4 HAVO WISKUNDE A KATERN I I

(1)

MathPlus is een digitale wiskundemethode gebaseerd op de open content van Math4all.

In het colofon staan de namen van de betrokken auteurs.

Eerste druk

MALMBERG ’s-Hertogenbosch

www.mathplus.nl

(2)

(3)

Inhoud

Statistiek en kansrekening

3 Werken met data

Contexten . . . 5

1 Wat is statistiek? . . . 6

2 Statistische variabelen . . . 8

3 Diagrammen . . . 11

4 Misleidingen . . . 14

Oefenopgaven . . . 16

Formules en grafieken

4 ^Formules

Contexten . . . 19

1 Formules gebruiken . . . 19

2 Karakteristieken . . . 26

3 Vergelijkingen . . . 30

4 Ongelijkheden . . . 34

5 Meerdere variabelen . . . 39

Oefenopgaven . . . 48

(4)

4

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

(5)

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 3 Werken met data

ha-e1.xml

Context 1

Op het eerste gezicht lijkt de onderzoeker gelijk te hebben, want in beide ona hankelijke tests scoren de gravers beter dan de renners. Als je echter kijkt naar het totaalplaatje, met de aantallen van het bos en de vlakte samen genomen, zie je een ander beeld.

gebied\groep renners (percentage konijnen in leven na twee maanden)

gravers (percentage konijnen in leven na twee maanden)

bos 70% ( 30/43 ) 73% ( 94/129 )

vlakte 87% ( 120/138 ) 92% ( 46/50 )

totaal 83% ( 150/181 ) 78% ( 140/179 )

Dit verschijnsel wordt ook wel de Simpson’s paradox of het Yule-Simpson effect ge- noemd. De onderzoeker heeft dus ongelijk.

Context 2

Maak een frequentietabel:

leeftijd kijkers

13 5

14 13

15 29

16 41

17 39

18 24

19 21

De steekproef bestaat uit 6800 personen. Dat betekent dat elke persoon in de steekproef 2500 personen in de populatie vertegenwoordigt. Tel je het aantal kijkers tussen de 13 en 19 jaar op en vermenigvuldig je dat getal met 2500, dan krijg je:

(5 + 13 + 29 + 41 + 39 + 24 + 21) ⋅ 2500 = 430 000

Dus 430 000 jongeren tussen de 13 en 19 jaar hebben naar het programma gekeken. De derde uitspraak: 430 000 jongeren tussen 13 en 19 jaar hebben naar het programma gekeken, is juist.

De eerste uitspraak is onjuist, omdat hierbij alleen het aantal jongeren in de steekproef is berekend en de rest van de populatie niet is meegenomen.

De tweede uitspraak is onjuist, omdat het geen concreet antwoord is en er geen informatie is over de rest van de kijkcijfers. Misschien is het programma wel veel beter bekeken door mensen tussen de 20 en 30 jaar oud.

De vierde uitspraak is ook onjuist, omdat het geen concreet antwoord is. Misschien hebben er twee keer zoveel jongeren naar een ander programma gekeken, dan is dit programma relatief niet zo goed bekeken.

(6)

6 DOMEIN Statistiek en kansrekening

1 Wat is statistiek?

Uitleg

1 a Nederlandse medaillewinnaars bij de Olympische Winterspelen in Sochi.

b Nederlanders die bij de Olympische Winterspelen in Sochi een medaille hebben be- haald.

c Naam van de sport, soort medaille, naam van de sporter.

d Het aantal medaillewinnaars in Sochi per sport, het aantal sporten waarin Neder- landse sporters medailles hebben behaald in Sochi, het totale aantal vrouwelijke Ne- derlandse medaillewinnaars in Sochi etc.

2

3 a Waarschijnlijk is de groep personenauto’s uit Drenthe anders van samenstelling dan die van de groep personenauto’s uit heel Nederland: de groep personenauto’s in bv Zuid-Holland zal anders zijn dan die in Drenthe omdat Drenthe een heel landelijke omgeving is en Zuid-Holland een heel stedelijke omgeving.

b Mogelijke tabel:

2015 2016 Verandering

Totaal Nederland 7 979 083 8 100 864 +121 781

Groningen 259 921 262 291 +2370

Friesland 308 085 312 132 +4047

Drenthe 250 614 253 051 +2437

Overijssel 539 981 547 328 +7347

Flevoland 323 255 335 882 +12 627

Gelderland 961 866 976 086 +14 220

Utrecht 632 138 642 013 +9875

Noord-Holland 1 140 432 1 164 058 +23 626

Zuid-Holland 1 500 508 1 518 339 +17 831

Zeeland 192 767 194 741 +1974

Noord-Brabant 1 309 461 1 329 625 +20 164

Limburg 560 055 565 318 +5263

c Mogelijke conclusie:

de gemiddelde verandering is in elk geval een stijging.

Wat het procentuele gemiddelde per provincie is en of het gelijk verdeeld is over de provincies moet eerst nog berekend worden alvorens je daar een antwoord op kunt geven.

4

5 a Wat was de grootte van het leger van Napoleon gedurende de vordering van de veldtocht naar Rusland? (of iets in die richting)

b Napoleons leger.

c De soldaten van Napoleons leger.

d Grootte van het leger, temperatuur, plaats en afgelegde afstand.

e Je ziet hoe de grootte van het leger verandert tijdens de veldtocht.

f temperatuur

Voorbeeld

1 a aantal mannen + aantal vrouwen = totale bevolking b totale bevolkingsgroei, relatief =totale bevolkingsgroei

totale bevolking ⋅ 1000

(7)

c ⋅ 1000 ≈ 2, 9 d B

De groei van de Nederlandse bevolking neemt af, er is sprake van afnemende groei.

2 a bevolkingsdichtheid = totale bevolking totale oppervlakte Nederland

b In 1950: ≈ 32 449 km² In 2000: ≈ 33 897 km²

c Dus de oppervlakte is met (ongeveer) 1448 km²toegenomen.

3 a Dan had de totale bevolkingsgroei gelijk moeten zijn aan het geboorteoverschot.

In het jaar 2000 was de totale bevolkingsgroei 123 125 en het geboorteoverschot 66 092, dat is een verschil van 57 033.

b Deze groei wordt veroorzaakt door migratie.

c rond 1960

d Toen waren er meer emigranten (vertrekkers) dan immigranten (komers).

Verwerken

1 De onderzoeksvraag kan zijn:

Zijn er dit jaar voor iedere schoolsoort voldoende leerlingen geslaagd op onze school?

De populatie betreft de eindexamenleerlingen van de school.

De variabelen zijn leerlingID, schoolsoort, wel/niet geslaagd.

2 a Nederlandse jongeren.

b Iemand jonger dan 25.

c Er zijn vier leeftijdgroepen: 0 tot 4 jaar, 4 tot 12 jaar, 12 tot 18 jaar en 18 tot 25 jaar.

d De variabele leeftijd.

3

4 a De lengte van de wegen per provincie in km.

b Het aantal cm wegen in een provincie en het aantal inwoners van iedere provincie.

c De derde kom geeft een indicatie van de drukte op de wegen.

d Het aantal meter wegen in een provincie en de oppervlakte per provincie in km². e Het geeft aan hoe de wegen over Nederland verspreid zijn. In provincies met een

grote dichtheid liggen er veel wegen vlak bij elkaar en bij een lage dichtheid zit er juist veel ruinte tussen.

f In de derde kolom zie je dat deze drie provincies het laagste aantal cm weg per persoon hebben. Dan is het logisch dat daar veel iles voor komen want het is er drukker op de weg dan in de andere provincies. Maar tegelijkertijd hebben deze provincies ook een erg hoge dichtheid van de wegen (kolom vier), dat laat zien dat de overheid in deze provincies relatief veel meer wegen heeft aangelegd dan in andere provincies.

