en van een parabool:

y² – 4y + x²- 2x – 11 = 0 y = x²- 2x +1

Welk van de volgende beweringen is verkeerd?

<A> De top van de parabool ligt op de x-as.

Het middelpunt van de cirkel ligt op (1 , 2).

<C> De straal van de cirkel is 16.

<D> De parabool heeft 2 snijpunten met de cirkel.

2008 – Augustus Vraag 5

Beschouw de vergelijking van een cirkel: x²+ y² -2bx + c = 0 Het punt (5, 3) ligt op deze cirkel en de straal van de cirkel is 3.

Hoeveel bedraagt de som van de parameters, b+c ?

<A> 8

11

<C> 21

<D> 84 2011 – Juli Vraag 9

Gegeven zijn drie functies:

Parabool: y = -2x²+2x

(4)

Rechte 1: y = -2x

Rechte 2: y = 2/3x + 2/9

Zoek alle snijpunten of raakpunten van de twee rechten met de parabool

Hoebeel bedraagt de som van de x-coördinaten van deze snijpunten of raakpunten?

<A> 5/3

0

<C> 7/3

<D> 1/3 2016 – Juli geel Vraag 4

Vier verschillende punten P(a,p), Q(b,q), R(a,r) en S(b,s) liggen in het eeste kwadrant. De punten P en Q liggen op de parabool met als vergellijking y = x² en de punten R en S liggen op de paraboom met als vergelijking y = . Het lijnstuk PQ is dubbel zo lang als het lijnstuk

RS. Bepaal a+b.

<A> ¾

4/3

<C> 2

<D> 3

2016 – Augustus geel Vraag 15

Beschouw in een orthonormaal assenkruis een cirkel die door het punt B(-1, 0) gaat en in het punt A(1, 2) raakt aan de rechte met vergelijking y = 2x. Hoeveel bedraagt de oppervlakte van deze cirkel?

<A> 16π

20π

<C> 25π

<D> 32π 2017 – Juli geel Vraag 10

Noem S het gebied in het vlak dat bestaat uit de punten P(x,y) waarvoor x ≥ y en (x-5)² + y² ≤ 25. Wat is de oppervlakte van S?

<A> ( - 1)

<C> ( + 1)

(5)

<D> ( + 1)

2018 – Tandarts geel Vraag 4 De cirkel C1 heeft vergelijking X² + y² – 16x - 12y + 75 = 0

De cirkel C2 heeft hetzelfde middelpunt en een kleinere straal. De oppervlakte van het ringvormig gebied begrensd door beide cirkels is 7π. Welk punt ligt op de cirkel C2?

<A> A (4,8)

B (6,7)

<C> C (10,10)

<D> D (11,9) 2019 – Arts geel Vraag 6

Welke vergelijking stelt een cirkel voor die raakt aan de x-as en aan de y-as?

<A> x²+ y² + x – y = 0

x²+ y² + x – y = -1/4

<C> x²+ y² + x – y = 1/4

<D> x²+ y² + x – y = 1 2020 – Arts Vraag 2

De parabool met vergelijking y = x² + 2x gaat door de oorsprong. Beschouw de rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt 9/4. Deze rechte snijdt de parabool in een tweede punt P. De y-coördinaat van P is gelijk aan:

<A> ¼

¾

<C> 3/8

<D> 9/16 2020 – Tandarts Vraag 2

Gegeven is de cirkel C met vergelijking x² – 4x + y² – 2y + 4 = 0

Hoeveel cirkels met middelpunt de oorsprong O hebben juist één punt gemeen met C?

<A> 2

0

(6)

<C> Oneindig veel

<D> 1

2020 – Tandarts Vraag 6

Gegeven is de cirkel C met vergelijking x² + y²– 2x = 0

Hoeveel cirkels met straal r > 0 en met middelpunt de oorsprong O hebben juist één punt gemeen met C?

