Overal Natuurkunde 6 vwo Module Modelleren

(1)

Overal Natuurkunde 6 vwo Module Modelleren

‘De soep wordt nooit zo heet gegeten als hij wordt opgediend.’ Met deze uitdrukking bedoel je dat dingen in de praktijk vaak minder ernstig uitpakken dan ze in eerste instantie lijken te zijn. In deze module gaan we niet in op deze betekenis van de uitdrukking, maar op de letterlijke betekenis.

Als je soep in een bord schept, is de temperatuur hoog. Tijdens het serveren en eten koelt hij af. Met modelleren kun je nagaan hoe de temperatuur van de soep als functie van de tijd verloopt.

Inhoud

1 Numerieke modellen 2

2 Bewegingsmodellen 6

3 Eenvoudige bewegingen 12

4 Een valbeweging met luchtweerstand 16

5 De harmonische trilling 18

6 Een parachutesprong 20

7 Een horizontale worp 23

8 Radioactief verval 27

9 De ruimteslinger 30

10 Afsluiting: gps-satelliet 33

Hoofdstuk 1 bevat de algemene theorie van numeriek modelleren; hoofdstuk 2 de specifieke theorie voor het modelleren van bewegingen. In de hoofdstukken 3 tot en met 10 komen verschillende modellen aan bod. Je docent geeft aan welke je daarvan moet maken.

(2)

1 Numerieke modellen

In deze module maak je kennis met numeriek modelleren. In een numeriek model bereken je (vaak met de computer) hoe grootheden zich ontwikkelen als functie van de tijd, bijvoorbeeld hoe de temperatuur en de warmtestroom verlopen van een bord soep dat afkoelt.

In het model leg je vast aan welke natuurkundige wetmatigheden de grootheden voldoen: de

modelregels. Daarnaast geef je aan welke waarden de relevante grootheden in het begin hebben: de startwaarden.

Een voorbeeld van modelregels

Stel dat je een bord met 250 g (m) soep hebt met een temperatuur van 70 °C (T) en je wilt weten hoe de temperatuur als functie van de tijd (t) verloopt.

De soep geeft elke seconde warmte af aan de omgeving. In hoofdstuk 7 heb je geleerd dat de warmtestroom (hoeveelheid warmte die per seconde weg stroomt) recht evenredig is met het

temperatuurverschil tussen de soep en de omgeving. De evenredigheidsconstante k hangt samen met de dikte en de oppervlakte van het bord, maar omdat er ook water verdampt, is de waarde van k niet zo gemakkelijk te bepalen.

Het model kan er dan als volgt uitzien (zie ook figuur M.1a):

P = k * (T − Tomg) de warmtestroom is evenredig met het temperatuurverschil tussen de soep en de omgeving

Q = −P * dt de hoeveelheid warmte die weg stroomt, is gelijk aan de warmtestroom maal de tijd die verloopt; dt is het tijdstapje

dT = Q / (c * m) de temperatuurdaling bereken je aan de hand van de formule Q = c · m · ∆T T := T + dT de nieuwe temperatuur is de oude temperatuur min de temperatuurverandering t := t + dt de nieuwe tijd is de oude tijd plus het tijdstapje (de klok)

Als alle modelregels zijn doorlopen, zijn alle grootheden bekend voor het volgende tijdstip (0 + dt). In een model begin je daarna weer opnieuw bij de eerste regel om de grootheden voor het volgende tijdstapje (0 + 2·dt) door te rekenen, et cetera, net zolang als je de temperatuur van het bord soep wilt weten.

● In een model reken je grootheden stap voor stap door. In de modelregels leg je vast aan welke natuurkundige wetmatigheden de grootheden voldoen.

Een voorbeeld van startwaarden

Je kunt een grootheid met een formule alleen uitrekenen als je de waarden van de grootheden (variabelen) aan de rechterkant van de formule allemaal kent. Dat geldt ook voor een modelregel. De variabelen moeten bekend zijn uit vorige modelregels of ze moeten een startwaarde hebben. Zie figuur M.1b.

model startwaarden

P = k * (T − Tomg) Q = −^{P * dt} dT = Q / (c * m) T := T + dT t := t + dt

T = 70 ʹ°C Tomg = 20 ʹ°C k = 0,5 ʹW/K dt = 5 ʹs c = 4180 ʹJ/kgK m = 0,25 ʹkg

t = 0 ʹs

a b

Figuur M.1 Een model voor afkoelende soep a de modelregels … b de startwaarden …

In bovenstaand model moet je bij de eerste regel dus voor T (70 °C) en voor Tomg (bijvoorbeeld 20 °C) startwaarden geven. Hetzelfde geldt voor k, maar die waarde ken je niet, dus je geeft een beginschatting (bijvoorbeeld 0,5). Later kun je nagaan of deze waarde reëel is.

