I I I I I I I I I. nota. en dient ter bepaling van de positie op een boloppervlak. Kust en Zee van de Direktie Waterhuishouding en Waterbeweging

I I I I

nota

ACHTERGRONDEN EN BESCHRIJVING VAN HET PROGRAMMA CARTRO

I ^I

-

auteur@) : i r . L. Voogt datum: f e b r u a r i 1984

I

8amenvalllng: Deze nota g e e f t

een

b e s c h r i j v i n g van h e t programma CARTRO.

D i t programma i s i n beheer b i j de A I V van h e t d i s t r i k t K u s t en Zee van de D i r e k t i e Waterhuishouding en Water- beweging en d i e n t t e r b e p a l i n g van de p o s i t i e op een bol- oppervlak ( u i t g e d r u k t i n l e n g t e - en breedtegraden) van de knooppunten van een c a r t e s i s c h netwerk.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I II

I I I I I I I I I I 1 I I I I

~'

~1

INHOUD

1.

2.

3 .

4.

5 .

6.

7.

8 .

9.

behoort bij:

nota

bladnr: - 1 -

nr.

WWKZ-84G.005

Inleiding

D e transformatieformules

Afleiding van de transformatieformules

Werking van h e t programma

Beperkingen van h e t programma

Invoer

uitvoer

Voorbeeld

Literatuur

b l z . 2

3

4

8

9

10

11

12

15

rnlnlsterle van verkeer en waterstaat rijkswaterstaat

I I I

I

I I I I I I I

behoort bil: nota

biadnr: - 2 -

nr. WWKZ-84G.005

7 .

^Inleidinq

Voor de berekening van de getijbeweging in een bepaald gebied wordt

uitgegaan van de z.g. lange-golf-vergelijkingen. Deze vergelijkingen liggen ten qrondslag aan programma's als WAQUA en IMPLIC. Daarbij moet worden bedacht dat de afleiding van de in deze programmapakketten gehanteerde vergelijkingen, plaats vond

in

een cartesisch assenstelsel. Deze

verqelijkingen voldoen zolang we ons beperken tot een klein gebied van onze aardbol: we mogen aannemen dat dit gebied maq worden qerepresenteerd door een plat vlak. Bestrijkt ons gebied van interesse een zodanig stuk van de aardbol dat dit laatste niet meer opgaat dan zuilen de aan WAPUA ten

grondslaq liggende verqelijkinqen hun geldigheid verliezen en zullen we de lanqe-golf-vergelijkinqen opnieuw moeten afleiden maar dan in

bolcoördinaten.

In het vervolq van deze nota gaan we er van uit dat het beschouwde qebied van de aardbol klein genoeg is om als plat vlak te mogen worden beschouwd.

In dat geval is het mogelijk de positie van een bepaald punt, geqeven in cartesische coördinaten, om te rekenen naar bolcoördinaten en vice versa. Er vindt dus een coördinaten transformatie plaats van x,y-coördinaten naar

A ,y

-coördinaten. Deze transformatie wordt uitgevoerd door het programma

CARTROlfl. De inverse transformatie, waaraan uiteraard dezelfde formules ten grondslaq liggen, wordt verzorqd door CARTRO11. In het vervolg zal alleen de transformatie van cartesische- naar bolcoördinaten worden behandeld.

I I I I

I

I

I

minlsterle van verkeer en waterstaat

rijkswaterstaat

behoort bl]:

nota

nr.

WWKZ-84G.005

bladnr: - 3 -

I I I I I I

,’ _I I , I

I

‘ I

~I I I I

I

I I

2. De t r a n s f o r m a t i e f o r m u l e s

Voor

de b e p a l i n g

van

l e n g t e

(A)

^{e n} b r e e d t e

(7)

van de knooppunten (m,n) van e e n c a r t e s i s c h netwerk op

een

b o l o p p e r v l a k g e e f t G . B r e t t s c h n e i d e r de

volgende formules

c11

^:

s:tnp =

( s i i i p c c s 9

+ s i n

^{+ C O S ip}

sin r 1

^{C O S x} + . c o s p c c s i p

sin r

c o s

( h - h o ) =

c o s

r

c o s

r -

^{s i n p} s i n i p

>:

Y O

Y

O y. . o

ii x.- 0

c o s p o

c o s p

H i e r i n z i j n

ho

e n

‘po

de b o l c o ö r d i n a t e n van h e t punt

Po, n o ) .

