• Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt

(1)

▬ www.havovwo.nl www.examen-cd.nl ▬

Oppervlakte en inhoud bij f ⁽ x ⁾ = e

^x

1 maximumscore 6

• Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt

2 1 2 2

e 1

(e 1) 2

− = −

₁

• Voor lijn AB geldt de formule y =

¹₂

(e

²

− ⋅ + 1) x 1

₁

• De oppervlakte van het vlakdeel is

2 1 2 2 0

( (e − ⋅ + − 1) x 1 e )d

^x

x

∫

¹

• Een primitieve van

¹₂

(e

²

− ⋅ + − is 1) x 1 e

^x ¹₄

(e

²

− ⋅ 1) x

²

+ − x e

^x ₂

• De gevraagde oppervlakte is 2

₁

of

• De oppervlakte van het vlakdeel is het verschil tussen de oppervlakte van een trapezium en

2

0

e d

^x

x

∫

¹

• De oppervlakte van het bedoelde trapezium is e

²

+ 1

₂

•

2

2 0

e d

^x

x = e − 1

∫

²

• De gevraagde oppervlakte is 2

₁

• De grafiek van ( ) g x = e

^x

− wordt om de x-as gewenteld 1

₁

• De inhoud is

2

2 0

π (e ⋅

^x

− 1) d x

∫

¹

• (e

^x

− 1)

²

= e

²^x

− 2e +1

^x ₁

• Een primitieve van e

²^x

− 2e +1

^x

is

¹₂

e

²^x

− 2e +

^x

x

₂

• De inhoud is π ( e ⋅

¹₂ ⁴

− 2e +3 )

² ¹₂ ₁

Vraag Antwoord Scores

- 1 -

(2)

Met een gemeenschappelijk brandpunt

3 maximumscore 5

• ∠(AP, raaklijn aan e

₁

) = ∠(BP, raaklijn aan e

₁

) = α ;

raaklijneigenschap ellips

₁

• ∠(AP, raaklijn aan e

₂

) = ∠(CP, raaklijn aan e

₂

) = β ;

raaklijneigenschap ellips

₁

• ∠(CP, raaklijn aan e

₁

) = ∠ (BP, raaklijn aan e

₁

) = α ;

overstaande hoeken

₁

• 2α + 2β = 180° ; gestrekte hoek

₁

• ∠(raaklijn aan e

₁

, raaklijn aan e

₂

) = α + β = 90°

₁

• Uit de definitie van de ellips volgt PA PC + = QA QC +

₁

• Uit de definitie van de ellips volgt PA + PB = QA QB +

₁

• Hieruit volgt PC − PB = QC − QB

1

• Volgens de definitie van de hyperbool liggen P en Q dus op eenzelfde

hyperbool met brandpunten B en C

1

(3)

Een parabool?

• A(4, 4) en B(–6, 6)

₁

• Als

a

= 4 is de formule

y

= −

¹₅x

+ 4

⁴₅ ₁

• De coördinaten van A voldoen, want 4 = − ⋅ +

¹₅

4 4

⁴₅ ₁

• De coördinaten van B voldoen ook, want 6 = − ⋅ − +

¹₅

6 4

⁴₅

(dus de formule is juist voor

a

= 4 )

₁

of

• A(4, 4) en B(–6, 6)

1

• De lijn door A(4, 4) en B(−6, 6) heeft richtingscoëfficiënt −

¹₅ 1

• Voor lijn AB geldt dus

y

= − 4

¹₅

(

x

− 4) , ofwel

y

= −

¹₅x

+ 4

⁴₅ 1

•

a

= 4 invullen in de gegeven formule geeft ook

y

= −

¹₅x

+ 4

⁴₅

(dus de formule is juist voor

a

= 4 )

