Syllabus Numerieke Analyse I

Syllabus Numerieke Analyse I

P. de Groen

Abstract.

Deze syllabus omvat hoofdstukken over een aantal onderwerpen die in de cursus behandeld worden: “Fast Fourier Transformatie”, interpolatie, approximatie door polynomen, spline-approximatie en numerieke integratie.

G.H. Golub & C.F. Van Loan, Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, USA, 2^dedruk, 1988.

Andere goede referentiewerken voor Numerieke Analyse zijn:

R. Bulirsch & J. Stoer, Introduction to Numerical Analysis, Springer Verlag, Berlin, 1977. (Ook verkrijgbaar in een goedkope duitstalige pocketeditie).

D. Kincaid & W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks & Cole Publishing Company, Pacific Grove, California, USA, 1991; 2de druk, 1996.

0

1

Contents.

0 Foutenanalyse 2

0.a Elementaire definities . . . . 2

0.b Voorstelling van re¨ele getallen en “floating-point” aritmetiek . . . . 2

0.c Voorbeelden van een afrondfoutenanalyse . . . . 4

1 Interpolatie en Approximatie 7 1.a Lagrange interpolatie . . . . 7

1.b Alternatieven voor het representeren en uitrekenen van een interpolatiepolynoom . . 9

1.c Polynoomapproximatie . . . . 13

1.d Approximaties op deelintervallen . . . . 13

1.e Kubische Splines . . . . 15

1.f Praktisch rekenen met kubische splines . . . . 16

2 Fourier analyse en de “Fast Fourier Transform” 20 3 Numerieke Integratie 24 3.a Probleemstelling . . . . 24

3.b Gauss-integratie . . . . 26

3.c Samengestelde integratieformules . . . . 28

3.d Romberg integratie . . . . 30

3.e Voorbeeld van het Rombergschema . . . . 32

3.f Integratie met veranderlijke stapgrootte . . . . 33

3.g Numerieke stabiliteit . . . . 35

3.h De sommatieformule van Euler-McLaurin en de trapeziumregel . . . . 36

4 B-splines 38 4.a Definities en elementaire eigenschappen . . . . 38

4.b Het rekenen met B-splines . . . . 41

4.c B´ezier-polynomen en controlepunten . . . . 43

4.d B-spline-krommen en controlepunten . . . . 44

5 Totale kleinste kwadraten 47 5.a Beste benadering in IR . . . . 47

5.b Lineaire regressie in IR² . . . . 47

5.c Lineaire regressie van x op y . . . . 49

5.d De totale kleinste-kwadratenbenadering . . . . 49

5.e Regressie in meer dan twee dimensies . . . . 51

5.f De normaalvergelijkingen in IR^m . . . . 52

5.g Oplossing via de singuliere-waardenontbinding . . . . 52

5.h Totale kleinste kwadraten in IRⁿ . . . . 53

5.i Een alternatieve benadering voor totale kleinste kwadraten in IRⁿ . . . . 55

6 Stelsels niet-lineaire vergelijkingen en minimalisatieproblemen 57 6.a Probleemstelling in ´e´en dimensie . . . . 57

6.b Intervalhalvering of binaire search . . . . 57

6.c Successieve substitutie . . . . 57

6.d Newton-Raphson . . . . 58

6.e Problemen in verscheidene dimensies . . . . 60

6.f Een aangepaste (gedempte) Newtonmethode . . . . 61

6.g De methode van de steilste helling (steepest descent) . . . . 64

7 Oefeningen Numerieke Analyse 67 7.a Fouriertransformatie . . . . 67

7.b Approximatie . . . . 68

7.c Orthogonale polynomen . . . . 69

7.d Een spline-benadering . . . . 72

7.e Numerieke integratie . . . . 73

7.f Lineaire Algebra . . . . 77

7.g Matrixalgoritmen . . . . 79

7.h De Cholesky-ontbinding . . . . 81

7.i Givensrotaties etc . . . . 83

7.j Niet-lineaire problemen . . . . 86