5 a In welke gebieden in Nederland heerst de mazelen-epidemie en in welke gebieden is er besmettingsgevaar? (of iets van die strekking).

b Het aantal meldingen van mazelen per gemeenten per week en het aantal gevacci- neerden per gemeente.

c per gemeente

d In die gebieden is, bij het maken van de kaart, de ziekte nog besmettelijk.

e Vooral voor huisartsen, maar misschien ook voor scholen of organisatoren van eve- nementen.

6

(8)

7 a Geslacht, leeftijd, opleidingsniveau, regio of woonplaats en de branche van de bijbaan.

b Voor mensen die een bijbaan zoeken en voor de branches waarin veel mensen met een bijbaan werken. Of voor werkgevers om aan hen te laten zien wat ‘bijbanen.nl’ te bieden heeft.

c Voornamelijk scholieren en studenten tussen 14 en 25 jaar, ongeveer twee op de drie is vrouw. Ongeveer twee op de drie deelnemers volgt een opleiding in het vervolgon- derwijs.

d Nee, dit is het resultaat van de 44 000 deelnemers van deze ene website; dat zegt waarschijnlijk weinig over alle mensen met een bijbaan in de horeca.

8 a Woonprovincie, regio, aantal lange vakanties, bestemming binnen- of buitenland, ste- delijkheid gemeente.

b Voor bijvoorbeeld reisbureaus, horecainstellingen en toeristische attracties.

c Gemiddeld aantal lange vakanties per participant =

totaal aantal lange vakanties

omvang van de populatie× participatie aan lange vakanties /

Bedenk dat alle getallen zijn afgerond!

⋅ ≈ 1, 82

d Het participatiepercentage voor ‘niet stedelijk’ ligt iets lager dan voor stedelijke ge- meenten; ook het gemiddelde aantal lange vakanties loopt licht op met de mate van verstedelijking; maar het kan ook met de hoogte van het inkomen te maken hebben en niet met de behoefte aan vakantie; je zou het dus wel kunnen vermoeden, maar aanvullend onderzoek is nodig.

2 Statistische variabelen

Uitleg

1 a Kwalitatieve variabelen zijn variabelen die in een getal zijn uit te drukken, kwantitatieve variabelen zijn variabelen die een kenmerk zijn en niet in een getal zijn uit te drukken.

b Lengte, gewicht, buitentemperatuur, tijd, enzovoort.

c Kleur, merk, godsdienst, enzovoort.

2 a B

b B c B d A e B f A

Kwalitatief. De kenmerken worden wel uitgedrukt in getallen maar deze hebben geen vaste waarde, ze hadden even goed van hoog naar laag genummerd kunnen worden.

Bovendien is het niet zeker dat de stap tussen 1 en 2 precies even groot is als de stap tussen bijvoorbeeld 2 en 3.

3 a Omdat het totale aantal leerlingen per klas verschillend is.

b ⋅ 100 % = ⋅ 100 % ≈ 6, 7%

c In H4A zijn 7 onvoldoendes gevallen en in H4B zijn dat er 8. Dus in H4A zijn absoluut gezien de minste onvoldoendes gevallen.

d H4A: ⋅ 100 % = 28%

H4B: ⋅ 100 % ≈ 26, 7%

Relatief gezien zijn er juist in klas H4B de minste onvoldoendes gevallen.

(9)

4 a A b 75 c

d ⋅ 100% ≈ 1, 3%

Voorbeeld

1 a A

b B c A d B e B

2 a B

b Deel voor elke mouwlengte het aantal absolute frequenties door het totaal aantal frequenties en vermenigvuldig je antwoord met 100%. Maak in je tabel een nieuwe kolom aan ‘relatieve frequentie’ en plaats daar je gevonden antwoord per mouwlengte.

Je kunt ook een tabel in Excel maken, bekijk eventueel eerst het PracticumS -

: D .

mouwlengte frequentie relatieve frequentie

49 3 ⋅ 100 % ≈ 0, 1%

50 11 ⋅ 100 % ≈ 0, 2%

51 22 ⋅ 100 % ≈ 0, 4%

52 53 ⋅ 100 % ≈ 1, 1%

53 89 ⋅ 100 % ≈ 1, 8%

c Ze kunnen hun voorraad erop afstemmen; weinig voorkomende maten hoef je (bijna) niet in voorraad te hebben en veel voorkomende maten juist wel.

3 a ⋅ 100 % ≈13%

b Mouwlengte 58 cm en kniehoogte 43 cm.

c ⋅ 100 % ≈ 0,3%

d ⋅ 100 % ≈ 0,04%

e ^⋅ ^⋅ ^⋅ ^⋅ ^⋅ ^⋅ ^⋅ ^⋅ ^⋅ ^⋅ ^⋅ ^⋅ ^⋅ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

≈ 59, 1 cm

4 De mouwlengte van 25 000 vrouwen is gemeten. Een mouwlengte 54 cm kwam 700 keer voor. Alleen als je naar relatieve frequenties kijkt, zie je dan dat dit minder vaak is dan in het onderzoek van Freudenthal en Sittig. Zij vonden 3,26% en in dit onderzoek komt dit in ⋅ 100 % ≈ 2,8% van de metingen voor. Alleen relatieve frequenties zijn dus met elkaar vergelijkbaar.

5

(10)

Verwerken

1 a Kwantitatieve variabelen zijn variabelen die een kenmerk zijn en niet in een getal zijn uit te drukken, bijvoorbeeld het geslacht, de kleur ogen, de godsdienst, de bloed- groep, de naam.

b relatieve frequentie =absolute frequentie totaal

c B

2 a A F G H I b B C D E

3 a Het aantal slakken per m².

b Er zijn 16 + 14 + 7 + 4 + 2 + 3 + 1 + 1 = 48 stukken van 1 m², dus 48 m². c = 12 leerlingen, want elke leerling telt 4 stukken van 1 m².

d 16 ⋅ 2 + 14 ⋅ 3 + 7 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + 2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 7 + 1 ⋅ 8 + 1 ⋅ 9 = 172 slakken.

e Gebruik de antwoorden bij b en d.

Er zijn = 3, 6 slakken per m²gevonden.

4 a A

Relatief, want ze wordt weergegeven in procenten.

b Ben je ouder of jonger dan 25 jaar?

Ben je afgelopen 12 maanden naar de huisarts geweest?

Ben je afgelopen 12 maanden naar de tandarts geweest?

Ben je afgelopen 12 maanden naar de fysiotherapeut geweest?

Tot welke inkomensgroep behoort jullie huishouden?

c De variabelen leeftijd en inkomen.

d De variabelen bezoek aan huisarts, tandarts of fysiotherapeut (het antwoord is ja of nee).

5 a Het aantal bewoners (van zes verschillende werelddelen) en het totaal aantal bewoners.

b Ongeveer 6,5 miljard.

c In Azië (exclusief West-Azië) en Oceanië.

d Waarschijnlijk in Afrika (ten zuiden van de Sahara).

e In 2050 wonen er ongeveer 9 miljard mensen ter wereled, waarvan 5 miljard in Azië.

⋅ 100% ≈ 56%.

6 a aantal examenkandidaten: kwantitatief aantal geslaagden: kwantitatief percentage geslaagden: kwantitatief onderwijssoort: kwalitatief

b Absolute frequenties vind je onder aantal examenkandidaten en aantal geslaagden, relatieve frequenties onder percentage geslaagden.

c ≈ 0, 893 en dat is 89,3%, dus dat klopt.

d Voor 2005/’06: ⋅ 100% ≈ 57, 6%

Voor 2006/’07: ⋅ 100% ≈ 57, 5%

Voor 2007/’08: ⋅ 100% ≈ 56, 9%

De percentages zijn achtereenvolgens 57,6%, 57,5% en 56,9%, dus het aantal examenkandidaten neemt relatief af.

