Stroming van water rond een cilindervormige brugpijler

Stroming van water rond een cilindervormige brugpijler

Hans Oosterhuis

Bachelorscriptie Technische Wiskunde

Augustus 2009

Stroming van water rond een cilindervormige brugpijler

Samenvatting

In deze bachelorscriptie gaan we een wiskundige beschrijving geven van de stroming van water rond cilindervormige brugpijlers. Allereerst gaan we een betrekkelijk eenvoudig model opstellen voor golven in water van constante eindige diepte. Met behulp van dat model gaan we bekijken wat er gebeurt wanneer we een eenvoudige golf tegen ´e´en of meerdere cilinders aan laten stromen. We gaan bepalen hoe het wateroppervlak rond de cilinder(s) eruit ziet en uitrekenen hoe hoog het water tegen de cilinder(s) omhoog stroomt. Ook gaan we voor de situatie van ´e´en cilinder uitrekenen hoe groot de kracht is die op de cilinder werkt, doordat er golven tegenaan stromen, en zullen we nagaan hoe die kracht be¨ınvloed wordt door de golflengte en de grootte van de cilinder. Ten slotte gaan we de stroming rond een cilinder numeriek (op de computer) uitrekenen met behulp van het simulatieprogramma Comflow.

De resultaten daarvan vergelijken we met de resultaten die we met ’pen en papier’ gevonden hebben.

Bachelorscriptie Technische Wiskunde Auteur: Hans Oosterhuis

Begeleiders: dr. ir. R. Luppes en prof. dr. A. E. P. Veldman Datum: Augustus 2009

Instituut voor Wiskunde en Informatica Postbus 407

9700 AK Groningen

Inhoudsopgave

1 Inleiding 1

2 Het model 3

2.1 Basisvergelijkingen . . . 3

2.2 Gelineariseerde golven . . . 4

2.3 Eindige diepte . . . 5

3 Diffractie ten gevolge van ´e´en cilinder 9 3.1 Diffractiepatroon . . . 9

3.1.1 Grafische weergave . . . 12

3.2 Run-up . . . 13

3.2.1 Enkelvoudige ingaande golf . . . 13

3.2.2 Andere ingaande golf . . . 16

3.3 Krachten . . . 18

4 Diffractie ten gevolge van twee cilinders 23 4.1 Diffractiepatroon . . . 23

4.2 Speciale gevallen . . . 29

4.3 Grafische weergave . . . 30

4.3.1 Hoek van de ingaande golf β = 0 . . . 30

4.3.2 Hoek van de ingaande golf β = −^π₄ . . . 34

4.3.3 Hoek van de ingaande golf β = −^π₂ . . . 37

5 Comflow 41 5.1 E´en cilinder . . . 41

5.2 Twee cilinders . . . 44

6 Conclusies 47

iii

iv INHOUDSOPGAVE

Hoofdstuk 1

Inleiding

Als je boven op een brug met cilindervormige pijlers staat, dan kun je soms in het water mooie diffractiepatronen zien. Die worden veroorzaakt doordat golven, bijvoorbeeld veroorzaakt door een boot, tegen de brugpijlers aanstromen en daardoor in alle richtingen verstrooid worden en dan met elkaar gaan interfereren. Ze zullen elkaar op bepaalde plekken versterken en op andere plekken juist uitdoven, zodat er een diffractiepatroon ontstaat.

In de komende hoofdstukken gaan we een wiskundige beschrijving geven van de stroming van water rond zo’n cilindervormige brugpijler, met behulp van potentiaaltheorie. Daartoe gaan we eerst een model opstellen voor golven in water van constante eindige diepte, waarbij we een aantal aannames maken om het model te kunnen lineariseren, omdat het anders veel te ingewikkeld wordt. Met dat model kunnen we een algemene formule bepalen voor golven in water van constante eindige diepte. Vervolgens laten we een eenvoudige sinusgolf tegen een cilinder aanstromen (de ingaande golf), waardoor een diffractiegolf onstaat. Met behulp van ons model kunnen we bepalen hoe die diffractiegolf eruit ziet, hierbij moeten we de Laplacevergelijking oplossen in poolco¨ordinaten. De volledige stroming rond de cilinder wordt dan gegeven door de superpositie van de ingaande golf en de diffractiegolf.

We gaan allereerst kijken naar de situatie met ´e´en cilinder. Voor dit geval gaan we ook een formule afleiden voor de kracht die op de cilinder werkt als gevolg van de golven die er tegegaan stromen. We zullen kijken hoe die kracht afhangt van de golflengte en de cilinderstraal.

Vervolgens zullen we het probleem uitbreiden naar twee cilinders, met willekeurige straal en positie ten opzichte van elkaar. Voor beide situaties zullen we analytisch een formule opstellen die de vorm van het wateroppervlak rond de desbetreffende cilinder beschrijft. Ook gaan we in beide gevallen kijken hoe ver het water bij de pijlers omhoog stroomt, de zogenaamde run-up.

Dit is interessant om naar te kijken, omdat we hiermee bijvoorbeeld kunnen nagaan hoe hoog een boorplatform boven het zeeniveau moet liggen om te voorkomen dat hij van onderen nat wordt wanneer er op zee hoge golven zijn, die tegen de steunpilaren van het platform omhoog stromen. Hierbij moeten we ons wel realiseren dat we lineaire theorie gebruiken, die slechts een benadering van de werkelijkheid is. Een benadering die slechter wordt, naarmate we met grotere en hogere golven te maken hebben.

Ten slotte gaan we kijken naar het numerieke aspect. We willen de waterstroming op de computer simuleren met behulp van het programma Comflow. Met dit programma kan men waterstromingen en golven behoorlijk natuurgetrouw simuleren, zonder allerlei beperkende aannames en vereenvoudigingen. Het programma gebruikt geen lineaire theorie maar de Navier-Stokes vergelijkingen. Dit zijn niet-lineaire parti¨ele differentiaalvergelijkingen die de

1

2 HOOFDSTUK 1. INLEIDING stroming van vloeistoffen beschrijven. De resultaten hiervan gaan we vergelijken met de analytische oplossingen die volgen uit de potentiaaltheorie. Op deze manier kunnen we nagaan in hoeverre de gelineariseerde theorie een goede beschrijving van de werkelijkheid geeft.

Hoofdstuk 2

Het model

2.1 Basisvergelijkingen

We gaan eerst een model maken waarmee het vrije oppervlak van een watermassa berekend kan worden, zie [11]. In rusttoestand ligt het vrije oppervlak op z = 0. Aan de onderkant wordt het water begrensd door de bodem, die gegeven wordt door z = −h(x, y). De vorm van het vrije oppervlak, wanneer het water gaat golven, wordt gegeven door de vergelijking z = η(x, y, t). We doen nu een aantal aannames om het model eenvoudig te houden. We nemen aan dat het water niet-viskeus en onsamendrukbaar is. Verder nemen we aan dat de stroming rotatievrij is, dat betekent dat de snelheid wordt gegeven door de gradi¨ent van een andere functie, oftewel v = ∇Φ. Hierin is Φ de snelheidspotentiaal. Omdat we het water onsamendrukbaar veronderstellen, geldt er dat

∇ · v = 0

Combinatie van deze twee vergelijkingen levert de potentiaalvergelijking op

∆Φ = Φxx+ Φyy+ Φzz = 0. (2.1)

In het water geldt de wet van Bernoulli voor een incompressibele, instationaire, rotatievrije stroming

Φ_t+1

2|∇Φ|²+p

ρ + gz = constant, overal in de vloeistof. (2.2) Om de potentiaalvergelijking op te kunnen lossen, hebben we een aantal randvoorwaarden nodig.

