Toon aan dat E(Sτ− τ EX1)2 = σ2Eτ

(1)

Uitbreiding opgaven Vernieuwingstheorie

Opgave 1 Laat X1, X2, . . . een rij onafhankelijke en identiek verdeelde stochastische grootheden zijn met E|X₁|, EX₁²< ∞. Laat verder τ een stoptijd voor de rij X₁, . . . zijn met Eτ < ∞. Schrijf Sn=Pn

i=1Xi, σ² = E(X1− EX₁)². Toon aan dat E(Sτ− τ EX₁)² = σ²Eτ .

Hint: Je kunt overgaan op de stochastische variabelen ˆX_i = X_i− EX_i en toon aan dat E ˆS_τ² = E ˆX₁²Eτ .

Opgave 2 Laat X1, . . . een rij onafhankelijke en identiek verdeelde niet-negatieve stochastische variabelen zijn met EX_i < ∞. {N (t)}_t≥0 zij het vernieuwingsproces geassocieerd met de rij X1, . . ., en Sn=Pn

i=1Xi het tijdstip van de n-de vernieuwing. Schrijf F (t) = P{X1 ≤ t} voor de verdelingsfunctie van X₁ en neem aan dat F continu differentieerbaar is naar t.

Definieer R(t) = S_{N (t)+1}− t de resterende levensduur op tijdstip t (tot de volgende vernieuwing).

Toon aan dat Rt

01{[0,x]}(R(s))ds

t ,

Rt

0 P{R(s) ≤ x}ds

t →

Rx

0(1 − F (s))ds EX1

, t → ∞.

De verdelingsfunctie Fe(x) =

Rx

0(1−F (s))ds

EX1 , x ≥ 0, heet de stationaire resterende levensduurverde- ling.

Opgave 3 De afdeling ‘spoedopnames’ in een ziekenhuis heeft plaats voor 2 trauma pati¨enten.

Nieuwe pati¨enten die aankomen, wanneer de afdeling vol is (en beide bedden bezet zijn), worden naar een ander ziekenhuis in de regio gebracht.

Trauma pati¨enten komen aan volgens een Poissonproces, gemiddeld λ per dag. Per dag worden gemiddeld 4,2 pati¨enten geaccepteerd. Daarnaast zijn 16% van de tijd beide bedden bezet.

Bereken λ. Welke percentage van de pati¨enten wordt doorgestuurd naar een ander ziekenhuis?

Hint: je mag aannemen dat zich gemiddeld λT pati¨enten bij de spoedopnames melden gedurende een stochastische duur van T dagen. Deze tijd T mag in ‘stukjes opgeknipt’ zijn.

Opgave 4 Bij een transportbedrijf komen producten aan volgens een vernieuwingsproces, waarbij de tussenaankomsttijden een eindige verwachting µ hebben. Zodra er M producten zijn, gaan ze onmiddellijk op transport. Laat X(t) het aantal producten zijn dat op tijdstip t bij het transportbedrijf op transport wacht.

• Bereken het fractie van de tijd (over een oneindig tijdsinterval) dat er j producten op transport liggen te wachten. Bereken het gemiddelde aantal producten per tijdseenheid dat op transport ligt te wachten.

• Het bedrijf wil de partijgrootte M zo kiezen dat de verwachte kosten per tijdseenheid minimaal zijn. De relevante kosten zijn: C voor transporteren van een partij, en h voor de opslagkosten per tijdseenheid en per product. Noteer met C(M ) de verwachte transport- plus opslagkosten per tijdseenheid. Toon aan dat de waarde van M die C(M ) minimaliseert, gelijk is aan arg minC(M ) | M ∈ {bp2C/hµc, dp2C/hµe} .

1

(2)

Opgave 5 Ad 3.8: in (4) vervang b) en c) door 2) en 3).

Opgave 6 bf Variant Opgave 3.9. Zelfde formulering van de gegevens.

• Bereken de verwachte kosten per tijdseenheid. Specificeer de gekozen regeneratietijdstippen.