7 a Het cijfer dat van een student verwacht wordt, wordt vergeleken met het behaalde cijfer.

b Een puntje boven de diagonaal stelt een leerling voor die een hoger cijfer verwachtte dan hij of zij heeft gekregen.

(11)

c G H

d Nee, de reden dat ze slechter zijn gemaakt dan verwacht kan ook andere oorzaken hebben; misschien hebben de herkansers zich niet voldoende voorbereid op de her- kansing.

3 Diagrammen

Uitleg

1 a lijndiagram en puntenwolk/spreidingsdiagram b 25%

c kruistabel

d Bijvoorbeeld: het aantal mensen met een besmettelijk virus en op welke locatie zij zich bevinden.

2 a Aantal hectare en oppervlaktegebruik.

b kwantitatief: aantal hectare kwalitatief: oppervlaktegebruik

c Doordat de cirkelsector ’bossen’ bij Zuid-Holland duidelijk kleiner is dan bij Neder- land als geheel.

d Het cirkeldiagram van Zuid-Holland had veel kleiner getekend moeten zijn dan dat van heel Nederland.

e De iguur laat de absolute verschillen tussen Zuid-Holland en Nederland beter zien.

3 a lijndiagrammen

b Over de jaren 1960 t/m 2005 kan de groei van de Nederlandse bevolking afgelezen worden: in totaal, door natuurlijke aanwas en door migratie.

c totale bevolkingsgroei = natuurlijke aanwas + migratiesaldo d A

Voorbeeld

1 a De middens van de bovenkanten van de staa jes met rechte lijnstukken verbinden (de staa jes kunnen dan weg).

b ⋅ 360° ≈ 8°

c Nee, want er zijn te veel categorieën.

2 a Om in één oogopslag te kunnen zien of er duidelijke verschillen zijn in zuigelingen- sterfte tussen de verschillende provincies.

b Je kunt geen exacte getallen a lezen en je ziet de verschillen niet tussen plaatsen en regio’s. Er kan bijvoorbeeld een groot verschil zijn tussen een stad en een dorp.

c Tussen de 5,0 en 6,4 zuigelingen.

d 5 op de 1000 is 0,5 op de 100, dus 0,5%.

6,4 op de 1000 is 0,64 op de 100, dus 0,64%.

Tussen de 0,5% en 0,64%.

e Het is moeilijk, want je kunt geen exacte gegevens uit het kaartdiagram a leiden. Een nadeel is dat je de geogra ische spreiding niet meer zo duidelijk kunt zien.

3 • In een kruistabel kunnen het lichaamsgewicht en de lichaamslengte tegen elkaar uitgezet worden. Het voordeel is dat je zo heel snel kunt zien welke combinatie van lengte en gewicht het meest voor komen. Een nadeel is dat je de lengtes en gewichten in klassen zult moeten indelen, waardoor er exacte informatie verloren gaat.

• In een spreidingsplot kunnen het lichaamsgewicht en de lichaamslengte ook tegen elkaar uitgezet worden. Het voordeel is dat je in een oogopslag kunt zien of er een duidelijk verband is tussen lengte en gewicht (dat is het geval als de punten een rechte

(12)

lijn lijken te vormen). Een nadeel is dat als je alle punten stuk voor stuk moet a lezen als je bijvoorbeeld de gemiddelde lengte wilt berekenen.

• Het voordeel van een steelbladdiagram is dat er geen meetgegevens verloren gaan en dat ze netjes op volgorde van klein naar groot worden geordend. Een nadeel is dat je twee losse steelbladdiagrammen moet maken voor de lengte en voor het gewicht, en dat je beide daarna niet meer met elkaar kunt vergelijken omdat je niet meer weet welke lengte bij welk gewicht hoort.

4

5 A C

6 a Je weet dan bijvoorbeeld wel dat er zeven leerlingen er een cijfer tussen de 5 en de 6 hebben gescoord maar niet dat het gaat om tweemaal een 5,0 en tweemaal een 5,5 en tweemaal een 5,9 en nog een 5,1.

b De rijen met de decimalen (de blaadjes van het steelbladdiagram) worden dan zo lang dat het steelbladdiagram onoverzichtelijk wordt.

7 a wel/niet roken en LDL-cholesterolniveau b 35

c Tel de blaadjes naast de stammen 10, 11 en 12 en dan zie je dat dat 3 rokers en 13 niet-rokers, dus in totaal 16 personen zijn.

d Ja, eentje heeft niveau 181.

e Onderzoeksvraag: Is er een verband tussen roken en een hoog LDL-cholestorolniveau?

Conclusie:

Gelukkig zijn beide groepen even groot, namelijk allebei 35 personen, dus je kunt vergelijken. En dan zie je meteen dat de rokers vaak een hoger cholesterolgehalte hebben dan de niet-rokers. Ook de gemiddelden verschillen nogal.

f Kruistabel en puntenwolk.

Verwerken

1

2 a

b Als je het steelbladdiagram een kwartslag draait dan heeft het de vorm van een staaf- diagram.

c

(13)

d De staaf bij het cijfer 5 heeft hoogte 4 omdat er vier cijfers zijn tussen 4,9 en 6,0 (be- ginnend met 5 dus). Maar wij zijn gewend om cijfers af te ronden. Als we dat zouden doen dan zou de staaf bij het cijfer 5 ineens nog maar 2 hoog worden omdat 5,7 afgerond een 6 is.

3 a beelddiagram

b Het diagram geeft weer wat al die mensen die gekeken hebben in diezelfde tijd samen hadden kunnen bouwen.

c De kijker heeft de YouTube-video helemaal (dus tot aan het eind) bekeken. De te- kenaar heeft waarschijnlijk het aantal views vermenigvuldigd met de lengte van de video.

4 a puntenwolk (spreidingsdiagram)

b wachttijd tussen uitbarstingen en duur uitbarstingen, beide zijn kwantitatief.

c De tussenpozen tussen twee uitbarstingen variëren tussen 40 minuten en 100 minuten.

d Een uitbarsting duurt tussen de 1,5 en 6 minuten.

e A D

5 a De variabelen: land, (metaal)kleur en aantal medailles per (metaal) kleur.

b kwalitatief: land en (metaal)kleur

kwantitatief: aantal medailles per (metaal)kleur c Het aantal behaalde medailles van elke ’kleur’.

d Omdat er drie gegevens (variabelen) tegelijk worden weergegeven: land, medaille- kleur en aantal. Maar het had ook anders gekund, namelijk in een gestapeld staafdiagram.

e De Verenigde Staten (46 stuks).

f Bij een gestapeld diagram had je direct kunnen zien welk land de meeste medailles in totaal heeft; de verdeling voor de verschillende kleuren onderling tussen de landen valt een beetje weg (op de onderste kleur na).

6 a Je hebt de aantallen nodig uit de onderste rij die horen bij de verschillende kniehoog- tes van 34 t/m 54 cm.

b Alle absolute frequenties moeten eerst omgerekend worden naar relatieve frequen- ties (bijvoorbeeld in procenten) en dat betekent dat de getallen in de onderste rij omgerekend moeten worden.

c ⋅ 100 ≈ 0, 4%

De staaf in het staafdiagram bij kniehoogte 36 wordt dus 0,4% hoog.

d Er zal geen verschil in vorm en verloop zijn. De waarden op de verticale as zijn bij b in procenten.

7 a Absolute kwantitatieve variabelen:

geboorteoverschot buitenlands migratiesaldo binnenlands migratiesaldo toe-/afname bevolking

b Een staafdiagram en een lijndiagram.

c Het groen/paarse deel geeft een verklaring voor het verloop van de rode lijngra iek.

d Het gaat in de gra iek om toe- en afname van de bevolking in Amsterdam. Hoeveel inwoners Amsterdam heeft kun je niet zien. Als de rode lijn boven de nullijn ligt, dan wil dat zeggen dat het aantal inwoners toeneemt.

e In 1990 was het geboorteoverschot ongeveer 2000, het buitenlands migratiesaldo was ongeveer 10 500, en het binnenlands migratiesaldo was ongeveer - 5000.

