Complexe getallen
Met reële getallen kunnen we bijna alle bewerkingen uitvoeren, de tweedemachtswortel uit een negatief getal was tot nu echter niet mogelijk:
√(-4) = √(4 ⋅ -1) = √4 ⋅ √-1 = 2⋅√-1
√(-9) = √(9 ⋅ -1) = √9 ⋅ √-1 = 3⋅√-1
Bij wortels uit negatieve getallen blijven we altijd met de term √-1 zitten.
Voor deze term √-1 voeren we de letter i in.
Deze letter i is de beginletter van imaginair, dat betekent iets wat niet echt bestaat.
Nu kunnen we schrijven: √(-4) = 2 ⋅ √-1 = 2i en √(-9) = 3 ⋅ √-1 = 3i.
Zo’n term met i noemen we een imaginair getal.
Dus 2i, 3i en –4,5i zijn imaginaire getallen.
In de wiskunde gebruiken we als imaginaire eenheid de letter i.
Omdat echter in de elektrotechniek de letter i al als symbool voor stroom is gereserveerd gebruiken we daar de letter j, dus daar schrijven we √(-4) = 2j en √(-9) = 3j.
Als we imaginaire getallen gaan vermenigvuldigen krijgen we termen als j2 en j3 . We moeten dan goed weten dat j2 = √-1 ⋅ √-1 = √(-1)2 = -1 !!!
We kunnen twee imaginaire getallen bij elkaar optellen, van elkaar aftrekken, met elkaar vermenigvuldigen en door elkaar delen zoals:
2j + 6j = 8j 6j - 9j = -3j
3j @ 8j = 24j² = 24 @ -1 = -24 (j² = -1 !!!) 8j ÷ 4j = 2
Ook kunnen we een imaginair getal optellen bij een reëel getal, er ontstaat dan een zogenaamd complex getal. Voorbeelden van complexe getallen zijn dus 3 + 5j en 7 - 12j.
Twee complexe getallen kunnen we optellen en aftrekken zoals:
(3 + 7j) + (8 - 2j) = 11 + 5j
(8 + 4j) – (7 – 6j) = 8 + 4j – 7 + 6j = 1 + 10j
Twee complexe getallen kunnen we als volgt vermenigvuldigen:
(3 + 7j)(2 – 4j) = 6 – 12j + 14j – 28j² (zogenaamde papegaaienbekmethode)
= 6 – 12j + 14j – 28⋅(-1) = 6 - 12j + 14j + 28 = 34 + 2j.
Nog een voorbeeld:
(4 – 7j)(2 – 5j) = 8 – 20j – 14j + 30j2 = 8 – 20j – 14j + 30⋅(-1) = 8 – 20j – 14j – 30 = -22 – 34j.
j 2 = -1
Zogenaamde Belgische één Schrijf de volgende opgaven in de vorm a + bj :
1 a) ( 2 + 6j )⋅( 4 - 3j ) b) ( 2 - 2j )⋅( -5 + j ) c) ( 3 + j )⋅( 3 – 2j ) 2 a) ( 4 – 2j )² b) ( /2 + j/3 )⋅( /3 – j/2 ) c) ( 2 – 4j )⋅(-3 + 2j ) 3 a) ( -6 + 2j )( -5 - 3j )( 2 - j ) b) ( 2 + 3j )³
4 a) ( 7 + 2j )⋅( 7 – 2j ) b) ( 2 + 4j )⋅( 2 – 4j ) c) ( 5 + 12j )( 5 – 12j )
Uit de vraagstuk 10.4 blijkt iets bijzonders: als we twee complexe getallen, waarvan de imaginaire gedeelten tegengesteld zijn, met elkaar vermenigvuldigen, is het resultaat reëel.
