5 Meerdere variabelen

Uitleg

1 a Omdat het een formule is met drie variabelen in plaats van twee.

b Kies voor één van de drie variabelen een aantal vaste waarden en maak bij ieder van die vaste waarden een formule. Deze formules hebben allemaal maar twee variabe-len, daarbij kunnen dus gra ieken getekend worden. Samen vormen deze gra ieken een gra iekenbundel.

Dus de snelheid is afgerond 7,2 m/s c 𝑃 = 0, 00 013 ⋅ 𝑣 ⋅ 𝐷

40 DOMEIN Formules en grafieken

3 a Voer de vier verschillende functies in op de GR:

𝑦 = 0, 000 13 ⋅ 𝑥 ⋅ 5 𝑦 = 0, 000 13 ⋅ 𝑥 ⋅ 10 𝑦 = 0, 000 13 ⋅ 𝑥 ⋅ 15 𝑦 = 0, 000 13 ⋅ 𝑥 ⋅ 20

Zet bij ‘TBLSET’ de ‘Tblstart’ op 0 met Δ Tbl op 5. Je krijgt:

Omdat de hoogste 𝑦-waarde bij 3328 ligt (voor 𝑣 tussen de 0 en de 40) kies je daarbij een venster uit: 0 ≤ 𝑥 ≤ 40 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 4000.

b Bij 𝑣 = 30 op de 𝑣-as omhoog tot aan de gra iek met 𝐷 = 10 en dan a lezen op de 𝑃-as; je vindt ongeveer 350 kW. Door 𝑣 = 30 en 𝐷 = 10 in te vullen in de formule krijg je een nauwkeuriger antwoord: 𝑃 = 0, 00 013 ⋅ 30 ⋅ 10 = 351.

c De eenheid van 𝑣 was m/s. Je moet dus eerst de 90 km/h omrekenen.

90 km/h = 90 ⋅ 1000 m/h = ^⋅ _s^m = 90 ⋅ m/s = 25 m/s

Stippel in de gra iek een verticale lijn vanuit 𝑣 = 25. Arceer het gebied dat tussen de gra ieken van 𝐷 = 10 en 𝐷 = 20 ligt én links van de gestippelde lijn.

d In het gearceerde gebied kun je zien dat je bij 𝑣 = 25 en 𝐷 = 20 de hoogste 𝑃 vindt:

𝑃 = 0, 000 13 ⋅ 25 ⋅ 20 = 812, 5; dus 812,5 kW.

4 a Het combineren van twee formules kan als de formules ten minste één variabele ge-meenschappelijk hebben.

b Bij het combineren van twee formules wordt in de ene formule de gemeenschappe-lijke variabele vrij gemaakt en de bijbehorende uitdrukking wordt vervolgens in de andere formule ingevuld.

5 a 100 = 𝑙 ⋅ 𝑏 𝑏 = b 𝑂 = 2𝑙 + 2𝑏

vervang 𝑏 door

𝑂 = 2𝑙 + 2

haakjes wegwerken

𝑂 = 2𝑙 +

herleiden

𝑂 = 2𝑙 + 𝑙

herleiden

𝑂 = 2, 005𝑙

6 𝐾 = 2𝑎 + 3𝑏 + 20

vervang 𝑏 door 3𝑎 − 2

𝐾 = 2𝑎 + 3(3𝑎 − 2) + 20

haakjes wegwerken

𝐾 = 2𝑎 + 9𝑎 − 6 + 20

vereenvoudigen

𝐾 = 11𝑎 + 14

Voorbeeld

1 a De queteletindex 𝑄𝐼, het gewicht 𝐺 in kg en de lengte 𝑙 in m.

b 𝑙 = 1, 95, dus 𝑄𝐼 = _, = 0, 26𝐺.

Voer in: 𝑦 = 0, 26 ⋅ 𝑥

Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 100 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 30 c 𝐺 = 65, dus 𝑄𝐼 =

Voer in: 𝑦 =

Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 30 d 𝑄𝐼 = 20, dus = 20 en 𝐺 = 20𝑙 .

Voer in: 𝑦 = 20 ⋅ 𝑥

Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 100

2 a Voer in: 𝑦 = 20𝑥 en 𝑦 = 25𝑥 en 𝑦 = 30𝑥 Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 120 b 20 ⋅ 1, 90 = 72, 2

25 ⋅ 1, 90 = 90, 25

Een normaal gewicht zit tussen 72,2 en 90,25 kg.

42 DOMEIN Formules en grafieken

3 a 𝑙 = 1, 75 verbinden met 𝐺 = 75 en de lijn verlengen naar 𝑄𝐼 geeft 24.

b De boven- en ondergrens van normaal gewicht verbinden met lengte: 1,75 meter.