De toe-/afname van de bevolking was in 1990: 2000 + 10 500 − 5000 = 7500.

(14)

8 a Een gestapeld staafdiagram en een lijndiagram.

b In welke duurzame energiebron geïnvesteerd is.

c Vier staaf- en vier lijndiagrammen, voor elke kleur een apart diagram. Ook zou je met deze gegevens een cirkeldiagram kunnen maken.

d 11, 5 + 16, 5 + 12, 9 + 18, 4 = 59, 3 miljoen dollar

e ^, ^, ^, ^, ≈ 14, 8

4 Misleidingen

Uitleg

1

2 a Hij heeft een kikker getekend die niet alleen groter is in de lengte maar ook in de breedte. Er zijn ongeveer vier keer zo veel kikkers. Het lijkt alsof er zestien keer zoveel kikkers zijn.

b Respectievelijk 540, 400 en 360 gram. De misleiding ontstaat doordat het nulpunt ontbreekt: de staaf van aardappelen had precies dubbel zo hoog moeten zijn als de staaf van tomaten maar is bijna drie keer zo hoog.

3 a F

Duitsland, want er zijn veel meer Duitsers dan Nederlanders.

b Het aantal inwoners van elk land.

c 1019 km per persoon.

d België heeft met 327 km bijna het dubbele van Italië (168), maar de staaf is maar een klein beetje langer; de staaf van Groot-Brittannië moet meer dan drie keer zo lang zijn dan die van Spanje.

e De hoogte van de iets is dan de hoogte van de staaf. Ja, bijvoorbeeld de Nederlandse iets is ongeveer twee keer zo lang als de Belgische iets.

Voorbeeld

1 a Het lijkt wel zo, omdat de staaf van Australië drie keer zo hoog is. De verticale as begint echter niet bij 0, dus dat is misleidend.

b De verticale as zou op 0 moeten beginnen.

2 a Het melkpak van 2015 is breder dan het melkpak van 2005.

b

Door het melkpak niet te veranderen van grootte maar gewoon te verdubbelen kun je aangeven dat de melkconsumptie is verdubbeld.

3 Er is geen categorie voor mensen die geen huisdier hebben. Verder hebben de iguren verschillende formaten wat de indruk wekt dat er bijvoorbeeld meer mensen een paard hebben dan een ander dier. Beter is het dus om de dieren van gelijk formaat te maken:

(15)

Verwerken

1 E

Het 3D-diagram werkt vertekenend. Je denkt bijvoorbeeld dat er op de productieafdeling 160 mannen werken, maar het is (veel) meer (ongeveer 180).

2 De twee gra ieken geven beide een andere boodschap.

In iguur a is de schaal op de verticale as een stuk groter dan bij iguur b. Een directielid van de school zou nu bijvoorbeeld iguur b kunnen gebruiken in plaats van iguur a om minder aandacht op de daling in het aantal geslaagden in het jaar 2014 te vestigen.

Daarnaast is iguur b ook wiskundig onjuist. De 𝑥-as zit te laag, die zou drie hokjes hoger moeten staan.

3 a Wat is de populatie? Hoe groot is de populatie? Zijn elk jaar dezelfde mensen geinter- viewd, of steeds anderen? Konden de mensen steeds kiezen uit twee onderwerpen, of uit vier? Of mocht je zelf onderwerpen aandragen?

b De verhoudingen tussen de oppervlakte van de cirkels en de percentages klopt niet.

Waarschijnlijk moet je voor de verhouding tussen de percentages naar de verhouding tussen de straal van de cirkels kijken

c De verschillen lijken groter dan ze daadwerkelijk zijn.

4 a Nee, het gaat hier om precentages van het totaal uitgegeven geld. De exacte bedragen kun je niet a leiden uit de cirkeldiagrammen.

b De hoogte van de totale uitgaven.

c 35 + 26 + 27 + 12 = 100 miljoen dollar d B

5 a Lijndiagram en staafdiagram.

b Populatie: werkenden in Vlaanderen.

Variabelen: aantal ongevallen en het aantal ernstige ongevallen.

c ⋅ 100 ≈ 6, 3, dus ongeveer 6,3%

d Je kunt denken dat het staafdiagram het aantal ongevallen betreft. Het staafdiagram gaat echter over het aantal ernstige ongevallen. Ook lijkt het in eerste instantie alsof er meer ernstige ongevallen zijn dan het totaal aantal ongevalen. Dit komt doordat er een verschillende schaalverdelingen zijn.

e Een verband tussen het aantal ongevallen en het aantal ernstige ongevallen in Vlaan- deren.

(16)

f Voordeel: je kunt het percentage ernstige ongevallen van het totale aantal ongevallen bepalen zoals bij vraag c.

Nadeel: het diagram kan misverstanden opleveren en is niet echt duidelijk; er staat wel erg veel informatie in.

6 a De hele gra iek is op "dalend roosterpapier" getekend.

b Nee, dat is redelijk constant (stijgt een beetje).

c A

De lijn vrouwen van 65 jaar en ouder, daalt nooit of nauwelijks als je de percentages bekijkt.

7 a De waarde van de Amerikaanse dollar ten opzichte van de euro; ofwel hoeveel dollar heeft dezelfde waarde als € 1,00.

b B

$ 1,47 of $ 1,48 is evenveel als € 1,00, dus $ 1,00 kost € 0,68.

c De nul op de verticale as ontbreekt en op de horizontale as zou een ruimere schaal de iguur vlakker laten lijken.

Oefenopgaven

1 a beelddiagram

b kwantitatief: aantal geboortes kwantitatief: aantal overledenen

c Er gaan meer mensen dood dan er worden geboren.

d 3 ⋅ 250 000 = 750 000 geboortes per jaar e 2 ⋅ 250 000 = 500 000 geboortes per jaar

2 a 50% van de bevolking zou uit mannen en vrouwen bestaan, dat moet natuurlijk 100% zijn. De a komst en het geslacht zouden in aparte diagrammen moeten komen te staan.

b Een diagram van de geslachten en een diagram van de a komst.

c Als je een nieuw cirkeldiagram van de a komst zou tekenen, worden de gegevens die nu over 50% verdeeld zijn, in het nieuwe diagram verdeeld over 100%. De percentages worden dan verdubbeld. 6% Afro-Amerikaans moet in werkelijkheid 12%

Afro-Amerikaans zijn.

3 a Cirkeldiagram, kaartdiagram en lijndiagram.

b De kleuren in het kaartje komen overeen met de kleuren in het cirkeldiagram en heb- ben verder geen betekenis.

c 39,6%; omdat er waarschijnlijk ook her en der nog onbekende, geheime (niet ont- dekte) olievoorraden zijn.

d De olieprijs steeg explosief. Als er een tekort aan iets is op de markt - als er meer vraag is naar een product dan aanbod - stijgen de prijzen.

e Het diagram geeft informatie over waar de olievoorraden zijn, hoe hoog de olieprijs is en waarom de olieprijs die hoogte heeft.

4 a Kosten geneeskundige en langdurige zorg, kosten welzijn, jeugdzorg en kinderopvang, kosten beleid en beheer (en alle drie volgens de internationale de initie). Het bbp (bruto binnenlands product), het bevolkingsaantal. Dit zijn allemaal kwantiatie- ve variabelen.

b Blijkbaar bieden wij in Nederland meer zorg aan dan volgens de internationale de i- nitie onder gezondheidszorg wordt verstaan. (Zo valt bijvoorbeeld de kinderopvang in Nederland wel onder zorguitgaven, maar volgens de internationale de initie niet.)