1. Op het wateroppervlak (z = η) is de druk p gelijk aan de atmosferische druk, p_atm. Hieruit kunnen we de dynamische vrije-oppervlakteconditie afleiden

Φt+1

2(Φ²_x+ Φ²_y+ Φ²_z) + gη = 0 op z = η(x, y).

Dit is gewoon de wet van Bernoulli op het wateroppervlak waarbij de constante gelijk is aan ^patm_ρ .

2. Op het vrije oppervlak moet de normaalcomponent van de vloeistofsnelheid gelijk zijn aan de normaalsnelheid van de waterdeeltjes op het vrije oppervlak, dat wil zeggen, een

3

4 HOOFDSTUK 2. HET MODEL deeltje dat op het wateroppervlak ligt moet op het oppervlak blijven. Hieruit kunnen we de kinematische vrije-oppervlakteconditie afleiden

ηt+ Φxηx+ Φyηy = Φz op z = η(x, y).

3. Verder moet de normaalsnelheid op de bodem gelijk aan nul zijn, omdat er niets door de bodem heen kan stromen. Hieruit kunnen we ten slotte de bodemconditie afleiden

Φ_xh_x+ Φ_yh_y+ Φ_z= 0 op z = −h(x, y).

2.2 Gelineariseerde golven

Om het model verder te vereenvoudigen, nemen we aan dat Φ en η en hun afgeleiden klein zijn, zodat we bovenstaande randvoorwaarden kunnen lineariseren. Verder nemen we aan dat de bodem vlak is, oftewel h = constant. We krijgen dan als dynamische randvoorwaarde

Φt+ gη = 0 op z = 0, (2.3)

als kinematische randvoorwaarde

ηt= Φz op z = 0 (2.4)

en als bodemconditie

Φ_z= 0 op z = −h. (2.5)

Uit vergelijking (2.3) en (2.4) kunnen we η elimineren, zodat er een randvoorwaarde voor Φ alleen ontstaat

Φtt+ gΦz= 0 op z = 0. (2.6)

Uit deze vergelijking kunnen we straks de dispersierelatie afleiden, die een verband geeft tussen de golflengte en de voortplantingssnelheid van een golf. Nu kunnen we met behulp van bovenstaande randvoorwaarden de potentiaalvergelijking oplossen en vervolgens met behulp van (2.3) de vorm van het vrije oppervlak, η, bepalen.

We gaan nu de Laplacevergelijking oplossen met behulp van separatie van variabelen. Daartoe schrijven we de oplossing als

Φ(x, y, z, t) = Re{W (x, y)Z(z)T (t)}.

Substitutie hiervan in de potentiaalvergelijking (2.1) levert

W_xx(x, y)Z(z)T (t) + W_yy(x, y)Z(z)T (t) + W (x, y)Z⁰⁰(z)T (t) = 0.

Vervolgens delen we door W (x, y)Z(z)T (t) en krijgen we W_xx(x, y) + W_yy(x, y)

W (x, y) +Z⁰⁰(z) Z(z) = 0.

2.3. EINDIGE DIEPTE 5 We hebben nu een term die van x en y afhangt en een term die van z afhangt. Deze termen moeten aan elkaar gelijk zijn en dat kan alleen als ze beide gelijk zijn aan een constante, dus

Wxx(x, y) + Wyy(x, y)

W (x, y) = −Z⁰⁰(z) Z(z) = C

⇒ Z⁰⁰(z) + CZ(z) = 0.

We moeten nu kiezen of we C positief of negatief nemen. Bij een positieve C wordt de oplossing een complexe e-macht en dus periodiek. We zijn hier niet ge¨ınteresseerd in een oplossing die periodiek is in de z-richting, dus nemen we C negatief, dus C = −k² (met k > 0). We krijgen nu als oplossing

Z⁰⁰(z) − k²Z(z) = 0 ⇒ Z(z) = C₁e^kz+ C₂e^−kz.

De constanten C₁ en C₂ zullen we later specificeren. De functie T (t) kunnen we vinden met behulp van randvoorwaarde (2.6)

W (x, y)Z(z)T⁰⁰(t) + gW (x, y)Z⁰(z)T (t) = 0 op z = 0

⇒ (C₁e^kz+ C2e^−kz)T⁰⁰(t) + gk(C1e^kz− C₂e^−kz)T (t) = 0 op z = 0

⇒ (C₁+ C₂)T⁰⁰(t) + gk(C₁− C₂)T (t) = 0

⇒ T⁰⁰(t) + gk C1− C₂ C1+ C2

T (t) = 0.

Deze vergelijking heeft als oplossing een periodieke functie met een complexe e-macht. We nemen hiervoor e^iωt. De functie T (t) wordt dan

T (t) = D1e^iωt+ D2e^−iωt en de frequentie ω volgt uit

ω² = gk C1− C₂

C₁+ C₂ (2.7)

Dit wordt ook wel de dispersierelatie genoemd. Hierin is k het golfgetal, k = 2π/λ, waarbij λ de golflengte is. We kiezen nu D1 = 0 en D2 = 1, zodat T (t) = e^−iωt.

2.3 Eindige diepte

Omdat we te maken hebben met golven op constante eindige diepte, moet voldaan worden aan bodemvoorwaarde (2.5)

Z⁰(−h) = C₁ke^−kh+ C₂ke^kh= 0

⇒ C₂ = C₁e^−2kh

⇒ Z(z) = C₁e^kz+ C1e^−kz−2kh We kiezen nu C1 = −^ig_{ω 2 cosh kh}^ekh , hiermee krijgen we

Z(z) = −ig ω

e^k(z+h)+ e^−k(z+h)

2 cosh kh = −ig ω

cosh k(z + h) cosh kh

6 HOOFDSTUK 2. HET MODEL

ω²= gk C1− C₂ C1+ C2

= gk e^kh− e^−kh

e^kh+ e^−kh = gk tanh kh Dus de golfsnelheid wordt gegeven door

c ≡ ω k =r g

k tanh kh. (2.8)

De potentiaal wordt nu

Φ(x, y, z, t) = Re



−ig

ω W (x, y) cosh k(z + h) cosh kh e^−iωt



(2.9) Substitutie hiervan in de dynamische randvoorwaarde (2.3) levert

η(x, y, t) = ReW (x, y) e^−iωt

De functie W (x, y) gaan we later bepalen, in het vervolg zullen we die schrijven als η(x, y).

