VAN ATOOM TOT KOSMOSpjg.mulders@gmail.comhttps://www.nat.vu.nl/~muldersPiet Muldersoktober/november2020

VAN ATOOM TOT KOSMOS

pjg.mulders@gmail.com

https://www.nat.vu.nl/~mulders Piet Mulders

oktober/november 2020

Van Atoom tot Kosmos College 2: 8 oktober 2020

1. Herhaling en behandeling opgaven (inclusief Nobelprijs 2020) 2. Algemene relativiteitstheorie

3. Quantummechanica

22

ciale

Hoofdstuk 1: Basisbegrippen mechanica

Ruimte en tijd: verplaatsing en tijdverschil van gebeurtenissen 1 tijd (met richting!)

3 ruimtelijke dimensies met rotaties, boosts, … Snelheid = verplaatsing/tijdverschil

Versnelling = snelheidsverschil/tijdsverschil

Bij een onbelemmerde (vrije) beweging blijven een aantal grootheden onveranderd (behouden)

Energie (bij gebrek aan absolute tijd!)

Impuls (in elke richting) = massa x snelheid (bij gebrek aan‘oorsprong’) Impulsmoment (in elk vlak): afstand tot as x impuls loodrecht hierop (bij gebrek aan voorkeursrichting)

Maar dit alleen voor het geheel!

←

-

E = mc

transporteren

opslaan

misbruiken

* De eenheid van energie is de Joule.

1 Watt is 1 Joule per seconde

• De zon produceert per seconde een gigantische hoeveelheid energie.

• Daarvan bereikt een deel de aarde, met name als licht, gemiddeld zo’n 175 Watt per m²

• In Nederland verbruiken we per inwoner 10 kiloWatt

• De basisbehoefte van ons lichaam is 75 Watt, vergelijkbaar met een

gloeilamp

opwekken

gebruiken

ENERGIE

massa

• Van zon komt: 1400 W/m

• middelen over aarde 25%

• 50% bereikt aardoppervlak

• Efficiëntie foto-elektrische cellen is 20%.

• Blijft over ca. 45 W/m

Oppervlakte met foto-elektrische cellen is ruim 200 m

/persoon oftewel zo’n

2 000 000 km

(Algerije & Libya)

Wereldenergieverbruik (binnenkort):

10

kW = 100 TW = 30 x 10

J/jr

10 kW/persoon

1.6 Krachten: verandering van energie en impuls

Zonder externe invloed:

• Energie en impuls zijn behouden

Via krachten

• energie kan worden overgedragen (slepen)

• impuls kan worden overgedragen (stoten)

Totaal van energie en impuls zijn behouden (maar massa niet!)

Niets voor niets!

Hoofdstuk 1: opgaven

1^e opgave:

behoud van energie

2^e opgave:

dit is klassieke mechanica ten top

Maar werkt ook voor baan van een ster om het zwarte gat in Sagittarius A^* in het centrum van

ons Melkwegstelsel. De massa van dit zwarte gat is circa 4 x 10⁶ zonnemassa’s.

27

Hoofdstuk 7

Samen meer: complexiteit

In het voorgaande is een sterk reductionistische aanpak gebezigd. Maar dat is zeker niet het enige relevante in de natuurkunde. Met name als het aantal vrijheidsgraden toeneemt, bijvoorbeeld doordat we met veel deeltjes te maken hebben of omdat er voor deeltjes veel toestanden mogelijk zijn, komen er een allerlei andere aspecten aan de orde. Nog steeds blijven basisconcepten van groot belang. Bijvoorbeeld ook in een complex systeem als onze atmosfeer is het mogelijk de energiebalans op te maken (zie kader).

Energiebalans in atmosfeer

Ruimte Zon

100 = 350 W/m² Aarde

Atmosfeer

30 100% 64

50 14 6

30 6

14 20

Van de ca. 1 400 W/m² bij loodrechte inval (of van de gemiddelde inval van 350 W/m²) komt 50% op Aarde. Ca. 30% wordt direct weerkaatst en 20% wordt geabsorbeerd. De Aarde raakt die warmte weer kwijt door verdamping (24%) en directe warmteafgifte (6%) en door het uitzenden van infrarode straling (20%), die grotendeels eerst weer wordt geabsorbeerd (14%), waarna alle opgenomen warmte in de atmosfeer (64%) uiteindelijk door de atmosfeer wordt uitgestraald als infrarode straling.