(17)

c In de rijen met ’Uitgaven (% van het bbp)’ en in de rijen met ’Uitgaven (per hoofd van de bevolking)’.

d Die data komen tot stand door de totale uitgaven voor zorg en welzijn te delen door het totale bevolkingsaantal.

uitgaven zorg en welzijn per hoofd van de bevolking = uitgaven zorg en welzijn bevolkingsaantal

e In 2012 waren de uitgaven voor zorg en welzijn 92 867 miljoen euro, en de uitgaven voor zorg en welzijn per hoofd van de bevolking waren 5543 euro.

uitgaven zorg en welzijn per hoofd van de bevolking = uitgaven zorg en welzijn bevolkingsaantal

5543 = bevolkingsaantal

bevolkingsaantal = ≈ 16 753 924 mensen. Dat zijn ongeveer 16,8 miljoen mensen.

f Die data komen tot stand door de totale uitgaven voor zorg en welzijn te delen door het bbp (bruto binnenlands product) en dan te vermenigvuldigen met 100%.

uitgaven zorg en welzijn in % van het bbp = uitgaven zorg en welzijn

bbp ⋅ 100%

g De totale uitgaven zijn dan wel gestegen maar de uitgaven voor zorg en welzijn (in % van het bbp) zijn gelijk gebleven en de uitgaven voor zorg en welzijn per hoofd van de bevolking zijn maar licht gestegen.

5 a kwalitatief: opleidingsniveau, geslacht kwantitatief: leeftijd

b Zes staafdiagrammen: twee staafdiagrammen (TV-toestel en pc + laptop) per varia- bele (opleidingsniveau, lee ijd en geslacht). De categorie overig is niet zo zinvol.

c Van de gegevens bij de leeftijdsgroepen kun je een lijndiagram maken. Maar de andere gegevens hebben te weinig punten voor een lijn. Bovendien zijn de andere gegevens kwalitatief en is het dus niet logisch om een verloop te tekenen.

d Het totale aantal minuten op een dag is 1440 minuten en geen 216. De gegevens zeggen dus alleen iets over de verdeling van de tijd die besteed wordt aan het kijken naar apparaten. Als er iemand bijvoorbeeld een boek leest, komt dat niet terug in de relatieve gegevens.

e TV-toestel: ⋅ 100 ≈ 82, 1%

pc + laptop: ⋅ 100 ≈ 11, 5%

Overig: ⋅ 100 ≈ 6, 4%

6 a De getallen uit de tweede kolom (de totale lengte van alle autowegen) en het aantal inwoners van een land.

b De getallen uit de tweede kolom (de totale lengte van alle autowegen) en de opper- vlakte van een land.

c De totale lengte van de autowegen is 5130 km.

De lengte van de autowegen per bewoner: ⋅ 1 000 000 ≈ 43, 3 mm.

De densiteit: ⋅ 1000 ≈ 2, 6 m/km². d 139,01 mm autoweg per inwoner.

54,76 m autoweg per km².

e Voorstanders: per inwoner hebben we maar 139 mm autoweg, dat is veel minder dan bijvoorbeeld een land als Luxemburg.

f Tegenstanders: per km²hebben we ruim 54 meter autoweg; we zijn daarmee een van de koplopers in de wereld.

g Bijvoorbeeld: aantal (vracht)auto’s, aantal iles.

(18)

18

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

(19)

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 4 ^Formules ^ha-c2.xml

Context 1

De formule van de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van het kanaal is: 𝐴 = 𝑏 ⋅ ℎ De formule wordt: 𝑏 ⋅ ℎ = ^debiet_, .

Schrijf om naar: ℎ = ^debiet_, _⋅

Vul in met debiet = 2, 31 en 𝑏 = 1, 2.

Dit geeft ℎ ≈ 1, 5. De hoogte van de rand van de geul boven op het aquaduct is 1,5 meter.

Context 2

Neem 𝑡 voor het aantal verstreken jaren en stel de formules op voor de hoogte van de bomen met h_pde hoogte van de perenboom (meter) en h_ade hoogte van de appelboom (meter).

Zet 12,2 cm om naar 0,122 m en 8,3 cm naar 0,083 m.

ℎ_p= 2, 43 + 0, 122 ⋅ 𝑡 ℎ_a= 3, 12 + 0, 083 ⋅ 𝑡

Vervolgens stel je de hoogtes aan elkaar gelijk en los je de gevonden vergelijking op met de balansmethode.

ℎ_p = ℎ_a

2, 43 + 0, 122 ⋅ 𝑡 = 3, 12 + 0, 083 ⋅ 𝑡 0, 039𝑡 = 0, 69

𝑡 = _,^, = 17, 7 jaar

1 Formules gebruiken

Uitleg

1 a Bijvoorbeeld millimeter, centimeter, meter.

b oppervlakte

c Als de formule een verband is tussen twee variabelen.

2 a Neem voor de omtrek bijvoorbeeld de letter 𝑂 en voor de zijde de letter 𝑧.

𝑂 = 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 𝑂 = 4𝑧

b Neem voor de inhoud bijvoorbeeld de letter 𝐼 en voor de zijde de letter 𝑧.

𝐼 = 𝑧 ⋅ 𝑧 ⋅ 𝑧 𝐼 = 𝑧

c Neem voor de omtrek bijvoorbeeld de letter 𝑂 en voor de straal de letter 𝑟.

𝑂 = 𝜋 ⋅ 2 ⋅ 𝑟 𝑂 = 2𝜋𝑟

d Neem voor de oppervlakte bijvoorbeeld de letter 𝐴 en voor de straal de letter 𝑟.

𝐴 = 𝜋 ⋅ 𝑟 𝐴 = 𝜋𝑟

(20)

20 DOMEIN Formules en grafieken

e Je weet dat één glas frisdrank € 2,20 kost. Om de prijs te berekenen, moet je het aantal glazen frisdrank dat je bestelt, vermenigvuldigen met 2,20. Dat geeft de formule:

𝐾 = 2, 20𝑔

f Neem voor de kosten bijvoorbeeld de letter 𝐾 en voor het jaarverbruik de letter 𝑣.

Je betaalt € 1,31 per m³en € 50,70 als vastrecht. Om de kosten uit te rekenen, verme- nigvuldig je het jaarverbruik met de prijs per m³en tel je daar het vastrecht bij op. In een formule wordt dat: 𝐾 = 1, 31𝑣 + 50, 70

3 a met een formule b 30 − 𝑙

c Herleiden tot de vorm 𝑦 = ...

4 a A

Een verband, de formule bevat meerdere variabelen.

b B

Geen verband tussen variabelen, de formule bevat één variabele. Dit is een vergelijking die alleen waar is voor 𝑦 = 40.

c B

Geen verband tussen variabelen, de formule bevat één variabele. Dit is een vergelijking die alleen waar is voor 𝑥 = 1, 2.

d A

Een verband, de formule bevat meerdere variabelen.

5 a

3𝑥 + 3𝑦 = 12 3𝑦 = 12 − 3𝑥

𝑦 = 4 − 𝑥 b

3𝑥 = 12 − 1, 5𝑦 3𝑥 − 12 = - 1, 5𝑦 - 2𝑥 + 8 = 𝑦

𝑦 = - 2𝑥 + 8

(21)

c

𝑥 ⋅ 𝑦 = 10 𝑦 = d

𝑥 + 3𝑦 = 9 3𝑦 = 9 − 𝑥

𝑦 = 3 − 𝑥

Voorbeeld

1 a Een tabel maken. Neem bijvoorbeeld 𝑏 = 0, 10, 20, 30, 40, 50.

b Eerst herleiden tot 𝑙 = - 𝑏 + 50.