(3)

In de tweede regel is voor P geen startwaarde nodig, want die heb je in de vorige regel uitgerekend.

Voor het tijdstapje dt is wel een waarde nodig, bijvoorbeeld 1 seconde. Hoe kleiner je tijdstapje is, hoe preciezer je model rekent, maar ook hoe meer rekenstappen nodig zijn om een bepaalde tijdsduur van het afkoelproces door te rekenen.

Omdat soep grotendeels water is, neem je voor c de soortelijke warmte van water (4180 J/kg·K) en voor m de massa van de soep: 0,25 kg.

Tot slot heb je een startwaarde voor t nodig. Het ligt voor de hand daarvoor de waarde 0 te kiezen: je start de klok aan het begin van het model.

● Bij een model zijn startwaarden nodig voor alle variabelen die het model niet zelf berekent, maar die wel in de modelregels voorkomen.

Resultaten van een model

Je kunt de resultaten van een model in tabellen weergeven: voor elk tijdstip de waarden van de berekende grootheden. Meestal bekijk je de resultaten echter in de vorm van grafieken, zodat je het verloop in één oogopslag kunt zien. Zie figuur M.2.

In het voorbeeld van de soep ligt een temperatuur-tijdgrafiek voor de hand, maar je zou ook kunnen bekijken hoe de warmtestroom als functie van de tijd verloopt.

Figuur M.2 De soep koelt af.

Of een model voldoet aan de werkelijkheid kun je controleren door de modelresultaten met metingen te vergelijken. Zo zou je met een meting van de temperatuur van de soep na een minuut kunnen controleren of je de waarde van k goed hebt gekozen. Door de waarde van k in het model aan te passen, kun je ervoor zorgen dat het model overeenstemt met de werkelijke temperatuur na een minuut.

Stel de temperatuur van de soep is in werkelijkheid na een minuut 63 °C en niet, zoals in het model, 67 °C. De soep geeft dus meer warmte af dan het model voorspelde. Je geeft de k dus een grotere waarde. Misschien kun je aan de resultaten ook zien of de aanname dat k constant is, wel terecht is.

Als je meer metingen doet van de temperatuur van de soep als functie van de tijd kun je ook nagaan of de vorm van de modelgrafiek met de werkelijkheid overeenkomt. Als dat niet het geval is, geeft dat misschien aanleiding tot het aanpassen van de modelregels. Zo zou je een regel kunnen toevoegen die het verdampen in rekening brengt.

Door het model te verfijnen kom je zo beter te weten waar de temperatuur van de soep van afhangt.

Zo kun je een hypothese testen of een ingewikkeld proces simuleren.

● De resultaten van een model bekijk je meestal in een grafiek. Door met metingen te vergelijken kun je het model verfijnen.

(4)

Waarom een model?

Als de warmtestroom uit het bord soep constant zou zijn, zou je geen model nodig hebben om op elk tijdstip de temperatuur te berekenen. Je kunt dan immers voor elk tijdstip berekenen hoeveel warmte is weg gestroomd en welke temperatuur de soep dan heeft.

Het probleem is echter dat de warmtestroom niet constant is, maar weer afhankelijk is van de temperatuur zelf. Deze afhankelijkheid zorgt ervoor dat je het niet zo gemakkelijk ‘analytisch’ kunt uitrekenen.

Als je de modelregels combineert, zie je dat geldt: dT k _omg (T T ) dt = c m⋅ −

⋅ . In deze vergelijking zie je naast de temperatuur zelf ook de afgeleide van de temperatuur naar de tijd staan. Zo’n vergelijking met afgeleiden erin heet een differentiaalvergelijking. Op de middelbare school leer je niet genoeg wiskunde om zo’n vergelijking op te lossen. Als je een technische vervolgstudie gaat volgen, zul je zeker leren differentiaalvergelijkingen op te lossen.

Gelukkig kun je dit soort problemen vaak wel oplossen met een model. Je maakt dan een benadering.

Zo ga je er tijdens één tijdstapje bij het uitrekenen van de warmtestroom van uit dat de temperatuur een vaste waarde heeft, terwijl deze eigenlijk ook tijdens dat tijdstapje al daalt. Je kunt de benadering verbeteren door het tijdstapje klein te kiezen. Tijdens een kleiner tijdstapje verloopt de temperatuur immers minder. De tol die je voor een betere benadering moet betalen, is dat je meer rekenslagen moet maken en dus meer rekentijd en geheugencapaciteit gebruikt. Dat zal bij de modellen in deze module geen probleem zijn, maar je kunt je voorstellen dat het bij ingewikkelde modellen, zoals een weermodel dat met veel variabelen rekening moet houden, wel een rol gaat spelen.