Roger Penrose, Reinhard Genzel, Andrea Ghez

Nobelprijs 2020

28

Hoofdstuk 2: de grote theorieen

Raamwerk voor de beschrijving van gebeurtenissen

Speciale relativiteitstheorie: positie en tijd relatief, maar events zijn uniek Quantummechanica: observabelen, speciale rol voor behouden grootheden Quantumveldentheorie (combinatie van voorgaande)

Speciale relativiteitstheorie

beweging in ruimte en tijd relatief: (t,x) versus (t’,x’) Maar c

t

– x

= c

t

verandert niet is ‘speciaal’.

Tijddilatatie en lengtecontractie (in bewegingsrichting)!

Snelheden kun je niet meer zomaar optellen!

Energie en impuls zijn ook speciaal: E

– p

c

= M

c

…

29

Speciale relativiteitstheorie

beweging in ruimte en tijd relatief: (t,x) versus (t’,x’) Maar c

t

– x

= c

t

verandert niet is ‘speciaal’.

Tijddilatatie en lengtecontractie (in bewegingsrichting)!

Snelheden kun je niet meer zomaar optellen!

Energie en impuls zijn ook speciaal: E

– p

c

= M

c

30

2.1: Relativiteitstheorie

31

22 HOOFDSTUK 2. DE GROTE THEORIE ¨EN

tijd

afstand tijd

afstand 5 km

UNIVERSITEIT

5 km

STATION STATION

UNIVERSITEIT

25 min

25 min

fijn ok, ik ben

we komen terug we komen terug

onderweg

kom je me ophalen fijn

kom je me ophalen

onderweg ok, ik ben

Figuur 2.1: Een trip van universiteit naar station. Ruimte-tijd diagrammen zijn gegeven voor de ‘universiteit’, het ‘station’ en de ‘reiziger’, allemaalin blauw. De rode punten op die lijnen geven tijdstippen aan met 5 minuten tussenpauzes. De trip van universiteit naar station duurt 25 minuten. De uitgewisselde berichtjes zijn op deze schaal instantaan. In het referentiesysteem links zijn ‘universiteit’ en ‘station’ in rust (dus vaste posities), terwijl in het referentiesysteem rechts alles vanuit de ‘reiziger’ is bekeken. Dit is de relativiteit in de klassieke mechanica.

experimentele aanwijzingen voorhanden, ook al laten de eerdere theorie¨en nog diverse vragen onbeantwoord, zoals we met name in hoofdstuk 4 zullen zien.

2.1 Speciale relativiteitstheorie

Om de speciale relativiteitstheorie uit te leggen vergelijken we een tochtje in de stad met een reis naar een (denkbeeldige) ster op 3 lichtjaar afstand. In figuur 2.1 hebben we onze trip in de stad beschreven, van universiteit naar station om een bezoeker op te halen.

Onderweg worden wat berichtjes uitgewisseld. De verschillen tussen beide diagrammen zijn het gekozen referentiesysteem, respectievelijk ‘de stad’ of ‘de reiziger’. De informatie is dezelfde. Dat wordt bedoeld met relativiteit.

We gaan nu een reis naar een ster op 3 lichtjaren afstand maken. Daarvoor hebben we een raket ter beschikking die een snelheid van 0,6 van de lichtsnelheid kan bereiken, zodat we de reis in principe in 5 jaar kunnen voltooien. Vanzelfsprekend zijn we er op voorbereid dat de berichtjes er wat langer over doen. Bijvoorbeeld het bericht of ‘we iemand kunnen komen ophalen’ is 3 jaar geleden verstuurd. We bekijken de reis weer vanuit twee verschillende referentiesystemen, dat van ‘aarde (ster)’ of dat van de ‘raket (reiziger)’, weergegeven in figuur 2.2. Een belangrijk verschil met het vorige voorbeeld is dat de signalen die (met de lichtsnelheid) verstuurd worden geen horizontale lijnen meer zijn, maar lijnen onder een hoek, namelijk een hoek van 45 graden in beide figuren,