Voer in: 𝑦 = - 𝑥 + 50

c Alleen formules van de vorm 𝑦 = ... worden geaccepteerd door de gra ische rekenmachine.

d 𝑏 = 50 − 7, 5 = 42, 5

2 a 3𝑥 + 𝑦 = 6 𝑦 = 6 − 3𝑥

b 𝑥 ⋅ 𝑦 = 12 𝑦 =

(22)

c 𝑥 = 4 − 𝑦

𝑥 + 𝑦 = 4 𝑦 = 4 − 𝑥

d 2𝑥 − 3𝑦 = 6 - 3𝑦 = 6 − 2𝑥

𝑦 = 𝑥 − 2

e 𝑥 + 4𝑦 = 8 4𝑦 = 8 − 𝑥

𝑦 = - 0, 25𝑥 + 2

f 0, 5𝑥 + 1, 5𝑦 = 12 1, 5𝑦 = 12 − 0, 5𝑥

,

, = _,^,

𝑦 = - 𝑥 + 8

3 a Voer in: 𝑦 = 3𝑥

b Gra iek is niet mogelijk, er zijn te veel variabelen.

c 𝑙 =

Voer in: 𝑦 =

(23)

4 2(𝑦 + 𝑥) + 3 = 4 2𝑦 + 2𝑥 + 3 = 4

2𝑦 = - 2𝑥 + 1 𝑦 = - 𝑥 + 0, 5

5 a 5𝑥 − 14 + 𝑦 = 11𝑦 + 6 𝑦 − 11𝑦 = 6 − 5𝑥 + 14

- 10𝑦 = - 5𝑥 + 20 𝑦 = 0, 5𝑥 − 2 b 3(𝑥 − 2𝑦) = 𝑦 + 5

3𝑥 − 6𝑦 = 𝑦 + 5 - 7𝑦 = - 3𝑥 + 5

𝑦 = - 𝑥 − c 2𝑥 − (9𝑦 + 6) = 4𝑥 2𝑥 − 9𝑦 − 6 = 4𝑥

- 9𝑦 = 2𝑥 + 6 𝑦 = - 𝑥 − d - 5(1 − 3𝑦) + 30𝑥 = 0

- 5 + 15𝑦 + 30𝑥 = 0 15𝑦 = - 30𝑥 + 5

𝑦 = - 2𝑥 +

6 a = 𝑥

+ = 𝑥

= 𝑥 − 3 𝑦 = 3𝑥 − 9

b = - 𝑥 + 3

+ + = - 𝑥 + 3 𝑥 + 𝑦 + = - 𝑥 + 3

𝑦 = - 𝑥 + 3 − 𝑥 − 𝑦 = - 1 𝑥 + 2 𝑦 = - 2 𝑥 + 4

c Schrijf de formule als = en gebruik kruislings vermenigvuldigen:

= 𝑥 + 8 = 𝑦 + 2 𝑥 + 8 − 2 = 𝑦

𝑦 = 𝑥 + 6

(24)

Verwerken

1 a Dan staat de formule in de vorm 𝑦 = ...

b plotten

c - 10 ≤ 𝑥 ≤ 10 en - 10 ≤ 𝑦 ≤ 10

d Wanneer 𝑦 is uitgedrukt in 𝑥, is 𝑥 de invoerwaarde. Voor de invoerwaarde kun je iedere waarde invullen die je maar wilt en daarmee de uitkomst 𝑦 berekenen.

2 a

𝑎 + 𝑏 = 8 𝑎 = 8 − 𝑏 Voer in: 𝑦 = 8 − 𝑥

b Kan niet. Er is geen verband tussen twee variabelen. Dit is een vergelijking met één variabele. (Je kunt hem oplossen.)

c Voer in: 𝑦 = 5 ⋅ 𝑥 − 2 ⋅ 𝑥

d Voer in: 𝑦 = 𝑥

3 a - 2(𝑦 + 6𝑥) = 4 - 2𝑦 − 12𝑥 = 4

- 2𝑦 = 12𝑥 + 4 𝑦 = - 6𝑥 − 2 b - 2𝑥 − (𝑦 + 6𝑥) = 3𝑥 + 5

- 2𝑥 − 𝑦 − 6𝑥 = 3𝑥 + 5 - 𝑦 = 11𝑥 + 5

𝑦 = - 11𝑥 − 5

(25)

c 5𝑦 + 10𝑥 − 15 = 3𝑦 + 4𝑥 5𝑦 − 3𝑦 = 4𝑥 − 10𝑥 + 15

2𝑦 = - 6𝑥 + 15 𝑦 = - 3𝑥 + 7 d 𝑦 − (3𝑦 + 𝑥) = 14

5𝑦 − 3𝑦 − 𝑥 = 14 2𝑦 = 𝑥 + 14

𝑦 = 𝑥 + 7

4 a = 𝑥

+ = 𝑥

= 𝑥 − 4 𝑦 = 3𝑥 − 12

b Gebruik kruislings vermenigvuldigen.

=

𝑥 = 5(𝑦 + 7) 𝑥 = 5𝑦 + 35 𝑥 − 35 = 5𝑦

𝑦 = 𝑥 − 7

c = 6𝑥 + 1

+ + = 6𝑥 + 1

5𝑥 + 𝑦 + 4 = 6𝑥 + 1 𝑦 = 𝑥 − 3

5 a 4𝑦 = - 2𝑥 + 10 𝑦 = - 𝑥 + 2, 5 b - 3𝑦 = - 2𝑥 − 6

𝑦 = 𝑥 + 2 c 𝑦 = 16𝑥 d 𝑦 = 4𝑥

e 3(𝑦 + 2) + 𝑥 = 5 3𝑦 + 6 + 𝑥 = 5

3𝑦 = 5 − 6 − 𝑥 3𝑦 = - 1 − 𝑥

𝑦 = - − 𝑥

(26)

f 𝑥 =

𝑥 = +

𝑥 = 𝑦 + 2 𝑥 − 2 = 𝑦

𝑦 = 𝑥 − 2 𝑦 = 4𝑥 − 8

6 a 2𝑙 + 2𝑏 = 300 2𝑙 + 2 ⋅ 50 = 300 2𝑙 = 200 𝑙 = 100 De lengte is 100 meter.

b 𝑂 = 2𝑙 + 2𝑏 c 300 = 2𝑙 + 2𝑏 d 2𝑙 + 2𝑏 = 300

2𝑙 = 300 − 2𝑏 𝑙 = 150 − 𝑏 e Voer in: 𝑦 = 150 − 𝑥

7 a cm³

b Bij een diameter van 8 cm is de straal 4 cm.

𝑉 = 𝜋 ⋅ 4 ⋅ 16 ≈ 804 cm³ c 𝑉 = 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ ℎ

𝑉 = 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ 20 𝑉 = 20𝜋𝑟

d Voer in: 𝑦 = 20𝜋𝑥 e 750 = 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ ℎ

⋅ = ℎ

2 Karakteristieken

Uitleg

1 a top

b De toppen en de snijpunten met de assen.

c De snijpunten van de gra iek met de horizontale as.

2 a Voer in: 𝑦 = - 0, 005𝑥 + 𝑥

b Omdat het voorwerp vermoedelijk tientallen meters ver komt, en dan wordt een ta- bel met stappen van 1 veel te lang. Door stappen van 10 te nemen wordt sneller duidelijk waar ongeveer de top zit.

(27)

c Je krijgt dan de parabolische baan vanaf het startpunt tot het punt waar het voorwerp weer op de grond komt niet in beeld.

d 𝑥 is de horizontale afstand die het voorwerp a legt. Deze afstand is minimaal 0 meter.

De top lijkt dicht na 90 meter te zitten. Om het ruim te nemen, wordt gegokt dat de top tussen de 90 en 150 meter zit. In het geval dat de top bij 150 meter zit, moet de 𝑥-as tot 300 meter lopen.

e 𝑦 is de hoogte van het voorwerp boven de grond. Deze hoogte is minimaal 0 meter.