1

• Voor het snijpunt met de y-as geldt y = −

¹₅

a

²

+ 2 a

₁

•

²

5

d 2

d

y a

a = − +

₁

• d d 0 y

a = geeft

a

= 5

₁

• De grootste waarde van y is − ⋅ + ⋅ =

¹₅

5

²

2 5 5

₁

of

• Voor het snijpunt met de y-as geldt y = −

¹₅

a

²

+ 2 a

₁

• −

¹₅

a

²

+ 2 a = geeft 0

a

( −

¹₅a

+ 2) = 0 dus

a

= 0 of

a

= 10

₁

• Hieruit volgt dat het maximum wordt aangenomen voor

a

= 5

1

• De grootste waarde van y is − ⋅ + ⋅ =

¹₅

5

²

2 5 5

₁

• De afgeleide van

₂₀¹

x

²

+ is 5

₁₀¹ x 1

•

x

= 4 invullen geeft

²₅

als richtingscoëfficiënt van de raaklijn

1

• Een vergelijking van de raaklijn in (4, 5 )

⁴₅

is

y

=

²₅x

+ 4

¹₅ 1

• De raaklijn is een van de lijnen AB als

¹₅

a − = en 1

²₅

−

¹₅

a

²

+ 2 a = 4

¹₅ 1

•

¹₅

a − = geeft 1

₅² a

= 7

1

•

a

= 7 invullen in −

¹₅

a

²

+ 2 a geeft 4

¹₅

(en dus is de raaklijn aan de

parabool in (4, 5 )

⁴₅

een van de lijnen AB)

1

- 3 -

(4)

Wisselingen in rijtjes kop en munt

• Op 5 van de 9 plekken moet een wisseling plaatsvinden;

dit kan op 9 5

⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ manieren

1

• 9 5 126

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

¹

• Als de wisselingen vastliggen, kan een rijtje nog met een K of een M

beginnen; dus zijn er 2 126 ⋅ = 252 rijtjes met 5 wisselingen

1 9 maximumscore 3

• De kans dat een rijtje ten minste één wisseling heeft, is ( 1 −

₁₀₂₄²

= )

¹⁰²²₁₀₂₄ ₁

• De kans op 20 keer zo’n rijtje is (

¹⁰²²₁₀₂₄

)

²⁰

≈ 0,962

₂

• De kans dat een willekeurig rijtje meer dan 5 wisselingen heeft, is

168 72 18 2 260 65

1024 1024 256

+ + +

= =

₁

• Het gaat om een binomiale kans met

n

= 20 en

p

=

₂₅₆⁶⁵ ₁

• Beschrijven hoe de binomiale kans P(

X

≥ 9

n

= 20 en

p

=

₂₅₆⁶⁵

) berekend kan worden, waarbij X het aantal rijtjes met meer dan 5 wisselingen is

₁

• De kans is (ongeveer) 0,045

₁

• Deze kans is kleiner dan 5%, dus we vertrouwen Jolly niet

₁

(5)

Jupiter en Aarde

• De afstand is (cos 2π

t

− 5 cos π )

¹₆ t ²

+ (sin 2π

t

− 5sin π )

¹₆ t ² ₁

• Dit is gelijk aan

2 1 2 1 2 1 2 1

6 6 6 6

cos 2πt−10 cos 2πt⋅cos πt+25 cos πt+sin 2πt−10 sin 2πt⋅sin πt+25 sin πt 1

• cos 2π

² t

+ sin 2π

² t

= 1 en cos

²¹₆

π t + sin

² ¹₆

π t = 1

₁

• Dus de afstand is 26 10(cos 2π cos π − t ⋅

¹₆

t + sin 2π sin π ) t ⋅

¹₆

t

1

• Dus de afstand is 26 10 cos( −

¹¹₆

π ) t

1

• De snelheid is de afgeleide van 26 10 cos( −

¹¹₆

π ) t

₁

• De afgeleide van 26 10 cos( −

¹¹₆

π )

t

is

¹¹⁰₆

π sin( π ) ⋅

¹¹₆ t ₁

• De afgeleide van 26 10 cos( −

¹¹₆

π ) t is

110 11

6 6

11 6

π sin( π ) 2 26 10 cos( π )

t t

⋅

−

²

• Op tijdstip

t

= 3 is de snelheid (waarmee de afstand afneemt ongeveer) 5,65 (AE/jaar) (of: op tijdstip

t

= 3 is de snelheid (ongeveer) –5,65

(AE/jaar))

₁

Opmerking

Als de kettingregel niet gebruikt is, maximaal 3 punten toekennen.