O _O

l

signal

#

horizontal

RE ^{LAT I V ITE IT}

-

Ca ^{ALLI LED}

2.1: Speciale relativiteitstheorie

32

2.1. SPECIALE RELATIVITEITSTHEORIE 23

tijd

afstand

tijd

afstand v = 0,6 c

= 1,25

STER AARDE

γ

2,4 lj 3 lj

STER

v = 0,6 c

AARDE

ok, ik ben we komen terug

onderweg ok, ik ben we komen terug

fijn fijn

kom je me ophalen kom je me

onderweg

ophalen

Figuur 2.2: Een trip naar een ster op afstand van 3 lj. Ruimte-tijd diagrammen zijn gegeven voor de ‘Aarde’, de ‘ster’ en de ‘reiziger’, allemaal in blauw. De rode punten op de lijnen geven tijdstippen aan met 1 jaar tussenpauzes. De reis naar de ster met een snelheid van 0,6 c duurt 5 jaren. Maar dat is vanuit de Aarde (of ster) gezien (het referentiesysteem links). Voor de reiziger duurt het maar 4 jaar vanwege het e↵ect dat bewegende klokken langzamer lopen, de enige manier om de tijdstippen links en rechts kloppend te krijgen (!).

De uitgewisselde berichtjes zijn lijnen onder 45 graden. In het referentiesysteem links zijn

‘Aarde’ en ‘ster’ in rust (vaste posities). In het referentiesysteem rechts is alles vanuit de

‘raket (reiziger)’ bekeken. Merk op dat in het rechterplaatje nu de Aarde en ster bewegen en dat nu juist hun klokken langzamer bewegen. De berichten bewegen nog steeds langs lijnen onder 45 graden. En, zoals te zien is bij het vergelijken van de plaatjes links en rechts, kloppen nu alle tijdsintervallen tussen de diverse gebeurtenissen (events) helemaal. Dat komt juist doordat klokken niet synschroon lopen. Dat is de speciale relativiteitstheorie.

waar we ‘jaren’ en ‘lichtjaren’ hebben gekozen als maat langs de assen. Maar juist die hoek is dezelfde in beide referentiesystemen, want de lichtsnelheid is hetzelfde voor alle waarnemers, het uitgangspunt van de speciale relativiteitstheorie. Het vereist dat de afstanden tussen de tijdstippen voor bewegende klokken groter zijn dan voor stationaire klokken (vertikale lijnen), dus bewegende klokken lopen langzamer.

Een van de consequenties van het feit dat de lichtsnelheid dezelfde is in alle referentie- systemen, is dat de tijd voor een bewegende klok langzamer moet lopen, wat meestal wordt ge¨ıllustreerd met een eenvoudig gedachtenexperiment. We zullen dat hier niet herhalen, maar geven gewoon de factor die hierbij een rol speelt. Dat is de befaamde gammafactor voor tijddilatatie en ruimte-contractie,

= 1

p1 ² = 1

p1 v²/c², (2.1)

die afhankelijk is van de verhouding = v/c (zie kader over speciale relativiteitstheorie).

4jaan-ctyddilatah.es

,^.

signal

uimcteontraotie → ^LORENTZ

450

SPECIALE ^REL

^TH

.

• a

1

f- ftp.o-v#.To=oIo.---f

=

4,25

2.1: Speciale relativiteitstheorie

33

2.2. QUANTUMMECHANICA 25

afstand afstand

tijd tijd

Ster

3 lj Aarde Ster

Aarde

x’

x t t’

Figuur 2.3: De trip op en neer naar een ster. Aan de diagrammen in figuur 2.2 is nu de terugreis toegevoegd. In het tweede geval hebben we het referentiesysteem ongewijzigd gelaten. We zien nu dat de terugkerende raket een snelheid van 0,6 c + 0,6 c = 0,88 c (zie kader over speciale relativiteitstheorie) moet hebben om de aarde ‘in te halen’. Net als in het voorgaande kloppen alle gebeurtenissen, inclusief het versturen en ontvangen van diverse berichtjes (in de figuur als magenta lijntjes aangegeven).