● Met een model los je differentiaalvergelijkingen op met een benadering. Je benadering is beter naarmate je de tijdstap kleiner kiest, maar je hebt dan ook meer rekentijd nodig.

Eerste- en tweede-ordesystemen

Modellen gebruik je vaak om bewegingen door te rekenen: hoe veranderen de plaats, snelheid en versnelling als functie van de tijd als er bepaalde krachten werken? De meeste modellen in deze module zijn dan ook mechanicaproblemen.

Ook achter mechanicaproblemen schuilt vaak een differentiaalvergelijking. Zo heb je voor een harmonische trilling geleerd dat de kracht evenredig is met de uitwijking (F = −C · u). Volgens de tweede wet van Newton geldt F = m · a. De versnelling a is de tweede afgeleide van de plaats en dus van de uitwijking. In feite geldt dus: m · u” = −C · u.

In deze vergelijking tref je dus behalve de uitwijking u ook de tweede afgeleide van u aan. Dit heet daarom een tweede-ordedifferentiaalvergelijking, die je oplost met een tweede-ordemodel. In de vergelijking voor de afkoeling van de soep kwam alleen de eerste afgeleide voor: een eerste-ordedifferentiaalvergelijking, op te lossen met een eerste-ordemodel.

● In modellen voor eerste-ordesystemen komt naast een grootheid ook de eerste afgeleide van die grootheid voor, bij tweede-ordesystemen (ook) de tweede afgeleide.

Het vervolg van deze module

In hoofdstuk 2 leer je nog algemene dingen over hoe je een model bij mechanicaproblemen kunt opstellen om bewegingen door te rekenen. Daarna is in deze module een aantal modellen opgenomen om te oefenen. Je docent vertelt welke je gaat oefenen.

In hoofdstuk 3 staan eenvoudige mechanicamodellen voor eenparige bewegingen. Voor deze bewegingen heb je eigenlijk geen model nodig: je weet wat er uit moet komen. Zo kun je voor deze eerste modellen wel gemakkelijk controleren of je model klopt.

Hoofdstuk 4 gaat over een val met luchtweerstand. Hier heb je wel een model voor nodig. Je leert hoe je de startwaarde moet aanpassen (simuleren) om het model met de werkelijkheid te laten overeenkomen.

Hoofdstuk 5 gaat over een harmonische trilling. Je leert in dit model hoe de stapgrootte dt van invloed kan zijn op je resultaten.

(5)

In hoofdstuk 6 ontwikkel je een model voor een parachutesprong, waarbij je de modelresultaten laat overeenkomen met een gemeten hoogte-tijdgrafiek.

In hoofdstuk 7 staat een model voor een horizontale worp. Deze hoort niet bij de leerstof, maar je zult zien dat je met een kleine aanvulling het model kloppend kunt maken.

In hoofdstuk 8 vind je een eerste-ordemodel voor radioactief verval.

In hoofdstuk 9 vind je een model voor een ruimteschip in een gravitatieveld.

In hoofdstuk 10 vind je als afsluiting een modelleeropgave uit een eindexamen.

(6)

2 Bewegingsmodellen

De basisregels uit de mechanica

Volgens de wetten van Newton is kracht (F) de oorzaak van een snelheidsverandering.

1^e wet: werkt er geen kracht op een voorwerp of heffen de werkende krachten elkaar precies op (Fres = 0), dan verandert de snelheid van dat voorwerp niet (∆v = 0). Dat wil zeggen dat als het voorwerp stilstaat (v = 0), dan blijft dat zo, of als het voorwerp al een snelheid heeft (v = v0), dan houdt het deze eenparig rechtlijnige snelheid (v = v0 = constant).

2^e wet: werkt er wel een resulterende kracht op een voorwerp, dan verandert de snelheid van dat voorwerp. Het versnelt of vertraagt, waarbij geldt dat:

(1) Fres = m · a en dus: = F^res

a m

Hierin is: Fres de (vectoriële) som van alle werkende krachten m de massa van het voorwerp

a de versnelling van het voorwerp

De versnelling (a) van een voorwerp is per definitie de snelheidsverandering per tijdseenheid:

(2) = ∆

∆ a v

t en dus: ∆v = a · ∆t

Hierin is: a de versnelling van het voorwerp

∆v de snelheidsverandering van het voorwerp

∆t de tijdsduur waarin de snelheidsverandering plaatsvindt

Voor elke grootheid k geldt voor de verandering ∆k:

(3) ∆k = k^na − k^voor

Hierin is: ∆k de verandering van grootheid k

kna de waarde van grootheid k na een bepaalde periode k_voor de waarde van grootheid k voor deze periode.