- 5 -

(6)

Met constante hoek

• Driehoek ABN is een gelijkbenige driehoek met tophoek ANB van 60°, dus de basishoek NAB is ook 60°; gelijkbenige driehoek,

hoekensom driehoek

2

• De hoek tussen de raaklijn in A en AN is 90°, dus de hoek tussen de raaklijn in A aan de cirkelboog met middelpunt N en lijn AB is 30°; raaklijn

1

• De gevraagde hoek tussen de cirkelbogen is dus 60°

1 14 maximumscore 4

• De gevraagde meetkundige plaats bestaat uit twee cirkelbogen op AB, met middelpunten X en Y, waarbij ∠AXB = 90° en ∠AYB = 90°

1

• Het tekenen van de middelloodlijn van lijnstuk AB

1

• Het tekenen van de punten X en Y

1

• Het tekenen van de cirkelbogen

1

• Als P

₁

en P

₂

aan verschillende kanten van AB liggen zó dat

∠AP

1

B = 140° en ∠AP

2

B = 40° en dus ∠AP

1

B + ∠AP

2

B = 180°, dan is vierhoek AP

₁

BP

₂

een koordenvierhoek;

omgekeerde koordenvierhoekstelling

1

• Hieruit volgt dat A, P

1

, B en P

2

op één cirkel liggen

1

• De meetkundige plaats van alle punten P waarvoor ∠APB = 140°

bestaat uit twee cirkelbogen die de cirkelbogen die behoren bij

∠APB = 40° aanvullen tot twee cirkels (met uitzondering van de

punten A en B)

1

(7)

Rij en oppervlakte

•

100 1

100 100

1 100

. 1

i

1

i

R

=

= ∑ +

¹

• Beschrijven hoe deze som berekend kan worden

1

• R

₁₀₀

≈ 0, 6907

1

of

•

100 100

1

i

100

R

=

₌ i

∑ +

¹

• Beschrijven hoe deze som berekend kan worden

1

• R

₁₀₀

≈ 0, 6907

1

• De i-de rechthoek is 1

n breed en ¹

i

1

n

+ hoog

1

• De oppervlakte van de rechthoek is gelijk aan 1 1 1

i

1 n ⋅

n

= i n

+ +

¹

• Voor

i

= 1 geeft dit: 1

1 n + , voor

i

= 2 : 1

2 n + , …, en voor i = : n 1 1

2 n n = n

+ , dus R =

_n

1 1 1

1 n + 2 n + + ... 2 n

+ +

¹

• R

100

=

₁₀₁¹

+

₁₀₂¹

+ + ...

₂₀₀¹ 1

• R

99

=

₁₀₀¹

+

₁₀₁¹

+ + ...

₁₉₈¹ 1

• R

100

– R

99

=

₁₉₉¹

+

₂₀₀¹

−

₁₀₀¹ 1

• Het antwoord

₃₉₈₀₀¹ 1

• lim

_n

n R

→∞

is de oppervlakte onder de grafiek van f op [0, 1]

1

• De oppervlakte is gelijk aan

1

0

1 d 1 x x +

∫

¹

• Een primitieve van 1 1

x + is ln(x+1)

1

• De oppervlakte is ln2 (dus lim

_n

n R

→∞

= ln2)

1

- 7 -

• Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt

Oppervlakte en inhoud bij f ( x ) = e