Voor snelheid v = 0, is de gammafactor gelijk aan 1, voor een snelheid v/c = 0,6 is de gammafactor al 1,25, voor een snelheid v/c = 0,99 is de gammafactor al 7,1. Voor v = c wordt oneindig. De bewegende klok loopt dan ook langzamer en als gevolg daarvan is onze reiziger bij aankomst bij de ster niet 5, maar slechts 5/1,25 = 4 jaar ouder. In de figuur 2.2 zien we dat de tijdsintervallen voor bewegende klokken (niet-vertikale lijnen) groter zijn. Voor de met de lichtsnelheid bewegende berichtjes staat de klok zelfs stil.

Door de terugreis er aan toe te voegen (figuur 2.3) zien we dat de persoon die met de raket op en neer geweest is uiteindelijk na 8 jaar terug is op Aarde, terwijl daar inmiddels 10 jaar zijn verstreken (de tweeling paradox, raar maar waar). Het maakt niet uit of we dat vanuit het referentiesysteem van de Aarde (en Ster) bekijken of dat we in een bewegend referentiesysteem werken, al is het daarbij wel essenti¨eel om in ´e´en plaatje niet van referentiesysteem te wisselen. Verder is het een kwestie van gewoon systematisch te werk gaan in beide referentiesystemen.

2.2 Quantummechanica

Is speciale relativiteitstheorie misschien al vreemd, quantummechanica is veel ingrijpender wat concepten betreft. In de klassieke mechanica zijn we gewend een object te beschrijven met een ‘positie’ (zeg de coordinaten x, y en z van de vector r) en een snelheid (de componenten vx, vy en vz van de vector v) waaruit dan ook andere grootheden kunnen worden berekend zoals impuls (de componenten px = m vx, py = m vy, pz = m vz van de

-

n

8 jaar ^{op Aarde}

TO jaarvoorreiziger

0,6

^0,6C

^0,88

Opgave 2.1

34

Opgave 2.1

We bekijken in deze opgave tijd-dilatatie en ruimte-contractie voor een trein die door een tunnel beweegt. De trein is 900 m lang en de tunnel is 720 m lang. De tunnel heeft 2 sporen en op het ene spoor staat een trein, ook 900 m lang stil. Van die trein bevindt zich dus 180 m buiten de tunnel.

We bekijken het probleem allereerst vanuit de tunnel, waar een stilstaande trein van 900 m staat en de andere trein komt aanstormen met 0,6 c (zestiende van de lichtsnelheid, 180 m in 1 µs). Gezien vanuit de bij tunnel staande waarnemer lijkt de lengte van de bewegende trein slechts 720 m, precies de lengte van de tunnel! Op tijdstip 0,0 passeert de rijdende trein het uitstekende eindpunt van de stilstaande trein. Met de snelheid van 0,6 c gaat de trein na 1,0 µs de tunnel in en komt er na 5,0 µs weer uit. Het lijkt alsof we de trein zouden kunnen opbergen in de tunnel, als die bij exit abrupt stopt (laten we even aannemen dat dit abrupt stoppen kan!). Zit de trein nu in de tunnel? Het zou vreemd zijn, want als we het omdraaien ziet de machinist van de trein de tunnel op zich afkomen met 0,6 c, maar die is slechts 576 m lang. De stilstaande trein is 720 m lang. Wat gebeurt er als de machinist inderdaad de trein bij exit stilzet. Hij doet dit door de trein in z’n geheel 3,2 µs na binnengaan van tunnel stil te zetten, dat is 4,0 µ s na passeren van eindpunt van stilstaande trein.

Schets de situaties en klokstanden voor waarnemer bij tunnel en voor de machinist.

Dat maakt het mogelijk om het geheel te begrijpen. Hieronder het begin van beide situatie schetsen.

900 m

576 m 720 m

= v

c = 0.6

= 1

q

1 ^v_c2²

= 1.25

<latexit sha1_base64="9nnae3aHDyNc+rEDM9W48yw4Vto=">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</latexit>

3,2

train tunnel clocks

576 m 900 m

0,8 1,0

0,0 0,0 0,0

4,0

trein (in rust)

720 m 720 m

0,0 0,0

0,8 1,0

0,0

tunnel (in rust)

(oplossing)

De oplossing voor het systeem waar de tunnel in rust is, is gegeven in de volgende figuur.

De uitgangspunten zijn dat voor tunnel en stilstaande trein horizontale lijnen dezelfde tunnel-tijden hebben, terwijl de trein-tijden op de klokken in de trein en voor de machinist langzamer lopen. De rest is een beetje puzzelen.

