examen van juni 2003

Examen Numerieke Analyse I, lic. Wiskunde & Informatica, 30 juni 03 1

Examen Numerieke Analyse I, lic. Wiskunde & Informatica, 30 juni 03

1. Als A
IRⁿ een inverteerbare matrix is, dan kunnen we bij gegeven vector b
IRⁿ het stelsel vergelijkingen A x
b oplossen. Geef een schatting voor de onvermijdelijke fout in de oplossing x (dus de gevoeligheid van x voor verstoringen van A en b).

Examen Numerieke Analyse I, lic. Wiskunde & Informatica, 30 juni 03 2

2. Laat H_u de Householdertransformatie zijn die de vektor x
IRⁿ afbeeldt op een veelvoudα^e₁ van de vektor e₁,

e₁ :
^1
0
0
^
0^T
IR^n a. Leid formules af voor u enα^.

b. Laat zien hoe je voor iedere symmetrische matrix A
IR^n¢nmet een serie Householdertrans- formaties een orthogonale matrix U en een tridiagonale matrix T kunt construeren zodat A
U T U^T .

T is een tridiagonale matrix waarvoor dus geldt T_i

j
0 als j^i^1 of j^i^1 .

Examen Numerieke Analyse I, lic. Wiskunde & Informatica, 30 juni 03 3

3. Voor het beginwaardeprobleem y^¼
f^x
y^
y^x₀^
a (voor een vergelijking of voor een stelsel vergelijkingen van eerste orde) met voldoend gladde f beschouwen we de volgende numerieke integratiemethode:

z_k

1
z_k

 1^2h f^x_k
z_k^ (1) Hierin is h een constante stapgroote, x_k :
x₀^kh
k
1
2
^ een rij re¨ele punten en z_k de benadering van de oplossing in x_k.

a. Is de methode impliciet of expliciet, een- of meerstaps?

b. Bepaal de locale afbreekfout.

c. Is de methode asymptotisch stabiel? (motiveer)

d. Laat zien, dat het imaginaire interval ^i
i^
iv
C^v
^1
1^IR^ de rand van het stabiliteitsgebied (gebied van voorwaardelijke stabiliteit) is en dat dit gebied dus een leeg inwendige heeft.

e. Toepassing van de methode op het probleem y^¼
3y
y^0^
1 met stapgrootten 0^1
0^05
0^025
0^0125 geeft de volgende resultaten voor de benadering z_h van y^1^: Komen deze

stapgrootte benadering fout logaritme van de fout h z_h z_h^y^1^ log₂^z_h^y^1^

0.1 0.456498 0.406711 -1.298

0.05 0.159945 0.110158 -3.183

0.025 0.077905 0.028118 -5.153

0.0125 0.056853 0.007067 -7.145

resultaten overeen met hetgeen je verwacht (motiveer)?

f. De benaderde oplossingen uit de vorige vraag zijn berekend op het interval^0
2^en tesamen met de exacte oplossing getekend in de volgende grafieken:

0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

groen−blauw: middelpuntsregel, rood:exact stapgrootte h = 0.1

0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

groen−blauw: middelpuntsregel, rood:exact stapgrootte h = 0.05

0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

groen−blauw: middelpuntsregel, rood:exact stapgrootte h = 0.025

0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

groen−blauw: middelpuntsregel, rood:exact stapgrootte h = 0.0125

De blauwe punten zijn de berekende waarden, de groene lijnen zijn de lineaire interpolaties daar- tussen en de rode kromme is de exacte oplossing.

Verklaar de oorzaak van de oscillaties. Waarom nemen deze oscillaties af als je de stapgroote kleiner maakt?

Examen Numerieke Analyse I, lic. Wiskunde & Informatica, 30 juni 03 4

4. Leg uit hoe de algoritme voor de “Fast Fourier Transform” met behoud van de complexiteit O^n log n^aangepast kan worden als de vectorlengte n
3^k is.