Zo geldt voor de snelheidsverandering:

(4) ∆v = v^na − v^voor en dus: vna = vvoor + ∆v

en voor de verplaatsing (s), hetgeen hetzelfde is als ‘plaatsverandering’ (∆x):

(5) (s = ) ∆x = x^na− x^voor en dus: xna = xvoor + ∆x

Tot slot is de snelheid gedefinieerd als de plaatsverandering (verplaatsing) per tijdseenheid:

(6) ∆

= ∆ v x

t en dus: ∆x = v · ∆t

● De vergelijkingen 1, 2, 4, 5 en 6 vormen de basis voor elk model waarmee je een beweging doorrekent van een voorwerp met massa m dat een kracht Fres ondervindt.

(7)

Keuze van de as(sen)

In veel mechanicaproblemen zijn de beginpositie en de beginsnelheid van een bewegend voorwerp bekend en weet je hoe de krachtwerking is.

Zo ben je de volgende problemen al eens tegengekomen:

Voorbeeld 1

Een slee wordt boven aan een helling losgelaten; de slee glijdt zonder weerstandskrachten naar beneden. De beginpositie is bekend (x0: boven aan de helling) en de beginsnelheid is bekend (impliciet is gegeven, dat v0 = 0).

Ook de krachtwerking is bekend: in de bewegingsrichting werkt de parallelle component van de zwaartekracht (Fres = Fz,//, want de loodrechte component wordt opgeheven door de normaalkracht en alle weerstandskrachten worden verwaarloosd).

Voorbeeld 2

Een kogel wordt vanaf een hoogte van 2,0 meter met een snelheid van 40 m/s omhooggeschoten.

De beginpositie (x0 = 2,0 m) is bekend en de beginsnelheid (v0 = 40 m/s).

De luchtweerstand wordt (impliciet) verwaarloosd, dus is de resulterende kracht gelijk aan de zwaartekracht (Fres = Fz).

Voordat je een model schrijft voor een van bovenstaande problemen, moet je eerst helder voor ogen hebben welke as(sen) je gebruikt.

Bij rechtlijnige bewegingen heb je maar één as nodig. Toch moet je precies vastleggen:

• waar het nulpunt (de oorsprong) van deze as zich bevindt en:

• hoe de positieve richting van deze as is gekozen.

Een lijn met een aangegeven nulpunt en een pijl met een plusrichting erbij legt je as dus volledig vast.

Bij voorbeeld 1

Je kiest de oorsprong van de beweging op de plek waar de slee begint. Hierdoor geldt: x0 = 0 m. De positieve richting kies je ‘langs de helling naar beneden’, want je weet dat de slee in deze richting gaat bewegen.

Bij voorbeeld 2

Je kiest als beginpositie de grond (merk op dat daar eigenlijk al van uit was gegaan door als beginpositie x0 = 2,0 m te geven) en als positieve richting de richting loodrecht omhoog. Door deze keuze klopt het inderdaad, dat v0 = +40 m/s. Omdat de zwaartekracht echter omlaag werkt en dus tegen de positieve richting in, geldt: Fres= −Fz.

Bij kromlijnige bewegingen heb je twee of drie assen nodig. In deze handleiding beperken we ons tot bewegingen in één vlak: tweedimensionale bewegingen dus. In zo’n situatie moet je voor elke as afzonderlijk het nulpunt en de positieve richting kiezen. Zo’n keuze probeer je een beetje handig te doen, zoals in bovenstaande voorbeelden is uitgelegd.

● Bij het schrijven van een model ga je uit van een assenstelsel dat bestaat uit een of meer assen. Voor elke as zijn het nulpunt en de positieve richting van belang.

(8)

De mechanica in een computermodel

Je gebruikt de computer om een beweging door te rekenen. Daarvoor moet hij weten:

• welke regels er gelden voor het berekenen van de beweging, weergegeven in modelregels,

• hoe de beginsituatie (beginpositie en beginsnelheid) van het bewegende voorwerp is,

• welke krachten er werken en waar deze van afhankelijk zijn.

De 'regels voor de beweging' zijn niets anders dan de regels uit de mechanica, vertaald naar de symbolen, die de computer kan begrijpen.

In modelregels ziet dit er als volgt uit:

Fres = …

a = Fres / m de tweede wet van Newton (1) dv = a * dt afgeleid uit (2): ∆v = a · ∆t v := v + dv afgeleid uit (4): vna = vvoor+ ∆v dx = v * dt afgeleid uit (6): ∆x = v · ∆t x := x + dx afgeleid uit (5): xna = xvoor+ ∆x t := t + dt de lopende ‘klok’: tna = tvoor+ ∆t Figuur M.3

Opmerkingen:

A Deze regels zijn standaard voor elke beweging. Alleen de regel voor de kracht verandert bij een andere beweging. Dat is nu juist de ‘charme’ van zo’n algemeen geldend model.