Dergelijke complexe getallen noemen we toegevoegd complex. We maken van die eigenschap gebruik bij het delen van twee complexe getallen:
2 + 3j 2 + 3j 4 + 5j 8 + 10j + 12j - 15 -7 + 22j -7 + 22j
= ⋅ = = = = 4 – 5j 4 – 5j 4 + 5j (4)² – (5j)² 16 + 25 41
-7 22j
+ = -0,17 + 0,54j 41 41
Deel op dezelfde manier:
5 3 + 4j
2 – 4j
6 3 – 6j 6 + 2j
7 -4 + 6j 12 – 3j
8 ( 3 + 4j )( 5 – 6j )
4 + 8j
9 ( 3 + 5j )( 3 – 6j )
4 – 8j
10 ( 3 – 4j )( 2 – 7j )
5 + 3j
Als we een complex getal grafisch willen weergeven dan hebben we twee assen nodig.
De x-as noemen we de reële as en de y-as noemen we de imaginaire as.
Langs de reële as zetten we het reële gedeelte van het getal.
Langs de imaginaire as zetten we het imaginaire gedeelte van het getal.
Zo kunnen we het complexe getal z = 3 + 2j als volgt weergeven:
De plaats van z ligt dus vast door zijn rechthoekscoördinaten (3 , 2).
Er is nog een manier om de plaats van een punt in een coördinatenstelsel vast te leggen:
r
ϕ
We trekken in bovenstaande figuur een rechte lijn tussen het punt en de oorsprong. De plaats van ons punt ligt dan ook vast door de lengte van die verbindingslijn r en de hoek ϕ tussen de lijn en de positieve reële as. We noemen die r en ϕ de poolcoördinaten van het punt.
Als we van een punt zijn rechthoekscoördinaten weten kunnen we eenvoudig zijn poolcoördinaten bepalen:
r2 = 32 + 22 (pythagoras) → r2 = 13 → r = √13 → r = 3,61.
tan ϕ = 2 / 3 → ϕ = invtan (2 / 3) → ϕ = 33,69°.
Het omrekenen van de rechthoekscoördinaten (3 , 2) leveren dus de poolcoördinaten (3,61 ∠ 33,69°) op. Let op de notaties!
Die poolcoördinaten spelen een grote rol in berekeningen met complexe getallen.
Zij hebben daar ook een aparte naam:
Voorbeeld: we willen van het complex getal 4 + 3j de modulus en het argument berekenen.
We moeten dan de rechthoekscoördinaten (4 , 3) omrekenen in poolcoördinaten. Er volgt:
r2 = 42 + 32 (pythagoras) → r2 = 25 → r = √25 → r = 5.
tan ϕ = 3 / 4 → ϕ = invtan (3 / 4) → ϕ = 36,87°.
Dus de modulus is 5 en het argument is 36,87°.
Voorbeeld: we willen van het complex getal 2 – 3j de modulus en het argument berekenen.
Onderstaand diagram toont de situatie:
ϕ
r
Er volgt: r2 = 22 + 32 (pythagoras) → r2 = 13 → r = √13 → r = 3,61.
tan ϕ = 3 / 2 → ϕ = invtan (3 / 2) → ϕ = 56,31°.
Omdat de hoek ϕ onder de reële as ligt moeten we als antwoord -56,31° geven.
Anders zouden de punten (2 , 3) en (2 , -3) dezelfde poolcoördinaten hebben.
Dus de modulus is 3,61 en het argument is -56,31°.
De r noemen we de modulus van het complexe getal,
de ϕ heet het argument van het complexe getal.
Het omzetten van rechthoekscoördinaten in poolcoördinaten komt veel voor.
Daarom heeft onze rekenmachine daar aparte toetsen voor.
Als we de rechthoekscoördinaten (3 , 2) willen omzetten in poolcoördinaten gebruiken we op de CASIO fx-82TL de toets [Pol(]:
Het intypen van [Pol(][3][,][2][)][=] levert ons direct de modulus 3,61 op.
Onder geheugenplaats F zit vervolgens het argument: [RCL][F] geeft het argument 33,69º Met [RCL][E] gaan we weer terug naar de modulus!!