<A> 1

Oneindig veel

<C> 0

<D> 2

(7)

3. Oplossingen oefeningen

Gegeven: cirkel met als vergelijking 4x²+4y²-16x+20y-283=0 Gevraagd: straal van de cirkel

Oplossing: standaardvergelijking van cirkel met middelpunt (a,b) en straal r is:

(x-a)² + (y-b)² = r²

4x²+4y²-16x+20y-283=0 4x²+ 4y²-16x+ 20y=283 x²+ y²- 4x+ 5y=283 /4 x²-4x+ y² +5y=283 /4

Voeg aan beide leden een derde term toe zodat je formule van merkwaardig product kan toepassen:

x² + 4 - 4x+ y² +5y=(283 /4) + 4 (x-2)² + y² +5y=283 /4 +4

Voeg nogmaals een derde term toe:

(x-2)² + y² +5y.2/2 + 25/4=283 /4 + 4+ 25/4 (x-2)² + (y +5/2)² =283 /4 + 4+ 25/4

(x-2)² + (y +5/2)² =283 /4 + 16/4+ 25/4 (x-2)² + (y +5/2)² = 324/4 =81 = 9²

Straal is dus 9

 Antwoord C 1997 – Augustus Vraag 15

Gegeven: De vergelijking x²+y²-10x-6y+9=0 Gevraagd: cirkel? Zo ja, welke straal?

Oplossing:

x²+y²-10x-6y+9=0

(8)

x²+y²-10x-6y= -9

Voeg termen toe om merkwaardig product te kunnen toepassen x² -10x +25+y²-6y +9= -9 +9 +25

(x-5)² + (y-3)² = 25 = 5² Straal is 5

 Antwoord C 2001 – Juli Vraag 9

Gegeen: 1^ste bewering: de vergelijking y²-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3) 2de bewering: y²+x²-6y-4x+4=0 stelt een cirkel voor met straal 2

Oplossing:

1^ste bewering:

x=( y²-6y+1)/4 x’ = 2/4y-6/4

Nulpunt bij y= 3

Berekening van x: x= (9-18+1)/4 = -2 Top (-2,3)

Eerste bewering is juist 2^de bewering:

y²+x²-6y-4x+4=0 x² -4x +4+y²-6y =0 (x-2)² + y²-6y +9 = 0

Toevoeging term om merkwaardig product toe te passen (x-2)² + y²-6y +9 = 9

(x-2)² + (y-3)² = 9 Straal is 3

2^de bewering is fout

 Antwoord B

(9)

1^ste bewering: y = 6x-x² stelt een parabool voor met top (3,9) 2^de bewering: x²+y²-10x+16y = 0 stelt een cirkel voor met r = 3 Voor bewering 1: Berekening top:

Y’ = 2x -6  nulpunt = 3

Bij x = 3 is y = 6.3 - 3² = 18-9 = 9 Dus top is (3,9) en bewering 1 is juist Voor bewering 2:

x²+y²-10x+16y = 0

Voeg termen toe om merkwaardig product te kunnen toepassen:

x² -10x +25+ y²+16y +64 = 25+64 (x-5)² + (y+8)² = 89

De straal is dus √89

 Antwoord B 2007 – Augustus Vraag 9

Gegeven: Eerste bewering: de vergelijking y²-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3).

Tweede bewering: de vergelijking y²+x²-6y-4x+4=0 stelt een cirkel voor met straal 2 Gevraagd: welke bewering juist

Oplossing:

Berekening top eerste bewering:

Zet functie in termen van x: x = ¼ (y² – 6y +1) (wissel de assen dus om, want dat is gemakkelijker)

x’ = ¼(2y-6) = 0 1/2y – 6/4 = 0 Y = 6/4 . 2 = 3

Bereken bijbehorende x: (9 – 6.3 + 1)/4 = x  x = -8/4 = -2

(10)

De top is: (-2,3)

Berekening straal bewering 2:

y²+x²-6y-4x+4=0

Voeg termen toe om merkwaardig product te kunnen toepassen:

y² -6y + 9 -9 +x²- 4x + 4 = 0 (y-3)² -9 + (x-2)² = 0

(y-3)² + (x-2)² = 9 = 3²  straal is dus 3

 Antwoord B 2008 – Juli Vraag 5

Gegeven: de vergelijking van een cirkel en van een parabool:

y² – 4y + x²- 2x – 11 = 0 y = x²- 2x +1

Gevraagd: Welk van de volgende beweringen is verkeerd?