B * is een maalteken / is gedeeld door

^2 betekent kwadraat sqrt(d) betekent d

C De modeltaal kent geen cursief of subscript, dus wordt Fres geschreven als Fres.

D De modeltaal kent geen ∆, die wordt vervangen door d. Dit wordt overigens in de wiskunde ook gedaan om aan te geven dat het om een ‘klein veranderingetje’ gaat. Zo is dv/dt hetzelfde als ∆v/∆t, maar dan over een (oneindig) klein tijdsinterval ∆t (= dt).

E Er wordt geen onderscheid gemaakt tussen vna en vvoor.

In feite zou je kunnen zeggen dat een regel als ‘v := v + dv’ wiskundig gezien onzin is.

Er zou immers rechtstreeks uit afgeleid kunnen worden: dv = 0.

Het :=-teken in modelregels moet echter niet worden gelezen als ‘is gelijk aan’, maar als

‘wordt’. Sommige programmeertalen gebruiken hiervoor gewoon ‘=’.

‘v := v + dv’ moet worden gelezen: het geheugen met de naam ‘v’ krijgt een nieuwe waarde die gelijk is aan de oude waarde van dat geheugen, vermeerderd met de waarde van dv.

F Op de ... moet dus nog worden ingevuld wat er voor de resulterende kracht geldt.

G Je ziet aan dit model dat het van de tweede orde is. De versnelling bepaalt hoe snel de snelheid verandert. De snelheid bepaalt vervolgens weer hoe snel de plaats verandert.

De computer rekent de bovenstaande modelregels één voor één door. Bovendien stopt hij niet als hij de laatste regel heeft berekend, maar dan begint hij opnieuw bovenaan. Hij gaat dan de aangegeven grootheden Fres, a, dv, v, dx, x en t voor een volgend tijdstip uitrekenen. Dit herhalen heet itereren.

Omdat je deze grootheden op elk tijdstip wilt kennen, worden ze bij elke rekenslag in nieuwe geheugenplaatsen opgeslagen: er ontstaat dus een lange tabel.

● De vaste mechanicaregels schrijf je in een model in de programmeertaal. Voor elke nieuwe beweging hoef je alleen de regel voor de resulterende kracht aan te passen.

Het voor elk volgend tijdstip berekenen van de grootheden heet itereren.

(9)

Startwaarden

Met alleen modelregels kan een computer nog niets. Van een heleboel grootheden moet hij weten hoe groot ze in het begin zijn. Geef je de computer de opdracht het model ‘uit te voeren’ zonder dat hij alle benodigde startwaarden heeft, dan zal hij dat ook meteen melden of dan gebruikt hij standaard voor elke benodigde startwaarde de waarde 0.

Aan de hand van de modelregels kun je systematisch nagaan welke startwaarden nodig zijn.

Stel dat in de eerste regel van bovenstaand voorbeeld geldt: Fres = Fz.

De computer moet dan dus aan Fres de waarde toekennen van Fz. Fz wordt dus bekend

verondersteld en moet dus een startwaarde hebben. Voor Fres is er geen startwaarde nodig, want deze krijgt immers een waarde in de 1^e regel.

De tweede regel luidt: ‘a = Fres/m’. Er is geen startwaarde nodig voor a, want die wordt hier juist berekend. Fres is in de vorige regel berekend, dus ook hiervoor is geen startwaarde nodig. De massa m is een nieuwe variabele, waarvoor wel een startwaarde nodig is om de tweede modelregel uit te voeren.

1

Ga na welke andere variabelen in het standaardmodel nog startwaarden nodig hebben.

………

2

Schrijf een model met startwaarden voor Voorbeeld 1. De slee heeft een massa van 4,5 kg. De helling heeft een hellingshoek van 15°.

● Naast modelregels heeft de computer startwaarden nodig voor elke variabele die hij niet zelf berekent.

Het verloop van de modelberekening

Om enig idee te krijgen hoe een modelberekening in de computer verloopt, kun je dat ‘uit het hoofd’ of met de 'gewone rekenmachine' nabootsen.

Bij Voorbeeld 2 over de kogel geldt het volgende model met startwaarden.

model startwaarden Fres = m * g

a = Fres / m dv = a * dt v := v + dv v := v + dv dx = v * dt x := x + dx t := t + dt

m = 0,035 ʹkg g = −9,81 ʹm/s2 dt = 0,1 ʹs v = 40 ʹm/s

x = 2 ʹm

t = 0 ʹs

(10)

Opmerkingen:

A Het model berekent alle waarden van Fres, a, dv, v, dx en x voor elke 0,1 s (want dt = 0,1).