Met de CASIO fx-82SX levert [3][R→P][2][=] de modulus 3,61.
Het vervolgens indrukken van de zogenaamde wisseltoets [x y] geeft het argument 33,69º.
Het nogmaals indrukken van de wisseltoets [x y] geeft weer de modulus.
Geef de antwoorden van de volgende sommen in twee decimalen na de komma nauwkeurig:
11 Zet de volgende rechthoekscoördinaten (x , y) om in poolcoördinaten (r ∠ ö):
a) (2 , 7) b) (6 , 7) c (5 , -2) d) (-2 , 8) e) (-2 , 7) f) (6 , -7) g (-5 , -2) h) (-2 , -8)
12 Bereken modulus r en argument ö van de volgende complexe getallen:
a) 4 – 5j b) –2 + 3j c) 9 + 2j d) -3 – 5j
e) 4 f) - 3j g) -9 h) 5j
Als we van een complex getal zijn modulus r en argument ö weten moeten we ook zijn rechthoekscoördinaten x en y weer kunnen berekenen:
r⋅sin ö
r
ϕ
r⋅cos ö
Als we het punt projecteren op de x-as vinden we de x-coördinaat.
Als we het punt projecteren op de y-as vinden we de y-coördinaat.
Ga na dat geldt x = r⋅cos ö en y = r⋅sin ö.
Zogenaamde Belgische één
Voorbeeld: een complex getal heeft een modulus van 5 en een argument van 35º.
Er geldt dan x = 5 ⋅ cos 35º = 4,10 en y = 5 ⋅ sin 35º = 2,87.
Het complexe getal is dus 4,10 + 2,87j.
Controle: [Pol(][4,1][,][2,87][)][=] levert 5,00 op gevolgt door [RCL][F]: 34,99º. Klopt!!
Dat omzetten van poolcoördinaten in rechthoekscoördinaten kan ook eenvoudig met onze rekenmachine. We willen (5 ∠ 35º) omzetten in rechthoekscoördinaten:
Op de CASIO fx-82TL gebruiken we daarvoor de toets [Rec(]:
Het intypen van [Rec(][5][,][35][)][=] levert ons direct de x-coördinaat 4,10 op.
Onder geheugenplaats F zit vervolgens de y-coördinaat:
[RCL][F] geeft de y-coördinaat 2,87.
Met [RCL][E] gaan we weer terug naar de x-coördinaat!!
Met de CASIO fx-82SX levert het typen van [5][P→R][35][=] de x-coördinaat 4,10.
Het indrukken van de zogenaamde wisseltoets [x y] geeft de y-coördinaat 2,87.
Het nogmaals indrukken van de wisseltoets [x y] geeft weer de x-coördinaat.
13 Zet de volgende poolcoördinaten (r ∠ ö) om in rechthoekscoördinaten (x , y):
a) (3 ∠ 25º) b) (4 ∠ 68º) c) (5 ∠ 120º) d) (3 ∠ 90º) e) (6 ∠ -25º) f) (7 ∠ -90º) g) (5 ∠ -120º) h) (3 ∠ 180º)
Twee complexe getallen in rechthoeksnotatie kunnen we eenvoudig optellen:
(2 + 7j) + (4 – 2j) = 6 + 5j.
Twee complexe getallen in rechthoeksnotatie vermenigvuldigen is al ingewikkelder:
(2 + 7j) ⋅ (4 – 2j) = 8 – 4j + 28j – 28j2 = 8 – 4j + 28j + 28 = 36 + 24j.
Twee complexe getallen in rechthoeksnotatie delen is een hele berekening:
2 + 3j 2 + 3j 4 + 5j 8 + 10j + 12j - 15 -7 + 22j -7 + 22j
= ⋅ = = = = 4 - 5j 4 - 5j 4 + 5j (4)² - (5j)² 16 + 25 41
-7 22j
+ = -0,17 + 0,54j 41 41
Als we twee complexe getallen in poolcoördinaten willen optellen moeten we ze eerst omzetten in rechthoekscoördinaten.