5

Trein en tunnel

Bestaat ook in variant ‘ladder en garage’

-

:

2.2 Quantummechanica

Quantummechanica Toestanden |y>

Quantumgetallen:

NIET (net als bij golven); x en p operatoren:

Impulsmoment quantumgetallen discreet!

baanimpulsmoment elektron: met m heeltallig spin van elektron:

Superpositie: c

|y

> + c

|y

>

Speciale operatoren/symmetrie:

35

H = i ~ @

@t , p

= i ~ @

@x , `

= i ~ @

@'

|x, y, zi of |p

, p

, p

i

|x, p

i

x p

= ~/2

<latexit sha1_base64="lDIChncdLVYcqV6MgeP/TUnVlrs=">AAACB3icbZC7SgNBFIZn4y3G26qlIINBsJC4G0VthIAWlhHMBbLLMjs5SYbMXpiZlYQlnY2vYmOhiK2vYOfbOEm20MQfBj7+cw5nzu/HnEllWd9GbmFxaXklv1pYW9/Y3DK3d+oySgSFGo14JJo+kcBZCDXFFIdmLIAEPoeG378e1xsPICSLwns1jMENSDdkHUaJ0pZn7js3wBXBA+c4o9gb4Cvs9HwiTsqeWbRK1kR4HuwMiihT1TO/nHZEkwBCRTmRsmVbsXJTIhSjHEYFJ5EQE9onXWhpDEkA0k0nd4zwoXbauBMJ/UKFJ+7viZQEUg4DX3cGRPXkbG1s/ldrJapz6aYsjBMFIZ0u6iQcqwiPQ8FtJoAqPtRAqGD6r5j2iCBU6egKOgR79uR5qJdL9mnJujsrVs6zOPJoDx2gI2SjC1RBt6iKaoiiR/SMXtGb8WS8GO/Gx7Q1Z2Qzu+iPjM8fdHqXtw==</latexit>

`

= m ~

<latexit sha1_base64="PTMJaVJbmPc0v1GTlwIqYa5cn9w=">AAAB+nicbVBNS8NAEJ3Ur1q/Uj16WSyCBymJinoRCl48VrAf0ISw2W7bpZtN2N0oNfanePGgiFd/iTf/jds2B219MPB4b4aZeWHCmdKO820VlpZXVteK66WNza3tHbu821RxKgltkJjHsh1iRTkTtKGZ5rSdSIqjkNNWOLye+K17KhWLxZ0eJdSPcF+wHiNYGymwyx7lPHhEVyjyjr1BiGVgV5yqMwVaJG5OKpCjHthfXjcmaUSFJhwr1XGdRPsZlpoRTsclL1U0wWSI+7RjqMARVX42PX2MDo3SRb1YmhIaTdXfExmOlBpFoemMsB6oeW8i/ud1Ut279DMmklRTQWaLeilHOkaTHFCXSUo0HxmCiWTmVkQGWGKiTVolE4I7//IiaZ5U3dOqc3tWqZ3ncRRhHw7gCFy4gBrcQB0aQOABnuEV3qwn68V6tz5mrQUrn9mDP7A+fwAHJJMo</latexit>

s

= m

~ with m

= ±

(toestanden |±i

)

<latexit sha1_base64="B9FFIYx+DYy1+Y+5LVSDs6ZyFpM=">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</latexit>

Ix > of ^{Ip >}

-

Be 1x,p>X

↳

x ^-

comptgexfailen ^{Merk op}

Cindusief ^{i ? )} HFE ^GI

^ta

l

^y

2.2 Quantummechanica: spin

36

Spin toestanden:

Spin component langs z-as kan alleen up of down zijn |+

>

of |-

>

2-dimensionale ruimte

Consequenties voor metingen!

In EPR metingen

28 HOOFDSTUK 2. DE GROTE THEORIE ¨EN

van deze toestanden en s_z meten blijkt dat deze toestanden zich gedragen als

| " i^x = q1

2 | " i^z + q1

2 | # i^z en | # i^x = q1

2 | " i^z

q1

2 | # i^z.