Als later blijkt dat deze berekening te grof is, kun je bijvoorbeeld overstappen op dt = 0,01 s.

B COACH rekent het model standaard 10 000 maal door, dus wordt de beweging van de kogel in dit geval gedurende 10 000 ∙ dt = 10 000 × 0,1 = 1000 s doorgerekend.

Duurt een beweging veel korter dan 1000 s, dan kun je ook een kleinere dt nemen. Dat is zelfs beter, want de berekening wordt daardoor nauwkeuriger.

C Alles wat achter ' staat, leest de computer niet. Hier kun je dus allerlei opmerkingen kwijt, zoals hier de eenheden staan vermeld.

D Bedenk waarom het minteken bij de startwaarde voor g staat!

3

Bereken alle waarden die ‘het model’ berekent voor de in de tabel vermelde grootheden van t = 0,0 tot en met t = 0,4 s en noteer ze in onderstaande tabel. Op de eerste regel (t = 0,0) hebben alleen de grootheden van de startwaarden een waarde.

Tabel

Fres a dv v dx x t

0 0,1 0,2 0,3 0,4 Figuur M.4

4

Beschrijf nu wat met de doorgerekende grootheden gebeurt door steeds de juiste omschrijving te omcirkelen en leg uit waarom je dit gedrag van deze grootheden had verwacht.

De Fres blijft gelijk / neemt af / neemt toe.

Deze verandering is lineair / progressief (gaat steeds harder) / degressief (neemt af) / niet van toepassing.

Dat had ik verwacht, want ...

...

De a blijft gelijk / neemt af / neemt toe.

...

(11)

De dv blijft gelijk / neemt af / neemt toe.

...

De v blijft gelijk / neemt af / neemt toe.

...

De dx blijft gelijk / neemt af / neemt toe.

...

De x blijft gelijk / neemt af / neemt toe.

...

De t blijft gelijk / neemt af / neemt toe.

...

● Een model berekent voor een aantal grootheden hoe ze in de loop van de tijd verlopen. Aan de hand van een tabel of grafiek kun je de resultaten vergelijken met wat je verwacht of met wat je hebt gemeten.

(12)

3 Eenvoudige bewegingen

In dit hoofdstuk start je met modellen voor een aantal bewegingen die je al kent: een eenparige beweging, een eenparig versnelde beweging en de vrije valbeweging. Je hebt bij deze bewegingen al geleerd hoe je voor elk tijdstip de plaats, snelheid en versnelling kunt berekenen. Je hebt er dus eigenlijk geen model voor nodig. Je leert echter wel alvast met het programma omgaan en je kunt van de resultaten gemakkelijk nagaan of ze kloppen of niet. Vergelijk je resultaten daartoe met tabel 14.6 uit het leerboek voor 6 vwo.

Een eenparige beweging

Langs een snelweg staan om de 100 meter hectometerpaaltjes, die de plaats in kilometers

weergeven. Op t = 0 s rijd je met een auto met een massa van 1500 kg en een constante snelheid van 108 km/h langs hectometerpaaltje 2,1 (km). Even later rijd je langs paaltje 2,0. Zie figuur M.5.

Figuur M.5 5

Schrijf een model met startwaarden voor deze beweging en voer het uit. Neem het model uit het kader van hoofdstuk 2 als uitgangspunt en druk alle grootheden uit in standaard SI-eenheden. Pas de tekens (+/−) van alle startwaarden aan aan de hierboven gegeven keuzes voor de x-as. Noteer hieronder het model met startwaarden.

(13)

6

Maak (F,t)-, (a,t)-, (v,t)- en (x,t)-diagrammen in het beeldscherm. Zorg daarbij dat de relevante gebeurtenissen (bijvoorbeeld aankomen in 0) in het diagram staan.

Je moet variabelen ‘toevoegen’ voordat je ze in een diagram kunt zetten.

Laat de diagrammen controleren.

Druk ze af, voorzie ze van je naam en ‘Opdracht 6’ en bewaar ze bij dit boekje.

Een eenparig vertraagde beweging

Het is natuurlijk niet de bedoeling dat je met een snelheid van 108 km/h op een T-splitsing afstormt.

Waar de weg eindigt bij paaltje 0,0 moet je immers voorrang verlenen. Je begint daarom op t = 0 vanaf 300 meter voor de kruising te remmen en drukt het rempedaal zo ver in dat er een remkracht optreedt van 3000 N.

7

Schrijf een model met startwaarden voor deze rembeweging en voer het uit.

