Afdeling Informatica Netwerken en Grafen

(1)

Afdeling Informatica Netwerken en Grafen

Vrije Universiteit Amsterdam 29.05.2013

ZORG ERVOOR DAT JE HANDSCHRIFT LEESBAAR IS

Deel I

1a Laat G een simpele graaf zijn met n knopen en m verbindingen. (1) Vertaal elk van de volgende uitspraken naar gewoon Nederlands en (2) zeg of ze wel of niet waar zijn.

1. G[E(G)] ⊆ G.

2. ∀u ∈ V (G) : δ(u) ≥ min{δ(v)|v ∈ V (G)}

3. G is samenhangend ⇒ n ≤ m 4. ∃H, H⁰⊆ G : G[V (H) ∪V (H⁰)] = K_n.

5. ∃u, v ∈ V (G), u 6= v :6 ∃(u, v)-path ⇒ ω(G) > 1

10pt

2a Bewijs dat voor elke simpele graaf G, λ(G) ≤ min{δ(v)|v ∈ V (G)}. 5pt 2b Construeer een graaf waarvoor κ(G) < λ(G) < min{δ(v)|v ∈ V (G)}. 5pt

3a Bewijs dat voor elke samenhangende, simpele planaire graaf met n ≥ 3 knopen and m verbindingen,

m≤ 3n − 6. 10pt

3b Bewijs dat elke samenhangend, planaire graaf een knoop heeft met graad kleiner of gelijk aan vijf. 5pt

4a Geef definities voor (1) spoor (“trail”), (2) pad (“path”), (3) Euler spoor (“Euler trail”), and (4) Euler

pad (“Euler path”). 4pt

4b Maak het volgende statement af: “Graaf G heeft een Euler trail dan en slechts dan als ...” 3pt 4c Maak het volgende statement af: “Graaf G heeft een Euler pad dan en slechts dan als ...” 3pt

5 Bewijs door middel van inductie dat het aantal verbindingen m van de volledige graaf met n knopen

gelijk is aan ¹₂n(n − 1). 5pt

Deel II

6a Wat is het minimaal aantal rondes nodig in het Bellman-Ford algoritme opdat elke knoop een kortste pad gevonden heeft naar elke andere knoop? Leg je antwoord uit. 6pt 6b Wat is de routeringstabel van knoop v5 na drie rondes van het Bellman-Ford algoritme? Leg je

antwoord uit. 6pt

v1 v2

v3

v4 v5

v6 v0 v7

2

7 1

1

6

4 3

5 4

2 3

7a De clustering co¨effici¨ent van een echt netwerk met 1000 knopen en 7500 verbindingen is 0.1. Is dit

hoog? Leg je antwoord uit. 6pt

(2)

7b Leg uit hoe een schaalvrij netwerk geconstrueerd kan worden. 8pt

7c Leg uit hoe een Watts-Strogatz graaf geconstrueerd wordt. 6pt

8a Bereken het centrum van de volgende (getekende [“signed”]) graaf, alsmede de clustering co¨effici¨ent. 6pt

+ +

+

+ +

-

- -

-

8b Ga systematisch na of de vorige graaf gebalanceerd is. 6pt

8c Beschouw een affiliatie-netwerk met adjacency matrix AE, waarin n_ppeople worden gerepresen- teerd en n_eevents, met AE[i, j] = 1 dan en slechts dan als persoon v_imeedoet in event e_j, and anders AE[i, j] = 0. Leg uit wat bedoeld wordt met (1) ∑ⁿ_j=1^e (AE[i, k]·AE[ j, k]) en evenzo (2) ∑ⁿ_k=1^a (AE[k, i]·

AE[k, j]). 4pt

9a Leg uit dat de kans P[δ(v) = k] in een ER(n, p) graaf gelijk is aan ⁿ⁻¹_k p^k(1 − p)^n−1−k 8pt

9b Bereken de clustering co¨effici¨ent for een ER(n, p) graaf. 6pt

Cijferbepaling: (1) Tel per deel de behaalde punten bij elkaar op. (2) Laat T het totaal aantal behaalde punten voor de toets zijn (0 ≤ T ≤ 50); D1 het aantal behaalde punten voor deel 1; D2 het aantal behaalde punten voor deel 2. Het eindtotaal E is danmax{T, D1} + D2.

2