Oplossing:

De top van de parabool ligt op de x-as?

Top parabool: y’ = 2x -2  nulpunt: x = 1 Berekening top: y=1-2+1 = 0 Top: (1,0), dus top ligt op x-as

Het middelpunt van de cirkel ligt op (1 , 2)?

y² – 4y + x²- 2x – 11 = 0

Toevoegen termen om merkwaardig product toe te passen:

y² – 4y +4 + x²- 2x +1 = 11 + 4+1 (y-2)² + (x-1)² = 16

Algemene formule: (y-a)² + (x-b)² = r² met (a,b) = centrum en r = straal Dus: centrum = (1,2) en straal = 4

De straal van de cirkel is 16? Deze bewering is fout

 Antwoord C

(11)

2008 – Augustus Vraag 5

Gegeven: de vergelijking van een cirkel: x² + y² -2bx + c = 0 Het punt (5, 3) ligt op deze cirkel en de straal van de cirkel is 3.

Gevraagd: de som van de parameters, b+c ? Oplossing:

x²+ y² -2bx + c = 0 x²-2bx + y² + c = 0

Voeg b² toe aan beide leden om merkwaardig product toe te passen x²-2bx + b²+ y² + c = b²

(x-b)²+ y² = b² – c

Vermits de straal 3 is betekent dit dat b² – c = 3² = 9 Punt (5,3) ligt op de cirkel, dus x = 5 en y = 3

25 + 9– 10b + c =0 10b-c = 34

Zoek nu b en c uit deze twee vergelijkingen:

b² – c = 9 10b-c = 34

Twee rijen van elkaar aftrekken om c te elimineren:

b² -10b = -25 b² -10b + 25 = 0

nulpunt kwadratische vergelijking zoeken: D² = 0  1 nulpunt, nl. 5 Bereken nu c: uit 10.5-c = 34  c = 16

Bereken b+c = 5+16 = 21

 Antwoord C 2011 – Juli Vraag 9 Gegeven: drie functies:

Parabool: y = -2x²+2x

(12)

Rechte 1: y = -2x

Rechte 2: y = 2/3x + 2/9

Gevraagd: Zoek alle snijpunten of raakpunten van de twee rechten met de parabool Hoeveel bedraagt de som van de x-coördinaten van deze snijpunten of raakpunten?

Oplossing:

Snijpunten rechte 1 met parabool:

-2x²+2x = -2x -2x²+4x = 0

 nulpunten:

Snijpunten zijn de punten waarvan de coordinaten zowel aan de vergelijking van de parabool als van de rechte voldoen. Stel dus de twee y-waarden gelijk en je krijgt een

vierkantsvergelijking in x die je kan oplossen. Dat geeft 3 mogelijkheden:

snijpunt parabool en rechte 1:

-2x² + 2x = - 2x -2x² + 4x = 0

zodat: discriminant = b² - 4ac = 16

dus twee snijpunten: x= 0 (waarvoor dus y = 0) en x = 2 (met y = -4)

de som van de x-coordinaten van een vierkantsvgl ax² + Bx + c = 0 is steeds -b/a dat kan je makkelijk zien als je kijkt naar de manier waarop je die berekent, met de discriminant Δ :

eerste wortel: x1= [ - b + √Δ ] / 2a tweede wortel: x2= [ - b - √Δ) ] / 2a dus als je optelt x1 + x2 = -b/a

In bovenstaand vb : x1 + x2 = 2 en inderdaad -b/a = -(-2)/1 = ook 2

Voor de 2de rechte vind je twee samenvallende snijpunten, dus een raakpunt in x = 1/3 Dat het een raakpunt is kan je ook controlleren, want de afgeleide in dat punt is 2/3 en dat is inderdaad de richtingscoefficient van rechte 2.

In dat punt is de x-ccordinaat dus 1/3, hoewel men ook zou kunnen argumenteren dat het

(13)

2/3 is gezien het een dubbele wortel is, en dus tweemaal moet genomen worden. Dat is ook wat je vindt als je het formuletje "som wortels = -b/a" gebruikt.