Idem dito blijken er twee s_y-toestanden te bestaan, die ook uitgedrukt kunnen worden als s_z-toestanden,

| " iy = q1

2 | " iz + i q1

2 | # iz en | # iy = q1

2| " iz i q1

2 | # iz,

waarbij nu een van de coefficienten een imaginair complex getal is. Een geselecteerde s_x- of s_y-toestand geeft bij meting van s_z de waarden ±¹₂¯h met kansen van 50%.

Een spinmeting in een willekeurige richting ˆn geeft ook twee uitkomsten voor s_n = s· ˆn.

Als de richting gekarakteriseerd wordt met poolco¨ordinaten ✓ (hoek tussen ˆn en z-as) en ' (rotatiehoek om de z-as vanaf x-as) worden de spin-up toestand langs die richting,

|sn = +¹₂ ¯hi = |" in, gegeven door

| " in = cos (✓/2) | " iz + sin (✓/2) e^i'| # iz.

Voor degenen die vertrouwd zijn met methoden in de lineaire algebra, is de quantum- mechanica voor een spin 1/2 systeem (zoals een elektron) het werken met de twee complexe getallen c₊ en c , die de toestand in de 2-dimensionale spinruimte vastleggen (na de keuze van de basistoestanden). De spin zelf, of preciezer de drie spincomponenten, kunnen dan worden beschreven als 2 ⇥ 2 matrices (de Pauli matrices). Het is het bekendste voorbeeld van de matrix quantummechanica van Heisenberg. Een systeem van spins is een voorbeeld van de qubits in de quantum informatica.

In het geval van oneindig veel basistoestanden, bijvoorbeeld als het om toestanden met welbepaalde positie, |xi, of om impulstoestanden |pxi gaat, is de meest algemene toestand ook een lineaire combinatie van |xi toestanden,

| i =

Z +1 1

dx (x)|xi.

We hebben hier een integraal wat in feite niets anders is dan een oneindige som over toestanden. De complexe getallen (x) zijn niets anders dan de continue versie van de discrete coefficienten c₊ en c hierboven. In het continue geval zijn de oneindig vele coefficienten (x) precies de functiewaarden van een functie, de gol↵unctie . Nog steeds wordt (net als bij de c’tjes) de waarschijnlijkheid dat het systeem in toestand|xi is gegeven door | (x)|². Dat is dus de waarschijnlijkheid dat een positiemeting x oplevert. De som van alle waarschijnlijkheden moet weer 1 opleveren,

Z +1 1

dx | (x)|² = 1,

voor een genormeerde gol↵unctie. Dit is de golfmechanica van Schr¨odinger. Maar in termen van Dirac’s ket-toestanden is er in wezen geen enkel verschil met de matrix- mechanica van Heisenberg, behalve een eindig aantal spin-toestanden versus een oneindig aantal positie-toestanden

28 HOOFDSTUK 2. DE GROTE THEORIE ¨EN

van deze toestanden en s_z meten blijkt dat deze toestanden zich gedragen als

| " i^x = q1

2| " i^z + q1

2 | # i^z en | # i^x = q1

2 | " i^z

q1

2| # i^z.

Idem dito blijken er twee s_y-toestanden te bestaan, die ook uitgedrukt kunnen worden als s_z-toestanden,

| " iy = q1

2| " iz + i q1

2 | # iz en | # iy = q1

2 | " iz i q1

2 | # iz,

waarbij nu een van de coefficienten een imaginair complex getal is. Een geselecteerde s_x- of s_y-toestand geeft bij meting van s_z de waarden ±¹₂¯h met kansen van 50%.

Een spinmeting in een willekeurige richting ˆn geeft ook twee uitkomsten voor s_n = s· ˆn.

Als de richting gekarakteriseerd wordt met poolco¨ordinaten ✓ (hoek tussen ˆn en z-as) en ' (rotatiehoek om de z-as vanaf x-as) worden de spin-up toestand langs die richting,

|sn = +¹₂ ¯hi = |" in, gegeven door

| " in = cos (✓/2) | " iz + sin (✓/2) e^i'| # iz.