Nemen we voor η(x, y, t) een eenvoudige golf, bijvoorbeeld η^I(x, y, t) = A cos (kx − ωt), dan krijgen we η^I(x, y) = Ae^ikx en de potentiaal hiervan is

Φ^I(x, y, z, t) = Re



−igA ω

cosh k(z + h)

cosh kh e^i(kx−ωt)



. (2.10)

Hierin is A de amplitude van de golf, dat wil zeggen, de maximale uitwijking ten opzichte van hoogte nul. Deze η^I(x, y, t) is de golf die we straks tegen een cilinder aan laten stromen en noemen we ook wel de ingaande golf. Om de notatie in het vervolg wat korter te houden, defini¨eren we een nieuwe potentiaal φ(x, y, z) die niet meer van de tijd afhangt, via

Φ ≡ Reφ e^−iωt , dus φ = −ig

ω η(x, y) cosh k(z + h) cosh kh . De potentiaal van de ingaande golf wordt, in deze notatie

φ^I = −igA ω

cosh k(z + h) cosh kh e^ikx.

We gaan straks bij het bepalen van de functie η(x, y) poolco¨ordinaten gebruiken, omdat we een randvoorwaarde op de cilinderwand krijgen. De ingaande golf wordt in poolco¨ordinaten

η^I = Ae^ikx= Ae^{ikr cos θ}

= A

∞

X

m=0

m(i)^mJm(kr) cos mθ

met m =

 1, m = 0 2, m = 1, 2, ...

[2, vgl. 8.511(4)].

De potentialen worden in poolco¨ordinaten φ(r, θ, z) = −ig

ω η(r, θ) cosh k(z + h)

cosh kh , (2.11)

2.3. EINDIGE DIEPTE 7

φ^I(r, θ, z) = −igA ω

cosh k(z + h)

cosh kh e^{ikr cos θ}. (2.12) De Laplaceoperator is in poolco¨ordinaten

∆ = ∂²

∂r² +1 r

∂

∂r + 1 r²

∂²

∂θ² + ∂²

∂z².

8 HOOFDSTUK 2. HET MODEL

Hoofdstuk 3

Diffractie ten gevolge van ´ e´ en cilinder

Nu we de potentiaal van een golf op constante eindige diepte gevonden hebben, kunnen we gaan kijken naar wat er gebeurt wanneer we zo’n golf tegen een cilindervormig object laten stromen. De potentiaal van het golfpatroon dat we dan krijgen kunnen we opsplitsen in de potentiaal van de ingaande golf φ^I (2.12) en de diffractiepotentiaal, φ^D. Deze diffractiepo- tentiaal is de potentiaal van de golven die veroorzaakt worden door de cilinder.

De totale potentiaal φ (2.11) is gelijk aan de som van φ^I en φ^D.

3.1 Diffractiepatroon

De diffractiepotentiaal volgt nu uit φ^D = φ − φ^I

φ^D(r, θ, z) = −ig ω

cosh k(z + h) cosh kh

h

η(r, θ) − Ae^{ikr cos θ}i

= −igA ω

cosh k(z + h)

cosh kh ψ(r, θ), waarbij

ψ(r, θ) ≡ η(r, θ)

A − e^{ikr cos θ}. (3.1)

Het doel is nu om de functie η(r, θ) te vinden. Dit doen we door een differentiaalvergelijking voor ψ(r, θ) op te stellen en daaruit ψ(r, θ) op te lossen. Vervolgens kunnen we onmiddelijk η(r, θ) vinden met behulp van (3.1) en daaruit de vorm van het vrije oppervlak bepalen.

φ^D is een potentiaal en moet dus voldoen aan de potentiaalvergelijking

∆φ^D = −ig ω

 ∂²

∂r² +1 r

∂

∂r + 1 r²

∂²

∂θ² + ∂²

∂z²



ψ(r, θ) cosh k(z + h) cosh kh = 0

⇒ ∂²

∂r² +1 r

∂

∂r+ 1 r²

∂²

∂θ² + k²



ψ(r, θ) = 0. (3.2)

Omdat er geen water door de cilinderwand kan stromen, moet gelden dat 9

10 HOOFDSTUK 3. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN ´E ´EN CILINDER

∂φ

∂n = 0 op r = a

⇒ ∂φ^D

∂r = −∂φ^I

∂r op r = a.

Hierin is a de straal van de cilinder. Combinatie van (2.11) en (2.12) levert nu op

∂ψ

∂r = − ∂

∂r



e^{ikr cos θ}

= − ∂

∂r

∞

X

m=0

_m(i)^mJ_m(kr) cos mθ

!

op r = a. (3.3)

We proberen nu een oplossing van de vorm

ψ =

∞

X

m=0

mAm Fm(kr) cos mθ. (3.4)

Hierin zijn Am constantes. Substitutie in vergelijking (3.2) levert

 ∂²

∂r² +1 r

∂

∂r −m² r² + k²



F_m(kr) = 0.

Dit is de m-de orde Besselvergelijking. Oplossingen hiervan worden gegeven door lineaire combinaties van de Besselfuncties van de eerste soort en de tweede soort, resp.

Jm(kr) en Ym(kr).

Om de juiste lineaire combinatie te bepalen, kijken we naar de voorwaarde waar ψ aan moet voldoen:

ψ(r, θ) ∼ e^ikr als r → ∞. (3.5)

Het asymptotische gedrag van de Besselfuncties voor r → ∞ wordt gegeven door

Jm(kr) ∼

 2 πkr

1/2

cos

 kr − 1

2mπ −π 4

 , Y_m(kr) ∼

 2 πkr

1/2

sin

 kr − 1

2mπ −π 4

 . Dus de Hankelfunctie

Hm(kr) ≡ Jm(kr) + iYm(kr) ∼

 2 πkr

1/2

eⁱ(^kr−12mπ−^π₄) als r → ∞ en hiermee is dus aan voorwaarde (3.5) voldaan. ψ(r, θ) wordt nu gegeven door

ψ(r, θ) =

∞

X

m=0

mAm Hm(kr) cos mθ. (3.6)

Uit vergelijking (3.3) volgt dat

3.1. DIFFRACTIEPATROON 11

∂ψ

∂r    r=a

= −k

∞

X

m=0

_m(i)^mJ_m⁰ (ka) cos mθ. (3.7) Differentiatie van vergelijking(3.6) naar r levert

∂ψ

∂r    r=a

= k

∞

X

m=0

_mA_mH_m⁰ (ka) cos mθ. (3.8) Door vergelijking (3.7) en (3.8) met elkaar te vergelijken volgt nu dat

A_mH_m⁰ (ka) = −(i)^m J_m⁰ (ka), dus

A_m = −(i)^m J_m⁰ (ka) H_m⁰ (ka) waarbij H_m⁰ (s) ≡ dH_m/ds. Uit vergelijking (3.1) volgt dat

η(r, θ) = A

e^{ikr cos θ}+ ψ(r, θ)

= A

∞

X

m=0

_m(i)^m J_m(kr) − H_m(kr)J_m⁰ (ka) H_m⁰ (ka)

!

cos mθ. (3.9)