Het maximum lijkt rond de 50 meter te zitten, maar kan ook wat hoger zitten; om ruim genoeg te zitten wordt voor 100 gekozen bij het venster.

f Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 200 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 50

g Gebruik de tabel of laat de GR het maximum berekenen. Je vindt 𝑥 = 100. Het voorwerp is maximaal 50 meter hoog.

3 a Voer in: 𝑦 = - 0, 1 ⋅ 𝑥 + 2𝑥 Venster: standaard

b Nee, vanwege het kwadraat is het een parabool.

c Nu komen de top en de snijpunten met de 𝑥-as, alle karakteristieken van de gra iek, in beeld.

d (0, 0) en (20, 0).

e (10, 10) f

Voorbeeld

1 a Negatieve waarden voor 𝑣 (en dus ook voor 𝑃) hebben geen betekenis. Verder zijn de waarden voor 𝑣 vaak groter dan 10. Ten slotte zijn de bijbehorende waarden voor 𝑃 (bekijk de tabel bij de formule) al snel veel groter dan 10.

b Voer in: 𝑦 = 0, 052𝑥

Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 20 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 500

2

(28)

3 a Voer in: 𝑦 = 16, 32 − 0, 23(𝑥 − 8)

De pijl komt vast enkele meters ver, dus bekijk een tabel met 𝑥 in stappen van 1 m.

In de tabel is vrij snel te zien dat de gra iek zijn top heeft bij 𝑥 = 8 en daarbij hoort 𝑦 = 16, 32.

De pijl komt dus maximaal 16,32 m hoog.

b Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 20 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 20

Plot de gra iek. Op het moment dat de pijl wordt afgeschoten is 𝑥 = 0, met de gra i- sche rekenmachine vind je dat 𝑦 = 1, 6.

De pijl werd afgeschoten op een hoogte van 1,6 m.

c

4 a Voer in: 𝑦 = 5𝑥 − 3

Venster bijvoorbeeld: - 3 ≤ 𝑥 ≤ 3 en - 4 ≤ 𝑦 ≤ 10 Het minimum is 𝑦 = - 3 bij 𝑥 = 0.

Dat is ook het snijpunt met de 𝑦-as: (0, - 3).

De snijpunten met de 𝑥-as zijn ( - 0, 77; 0) en (0, 77; 0).

b Voer in: 𝑦 = 0, 026𝑥

Venster bijvoorbeeld: - 10 ≤ 𝑥 ≤ 10 en - 10 ≤ 𝑦 ≤ 10 De gra iek heeft geen minimum of maximum.

Er is één snijpunt met de 𝑥-as en dat is ook het snijpunt met de 𝑦-as: (0, 0).

(29)

5 Voer in: 𝑦 =

Bij 𝑡 = 1 is de concentratie maximaal, de concentratie is dan 4 mg/liter.

Verwerken

1 Bekijk de tabel en bepaal aan de hand daarvan de vensterinstellingen voor de 𝑦-as.

2 a ℎ = - 0, 0024 ⋅ 25 + 25 = 23, 5 cm b Voer in: 𝑦 = - 0, 0024𝑥 + 𝑥

c Gebruik de GR om het maximum te berekenen. Je vindt: ℎ ≈ 104, 17 cm

3 a 𝑃 = 0, 045 ⋅ 15 = 151, 875 kilowatt

b Omdat er geen negatieve snelheid bestaat. Dus 𝑣 is 0 of groter.

c

Voer in: 𝑦 = 0, 045𝑥

4 a Voer in: 𝑦 = 200𝑥 − 2𝑥

b Bepaal met de rekenmachine de top. Je vindt dan de top bij 𝑥 = 50, dus als 𝑏 = 50 m.

c Bepaal met de rekenmachine de top. Je vindt dan de top bij 𝑥 = 50 en 𝑦 = 5000.

De oppervlakte is 5000 m².

5 a 𝑇𝐾 = 100 + 0, 1 ⋅ 120 = 1540 euro b 𝐺𝐾 = ≈ 12, 83 euro

c 𝑇𝐾 = 100 + 0, 1 ⋅ 𝑞

𝐾 = ^{, ⋅}

𝐾 = + 0, 1𝑞

(30)

d Voer in: 𝑦 = + 0, 1𝑥

e Bepaal het minimum met de GR: 𝑥 ≈ 31, 62 en 𝑦 ≈ 6, 32.

Bij 32 exemplaren zijn de kosten per stuk het laagst. De kosten zijn dan:

+ 0, 1 ⋅ 32 ≈ 6, 33 euro per stuk.

6 a 𝑙 en 𝑏 zijn lengte en breedte van het bedrukte gedeelte in cm.

Bij de lengte en de breedte tel je 10 cm op voor de witte strook.

0,5 m²= 5000 cm²

vergelijking: (𝑙 + 10)(𝑏 + 10) = 5000 b 𝑙 + 10 =

𝑙 = − 10

Voer in: 𝑦 = − 10

c Bekijk de tabel. Als 𝑙 = 0, dan 𝑏 = 490 en als 𝑏 = 0, dan 𝑙 = 490.

Dus 0 ≤ 𝑙 ≤ 490 en 0 ≤ 𝑏 ≤ 490.

7 Voer in: 𝑦 = 0, 5(𝑥 − 3) 𝑥 + 2𝑥 + 2 − 30.

Venster bijvoorbeeld: - 10 ≤ 𝑥 ≤ 10 en - 50 ≤ 𝑦 ≤ 10.

maximum: ( - 0, 9; - 32, 0), minimum: (1, 5; - 35, 4), het snijpunt met de 𝑦-as: (0, - 33), en het snijpunt met de 𝑥-as: (4, 8; 0).

3 Vergelijkingen

Uitleg

1 a Met de gra ische rekenmachine.

b Het oplossen van een vergelijking komt neer op het bepalen van het snijpunt van de twee gra ieken waaruit de vergelijking bestaat.

c De 𝑥-coördinaat van het snijpunt is de oplossing van de vergelijking.

2 a 5𝑥 + 4 = 9 5𝑥 = 5

𝑥 = = 1 b 3 − 𝑥 = 6 − 2𝑥

- 𝑥 = 3 − 2𝑥 𝑥 = 3

(31)

c 𝑥 − 7 = 8 − 2𝑥 𝑥 = 15 − 2𝑥 3𝑥 = 15

𝑥 = = 3

d = 3

8 = 3𝑥

= 𝑥 𝑥 = 2

3 a Voer in: 𝑦 = 2𝑥 + 3 en 𝑦 = 7

Neem voor het venster de standaardinstellingen.

Intersect geeft: 𝑥 = 2

b Voer in: 𝑦 = 4 + 2𝑥 en 𝑦 = 3 − 5𝑥

Intersect geeft: 𝑥 ≈ - 0, 14

c Voer in: 𝑦 = 2𝑥 − 4 en 𝑦 = 5 − 𝑥

Intersect geeft: 𝑥 = 3 d Voer in: 𝑦 = en 𝑦 = 7

Intersect geeft: 𝑥 ≈ 0, 71

Voorbeeld

1 a 3𝑡 − 400 = 700 3𝑡 = 1100

𝑡 = = 366

b 3𝑡 − 400 = 700 − 2𝑡 5𝑡 − 400 = 700

5𝑡 = 1100

𝑡 = = 220

c 2300 − 0, 15 ⋅ 𝑝 = 1600 + 0, 42 ⋅ 𝑝 2300 − 0, 57 ⋅ 𝑝 = 1600

- 0, 57 ⋅ 𝑝 = - 700

𝑝 = _, ≈ 1228, 1 d 2 ⋅ (3𝑥 − 5) = 2𝑥 − 5

6𝑥 − 10 = 2𝑥 − 5 4𝑥 = 5

𝑥 = = 1, 25

2 (𝑥 + 8) = - 7 + 𝑥 𝑥 + 8 = - 14 + 2𝑥

𝑥 = 22

3 a Voer in: 𝑦 = 𝑥 en 𝑦 = 4 − 𝑥

Optie intersect geeft 𝑥 ≈ 1, 379.