Voor degenen die vertrouwd zijn met methoden in de lineaire algebra, is de quantum- mechanica voor een spin 1/2 systeem (zoals een elektron) het werken met de twee complexe getallen c₊ en c , die de toestand in de 2-dimensionale spinruimte vastleggen (na de keuze van de basistoestanden). De spin zelf, of preciezer de drie spincomponenten, kunnen dan worden beschreven als 2 ⇥ 2 matrices (de Pauli matrices). Het is het bekendste voorbeeld van de matrix quantummechanica van Heisenberg. Een systeem van spins is een voorbeeld van de qubits in de quantum informatica.

In het geval van oneindig veel basistoestanden, bijvoorbeeld als het om toestanden met welbepaalde positie, |xi, of om impulstoestanden |pxi gaat, is de meest algemene toestand ook een lineaire combinatie van |xi toestanden,

| i =

Z +1 1

dx (x)|xi.

We hebben hier een integraal wat in feite niets anders is dan een oneindige som over toestanden. De complexe getallen (x) zijn niets anders dan de continue versie van de discrete coefficienten c₊ en c hierboven. In het continue geval zijn de oneindig vele coefficienten (x) precies de functiewaarden van een functie, de gol↵unctie . Nog steeds wordt (net als bij de c’tjes) de waarschijnlijkheid dat het systeem in toestand |xi is gegeven door | (x)|². Dat is dus de waarschijnlijkheid dat een positiemeting x oplevert. De som van alle waarschijnlijkheden moet weer 1 opleveren,

Z +1 1

dx | (x)|² = 1,

voor een genormeerde gol↵unctie. Dit is de golfmechanica van Schr¨odinger. Maar in termen van Dirac’s ket-toestanden is er in wezen geen enkel verschil met de matrix- mechanica van Heisenberg, behalve een eindig aantal spin-toestanden versus een oneindig aantal positie-toestanden

28 HOOFDSTUK 2. DE GROTE THEORIE ¨ EN

van deze toestanden en s

meten blijkt dat deze toestanden zich gedragen als

| " i

= q

2

| " i

+ q

2

| # i

en | # i

= q

2

| " i

q

2

| # i

.

Idem dito blijken er twee s

-toestanden te bestaan, die ook uitgedrukt kunnen worden als s

-toestanden,

| " i

= q

2

| " i

+ i q

2

| # i

en | # i

= q

2

| " i

i q

2

| # i

,

waarbij nu een van de coefficienten een imaginair complex getal is. Een geselecteerde s

- of s

-toestand geeft bij meting van s

de waarden ±

h met kansen van 50%. ¯

Een spinmeting in een willekeurige richting ˆ n geeft ook twee uitkomsten voor s

= s · ˆ n.

Als de richting gekarakteriseerd wordt met poolco¨ordinaten ✓ (hoek tussen ˆ n en z-as) en ' (rotatiehoek om de z-as vanaf x-as) worden de spin-up toestand langs die richting,

|s

= +

¯ h i = |" i

, gegeven door

| " i

= cos (✓/2) | " i

+ sin (✓/2) e

| # i

.

Voor degenen die vertrouwd zijn met methoden in de lineaire algebra, is de quantum- mechanica voor een spin 1/2 systeem (zoals een elektron) het werken met de twee complexe getallen c

en c , die de toestand in de 2-dimensionale spinruimte vastleggen (na de keuze van de basistoestanden). De spin zelf, of preciezer de drie spincomponenten, kunnen dan worden beschreven als 2 ⇥ 2 matrices (de Pauli matrices). Het is het bekendste voorbeeld van de matrix quantummechanica van Heisenberg. Een systeem van spins is een voorbeeld van de qubits in de quantum informatica.

In het geval van oneindig veel basistoestanden, bijvoorbeeld als het om toestanden met welbepaalde positie, |xi, of om impulstoestanden |p

i gaat, is de meest algemene toestand ook een lineaire combinatie van |xi toestanden,

| i =

Z

dx (x) |xi.