De vorm van het vrije oppervlak rond de cilinder wordt nu gegeven door

η(r, θ, t) = Re (

Ae^−iωt

∞

X

m=0

m(i)^m Jm(kr) − Hm(kr)J_m⁰ (ka) H_m⁰ (ka)

! cos mθ

)

. (3.10)

Deze gelineariseerde theorie is door verschillende mensen vergeleken met experimentele resul- taten. Uit experimenteel onderzoek van Chakrabarti en Tam [1] is gebleken dat de theorie een redelijk goede overeenkomst vertoont met de werkelijkheid voor 0.2 < ka < 0.65, waarbij de golfamplitude klein is, 0.1 < kA < 0.38. Ook uit andere experimenten zijn dergelijke conclusies getrokken, zie bijvoorbeeld [4] en [9]. Het is gebleken dat de lineaire theorie over het algemeen niet nauwkeurig is voor het schatten van de run-up (zie paragraaf 3.2.1). Maar, wanneer kA naar nul gaat (oneindig kleine amplitude ten opzichte van de golflengte), be- nadert de lineaire oplossing de werkelijkheid, ongeacht de waarde van ka. Anders gezegd, in de limiet kA → 0 vormt de lineaire theorie een belangrijke basisoplossing.

12 HOOFDSTUK 3. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN ´E ´EN CILINDER 3.1.1 Grafische weergave

Nu we de formule voor het vrije oppervlak gevonden hebben, kunnen we het vrije oppervlak grafisch weergeven, bijvoorbeeld met behulp van Mathematica. Hier volgt een aantal plaat- jes van het vrije oppervlak van een golf die tegen een cilinder aanstroomt, op verschillende tijdstippen. Het tijdsverschil tussen twee opeenvolgende plaatjes is steeds even groot en het eerste plaatje volgt op het laatste, er is dus een hele periode weergegeven. De golf komt van rechts en de zwarte lijn op de cilinder geeft de hoogte van het water in rusttoestand weer (z = 0).

Figuur 3.1: Golfpatroon rond een cilinder over ´e´en periode, λ = 1.5 m, a = 0.3 m.

3.2. RUN-UP 13

3.2 Run-up

3.2.1 Enkelvoudige ingaande golf

Een interessant verschijnsel is de run-up, dit is de maximale hoogte die het water op de cilinder bereikt. Om de run-up te vinden moeten we dus op elk punt van de cilinder de uitdrukking Re{η(a, θ) e^iωt} maximaliseren over t. Hierin is η(a, θ) een complexe functie, stel u(s) + iv(s).

We willen nu een uitdrukking vinden voor

maxt Re[u(s) + iv(s)]e^iωt .

We gaan kijken naar een willekeurig punt s, zodat u(s) = a en v(s) = b (a is hier niet de cilinderdoorsnede)

maxα Re(a + bi)e^iα = max

α (a cos α − b sin α) Om het maximum te vinden differenti¨eren we naar α

d

dα(a cos α − b sin α) = −(a sin α + b cos α).

Dit moet gelijk aan nul zijn, dus

a sin α = −b cos α

⇒ tan α = −b a

Het extremum van Re(a + bi)e^iα wordt dus aangenomen in

α^∗ = arctan



−b a

 .

Aangezien het minimum en het maximum van η(r, θ, t) in absolute waarde gelijk zijn, hoeven we ons niet druk te maken over de vraag of deze α^∗ het maximum of het minimum geeft.

Het maximum van Re[u(s) + iv(s)]e^iωt over t wordt nu gegeven door

|a cos α^∗− b sin α^∗| =     

a 1

q 1 +_a^b22

− b −b/a q

1 +_a^b22

= a²

√

a²+ b² + b²

√ a²+ b²

= p

a²+ b² = abs(a + bi). (3.11) Hierin hebben we gebruik gemaakt van het feit dat

sin (arctan x) = x

√

1 + x² en cos (arctan x) = 1

√

1 + x². Aangezien (3.11) waar is voor willekeurige s, geldt er dat

maxt η(r, θ, t) = abs η(r, θ)
.

14 HOOFDSTUK 3. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN ´E ´EN CILINDER Hieronder volgen enkele plaatjes van de run-up, voor verschillende waarden van ka. De plot is gemaakt in poolco¨ordinaten, hierin geeft θ de positie op de cilinder aan en is r de maximale waterhoogte. De ingaande golf komt van links en heeft amplitude 0.1.

Figuur 3.2: Run-up voor ka = 0.5, 1, 3, 5.

Om mogelijke verwarring te voorkomen, deze plaatjes corresponderen niet met een momen- topname in de tijd. Voor elk punt op de cilinder is de maximale waterhoogte op dat punt weergegeven. Figuur 3.2 kan ook gevonden worden in [8].

3.2. RUN-UP 15 We kunnen hier ook 3D-plaatjes van maken, door de absolute waarde van η(r, θ), vergelijking (3.10), te plotten in cilinderco¨ordinaten. Hieronder volgen enkele plaatjes daarvan, geplot voor −π ≤ θ ≤ 0, met A = 0.15. Ook hier hebben we geen momentopnames in de tijd.

Figuur 3.3: Run-up in 3D voor ka = 0.5, 1, 3, 5.

16 HOOFDSTUK 3. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN ´E ´EN CILINDER 3.2.2 Andere ingaande golf

We kunnen ook kijken naar andere ingaande golven, bijvoorbeeld de som van twee cosinussen met verschillende periodes. We krijgen dan bijvoorbeeld

η^I(r, θ) = A e^{ikr cos θ}+ B e^{ilr cos θ}

Voor deze twee cosinussen kunnen we apart de waterhoogte η1(r, θ) en η2(r, θ) uitrekenen met vergelijking (3.9), het enige verschil tussen beide is het golfgetal en de amplitude. De vorm van het vrije oppervlak wordt dan gegeven door de som van η₁, η₂ en η^I, dus

η(r, θ) = A

∞

X

m=0

m(i)^m Hm(kr)J_m⁰ (ka) H_m⁰ (ka)

!

cos mθ +

B

∞

X

m=0

m(i)^m Hm(lr)J_m⁰ (la) H_m⁰ (la)

!

cos mθ + A e^{ikr cos θ}+ B e^{ilr cos θ}

Op de volgende pagina staat een voorbeeld daarvan in figuur 3.5, met k =_2.2^2π, l = _1.3^2π, a = 0.3, A = 0.2 en B = 0.1.

De run-up bij twee ingaande golven kunnen we eenvoudig vinden. Stel de waterhoogte wordt gegeven door η_A+ η_B= u(s) + iv(s) + ˜u(s) + i˜v(s), dan is de run-up gelijk aan

maxα Re(η_A+ η_B)e^iα = max

α Re[(u + ˜u) + i(v + ˜v)][cos α + i sin α]

= max

α (u + ˜u) cos α + (v + ˜v) sin α] =p

(u + ˜u)²+ (v + ˜v)² = |ηA+ ηB|.

(zie paragraaf 3.2.1).