Twee snijpunten die je vindt met de gewicht-as zijn naar schatting 61 en 77 kg.

Tussen 61 en 77 kg is er sprake van een normaal gewicht voor een persoon van 1,75 meter.

c Verbind in het nomogram de lengtes 1,60; 1,70; 1,80; 1,90 en 2,00 m met 𝑄𝐼 = 25.

Lees de bijbehorende gewichten af bij de snijpunten en noteer deze in een tabel.

De verhouding tussen lengte en gewicht, bij een 𝑄𝐼 van 25:

lengte (m) gewicht (kg)

1, 60 64

1, 70 72

1, 80 81

1, 90 93

2, 00 103

d

e De formule 𝐺 = 𝐵𝑀𝐼 ⋅ 𝑙 gebruiken voor de BMI-waarde 25 geeft 𝐺 = 25 ⋅ 𝑙 . Met de GR kun je nu de tabel bekijken en vergelijken.

44 DOMEIN Formules en grafieken

4 a Voer in: 𝑦 = 100

Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 5 en - 5 ≤ 𝑦 ≤ 30 Voor gra iek zie uitwerking b.

b Voor 𝑙 = 1, 5 tot 𝑙 = 2, 2 bestaan er waarden voor de QI. Die zou tussen de 20 en 25 moeten blijven liggen. Gebruik de opties maximum en minimum om na te gaan dat:

de laagste waarde bij 1, 5 ligt en de hoogste waarde bij 2, 0 ligt. In het hele gebied van 𝑙 = 1, 5 tot 𝑙 = 2, 2 blijft de QI inderdaad tussen de 20 en de 25.

Een aantal plaatjes om met de gra iek aan te geven welk maximum er ligt tussen 1, 5 en 2, 2:

5 a 𝑅 = 2𝑝 + 3(3𝑝 − 2) + 20 𝑅 = 2𝑝 + 9𝑝 − 6 + 20 𝑅 = 11𝑝 + 14

b 𝐾 = - 2(𝑣 − 3) − 5𝑣 𝐾 = - 2𝑣 + 6 − 5𝑣 𝐾 = - 7𝑣 + 6

c 2(2𝑥 + 1) = 3𝑥 − 4𝑦 4𝑦 = - 𝑥 − 2

𝑦 = - 𝑥 − Dus 𝑎 = - en 𝑏 =

-d 2 =

10𝑦 = 7𝑥 𝑦 = 0, 7𝑥

Verwerken

1 a A

b B c A

2 a

De brandpuntafstand is dus 12.

b + =

= +

= +

=

= 𝑓 = 12

3 a 𝑣 = ^⋅ = 33 b 𝑣 =

c Voer in: 𝑦 =

Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 15 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 80 d Voer in: 𝑦 = , 𝑦 = en 𝑦 =

Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 30 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 100

4 a 𝐾 = 5𝑝 + 7𝑏 + 20 𝐾 = 5𝑝 + 7 ⋅ 3𝑝 + 20 𝐾 = 5𝑝 + 21𝑝 + 20 𝐾 = 26𝑝 + 20 b 𝐾 = - 4𝑝 + 3𝑎 − 8

𝐾 = - 4𝑝 + 3 ⋅ (8𝑝 − 2) − 8 𝐾 = - 4𝑝 + 24𝑝 − 6 − 8 𝐾 = 20𝑝 − 14

c 𝑝 = 𝐾 = 𝑝 ⋅ 2𝑏 𝐾 = 𝑝 ⋅ 2 ⋅ 5𝑝 𝐾 = 10𝑝

46 DOMEIN Formules en grafieken

5 a Stel dat de gemiddelde temperatuur op een dag precies 20 °C is. Dan is 𝑡 gelijk aan 0. Als er op diezelfde dag geen zon was, is 𝑢 ook gelijk aan 0. De formule invullen geeft dan voor de verwarmingskosten 𝑘 = 800 − 60 ⋅ 0 − 50 ⋅ 0 = 800. De betekenis van de 800 is dus: als er geen zonuren zijn en de temperatuur 20 °C is, bedragen de verwarmingskosten € 800,00.

b Invullen: 𝑡 = -4 en 𝑢 = 3, 5. 𝑘 = 800 − 60 ⋅ 3, 5 − 50 ⋅ - 4 = 790 De verwarmingskosten voor die dag zijn € 790,00.

c Kosteloos houdt in: 𝑘 = 0. Met de 𝑘 ingevuld ontstaat er een nieuwe vergelijking:

0 = 800 − 60𝑢 − 50𝑡. Of anders opgeschreven: 60𝑢 + 50𝑡 = 800. Hiermee kun je wat voorbeelden geven voor 𝑢 en 𝑡 waarvoor de formule zowel links als rechts op 800 uitkomt.

d Bijvoorbeeld 5 zonuren en een buitentemperatuur van 30 °C of 10 zonuren en een buitentemperatuur van 24 °C.

e 𝑡 = - 2 geeft 𝑘 = 800 − 60𝑢 + 100 = 900 − 60𝑢.