• Stel dat de tijdsduur tot de auto kapot gaat een homogene verdeling op het interval [0, T ] heeft. Jan vraagt zich af of hij de verwachte kosten per tijdseenheid kan verlagen door zijn vervangingsstrategie te veranderen. Laat C(s) de verwachte kosten per tijdseenheid zijn bij vervanging na s jaar, of zodra de auto (binnen s jaar) kapot is. De kosten voor een nieuwe auto en de additionele kosten bij kapotgaan blijvenDK enDC respectievelijk. Bereken C(s).

Voor welke s zijn deze kosten minimaal?

Opgave 7 Variant Opgave 3.10. Volg de beschrijving van het voorraadmodel in het dictaat opgave 3.10, en neem aan dat s < S. Per order moet de winkelier vaste kosten K betalen, elke eenheid product kost C, en de prijs is P . Elke klant die wegloopt geeft boetekosten B.

• Leg uit hoe je de gemiddelde verwachte winst per week kunt berekenen. Specificeer hiertoe geschikt gekozen regeneratietijdstippen.

We nemen nu aan dat P{Dn = x} = α^x(1 − α), x = 0, 1, . . ., voor gegeven α ∈ (0, 1). Je kunt deze verdeling interpreteren als het aantal ‘successen’ (hier x) tot de eerste ‘mislukking’.

• Beargumenteer dat

P{

k

X

i=1

Di = x} = α^x(1 − α)^kx + k − 1 x

.

• Bereken voor de gegeven verdeling de verwachte gemiddelde winst per week.

Uitbreiding opgaven Markov ketens

Opgave 1 Bekijk de volgende vorm van Stelling 4.20.

Laat j ∈ S gegeven zijn. Laat S⁰ ⊂ {i | f_ij = 1} een gesloten verzameling toestanden zijn.

i) (µij)i∈S⁰ de minimale, niet negatieve oplossing in (R ∪ {∞})^|S⁰^|van het stelsel vergelijkingen x_i = 1 +X

k6=j

p_ikx_k, i ∈ S⁰.

ii) Als S⁰ een eindige klasse, dan is de oplossing eindig en uniek voor iedere j ∈ S⁰.

iii) Als het stelsel een eindige oplossing heeft, dan is j positief recurrent.

2

(3)

a) Bewijs deze stelling.

b) Bedenk een voorbeeld, waarbij bovenstaand stelsel voor gegeven toestand j, een oplossing heeft met zowel eindige als oneindige waarden.

Opgave 2 Bewijs Gevolg 4.14.

Opgave 3 We beschouwen een productielijn van flesjes bier bij Heineken. De flesjes ondergaan achtereenvolgens de volgende drie bewerkingen: I de flesjes worden gevuld en van dop voorzien, II gevulde flesjes worden gestickerd, III de flesjes worden in kratten gepakt. In elk fase is er een positeive kans op breuk. Een flesje breekt met kans 0,1 tijdens fase I, met kans 0,16 in fase II en met kans 0,2 in fase III.

Na fases I en II worden niet-gebroken flesjes ge¨ınspecteerd: de kans dat een niet-gebroken flesje na fase I opnieuw door het proces moet, is 0,1, en derhalve 0,9 dat het flesje door mag naar fase II. Na fase II is de kans voor een niet-gebroken flesje eveneens 0, 1 dat het stickeren fout is gegaan en opnieuw moet worden gedaan.

Er zijn teven kostens verbonden aan het uitvoeren van de verschillende fasen. Fase I kost 2 (eenheid), fase II ook 2, en fase III kost 1. Elk gebroken flesje kost 5.

a) De achtereenvolgende fasen waarin een flesje zich bevindt, vormen een Markovketen. Bepaal de klassen van deze Markovketen en of zij transi¨ent, positief recurrent of nul recurrent zijn.

Bereken de stationaire matrix P^∗. b) Bereken de verwachte kosten per flesje.

c) Bereken de verwachte kosten per gebroken flesje.

d) Heineken denkt erover de breukgevoeligheid te verbeteren, door machines aan te schaffen die de breukkans halveren (de overgangskansen voor een niet-gebroken flesje blijven natuurlijk dezelfde!). Dit vereist een investering van 10⁶. Hoeveel flesjes moet Heineken in verwachting produceren (sic!) om de kosten van deze investering terug te hebben verdiend?

3