Vervolgens kunnen we ze optellen en tenslotte weer terugrekenen in poolcoördinaten:
(5 ∠ 25º) + (3 ∠ 40º) = (4,53 , 2,11) + (2,30 , 1,93) = (6,83 , 4,04) = (7,94 ∠ 30,60º)
14 Geef het antwoord van de volgende sommen in poolcoördinaten met twee cijfers achter de komma nauwkeurig:
a) (5 ∠ 25º) + (3 ∠ 40º) b) (5 ∠ 35º) + (6 ∠ 40º) c) (5 ∠ -25º) + (3 ∠ 60º) d) (6 ∠ 125º) + (3 ∠ 40º) e) (5 ∠ 25º) – (3 ∠ -140º) f) (7 ∠ 145º) – (3 ∠ 40º)
Als we twee complexe getallen in poolcoördinaten willen vermenigvuldigen moeten we ze eerst omzetten in rechthoekscoördinaten. Vervolgens kunnen we ze vermenigvuldigen en tenslotte weer terugrekenen in poolcoördinaten:
(5 ∠ 25º) ⋅ (3 ∠ 40º) = (4,53 , 2,11) ⋅ (2,30 , 1,93).
Voor de overzichtelijkheid herschrijven met j:
(4,53 + 2,11j) ⋅ (2,30 + 1,93j) = 10,4190 + 8,7429j + 4,8530j + 4,0723j2 = 10,4190 + 8,7429j + 4,8530j – 4,0723 = 6,3467 + 13,5959j.
Als we weer overgaan op poolcoördinaten is het resultaat (15 ∠ 65º).
Als we dat resultaat eens goed gekijken valt ons het volgende op:
Bij vermenigvuldiging van twee complexe getallen in polaire notatie moeten we blijkbaar:
1) de modulussen vermenigvuldigen: 5 ⋅ 3 = 15.
2) de argumenten optellen: 25º + 40º = 65º.
Voorbeelden:
(5 ∠ 35º) ⋅ (6 ∠ 40º) = (30 ∠ 75º).
(5 ∠ 125º) ⋅ (3 ∠ -40º) = (15 ∠ 85º).
(4 ∠ -25º) ⋅ (3 ∠ -40º) = (12 ∠ -65º).
Ook machten van complexe getallen kunnen we nu eenvoudig uitrekenen:
(5 ∠ 25º)3 = (5 ∠ 25º) ⋅ (5 ∠ 25º) · (5 ∠ 25º) = (125 ∠ 75º).
Geef het antwoord van de volgende sommen in poolcoördinaten met twee cijfers achter de komma nauwkeurig:
15 a) (5 ∠ 85º) · (3 ∠ 40º) b) (4 ∠ 35º) · (6 ∠ 40º) c) (9 ∠ -25º) · (3 ∠ 60º) d) (6 ∠ 125º) · (3 ∠ 40º) e) (3 ∠ 15º)3 f) (2 ∠ 15º)5
Dat we bij vermenigvuldigen altijd de modulussen moeten vermenigvuldigen en de argumenten moeten optellen kunnen we als volgt aantonen:
We hebben tot nu toe gewerkt met de rechthoeksnotatie van complexe getallen zoals 2 + 3j.
Datzelfde getal in rechthoekscoördinaten schrijven we als (2 , 3).
Omzetten in poolcoördinaten levert (3,61 ∠ 56,31º).
Er bestaat echter ook nog de polaire notatie van dit complex getal, namelijk 3,61⋅e56,31j. Daarbij is e56,31j een zogenaamde e- macht (e 2,72).
We weten nog dat we bij vermenigvuldigen van twee machten de exponenten moeten optellen: a2 ⋅ a3 = a 2+3 = a5.
Dus het voorbeeld (5 ∠ 35º) ⋅ (6 ∠ 40º) mogen we ook als volgt opschrijven:
5⋅e35j ⋅ 6⋅e40j = 5 ⋅ 6 ⋅ e35j + 40j = 30⋅e75j = (30 ∠ 75º).