𝑘 = 900 − 60 ⋅ 0 = 900 en

𝑘 = 900 − 60 ⋅ 5 = 600

Op eenzelfde manier kunnen de andere tabellen ingevuld worden.

𝑡 = - 1: hoeveel de verwarmingskosten zijn. Direct de formule invullen is nauwkeuriger:

𝑘 = 800 − 60 ⋅ 6 − 50 ⋅ 2 = 340. De verwarmingskosten bij 6 zonuren en 22 °C zijn € 340,00.

g Als het aantal uren en de gemiddelde temperatuur omhoog gaan, gaan de kosten omlaag. De minimale kosten zijn te berekenen door de hoogste temperatuur en het hoogste aantal zonuren te bekijken. Andersom geredeneerd zijn de kosten maximaal bij de laagste temperatuur en het minste aantal uren zonlicht.

De kosten zijn maximaal bij 𝑡 = - 2 en 𝑢 = 4: 𝑘 = 800 − 60 ⋅ 4 − 50 ⋅ - 2 = 660. De kosten zijn minimaal bij 𝑡 = 2 en 𝑢 = 10: 𝑘 = 800 − 60 ⋅ 10 − 50 ⋅ 2 = 100. De kosten liggen dus tussen € 100,00 en € 660,00.

6 a 2 ⋅ 10 + 3 ⋅ 5 + 3 = 38; dus € 38,00 b Per volwassene 𝑣: € 10,00.

Per kind 𝑘: € 5,00.

Per standplaats 𝑠: € 3,00.

Als we ervan uitgaan dat er maar één standplaats nodig is, kun je een formule opstel-len die bij deze prijzen hoort: 𝑃 = 10𝑣 + 5𝑘 + 3.

c Ze willen met twee volwassenen niet meer dan € 50,00 betalen. In de vergelijking kun je nu de 𝑃 en 𝑣 invullen:

50 = 10 ⋅ 2 + 5𝑘 + 3 50 = 23 + 5𝑘 27 = 5𝑘

𝑘 = 5, 4

Maximaal vijf kinderen.

d 𝑃 = 10𝑣 + 5(2𝑣 + 1) + 3 = 10𝑣 + 10𝑣 + 5 + 3 = 20𝑣 + 8

e Maak een tabel met 𝑣 van 0 tot 8 en noteer waarden voor 𝑃 bij de vier verschillende waarden van 𝐷.

𝑘 𝑃(𝑣 = 2) 𝑃(𝑣 = 4) 𝑃(𝑣 = 6) 𝑃(𝑣 = 8)

0 23 43 63 83

8 63 83 103 123

f De kosten voor een volwassene zijn twee keer zo hoog als voor een kind. Welke com-binatie je ook bedenkt, je bent altijd € 3,00 kwijt voor de standplaats. Je hebt dus nog 93 − 3 = 90 euro te verdelen. Daarmee kun je de kosten voor maximaal negen volwassenen betalen. Vanaf negen kun je dan terugrekenen naar de kosten voor nul volwassenen.

Opmerking: realistisch gezien zijn er natuurlijk argumenten te noemen waarom som-mige mogelijkheden niet kunnen. Bijvoorbeeld: met nul volwassenen, achttien kin-deren op vakantie, op maar één standplaats.

48 DOMEIN Formules en grafieken Intersect geeft 𝑥 = 70, dus 70 km/h.

Oefenopgaven

De gra iek is een rechte lijn en heeft dus geen minimum/maximum.

De optie zero geeft 𝑥 = - 5, 5. Het snijpunt met de 𝑥-as is ( - 5, 5; 0).

b 3(2𝑥 − 7) = 143 + 57𝑥

Op 99,5 meter hoogte wordt de vuurpijl afgeschoten. Na ongeveer 8 seconden is de vuurpijl weer op dezelfde hoogte.

c Maximum geeft: 𝑥 ≈ 3, 8 en 𝑦 ≈ 175, 3.

Na ongeveer 4 seconden was de vuurpijl op zijn hoogste punt. Dit was ongeveer 175 m boven de grond.

d Als de vuurpijl op de grond ligt, is de hoogte 0 m.

Methode 1: Neem op de GR de optie calculate en dan zero.