We hebben hier een integraal wat in feite niets anders is dan een oneindige som over toestanden. De complexe getallen (x) zijn niets anders dan de continue versie van de discrete coefficienten c

en c hierboven. In het continue geval zijn de oneindig vele coefficienten (x) precies de functiewaarden van een functie, de gol↵unctie . Nog steeds wordt (net als bij de c’tjes) de waarschijnlijkheid dat het systeem in toestand |xi is gegeven door | (x)|

. Dat is dus de waarschijnlijkheid dat een positiemeting x oplevert. De som van alle waarschijnlijkheden moet weer 1 opleveren,

Z

1

dx | (x)|

= 1,

voor een genormeerde gol↵unctie. Dit is de golfmechanica van Schr¨odinger. Maar in termen van Dirac’s ket-toestanden is er in wezen geen enkel verschil met de matrix- mechanica van Heisenberg, behalve een eindig aantal spin-toestanden versus een oneindig aantal positie-toestanden

( Hilbert sainte)

IT

>

fzl ^Mx

fz ^{It >}

is :÷÷÷÷÷±÷ii:÷ ^:*

^.

p%s

^{Today (}

^lit

^{in syllabus )}

2.3: Quantumveldentheorie

38

2.3. QUANTUMVELDENTHEORIE 31

|0i

(t, . . .) = X

...

f

(t, . . .) a

+ f

(t, . . .) a

quantumveld

a

a

| . . .i

toestand

ruimte-tijd

energie, impuls, spin, ladingen

creatie-operator annihilatie-operator

samenhang in golffuncties f

fermion

deeltje C-symmetrie anti-deeltje

boson

SUSY

SUSY

rechts(om) links(om)

massa

P-symmetrie/chiraliteit or

+ - (p_x, p_y, p_z)

(x, y, z) rotatie-symmetrie SO(3)

kleurlading SU(3) lading ijksymme U(1)

trie

Figuur 2.4: Een collage van begrippen die een rol spelen in quantumveldentheorie. Cen- traal staat het vacuum wat de rusttoestand of laagste energietoestand is voor velden en waarin de mogelijke excitaties en de symmetrie¨en verstopt zitten in een landschap be- schreven met een functie, de lagrangiaan. Vergelijk het met een viool of zelfs een heel orkest, waar een samenspel van tonen en intervallen een prachtige symfonie oplevert.

bepaalde tijden en plaatsen samenhangen in frequentie en golflengte. Bovendien kunnen de quantumvelden deze deeltjes en antideeltjes ook weer vernietigen (annihileren), al gaat het cre¨eren en annihileren netjes volgens stricte regels die behoud van energie, impuls, ladingen en nog diverse andere grootheden garanderen.

Terwijl in de gewone quantummechanica de spin vrijheidsgraad in wezen een onafhan- kelijke nieuwe vrijheidsgraad was, is die in quantumveldentheorie¨en verwoven met plaats en tijd (of energie en impuls). Spin en baanimpulsmoment kunnen in principe niet meer afzonderlijk worden gemeten, dat is enkel voorbehouden aan het totale impulsmoment van een systeem. En als klap op de vuurpijl komt daar ook nog eens het zogeheten spin-statistiek theorema bij: het blijkt dat de gol↵unctie van een systeem opgebouwd uit identieke deeltjes met heeltallige spin onder verwisseling van twee zulke deeltjes niet verandert (Bose-Einstein statistiek), terwijl de gol↵unctie van een systeem opgebouwd uit identieke deeltjes met halftallige spin onder verwisseling van twee indentieke excita- ties verandert in minus zichzelf (Fermi-Dirac statistiek). Het bekendste voorbeeld van dit laatste geval is de situatie van elektronen in een atoom. Als twee elektronen in een atoom in banen a en b zitten beschrijft het product van de gol↵unctie de excitatie van twee elektronen, de twee-elektron toestand. Maar als ze in dezelfde baan zitten, heb- ben ze dezelfde gol↵uncties en zou (r

, r

) =

(r

)

(r

) dus gelijk moeten zijn aan (r

, r

) =

(r

)

(r

). Dat kan alleen als de gol↵unctie nul is. Zo’n twee-elektron

Volgende _week

2.4: Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie

Ruimte en tijd gekoppeld aan materie

39

R

g

R + g

⇤ = 8⇡ G

T

afstand

cosmologische constante

energie-impuls (massa)

kromming

Not gender _{week !}

ELEKTRON MATERIE

ATOOM 10

m

ATOOMKERN 10

m

NEUTRINO

NUCLEON

proton/neutron 10

m

ELEKTRON MATERIE

ATOOM 10

m

ATOOMKERN 10

m

NEUTRINO

NUCLEON

proton/neutron

10

m QUARK

up/down

< 0,000 000 000 000 000 001 m

Volgende week!