Ga weer uit van de keuze voor de as bij het vorige model.

Laat het model stoppen met de regel: ‘als … dan stop eindals’.

Vul op de … een voorwaarde in, waaraan wordt voldaan als het model moet stoppen.

De remkracht houdt immers op op het moment dat de auto stilstaat.

Noteer hieronder het model met startwaarden.

8

Ga na of de auto voor de kruising tot stilstand komt. Antwoord: ja / nee.

Dat kan ik zien aan het …………. diagram, want ...

...

Je wilt met een constante remkracht remmen en toch precies bij de kruising tot stilstand komen. Je kunt met het model ‘spelen’ in het programmaonderdeel ‘SIMULEREN’ (rechtermuisknop in het modelwindow): je kiest een variabele, waarvan je de waarde steeds verandert om na te gaan wat daarvan de invloed is op de uitkomsten van de modelberekening.

(14)

9

Kies de remkracht als simulatievariabele en ga na bij welke waarde de auto precies voor de kruising tot stilstand komt.

Frem = ……….N 10

Controleer het antwoord op opdracht 9 met een theoretische berekening.

Reken daarbij achtereenvolgens de onderstaande grootheden uit.

a =

∆t = vgem =

∆x =

De met het model gevonden waarde voor Frem blijkt juist/onjuist, want

...

11

Maak (Fres,t)-, (a,t)-, (v,t)- en (x,t)-diagrammen in het beeldscherm en laat ze controleren.

Gebruik daarbij de bij opdracht 9 gevonden waarde voor Frem.

12

Vergelijk de diagrammen met de overeenkomende diagrammen in de tabel van figuur 14.6 van het leerboek 6 vwo. Benoem en verklaar eventuele verschillen.

(x,t)-diagram:

(v,t)-diagram:

(a,t)-diagram:

(15)

De vrije valbeweging

Een regendruppel valt zonder beginsnelheid van een hoogte van 2000 m naar beneden. De luchtweerstand is verwaarloosbaar. De massa van de druppel is 1,5 g.

13

Teken rechts naast de startwaarden van opdracht 14 een verticale as en geef daarbij aan waar x = 0, waar x = 2000 m, wat de positieve richting is en welke richting de kracht en de versnelling hebben.

14

Schrijf een model met startwaarden voor deze vrije valbeweging en voer het uit.

Zorg dat het model stopt als de druppel de grond raakt. Noteer hieronder het model met startwaarden.

15

Schaal de tijd zodanig, dat de hele val in de diagrammen staat.

16

Lees uit na hoeveel tijd de druppel de grond bereikt.

t = ……….

17

Met welke snelheid bereikt de druppel de grond?

veind = ………..

18

Controleer je antwoord op opdracht 17 met een energieberekening:

………

(16)

4 Een valbeweging met luchtweerstand

Regendruppels blijken niet met zo’n grote snelheid op de grond te vallen als je bij opdracht 17 hebt gevonden. Dat komt omdat ze luchtweerstand ondervinden. Voor de luchtweerstandskracht geldt:

Fw,l = k ∙ v²

Hierin is: Fw,l de luchtweerstandskracht v de snelheid van de druppel k een constante

Het modelleren krijgt bij deze beweging meerwaarde. Omdat de kracht afhangt van de snelheid, kun je niet meer zo gemakkelijk de plaats, snelheid en versnelling op elk tijdstip berekenen. Met een model ga je dat nu benaderen.

19

Druk de eenheid van k uit in SI-grondeenheden (zie tabel 3A van Binas).

[k] = ………

………

20

Door de luchtweerstandskracht krijgt de druppel na enige tijd een constante snelheid.

Leg dit uit. Probeer compleet te formuleren, de redenering bevat (zeker) vier denkstappen.

21

Schrijf een model met startwaarden voor deze valbeweging met luchtweerstand en voer het uit. Neem dezelfde keuze voor de as als bij opdracht 13. Denk ook na over de richting van Fw.

Neem voor k een startwaarde van 0,000 006 (je kunt dit noteren als 6E-6).

(17)

22

Wordt de bewering bij opdracht 20 door de modelberekening ondersteund? Antwoord: ja / nee.

Dat zie ik aan het …….. diagram, want ………..……….

23

Regendruppels met een massa van 1,5 g blijken in de praktijk met ongeveer 100 km/h op de grond aan te komen. Ga met simuleren na hoe groot k voor deze druppels in de praktijk is.

k = ………..

24

Controleer het antwoord op opdracht 23 met een theoretische berekening.

Pas daartoe de eerste wet van Newton tot op de situatie dat de druppel zijn constante eindsnelheid heeft bereikt.

25

Schaal de tijd weer zodanig, dat de hele val in de diagrammen staat.