In de situatie van figuur 3.5 ziet de run-up er als volgt uit

Figuur 3.4: Run-up bij 2 golven met k = _2.2^2π, l = _1.3^2π, a = 0.3, A = 0.2 en B = 0.1.

3.2. RUN-UP 17

Figuur 3.5: Som van twee cosinussen als ingaande golf over ´e´en periode, k = _2.2^2π, l = _1.3^2π, a = 0.3, A = 0.2 en B = 0.1..

Het tijdsverschil tussen twee opeenvolgende plaatjes is steeds even groot en het eerste plaatje volgt op het laatste.

18 HOOFDSTUK 3. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN ´E ´EN CILINDER

3.3 Krachten

Met behulp van de potentiaal die we gevonden hebben, kunnen we ook uitrekenen wat de kracht is die op de cilinder werkt, ten gevolge van een golf die er tegenaan stroomt. Daartoe rekenen we eerst de druk op de cilinder uit. De dynamische druk kunnen we vinden met behulp van de wet van Bernoulli (2.2). Linearisatie van deze vergelijking, waarbij de constante gelijk is aan ^patm_ρ , levert

Φ_t+p

ρ + gz = patm

ρ

⇒ p = p_atm− ρΦ_t− ρgz. (3.12)

Hierin is p de totale druk, d.w.z. de hydrostatische druk (p_hydr) plus de dynamische druk (p_dyn). De hydrostatische druk wordt hier gegeven door p_hydr = p_atm− ρgz. Substitutie hiervan in vergelijking (3.12) levert

p = p_atm− ρΦ_t− (p_atm− p_hydr)

⇒ p_dyn= −ρΦ_t= Reiωρφ e^−iωt .

We gaan nu net als bij de potentiaal een nieuwe druk defini¨eren die niet van de tijd afhangt via

pdyn(r, θ, z, t) ≡ Rep_dyne^−iωt

(3.13)

⇒ p_dyn(r, θ, z) = iωρφ = ρgηcosh k(z + h) cosh kh De dynamische druk op de cilinder (r = a) is dus

pdyn(a, θ, z) = ρgAcosh k(z + h) cosh kh

∞

X

m=0

m(i)^m Jm(ka) − Hm(ka)J_m⁰ (ka) H_m⁰ (ka)

! cos mθ

Met behulp van de Wronski identiteit

Jn(ζ)H_n⁰(ζ) − J_n⁰(ζ)Hn(ζ) = 2i πζ kunnen we dit vereenvoudigen tot

pdyn(a, θ, z) = ρgAcosh k(z + h) cosh kh

∞

X

m=0

2 (i)^(m+1)_mcos mθ πkaH_m⁰ (ka) .

We kunnen nu uitrekenen wat de horizontale kracht in de richting van de golf op een horizon- taal plakje van eenheid dikte is:

dF_x

dz = −a

Z 2π 0

p_dyn(a, θ, z) cos θ dθ

= −aρgA 2 πka

cosh k(z + h) cosh kh

∞

X

m=0

(i)^(m+1)m

H_m⁰ (ka) Z 2π

0

cos mθ cos θ dθ

!

3.3. KRACHTEN 19 Aangezien we hier over een geheel aantal periodes integreren, blijft alleen de term m = 1, die correspondeert met cos²θ, van de som over:

dF_x

dz = aρgA 2

πka 2 H₁⁰(ka)

cosh k(z + h) cosh kh

Z 2π 0

cos²θ dθ

= aρgA 2 πka

1 H₁⁰(ka)

cosh k(z + h) cosh kh

Z 2π 0

(1 + cos 2θ) dθ

= 4A ka

ρga H₁⁰(ka)

cosh k(z + h)

cosh kh . (3.14)

De totale horizontale kracht op de cilinder kunnen we nu vinden door (3.14) te integreren over het deel van de cilinder dat onder water staat:

F_x = Z 0

−h

dF_x dz dz

= 4A ka

ρga H₁⁰(ka)

1 cosh kh

Z ₀

−h

cosh k(z + h) dz

= 4A ka

ρga H₁⁰(ka)

1 cosh kh

1

ksinh kh

= 4ρgAah kaH₁⁰(ka)

tanh kh kh .

Het totale moment op de cilinder, om een as die evenwijdig is aan de y-as en door de bodem van de cilinder gaat, wordt gegeven door

20 HOOFDSTUK 3. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN ´E ´EN CILINDER

My = − Z 0

−h

(z + h)dFx

dz dz

= −hF_x− Z 0

−h

zdF_x dz dz

= −hF_x−4A ka

ρga H₁⁰(ka)

1 cosh kh

Z 0

−h

z cosh k(z + h) dz

= −hF_x−4A ka

ρga H₁⁰(ka)

1 cosh kh

"

z

ksinh k(z + h)    

0

−h

− 1 k

Z 0

−h

sinh k(z + h) dz

#

= −h 4ρgAah kaH₁⁰(ka)

tanh kh kh +4A

ka ρga H₁⁰(ka)

1 cosh kh

1

k² (cosh kh − 1)

= − 4ρgAa kaH₁⁰(ka)

 h sinh kh

k cosh kh− cosh kh − 1 k²cosh kh



= −4ρgAah² kaH₁⁰(ka)

 kh sinh kh − cosh kh + 1 (kh)²cosh kh

 .

De formules voor de kracht en het moment zijn voor het eerst gepubliceerd door McCamy en Fuchs [7].

Uit (3.13) volgt dat we F_x en M_y weer tijdsafhankelijk kunnen maken via F_x = Re{F_xe^−iωt} en Fx= Re{Mye^−iωt}. Het maximum van deze functies over de tijd wordt gegeven door resp.

|F_x| en |M_y|, zoals we hebben gezien in paragraaf 3.2.1.

3.3. KRACHTEN 21 We gaan nu kijken hoe de totale horizontale kracht op de cilinder afhangt van de golflengte en de cilinderdoorsnede. Hiervoor maken we een grafiek, die hieronder is weergegeven. Hierin hebben we de absolute waarde van F_x geplot tegen a en λ.

Figuur 3.6: Totale kracht op de cilinder.

In de grafiek is te zien dat voor vaste λ, de maximale kracht toeneemt als cilinderdoorsnede a groter wordt, zoals te verwachten. Wanneer a vast is, neemt de kracht eerst ook toe als de golflengte groter wordt. Dit komt doordat langere golven een grotere snelheid hebben, zoals we kunnen zien in vergelijking (2.8). Maar vanaf een bepaalde golflengte neemt de kracht weer af, hiervoor hebben we geen verklaring kunnen vinden. De grafiek van het moment |My| tegen a en λ heeft nagenoeg dezelfde vorm.

Het verband tussen a en λmax (de golflengte waarvoor de kracht maximaal is) is niet lineair, zoals we kunnen zien in figuur 3.7. Het is wel een monotoon stijgend verband.

Figuur 3.7: λ_max als functie van a.