(32)

b Voer in: 𝑦 = en 𝑦 = 18 + 𝑥

Optie intersect geeft 𝑥 ≈ - 35, 096 en 𝑥 ≈ 17, 096, dus 𝑎 ≈ - 35, 096 of 𝑎 ≈ 17, 096.

4 a Voer in: 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 en 𝑦 = 16

b Voer in: 𝑦 = 𝑥 + √𝑥 en 𝑦 = 10

Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 15.

c Voer in: 𝑦 = 𝑥 + en 𝑦 = 10

Optie intersect geeft 𝑥 ≈ 1, 13 en 𝑥 ≈ 8, 87 dus 𝑙 ≈ 1, 13 of 𝑙 ≈ 8, 87.

d Voer in: 𝑦 = en 𝑦 = 20

Optie intersect geeft 𝑥 = 11 dus 𝑝 = 11.

5 a Voer in: 𝑦 = en 𝑦 = 180 − 𝑥

b Intersect geeft:

(145, 68; 34, 32) en (34, 32; 145, 68).

c 𝑙 ≈ 145, 68 m en 𝑏 ≈ 34, 32 m of 𝑙 ≈ 34, 32 m en 𝑏 ≈ 145, 68 m

Verwerken

1 a algebraïsch of met de gra ische rekenmachine

b Het exact oplossen van een vergelijking door middel van een berekening.

c Het antwoord is dan exact en geen benadering op een aantal decimalen.

d Het vergt rekentechnieken (zoals de balansmethode) en op het moment dat de verge- lijkingen te ingewikkeld worden, lukt het niet meer om deze algebraïsch op te lossen.

2 a 4𝑡 + 50 = 200 4𝑡 = 150

𝑡 = = 37, 5 b 6𝑝 − 20 = 12 + 4𝑝

2𝑝 − 20 = 12 2𝑝 = 32 𝑝 = 16 c 4(𝑎 − 2) − 20 = 0

4(𝑎 − 2) = 20 𝑎 − 2 = 5

𝑎 = 7

(33)

d = 400 12 = 400𝑉

= 𝑉 𝑉 = 0, 03

3 a Voer in: 𝑦 = 𝑥 + 4 en 𝑦 = 20

Venster bijvoorbeeld: - 10 ≤ 𝑥 ≤ 10 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 30 Intersect geeft: 𝑥 = - 4 of 𝑥 = 4

b Voer in: 𝑦 = 2𝑥 + 50 en 𝑦 = 200

Venster bijvoorbeeld: - 10 ≤ 𝑥 ≤ 10 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 250 Intersect geeft: 𝑥 ≈ - 6, 12 of 𝑥 ≈ 6, 12

𝑡 ≈ - 6, 12 of 𝑡 ≈ 6, 12

c Voer in: 𝑦 = √𝑥 en 𝑦 = 6 − 𝑥

Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 10 Intersect geeft: 𝑥 = 4.

d Voer in: 𝑦 = 𝑥 en 𝑦 = 2 + 𝑥

Venster bijvoorbeeld: - 5 ≤ 𝑥 ≤ 5 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 10 Intersect geeft: 𝑥 = - 1 of 𝑥 ≈ 1, 35

e Voer in: 𝑦 = (𝑥 − 5) en 𝑦 = 4

Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 10 Intersect geeft: 𝑥 = 3 of 𝑥 = 7

4 a Je moet sowieso € 38,00 betalen plus voor elke m³nog € 1,75 erbij.

b 𝑇𝐾 = 38 + 1, 75 ⋅ 140 = 283 𝑇𝐾 = 38 + 1, 75 ⋅ 160 = 318 Dus tussen € 283,00 en € 318,00.

c 38 + 1, 75𝑎 = 250

d Manier: algebraïsch oplossen 38 + 1, 75𝑎 = 250

1, 75𝑎 = 212

𝑎 = _, ≈ 121, 143 Ze mogen verbruiken 121 m³

Manier: oplossen met behulp van de GR Voer in: 𝑦 = 38 + 1, 75𝑥 en 𝑦 = 250

Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 160 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 300 Intersect geeft: 𝑥 ≈ 121, 14

Ze mogen verbruiken 121 m³

5 a Voer in: 𝑦 = 500𝑥 − 0, 05𝑥 ; 𝑦 = 15 000 + 100𝑞 Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 50 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 25 000 b 500𝑞 − 0, 05𝑞 = 15 000 + 100𝑞

c Intersect geeft: 𝑥 ≈ 37, 7.

Vanaf 38 verkochte artikelen wordt er winst gemaakt.

(34)

6 a De diameter is 20 cm, dus de straal is 10 cm.

𝐴 = 2𝜋𝑟 + 2𝜋𝑟ℎ 𝐴 = 2𝜋10 + 2𝜋10 ⋅ 30 𝐴 = 200𝜋 + 600𝜋 𝐴 = 800𝜋 ≈ 2513 cm² b 𝐴 = 2𝜋𝑟 + 2𝜋𝑟ℎ

1000 = 2𝜋𝑟 + 2𝜋𝑟20

Voer in: 𝑦 = 2𝜋𝑥 + 2𝜋𝑥20 en 𝑦 = 1000

De straal is 6,098 cm, dan is de diameter 12,196 cm.

De diameter is dan 122 mm.

c Omdat ℎ = 𝑟, vul je op de plaats van ℎ in de formule een 𝑟 in.

𝐴 = 2𝜋𝑟 + 2𝜋𝑟ℎ 1000 = 2𝜋𝑟 + 2𝜋𝑟 ⋅ 𝑟 1000 = 4𝜋𝑟

Voer in: 𝑦 = 4𝜋𝑥 en 𝑦 = 1000

De straal is 8,921 cm, dan is de diameter 17,842 cm.

De diameter is 178 mm.

7 Maak bij beide abonnementen een formule:

A: 𝑦 = 3, 25𝑥 + 5 B: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 7, 5

Hierbij is 𝑥 het maandelijkse aantal sportschoolbezoeken, en 𝑎 het bedrag dat je bij abonnement A per bezoek betaalt. In Lizette’s geval geldt 𝑥 = 5, en de bedragen zijn gelijk aan elkaar.

A: 𝑦 = 3, 25 ⋅ 5 + 5 = 21, 25 B: 𝑦 = 𝑎 ⋅ 5 + 7, 5

Manier: algebraïsch oplossen 21, 25 = 5𝑎 + 7, 5

13, 75 = 5𝑎

, = 𝑎

𝑎 = 2, 25

Het bedrag dat ze per bezoek betaalt bij abonnement B is dus € 2,25.

Manier: oplossen met de GR

Voer in: 𝑦 = 21, 25 en 𝑦 = 5𝑥 + 7, 5

Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 5 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 30 Intersect geeft: 𝑥 = 2, 25

Het bedrag dat ze per bezoek betaalt bij abonnement B is dus € 2,25.

4 Ongelijkheden

Uitleg

1 a In een vergelijking staat een isgelijkteken en in een ongelijkheid staat een ongelijk- teken.

b < betekent ‘kleiner dan’, en > betekent ‘groter dan’.

c Algebraïsch of met behulp van de gra ische rekenmachine.

4 HAVO WISKUNDE A KATERN I I

Inhoud

3 Werken met data

4 Formules

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

ha-e1.xml

Context 1

Context 2

1 Wat is statistiek?

Uitleg

Voorbeeld

Verwerken

2 Statistische variabelen

Uitleg

Voorbeeld

4 ^Formules