Verder g e l d t :

H e t punt ( m o r no) i s h e t raakpunt van h e t vlak aan de bol. Verder is R de s t r a a l van de b o l d i e i n h e t p u n t Wo, no) conform is met de e l l i p s o ï d e waarmee de punten

1,

en

%

berekend z i j n , zodat we de a f b e e l d i n g op h e t boloppervlak a l s een a f b e e l d i n q op h e t aardoppervlak mogen beschouwen.

m e n n z i j n de i n d i c e s van de r o o s t e r p u n t e n van h e t netwerk i n resp. de x- en y - r i c h t i n g e n A x is de maaswijdte. T e n s l o t t e is h e t n e t w e r k i n mathematisch p o s i t i e v e z i n over een h o e k y g e d r a a i d t.o.v. h e t g e o g r a f i s c h n e t , d.w.z. is de hoek t u s s e n de b r e e d t e c i r k e l

en

de x - c o ö r d i n a a t i n h e t p o n t

(ho,

yó ) , d.w.z.

( m o r

n o i .

I n h e t proqramma hebben we mo en no n u l g e s t e l d , t e r w i j l de lopende v a r i a b e l e n p o s i t i e v e e n n e q a t i e v e waarden doorlopen. De gehanteerde e l l i p s o ï d e is de i n t e r n a t i o n a l e e l l i p s o l d e , d i e ook b i j de qehanteerde k a a r t e n wordt q e b r u i k t .

I n h e t volaende hoofdstuk z u l l e n de t r a n s f o r m a t i e f o r m u l e s worden a f q e l e i d .

'I mlnlsterle van verkeer en waterstaat rijkswaterstaat

I

1 I I

I

I I I I I I I 1 I

I

I I I I I

behoort blj:

nota

bladnr: - 4 -

nr. WWKZ-84~.005

3."

A f l e i d i n g van d e t r a n s f o r m a t i e f o r m u l e s P , Q

en

R z i j n pun ten op de b o l met PQ

c i r k e l door P

en

^Q maakt een hoek 90' - y e

met

d e m e r i d i a a n door P. Pp

en

QR l i g g e n op

grote cirkels van

d e bol d i e l o o d r e c h t op

elkaar staan.

^Zie f i g u u r 1 .

r x

e n QR =

r y

r a d i a l e n . De grote

U i t d e z e f i g u u r l e i d e n we a f :

-

^RS is d e l o o d l i j n u i t R O p 00: RSAOS; RS = s i n r y ; OS COS r y

-

^{ST i s de} l o o d l i j n u i t S op OP: S T b O T = cos r S i n rx: OT = cos r C o s rx

-

^{TU is de} l o o d l i j n u i t T op OP: o p g e r i c h t i n h e t m e r i d i a a n v l a k ; W b O p

-

^üR i s d e l o o d l i j n u i t R op TU, R U A T t i

-

^{Omdat de} grote c i r k e l s d o o r PQ

en

d o o r P R l o o d r e c h t op elkaar s t a a n g e l d t :

Y Y

R S A v l a k door O, P

en

Q, d.w.2. R S b S T

en

RShOP:

O P b S T e n OPhRC, d u s O p b v l a k RST

í S T U = 90"

- y o ,

omdat de s n i j l i j n van de q r o t e

c i r k e l

door P e n Q e n de m e r i d i a a n door P j u i s t de l i j n OP vor mt, e n O P b v l a k C W , t e r w i j l ook R i n d i t v l a k l i g t .