22 HOOFDSTUK 3. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN ´E ´EN CILINDER

Hoofdstuk 4

Diffractie ten gevolge van twee cilinders

4.1 Diffractiepatroon

Om het probleem met twee cilinders aan te pakken, gebruiken we drie poolco¨ordinatenstelsels in het (x, y)-vlak:

1. (r, θ) met als middelpunt de oorsprong van het (x, y)-vlak.

2. (r₁, θ₁) met als middelpunt het middelpunt van de eerste cilinder (x₁, y₁).

3. (r2, θ2) met als middelpunt het middelpunt van cilinder twee (x2, y2).

In onderstaande figuur is een en ander ter verduidelijking weergegeven.

Figuur 4.1: Bovenaanzicht van de twee cilinders.

23

24 HOOFDSTUK 4. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN TWEE CILINDERS Een punt (rj, θj) kunnen we in (x, y)-co¨ordinaten schrijven via

x = xj + rjcos θj en y = yj+ rjsin θj (j = 1, 2).

Om de notatie in het vervolg wat korter te houden, gaan we de potentiaal φ ontbinden als φ(r, θ, z) = ϕ(r, θ) χ(z), met

χ(z) = −igA ω

cosh k(z + h)

cosh kh en ϕ(r, θ) = 1

A η(r, θ).

De amplitude van de golf is namelijk evenredig met χ(z), zoals we hebben gezien in paragraaf 3.1.

De ingaande golf komt aan onder een hoek θ = β en heeft als potentiaal ϕ^I= eik(x cos β+y sin β) = eikr cos (θ−β).

Voor beide cilinders defini¨eren we als volgt een fasefactor I_j (j = 1, 2) Ij ≡ e^{ik(xjcos β+yjsin β)}

= e^{ik[(x−rjcos θj}) cos β+(y−rjsin θj) sin β]

= eik(x cos β+y sin β) e^{−ikrj(cosθj}cos β+sin θjsin β)

= ϕ^I e^{−ikrjcos (θj−β)}

De fasefactor is een constante, aangezien de posities van de middelpunten van de cilinders (xj, yj) constant zijn. In termen van deze fasefactor kunnen we de potentiaal van de ingaande golf herschrijven als

ϕ^I= Ij e^{ikrjcos (θj−β)}= Ij

∞

X

n=−∞

(i)ⁿ e^in(θj−β)Jn(krj) = Ij

∞

X

n=−∞

e^{in(θj−β+π2)}Jn(krj).

[2, vgl. 8.511(4)]. Hierin bepaalt j de keuze van het co¨ordinatenstelsel. Wanneer deze ingaande golf tegen cilinder 1 aanstroomt, zal die cilinder een (diffractie)golf produceren die op zijn beurt tegen cilinder 2 aanstroomt waardoor deze cilinder ook een diffractiegolf zal produceren, enzovoort. We kunnen al deze effecten samen beschrijven door voor beide cilinders een algemene diffractiepotentiaal op te stellen, die de golven die bij die cilinder wegstromen beschrijft. Een algemene vorm van zo’n diffractiepotentiaal voor cilinder j is (vergelijk (3.4))

ϕ^D_j (r_j, θ_j) =

∞

X

n=−∞

A_nj Z_nj H_n(kr_j) e^inθj

waarbij A_njcomplexe co¨effici¨enten zijn die we nog moeten oplossen en Z_nj≡ J_n⁰(ka_j)/H_n⁰(ka_j).

Er geldt immers

∂²

∂r²_j + 1 rj

∂

∂rj

+ 1 r²_j

∂²

∂θ_j² + ∂²

∂z²

!

ϕ^D(r_j, θ_j)χ(z)

4.1. DIFFRACTIEPATROON 25

= ∂²

∂r_j² + 1 r_j

∂

∂r_j + 1 r²_j

∂²

∂θ_j² + k²

!

ϕ^D(rj, θj)χ(z)

= χ(z)

∞

X

n=−∞

A_nj Z_nj e^inθj ∂²

∂r²_j + 1 rj

∂

∂rj

− n² r²_j + k²

!

H_n(kr_j) = 0.

De totale potentiaal wordt hiermee

ϕ = ϕ^I(rj, θj) +

2

X

p=1

ϕ^D_p(rp, θp)

= Ij

∞

X

n=−∞

e^{in(θj−β+π2)}Jn(krj) +

2

X

p=1

∞

X

n=−∞

Anp Znp Hn(krp) e^inθp,

j mag hier zowel 1 als 2 worden genomen.

Door de wand van de cilinders kan geen water stromen, de potentiaal moet dus voldoen aan de randvoorwaarde

∂ϕ

∂r1

= 0 op r1 = a1 en ∂ϕ

∂r2

= 0 op r2 = a2. (4.1)

De totale potentiaal ϕ hangt af van (r₁, θ₁) en (r₂, θ₂). Om deze randvoorwaarde te kunnen toepassen, moeten we ϕ uitdrukken in termen van ´e´en van deze co¨ordinatenstelsels, bijvoor- beeld (r1, θ1). Hiervoor gebruiken we een stelling voor het optellen van Besselfuncties [2, vgl.

8.530].

Hn(kr2) e^{in(θ2−α21)}=

∞

X

m=−∞

Hn+m(kR21) Jm(kr1) e^{im(π−θ1+α21)}, r1 < R21.

De betekenis van R₂₁ en α₂₁ kan worden gevonden in figuur 4.1 (ontleend aan [6]). Met behulp van deze stelling krijgen we

26 HOOFDSTUK 4. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN TWEE CILINDERS

ϕ(r₁, θ₁) = I₁

∞

X

n=−∞

e^{in(θ1−β+π2)}J_n(kr₁) +

∞

X

n=−∞

A_n1 Z_n1 H_n(kr₁) e^inθ1

+

∞

X

n=−∞

An2 Zn2

∞

X

m=−∞

Hn+m(kR21) Jm(kr1) e^{im(π−θ1+α21)} e^inα21

!

=

∞

X

n=−∞

I₁ J_n(kr₁) e^{in(θ1−β+π2)}+

∞

X

n=−∞

A_n1 Z_n1 H_n(kr₁) e^inθ1

+

∞

X

n=−∞

An2 Zn2

∞

X

m=−∞

Hn+m(kR21) Jm(kr1) e^im(π−θ1) e^i(n+m)α21

!

=

∞

X

n=−∞

I1 Jn(kr1) e^{in(θ1−β+π2)}+

∞

X

m=−∞

Am1 Zm1 Hm(kr1) e^imθ1

+

∞

X

m=−∞

∞

X

n=−∞

A_n2 Z_n2 H_n−m(kR₂₁) e^i(n−m)α21

!

J_m(kr₁) e^imθ1. (4.2)

In de laatste stap hebben we m vervangen door −m en gebruik gemaakt van het feit dat J−m= (−1)^mJ_m = e^imπJ_m.