Dus som: 2 + 1/3 = 7/3

 Antwoord C 2016 – Juli geel Vraag 4

Vier verschillende punten P(a,p), Q(b,q), R(a,r) en S(b,s) liggen in het eeste kwadrant. De punten P en Q liggen op de parabool met als vergellijking y = x² en de punten R en S liggen op de paraboom met als vergelijking y = . Het lijnstuk PQ is dubbel zo lang als het lijnstuk

RS. Bepaal a+b.

<A> ¾

4/3

<C> 2

<D> 3 Antwoord:

Uit de vergelijkingen van de rechten weten we dat p = a² en q = b² voor de punten P en Q en r = a²/4 en s = b²/4 voor de punten R en S.

Algemene formule voor afstand: d = (𝑥 − 𝑥 ₎ + (𝑦 − 𝑦 ₎

PQ = 2.RS

(𝑎 − 𝑏) + (𝑝 − 𝑞) = 2. (𝑎 − 𝑏) + (𝑟 − 𝑠) Vervang p, q en s

(𝑎 − 𝑏) + (𝑎 − 𝑏 ) = 2. (𝑎 − 𝑏) + ( − ) Beide leden kwadrateren:

(𝑎 − 𝑏) + (𝑎 − 𝑏 ) = 4. (𝑎 − 𝑏) + (𝑎 4 −𝑏

4)

¼ = ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

( ) ( )

¼ = ⁽₍ ⁾₎ ^{/ (}₍ ₎ ⁾

(14)

¼ = ⁽ ⁾ ^[( ⁾⁽ ^)]

( ) [( )( )]

¼ = ⁽₍ ⁾₎ ₍⁽ _{) (}^{) (} ₎⁾

¼ = ⁽₍ ⁾₎ . ₍^.( ₎⁾

¼. [1 + (𝑎 + 𝑏) ] = 1 + . (𝑎 + 𝑏)

¼ + ¼ (a+b)² = 1 + 1/16.(a+b)²

¼ - 1 = (1/16 – ¼).(a+b)² - = − (a+b)²

4 = (a+b)² a+b = 2

 Antwoord C

2016 – Augustus geel Vraag 15

Beschouw in een orthonormaal assenkruis een cirkel die door het punt B(-1, 0) gaat en in het punt A(1, 2) raakt aan de rechte met vergelijking y = 2x. Hoeveel bedraagt de oppervlakte van deze cirkel?

<A> 16π

20µ

<C> 25π

<D> 32π Oplossing

De middellijn van een cirkel staat loodrecht op de raaklijn. De middelloodlijn op een koorde gaat door het middelpunt van de cirkel. Als we de vergelijkingen van deze twee rechten vinden, dan vinden we waar het middelpunt zich bevindt.

Bereken het midden van de middelloodlijn op de koorde tussen punt A en B:

M = ( , ) = ( (-1+1)/2; (0+2/2)) = (0,1)

Het product van de richtingscoëfficienten van rechte die loodrecht op elkaar staan heeft -1 als uitkomst. De richtingscoëfficiënt van de koorde door de punten (x1, y1) en (x2,y2) = ,

(15)

= (-1,0) en (1,2) = (2-0)/(1+1) = 2/2 = 1. De richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn is dus -1

De vergelijking van de middelloodlijn is dan y = -1x + b. Invullen van het punt (0,1) geeft dan volgende vergelijking: 1 = -1.0 + b  b = 1

Dus de vergelijking is dan y = -x + 1

Voor de middelloodlijn op de raaklijn zien we dat de richtingscoëfficiënt = -1/2 (vermits de richtingscoëfficiënt van de raaklijn = 2  2.(-1/2) = -1

Vul het raakpunt in in de vergelijking om b te vinden:

Y = ½.x + b 2 = (-1/2) .1 = b Dus b = 5/2

De vergelijking is dan y = -1/2.x + 5/2

Het middelpunt van de cirkel is het snijpunt tussen de middellijn en de middellijn op de koorde: dus

-x +1 = -1/2.x + 5/2 -1/2.x = 3/2

-x = 3 x = -3

De coördinaat van het middelpunt is dus (-3,4)

Bepaal nu de afstand van (-3,4) tot (-1,0) om de lengte van de straal te vinden:

(−1 + 3) + (0 − 4 = √20

De oppervlakte van de cirkel is dan r². Π = 20. Π

 Antwoord B 2017 – Juli geel Vraag 10

Noem S het gebied in het vlak dat bestaat uit de punten P(x,y) waarvoor x ≥ y en (x-5)² + y² ≤ 25. Wat is de oppervlakte van S?