U i t f i q . 2 v o l g t nu TU = cos r s i n r cos ( 9 0 - i y ) t s i n r s i n ( 9 0 - y ) =

Y

X Y

cos r s i n r s i n y i ^t s i n r c o s y

Y X

Y

Beschouwen we v e r v o l g e n s h e t m e r i d i a a n v l a k door P ( f i g u u r 3 ) dan z i e n we d a t ook T e n U i n d i t v l a k l i q g e n en v i n d e n :

s i n c f = OT s i n

Y0 +

UT cosCpo= cos r ^{Y C O S} r ^x s i n ^{' p o} + ( C O S r

^Y

s i n r ^X s i n y ⁱ

C O S C p O

s i n r cos

y

) c o s y , =

Y

(cos r s i n

+

s i n r s i n v cos<p ) cos r ^t s i n r c o s i ?

x

Y0

^{X O}

^{Y Y}

Beschouwen we t e n s l o t t e een b r e e d t e c i r k e l d o o ~ R e n U ( € i a u u r 4 ) dan z i e n w e d a t de s t r a a l van d e z e c i r k e l t . o . v . de e e n h e i d s b o l qeoeven wordt door

C O S C ~ ,

d.w.z.

mlnlsterle van verkeer en waterstaat rijkswaterstaat

bladnr: - 5 -

I

I

behoort bil: n o t a ^nr. WWKZ-84G.005

I

I I I

I

1 I I I

I I

1 I I

I

I I I

m

U i t f i g u u r 3 v o l g t :

DUS is

=Os

'p

U i t d e z e l f d e f i g u u r 3 is nog e e n u i t d r u k k i n g v o o r UT

af

t e l e i d e n

Sin $Q

-

^{OT stfl}

$Re UT =

c-

7 0

Aangezien we zowel met Ooster- a l s met W e s t e r l e n g t e werken h a n t e r e n we l i e v e r de s i n u s , d i e eg<-waardïg is van - l / Z t T t o t 1/2 T.

we

v i n d e n :

,,.. , .,, ^,

I . , . , ^~,

. . ^{.,,. . ,} *~

..

^{, ,: - ,} ~.

ministerie van verkeer en waterstaat

rlikswaterstaat

I

behoort bij:

nota

nr. W W K Z - ~ ~ G . O O S

bladnr: - 6 -

e'

^{fig. 0}

rnlnlsterle van ^verkeer en waterstaat ril kswaterstaat

I I

I I

behoort blj:

nota

bladnr: - 7 -

nr. WWKZ-84G.005

Boven a f g e l e i d e formules vinden we door e e r s t l a n g s de x- e n v e r v o l g e n s l a n g s de y-as t e lopen. Verwisselen we deze volgorde dan vinden we:

e n y w o r d e n t e n s l o t t e m.b.v. d e a r c s i n bepaald.

T o t s l o t noq de berekeninq van R, d e s t r a a l van de bol. Deze wordt g e l i j k g e s t e l d

aan

de aEstand tussen h e t ' m i d d e l p u n t ' van de i n t e r n a t i o n a l e e l l i p s o ï d e en h e t c e n t r a l e punt ( m o r

n,).

^Dus:

a = h a l v e l a n g e a s

i n t .

e l l . = 6378.388 km b

=

h a l v e k o r t e a s i n t .

e l l . =

6356.912 km

/

I

ministerie van verkeer en waterstaat rijkswaterstaat

behoort bi]: nota I nr. WWKZ-84G.005

bladnr: - 8 -

'4. Werking programma

I n

hoofdstuk 3 werden

twee

typen transformatieformules gegeven. H e t

eerste

type kwam t o t s t a n d door e e r s t langs de ene as en vervolgens loodrecht daarop langs g r o o t c i r k e l s t e lopen, h e t tweede type kwam t o t s t a n d door e e r s t langs de andere a s en vervolgens loodrecht daarop langs g r o o t c i r k e l s t e gaan.

Met behulp van deze transformatieformules berekenen we de lengten en breedten van de roosterpunten. Voeren we de berekening twee k e e r u i t , zo- wel voor de (x-y) formules a l s voor de (y-x) formules, dan kunnen we

tevens h e t v e r s c h i l tussen b e i d e formules zien i n de vorm van v e r s c h i l l e n i n l e n g t e en b r e e d t e

v e r s c h i l = r e s u l t a a t (x-y)

-

r e s u l t a a t (y-x)