Vergelijking (4.2) is alleen geldig voor r₁ < R₂₁, dwz. in de open schijf met middelpunt (r1, θ1) en straal R21. Vervolgens kunnen we hier de randvoorwaarde (4.1) op toepassen door (4.2) te differenti¨eren naar r1 en vervolgens op nul te stellen

0 = ∂ϕ

∂r1

   r1=a1

= I1

∞

X

m=−∞

kJ_m⁰ (ka1) e^{im(θ1−β+π2)}+

∞

X

m=−∞

Am1

J_m⁰ (ka1)

H_m⁰ (ka₁) kH_m⁰ (ka1) e^imθ1 +

∞

X

m=−∞

∞

X

n=−∞

A_n2 Z_n2 H_n−m(kR₂₁) e^i(n−m)α21

!

kJ_m⁰ (ka₁) e^imθ1

= I1

∞

X

m=−∞

J_m⁰ (ka1) e^{im(θ1−β+π2)}

+

∞

X

m=−∞

 A_m1+

∞

X

n=−∞

A_n2 Z_n2 H_n−m(kR₂₁) e^i(n−m)α21



J_m⁰ (ka₁) e^imθ1

=

∞

X

m=−∞



I1 e^im(π2−β)+ Am1+

∞

X

n=−∞

An2 Zn2 Hn−m(kR21) e^i(n−m)α21



× J_m⁰ (ka1) e^imθ1.

4.1. DIFFRACTIEPATROON 27 Uit de laatste gelijkheid moeten we de co¨effici¨enten Am1oplossen. Deze som is niets anders dan een lineaire combinatie van de functies e^imθ1. Uit de Fouriertheorie weten we dat de functies e^imθ1 een basis vormen en dus lineair onafhankelijk zijn. Om uit de lineaire combinatie nul te krijgen, moeten alle co¨effici¨enten (van de lineaire combinatie) dus gelijk aan nul zijn. Dit betekent dat de uitdrukking tussen haakjes gelijk aan nul moet zijn voor iedere m. Hiermee komen we tot een oneindig stelsel vergelijkingen voor A_m1

A_m1+

∞

X

n=−∞

A_n2 Z_n2 H_n−m(kR₂₁) e^i(n−m)α21 = −I₁ e^im(π2−β), −∞ < m < ∞. (4.3)

Deze uitdrukking kunnen we vervolgens substitueren in vergelijking (4.2)

ϕ(r₁, θ₁) =

∞

X

n=−∞



I₁ J_n(kr₁) e^{in(θ1−β+π2)}+ A_n1 Z_n1 H_n(kr₁) e^inθ1

+

∞

X

m=−∞

−A_m1− I₁ e^im(π2−β)

J_m(kr₁) e^imθ1

=

∞

X

n=−∞



I₁ J_n(kr₁) e^in(π2−β)+ A_n1 Z_n1 H_n(kr₁) − A_n1J_n(kr₁)

− I₁ Jn(kr1) e^in(π2−β)

 e^inθ1

=

∞

X

n=−∞

A_n1



Z_n1 H_n(kr₁) − J_n(kr₁)



e^inθ1, r₁< R₂₁. (4.4)

De waterhoogte in de buurt van cilinder 1 wordt nu gegeven door

η(r1, θ1, t) = Re (

Ae^−iωt

∞

X

n=−∞

An1



Zn1 Hn(kr1) − Jn(kr1)

 e^inθ1

)

, r1 < R21. (4.5)

Immers, η(r1, θ1, t) = Re{η(r1, θ1) e^−iωt} en η(r₁, θ1) = A ϕ(r1, θ1). Hiermee hebben we een eenvoudige formule gevonden voor de waterhoogte in de buurt van cilinder 1, waarbij de co¨effici¨enten An1 nog moeten worden opgelost uit een oneindig stelsel vergelijkingen. Om dat te doen hebben we nog een stelsel vergelijkingen nodig. Die kunnen we krijgen door de randvoorwaarde (4.1) toe te passen op ϕ(r₂, θ₂). We krijgen dan precies dezelfde afleiding als hierboven, maar dan met alle enen en twee¨en omgewisseld. Dat levert de volgende vergelijking voor de co¨effici¨enten Am2 en de potentiaal op

A_m2+

∞

X

n=−∞

A_n1 Z_n1 H_n−m(kR₁₂) e^i(n−m)α12 = −I₂ e^im(π2−β), −∞ < m < ∞. (4.6)

28 HOOFDSTUK 4. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN TWEE CILINDERS

ϕ(r₂, θ₂) =

∞

X

n=−∞

A_n2



Z_n2 H_n(kr₂) − J_n(kr₂)



e^inθ2, r₂ < R₁₂.

De beide vergelijkingen voor de co¨effici¨enten (4.3) en (4.6) kunnen we nu combineren tot een lineair stelsel vergelijkingen voor A_m1 alleen

Am1+

∞

X

n=−∞

−I₂ e^in(π2−β)−

∞

X

p=−∞

Ap1 Zp1 Hp−n(kR12) e^i(p−n)α12

!

× Z_n2 H_n−m(kR₂₁) e^i(n−m)α21 = −I₁ e^im(π2−β), −∞ < m < ∞.

Om dit oneindige systeem op te kunnen lossen, gaan we het afbreken bij m = −M en M , zodat we een lineair stelsel van 2M + 1 vergelijkingen krijgen met evenveel onbekenden

A_m1+

M

X

n=−M



−I₂ e^in(π2−β)−

M

X

p=−M

A_p1 Z_p1 H_p−n(kR₁₂) e^i(p−n)α12





× Z_n2 H_n−m(kR₂₁) e^i(n−m)α21 = −I₁ e^im(π2−β), −M ≤ m ≤ M. (4.7) Als we dit stelsel hebben opgelost, weten we de co¨effici¨enten A_m1en kunnen we vervolgens met behulp van (4.6) onmiddelijk de co¨effici¨enten Am2 vinden. Met behulp van de co¨effici¨enten A_m1 en A_m2kunnen we dan de vorm van het vrije oppervlak bepalen rond beide cilinders.

Wanneer we M = 5 kiezen, krijgen we een hoge nauwkeurigheid vlakbij de cilinder, maar verder bij de cilinder vandaan wordt de nauwkeurigheid slechter. Dit komt doordat de termen A_n1(Z_n1H_n(kr₁) − J_n(kr₁)) e^inθ1 in vergelijking (4.4) langzamer naar nul convergeren voor grotere r₁ (in de buurt van R₁₂) dan voor kleinere r₁ (in de buurt van a₁). Dit kunnen we mooi zien in onderstaande figuur waarin we het re¨ele en imaginaire deel van de termen geplot hebben voor n = 6, 8 en 10, en met a₁ = 0.3, R₁₂= 2.5, λ = 2, β = −^π₂ en θ₁ = 0.

Figuur 4.2: Het re¨ele (links) en imaginaire (rechts) deel van de termen in vgl (4.4) voor n = 6, 8 en 10.

De afleiding in deze paragraaf is ontleend aan [5].

4.2. SPECIALE GEVALLEN 29

4.2 Speciale gevallen

Ter controle van de formules die we zojuist gevonden hebben, gaan we die nu toepassen op de situatie met slechts ´e´en cilinder om te kijken of we dan de formule uit paragraaf 3.1 krijgen.