Oplossing:

(x-5)² + y² ≤ 25  cirkel met straal 5 en middelpunt (5,0)

(16)

De oppervlakte S (groen gearceerd) =som van de oppervlakte van de driehoek en ¾ van de oppervlakte van de cirkel

= ½.5.5 + ¾ π.25 = 25/2 + 75π/4 = (1 + )



Antwoord C

2018 – Tandarts geel Vraag 4 Cirkel C1

x²+ y²– 16 x - 12y + 75 = 0

De cirkel C2 heeft hetzelfde middelpunt en een kleinere straal. De oppervlakte van het ringvormig gebied begrensd door beide cirkels is 7π.

Gevraagd: Welk punt ligt op de cirkel C2? x²+ y²– 16 x - 12y + 75 = 0

herschikken om merkwaardig productregel te gebruiken:

x² – 16 x +64 + y²- 12y +36-36+ 11 = 0 (x-8)² + (y-6)² -36+9 =0

(x-8)² + (y-6)² -25 = 0

 Middelpunt = (8,6) en straal = 5 Straal C2

Oppervlakte C1 = oppervlakte C1 + 7π 25.π = r².π + 7π

r = √18

(17)

Voor punt (11,9)  r² = (8-11)² + (6-9)² = 9 + 9 = 18

 Antwoord D 2019 – Arts geel Vraag 6

vergelijking cirkel (x-a)² + (y-b)² = r² x²+y² + x – y =

(x + ½)²-1/4 + (y-1/2)²-1/4 = a (x + ½)² + (y-1/2)²= a +1/2

Het middelpunt ligt op (-1/2,1/2). Vermits de cirkel raakt aan de x-as en de y-as is de straal = 2

Dus: a+1/2 = r² = ¼ Dan is a= -1/4

 Antwoord B 2020 – Arts Vraag 2

De parabool met vergelijking y = x² + 2x gaat door de oorsprong. Beschouw de rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt 9/4. Deze rechte snijdt de parabool in een tweede punt P. De y-coördinaat van P is gelijk aan:

Oplossing: vergelijking van rechte door richtingscoëfficiënt 9/4 door de oorsprong:

Y = 9/4 x

Stel de vergelijkingen gelijk aan elkaar om het snijpunt te vinden:

x² + 2x = 9/4 x x² + 2x - 9/4 x = 0 x² -1/4 x = 0 D = 1/16 – 0 x1 = ^/ ^/ = 0

x1 = = ¼

Vul x in in de vergelijking van de rechte: y = 9/4.1/4 = 9/16

 Antwoord D

(18)

2020 – Tandarts Vraag 2

Gegeven is de cirkel C met vergelijking x² – 4x + y² – 2y + 4 = 0

Hoeveel cirkels met middelpunt de oorsprong O hebben juist één punt gemeen met C?

Oplossing:

x² – 4x + y² – 2y + 4 = 0 Splits de kwadraten af:

x² – 4x +4 -4 + y² – 2y + 4 = 0 (x-2)² + (y-1)²-1 = 0

(x-2)² + (y-1)²1 = 1

 C(2,1) en r = 1

 Antwoord A 2020 – Tandarts Vraag 6

Gegeven is de cirkel C met vergelijking x² + y²– 2x = 0

Hoeveel cirkels met straal r > 0 en met middelpunt de oorsprong O hebben juist één punt gemeen met C?

(19)

Oplossing:

x² + y²– 2x = 0 Splits de kwadraten af:

x² -2x +1 -1 + y²= 0 (x-1)² + y²-1 = 0 (x-1)² + y²= 1 C(1,0) en r =1

 Antwoord A