Ook machten berekenen we eenvoudig in de polaire notatie:
(5 ∠ 25º)3 = (5⋅e25j)3 = (5)3 ⋅ (e25j)3 = 53 ⋅ e25j⋅3 = 125⋅e75j = (125 ∠ 75º).
(5 ∠ 25º) ⋅ (3 ∠ 40º) = (15 ∠ 65º)
Als we twee complexe getallen in poolcoördinaten willen delen moeten we ze eerst omzetten in rechthoekscoördinaten. Vervolgens kunnen we ze delen en tenslotte weer terugrekenen in de poolcoördinaten. Een willekeurig voorbeeld levert het volgende resultaat:
Als we dat resultaat eens goed gekijken valt ons het volgende op:
Bij deling van twee complexe getallen in poolcoördinaten moeten we:
1) de modulussen delen: 6 ÷ 3 = 2.
2) de argumenten van elkaar aftrekken: 25º – 40º = -15º.
Voorbeelden:
(30 ∠ 35º) ÷ (6 ∠ 40º) = (5 ∠ -5º).
(12 ∠ 125º) ÷ (3 ∠ 40º) = (4 ∠ 85º).
(15 ∠ -25º) ÷ (3 ∠ -40º) = (5 ∠ 15º).
Geef het antwoord van de volgende sommen in poolcoördinaten met twee cijfers achter de komma nauwkeurig:
16 a) (5 ∠ 25º) ÷ (3 ∠ 40º) b) (5 ∠ 35º) ÷ (6 ∠ 40º) c) (5 ∠ -25º) ÷ (3 ∠ 60º) d) (6 ∠ 125º) ÷ (3 ∠ 40º) e) (5 ∠ 25º) ÷ (3 ∠ -140º) f) (7 ∠ 145º) ÷ (3 ∠ 40º) De regel dat we bij het delen van complexe getallen de modulussen moeten delen en de argumenten moeten aftrekken kunnen we weer eenvoudig aantonen met de polaire notatie.
We weten dat we bij delen van twee machten de exponenten van elkaar af moeten trekken:
a5 ÷ a3 = a 5–3 = a2.
Dus het voorbeeld (30 ∠ 35º) ÷ (6 ∠ 40º) mogen we ook als volgt schrijven:
30⋅e35j ÷ 6⋅e40j = (30 ÷ 6) ⋅ e35j–40j = 5⋅e-5j = (5 ∠ -5º).
Het optellen en aftrekken van complexe getallen doen we in rechthoeksnotatie of in rechthoekscoördinaten.
Het vermenigvuldigen en delen doen we bij voorkeur in polaire notatie of in poolcoördinaten.
Geef het antwoord van de volgende sommen in rechthoeksnotatie met twee cijfers achter de komma nauwkeurig:
17 1 + 4j
2 – 4j
(6 ∠ 25º) ÷ (3 ∠ 40º) = (2 ∠ -15º)
18 5 – 6j
6 + 2j
19 ( 3 + 5j )( 5 – 6j )
4 + 8j
20 ( 1 + 5j )( 3 – 6j )
4 – 8j
21 (2 + 5j) ⋅ (-5 + 3j) ⋅ (8 – 3j) 22 (-2 + 7j) ⋅ (-5 + 4j) ⋅ (8 + 3j) 23 5⋅e40j + 6⋅e25j
24 3⋅e40j – 5⋅e25j 25 7⋅e40j – 4⋅e-35j
26 16⋅e90j – 12⋅e-35j + 8⋅e-150j
Bovenstaande figuur toont hoe we in DERIVE complexe bewerkingen kunnen uitrekenen.
Typ maar eens op de invoerregel: (3+4î)*(-2+7î)/(6-8î) gevolgd door ENTER.
Na het klikken op het approximate- ikoon ( ) volgt het antwoord.
Het symbool î voor de imaginaire eenheid vinden we rechts onder de invoerregel.