Een indruk van de nauwkeurigheid k r i j g e n we door tevens de a f s t a n d t u s s e n deze twee punten t e berekenen volgens

f a c t o r van seconden t o t r a d i a l e n

üe verqelijkende berekeninq voor h e t y-x systeem wordt naar keuze wel of n i e t uitgevoerd. Normaal wordt a l l e e n de x-y berekening v e r r i c h t ;

aeven we een neaatieve maaswijdte op, dan worden beide uitqevoerd.

mlnisterie van verkeer en waterstaat rijkswaterstaat

I I I

behoort bi]:

nota

biadnr: - 9 -

nr. WWKZ-84G. 005

5 . Beperki nge n programma

en

'i"

Door

h e t g e b r u i k

van

de

arc

s i n u s f u n c t i e b i j d e b e r e k e n i n g van

( l - x o >

z i j n

A-Ao ^en

e e n d u i d i g g e d e f i n i e e r d

van

-90'

t o t +

g o " , d a t w i l zeggen

7

We mogen d u s t h e o r e t i s c h b i n n e n e e n h a l v e bol om h e t

p u n t X o , y =

O

rekenen.

G ezie n de a f w i j k i n g e n d i e e e n c a r t e s i s c h e b e n a d e r i n g van een b o l o p p e r v l a k oplevert alsmede de a f w i j k i n q e n d i e o n t s t a a n door d e b e n a d e r i n g van de

i n t e r n a t i o n a l e e l l i p s o ï d e door e e n b o l is d i t een veel q r o t e r t e r r e i n dan we o o i t w i l l e n h a n t e r e n .

D e o u t p u t is g e b a s e e r d op

roosterpunten

met i n d i c e s t u s s e n -999

en

+999.

T e n s l o t t e d i e n t men t e hedenken d a t l e n q t e en b r e e d t e van h e t n u l p u n t

b e p a a l d moeten z i j n met b e h u l p van d e i n t e r n a t i o n a l e e l l i p s o ï d e , t e r w i j l d e gevonden l e n g t e n

en

b r e e d t e n voor d e r o o s t e r p u n t e n e v e n e e n s b e t r e k k i n g hebben op d e z e l f d e e l l i p s o ï d e .

Een a n d e r e b e l a n q r i j k e b e p e r k i n q is d a t moet q e l d e n

2 o .

I

I

I

rnlnlsterle van verkeer en waterstaat rljkswaterstaat

I I

I

I

I i I ili

I

behoort ^bij: nota bladnr:

-

¹⁰

-

6.

-

Invoer

In

de navolgende volgorde dient opgegeven te worden:

-

^De lengte van het nulpunt in graden, minuten en seconden (d.w.z.

3 getallen)

-

^De breedte van het nulpunt op dezelfde wijze (3 getallen)

-

De hoek tussen breedtecirkel en x-as op dezelfde wijze (3 getallen)

-

^De maaswijdte van het rooster in

km:

qeeft men dit getal een negatief teken mee, dan wordt ook de vergelijkende y-x berekening uitgevoerd

-

^De onder- en bovenqrenzen van de indices van de roosterpunten Ondergrens

m,

bovenqrens m, ondergrens n, hovenqrens n.

De lengte van het nulpunt en de hoek moqen negatief zijn, evenals de coostergrenzen.

In totaal dienen dus 14 getallen gegeven te worden, waarvan alleen de maaswijdte reëel is, alle andere zijn gehele getallen.

Y

ministerie van verkeer en waterstaat rijkswaterstaat

I

behoort blJ:

nota

biadnr:

-

^{1 1}

-

nr.

WWKZ-84G.005

7 ,

Uitvoer

Ten g e r i e v e

van

de gebruiker worden

e e r s t

op

één

r e g e l gegeven:

de hoek

Vervolgens wordt

een

kolomopschrift g e p r i n t . D i t i s evenals h e t vervolg a f h a n k e l i j k van h e t f e i t of we de v e r g e l i j k e n d e berekening

al

of

n i e t

uitvoeren. We onderscheiden:

i n graden,

minuten en

seconden, d e maaswijdte in km e n R

i n

km.

A A l l e e n x-y berekeninq.