Methode 2: Voer in: 𝑦 = 0. Met de GR vind je 𝑥 ≈ 9, 6. (Let op: 𝑥 ≈ - 2 is de verkeer-de.) Na ongeveer 10 seconden is de vuurpijl op de grond.

e Nee, je weet niet onder welke hoek de pijl is afgeschoten. In de formule wordt ℎ uit-gezet tegen de tijd, dus je weet alleen het verloop van de hoogte.

50 DOMEIN Formules en grafieken

€ 2,50 per stuk bedraagt de opbrengst € 8750,00.

b Onderzoek voor welke prijs 𝑝 de opbrengst 𝑅 gelijk is aan € 18 000, 00.

Voer in: 𝑦 = 𝑥(4000 − 200𝑥) en 𝑦 = 18 000 Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 20 en 0 ≤ 𝑦 ≤ 25 000

Let op: in je gra iek zie je twee snijpunten. Die zijn allebei goed.

Intersect geeft: 𝑥 ≈ 6, 84 of 𝑥 ≈ 13, 16.

De opbrengst is € 18 000, 00 bij € 6,84 en € 13,16.

c Met optie maximum op de GR vind je 𝑝 = 10.

De maximale opbrengst krijg je bij de keuze € 10,00.

d Bij het maken van producten zijn er vaste kosten (gebouw, machines) en variabele kosten (grondstoffen). Die laatste hangen van het aantal producten af.

e Je moet een verband aangeven tussen 𝑅 en 𝑞.

𝑞 = 4000 − 200𝑝 De formule voor de winst is nu a hankelijk gemaakt van 𝑞.

Voor het bepalen van de maximale winst:

Voer in: 𝑦 = - 0, 005𝑥 + 5𝑥 − 5000

Venster bijvoorbeeld: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1500 en - 7000 ≤ 𝑦 ≤ 5000 Je vindt 𝑥 = 500.

Bij een verkoop van 500 stuks hoort een maximale winst van € text(-)3750,00. Onder deze voorwaarden verliest de verkoper blijkbaar altijd geld.

8 a De tunnel heeft een oppervlakte van 30 ⋅ 3 = 90, dus 90 m².

c Reken eerst 5 km/h om naar meter per minuut. Dat wordt 83 meter per minuut.

Los nu de vergelijking 83 = 87 − _, op. Je vindt dan 𝑀 ≈ 6, 6

Er is met een snelheid van 5 km/h ongeveer 6,6 m²per persoon ruimte. Dan kun je dus ongehinderd lopen.

d Met de formule uit b kun je 𝑀 berekenen.

70 = 87 − _,

, = 17

26 = 17𝑀 + 8, 5 17𝑀 = 17, 5

𝑀 ≈ 1

A lezen uit de gra iek geeft 𝑁 = 175 dus 175 mensen per minuut.

e In de gra iek kun je de top a lezen bij 𝑀 = 0, 5.

Invullen in de formule geeft 𝑉 = 87 − _{, ,}

𝑉 = 87 − 26 = 61

Bij een snelheid van 61 meter per minuut is het aantal voetgangers dat per minuut de tunnel verlaat maximaal.

Colofon

Auteurs

Arjan Cornelissen, Tom Eitjes, Anda Filipovic, Marwane Foujay, Marie-Anne Frinking, Valentijn Frinking, Johan Gademan, Ilin Jonoski, Linda Kaper, Peter van Kessel, Bob Koeman, Matthias Kortleven, Gijs Langenkamp, David Lans, Tobias Leene, Erik Meulman, Dick Nijssen, Boris Nolte, Piet Peters, Hugo Platell, Kiki Prins, Tom Smeding, Joël Sombroek, Frits Spijkers, Tanja Stroosma, Gert Treurniet, Wiljo Treurniet, Arnaud Uwland, Myrthe Verheijen, Barbara Verweijen, Vera de Visser, Laura Werring, Milou de With, Martin Winkel, Gerrit van Wolfswinkel, Thomas Wouters, Mathijs van Zon, Anouschka Zwart

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitga-ve mag worden uitga-veruitga-veelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar ge-maakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elek-tronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enige andere manier, zonder voorafgaande schrifte-lijke toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16b Auteurswet 1912 j° het Besluit van 20 juni 1974, St.b. 351, zo-als gewijzigd bij het Besluit van 23 augustus 1985, St.b. 471, en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan de Stichting Reprorecht (Postbus 3051, 2130 KB Hoofddorp). Voor het overnemen van ge-deelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden.

© Malmberg ’s-Hertogenbosch

De uitgever heeft getracht met alle rechthebbenden op beelden en tekst in contact te treden. Mogelijk is dit niet alle gevallen gelukt. Degene die meent op beelden en/of tekst recht te kunnen doen gelden, wordt verzocht in contact te treden met Uitgeverij Malmberg te ’s-Hertogenbosch.

In document 4 HAVO WISKUNDE A KATERN I I (pagina 39-52)