Dit kunnen we doen door in vergelijking (4.3) de straal a2 naar nul te laten gaan, waardoor cilinder 2 als het ware oneindig klein wordt. J_n⁰(ka₂)/H_n⁰(ka₂) gaat dan naar nul (voor alle n), dus Zn2 gaat naar nul. Verder zetten we cilinder 1 in de oorsprong, zodat x1 = y1 = 0.

Het stelsel vergelijkingen voor An1 (4.3) vereenvoudigt hiermee tot

An1 = −I1 e^in(π2−β)= −e^{ik(x1cos β+y1sin β)} e^in(π2−β)= −(i)ⁿ, −∞ < n < ∞. (4.8) Aangezien de hoek van de ingaande golf hier niet meer van invloed is, hebben we β = 0 gekozen. Substitutie in (4.4) levert

ϕ(r, θ) =

∞

X

n=−∞

−(−i)ⁿ



Zn1 Hn(kr1) − Jn(kr1)

 e^inθ1

=

∞

X

n=0

n(i)ⁿ



Jn(kr) − Hn(kr)J_n⁰(ka) H_n⁰(ka)

 cos nθ.

Dit is precies de uitdrukking die we in paragraaf 3.1 gevonden hadden (3.9).

De laatste gelijkheid geldt, aangezien

∞

X

n=−∞

(i)ⁿJ_n(z)e^inθ = J₀(z) +

∞

X

n=1



(i)ⁿJ_n(z)e^inθ+ (i)⁻ⁿJ−n(z)e^−inθ

= J₀(z) +

∞

X

n=1



(i)ⁿe^inθ+ (i)⁻ⁿ(−1)ⁿe^−inθ J_n(z)

= J₀(z) +

∞

X

n=1

2(i)ⁿJ_n(z) cos nθ

=

∞

X

n=0

n(i)ⁿJn(z) cos nθ.

Hierin mogen we J_n vervangen door H_n.

We zouden de oplossing voor ´e´en cilinder in principe ook moeten kunnen krijgen door de afstand tussen de twee cilinders, R₁₂, op nul te stellen, zodat de cilinders samenvallen. Echter, Im{H_n(kR₁₂)} → ±∞ als R₁₂→ 0, dus het is niet echt mogelijk de co¨effici¨enten A_m1 uit te rekenen voor R12= 0.

30 HOOFDSTUK 4. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN TWEE CILINDERS

4.3 Grafische weergave

In deze paragraaf staan een heleboel plaatjes van het vrije oppervlak (4.5) bij een golf die tegen twee cilinders aanstroomt, voor verschillende waardes van de hoek van de ingaande golf β, verschillende stralen van de cilinders, a1 en a2, en verschillende posities van de cilinders.

Cilinder 1 staat in de oorsprong van het (x, y)-stelsel en cilinder 2 staat ergens op de x-as. De amplitude van de ingaande golf Ap is in alle gevallen gelijk aan 0.15. We hebben steeds het diffractiepatroon rond cilinder 1 en 2 weergegeven. Voor elke groep van 8 plaatjes geldt steeds dat het tijdsverschil tussen twee opeenvolgende plaatjes even groot is en het eerste plaatje op het laatste plaatje volgt. Er is dus steeds ´e´en periode weergegeven. Om deze plaatjes te kunnen maken hebben we met Mathematica het lineaire stelsel voor de co¨effici¨enten (4.7) opgelost voor M = 5. Dat levert een hoge nauwkeurigheid op vlakbij de cilinders, verder bij de cilinders vandaan wordt de nauwkeurigheid wat slechter. We hebben dus meer termen (grotere M ) nodig om ook daar hoge nauwkeurigheid te krijgen. Echter, hoe meer termen we meenemen, hoe langer het duurt om met Mathematica de plaatjes te tekenen, daarom hebben we gekozen voor M = 5. Door M te verhogen van 5 naar 6 veranderden de waardes van η(r, θ, t) slechts met maximaal een honderdste. Om de nauwkeurigheid nog wat te verhogen, hebben we de ingaande golf geschreven als eikr cos (θ−β) in plaats van als oneindige som. Dus we hebben de volgende formule gebruik voor de plaatjes

η(rj, θj, t) = ReA e^−iωt ϕ(rj, θj) , en ϕ(r_j, θ_j) =

∞

X

n=−∞



A_nj Z_nj H_n(kr_j) − A_nj J_n(kr_j) − I_j J_n(kr_j) e^in(π2−β)

 e^inθj + e^{ikrjcos (θj−β)}, j = 1, 2.

4.3.1 Hoek van de ingaande golf β = 0

Onderstaande figuur geeft de situatie voor β = 0 weer. De cilinderstralen zijn beide 0.3 en de afstand tussen de middelpunten van de cilinders R₁₂is gelijk aan 2.5. De verhoudingen in de figuur zijn niet helemaal correct.

Figuur 4.3: Situatie voor β = 0.

4.3. GRAFISCHE WEERGAVE 31 De run-up bij beide cilinders ziet er in deze situatie als volgt uit

Figuur 4.4: Run-up bij cilinder 1 (links) en 2 (rechts).

De ingaande golf komt hier van links, zoals in figuur 4.3. Opvallend is hier, dat juist aan de achterkant van de tweede cilinder, het water heel hoog komt, en aan de voorkant niet.

Blijkbaar versterken de diffractiegolven en de ingaande golf elkaar aan de achterkant en doven ze elkaar gedeeltelijk uit aan de voorkant.

Op de volgende twee pagina’s staan plaatjes van het wateroppervlak rond cilinder 1 en 2 voor deze situatie.

32 HOOFDSTUK 4. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN TWEE CILINDERS

Figuur 4.5: Golfpatroon rond cilinder 1, λ = 1.6, a₁= a₂ = 0.3, R₁₂= 2.5.

4.3. GRAFISCHE WEERGAVE 33

Figuur 4.6: Golfpatroon rond cilinder 2, λ = 1.6, a₁= a₂ = 0.3, R₁₂= 2.5.

34 HOOFDSTUK 4. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN TWEE CILINDERS 4.3.2 Hoek van de ingaande golf β = −^π₄

Onderstaande figuur geeft de situatie voor β = −^π₄ weer. De afmetingen zijn weer: a1= 0.3, a2 = 0.4 en R12 = 2.5. De verhoudingen in de figuur zijn niet helemaal correct.

Figuur 4.7: Situatie voor β = −^π₄. De run-up bij beide cilinders ziet er in deze situatie als volgt uit

Figuur 4.8: Run-up bij cilinder 1 (links) en 2 (rechts).

Opvallend is hier dat rond het punt θ = −π/4 op cilinder 2 de run-up bijna nul is. Dus het water beweegt daar nauwelijks op en neer. Blijkbaar doven de ingaande golf en de diffractiegolven elkaar daar vrijwel uit.

Op de volgende twee pagina’s staan plaatjes van het wateroppervlak rond cilinder 1 en 2 voor deze situatie.

4.3. GRAFISCHE WEERGAVE 35

Figuur 4.9: Golfpatroon rond cilinder 1, λ = 1.6, a₁ = 0.3, a₂ = 0.4, R₁₂= 2.5.