Het o p s c h r i f t is i n d i t geval:

viermaal de t e k s t "m,n,lambda,phi"

met

j u i s t e s p a t i ë r i n g , per r e g e l

v i e r maal

de c a r t e s i s c h e coördinaten

en

de l e n q t e en breedte van deze coördinaten

i n

graden, minuten en seconden. Er worden geen graden-minuten-of secondentekens g e p r i n t .

Z i j n a l l e n-waarden behorende b i j

66n

bepaalde m-waarde berekend, dan wordt een nieuwe r e g e l qegeven.

$3 Ook de y-x berekeninq.

Het o p s c h r i f t is h i e r :

De t e k s t : "m,n,lambda 1 , phi 1 , lambda 2 , phi 2 , lambdad, phid, a f s t a n d " . Per r e g e l volgen dan de c a r t e s i s c h e c o ö r d i n a t e n , de op twee manieren berekende geografische c o ö r d i n a t e n , h e t v e r s c h i l i n l e n g t e e n breedte alsmede de afstand t u s s e n deze twee coördinaten.

ministerie van verkeer en waterstaat rijkswaterstaat

bladnr:

-

^{1 2}

-

I

I

^{behoort blj:} nota nr. WWKZ-84G.005

I I I

8. Voorbeeld

Over h e t z u i d e l i j k gedeelte van d e Noordzee (figuur 5 ) is een vierkanten netwerk qelegd

met

behulp van h e t programma CARTRO 10.

Om afwijkinqen aan de randen van het netwerk

t e

beperken is h e t nulpunt van

.. n

ministerie van verkeer en waterstaat

rijkswaterstaat

nr. WKZ-84G.005 behoort bll: nota

bladnr:

-

¹³

-

i I , x

mlnisterie van verkeer en waterstaat rljkswaterstaat

blednr:

-

¹⁴

-

behoort bil: nota

nr.

WWKZ-84G. 005

Na deze gegevens op de juiste wijze te hebben ingevoerd, berekent het programma voor het opgegeven bereik van m- en n-waarden de bijbehorende bolco8rdinaten.

Ter

illustratie is in tabel 1 een gedeelte van de

programma-uitvoer afqedrukt.

' #

l

E ' t

I

I

I

111 1

I

1 1 ' 1 II 11

: I

; I

-

^Z"

-

^{2 3}

A ' ! s 4 o

d ; i 4.1 24

..

^{3 0}

-

^{7 0}

-

^3u

-

^2.0

-

^{3 u}

-

^II>

- _-

^{J U}

-

¹²

J U

-

^P

- J U -

- -

^{30 si, o 4} 4

- - -

^{J U 30 S U I: 16 n}

- - - _-

^{J U 3 0 S U 2 4 2 0 7 H}

2 v

-

^2<J

-

^{2 Y}

-

²⁵

-

^2')

-

^{2 1}

-

^{% Y}

-

^I7

-

^{2 0} " I J

-

^{% Y}

- ^*,

- 2 Y - 5

- 2 9 3

-

^{7 v 7}

-

^{2Y I 1}

-

^{2 Y I "}

-

^{7 '4 1 ?}

-

^{2 u 7.7}

-

^{7 Y ;'7}

-

²⁸

-

^{J O}

-

⁷¹¹

-

^21.

-

^{7 6}

^-

^{2 7}

-

²¹¹

-

^{I n}

-

^{7 8}

-

^{1 4}

-

^{Z Y}

-

^{I 0}

-

⁷¹¹

-

^h

- 2 8 - 2

-

^{2 8 7}

-

^{2 U b}

-

^JIJ

-

^{7 4}

-

^{2 Y ^ , I}

Tabel 1

mlnisterie van verkeer en waterstaat rij kswaterctaat

nr. WWKZ-84G.005 behoort bil: n o t a

biadnr:

-

¹⁵

-

9. L i t e r a t u u r

~1

1 1 1

BRETTSCHNEIDER, G.

Anwendung e i n e s i m I n s t i t u t f ü r Meereskunde d e r U n i v e r s i t ä t Hamburg entwickelten Verfahrens z u r numerischen Ermittlung von Gezeiten i n Randmeeren auf d i e MZ-Mitschwingungsgezeit i n der Nordsee.

M i t t . I n s t . ^f. Meeresk. V I I , jan. ' 6 7 .

1

I

i