De regendruppels komen met minder kinetische energie op de grond aan dan wanneer er geen luchtweerstand was geweest. Het verschil is omgezet in warmte. Je hebt geleerd dat de ontstane warmte gelijk is aan (−) de arbeid van de weerstandskracht.

26

Noteer de twee modelregels waarmee je deze arbeid kunt berekenen en laat ze controleren.

dWw = ……….

Ww := ………….………..

27

Vul de regels aan in het model en voer het opnieuw uit.

Toon aan dat de bij de val ontstane warmte gelijk is aan het hierboven bedoelde kinetische energieverschil. Noteer nauwkeurig hoe je te werk gaat.

(18)

5 De harmonische trilling

Ook voor een harmonische trilling kun je een model schrijven. Bij trillingen wordt voor de plaatscoördinaat de u (uitwijking) in plaats van de x gebruikt.

In hoofdstuk 4 van het leerboek 4 vwo heb je geleerd dat de resulterende kracht op een harmonisch trillend voorwerp recht evenredig met, maar tegengesteld gericht is aan de uitwijking.

28

Druk de resulterende kracht in een formule uit:

Fres = ……….

Een blok met een massa van een 1,3 kg hangt aan een veer met een veerconstante van 85 N/m. Men trekt het blok 8,0 cm uit zijn evenwichtsstand omlaag en laat het los op t = 0 s.

29

Schrijf een model met startwaarden voor de beweging van dit blok en voer het uit.

Neem daarbij de evenwichtsstand als oorsprong en de positieve richting omhoog.

Noteer hieronder het model met startwaarden.

30

Maak (Fres,t)-, (a,t)-, (v,t)- en (u,t)-diagrammen in het beeldscherm en laat ze controleren.

Schaal de tijd zodanig, dat er minimaal één en maximaal twee trillingen in de diagrammen staan.

31

Je hebt geen sinusfunctie in het model ingevoerd en toch komt er een sinus uit.

Verklaar dat aan de hand van de theorie van de hoofdstukken 4 en 14 uit de leerboeken.

……….………...

……….………

………..

32

Bereken de theoretische waarde van de trillingstijd van het blok aan de veer.

T = ………

……….

33

Bepaal T ook op grond van het model en bereken de eventuele procentuele afwijking.

Procentuele afwijking: ...

(19)

Met het model kan ook de wet van behoud van energie voor een harmonische trilling worden gecontroleerd.

34

Noteer modelregels voor de kinetische energie, de veerenergie en de totale energie in modeltaal en laat ze controleren.

Ek = ………..

Ev = ………..

Et = ………..

35

Geef grafieken van de drie energiegrootheden in één diagram op dezelfde tijdschaal als de grafieken van opdracht 30.

Druk het diagram af, voorzie het van je naam en ‘Opdracht 35’ en bewaar het bij dit boekje.

36

Leg uit hoe uit het diagram blijkt dat de wet van behoud van energie geldt.

Bekijk het diagram daartoe voor waarden voor dt van 0,1; 0,01; 0,001 en 0,0001 s.

37

Maak een functiefit voor de Ek-functie met behulp van Ek(t) = a ∙ sin (bt + c) + d

a = ……… b = ……….. c = ………….. d = …………..

38

Toon met een van de waarden uit opdracht 37 aan dat Ek ‘een tweemaal zo grote periodiciteit’ heeft dan de uitwijking. Daarmee wordt bedoeld: een tweemaal zo grote frequentie heeft.

39

Verklaar waarom Ek een tweemaal zo grote periodiciteit heeft als de uitwijking.

(20)

6 Een parachutesprong

Voor de luchtweerstandskracht op een voorwerp geldt: Fw,l = ½Cw∙ ρ ∙ A ∙ v² Hierin is Fw,l de luchtweerstandskracht in N

Cw de luchtweerstandcoëfficiënt

ρ de dichtheid van lucht (zie Binas) in kg/m³

A de oppervlakte van het voorwerp, loodrecht op de bewegingsrichting in m² v de snelheid van het voorwerp in m/s

Een parachutist laat zich altijd eerst een stuk vrij vallen. Dat wil zeggen dat de parachute niet is opengeklapt. Zie figuur M.6.

Omdat hij ook dan al luchtweerstand ondervindt (Cw = 0,80), krijgt hij tijdens die ‘vrije val’ (geen natuurkundige vrije val!) al snel een constante snelheid.

Bij het openklappen van de parachute neemt de oppervlakte loodrecht op de bewegingsrichting flink toe. Bovendien heeft de parachute aan de onderkant een ‘ongestroomlijnde’ vorm, zodat Cw

toeneemt tot 1,35.

Stel, een parachutist met een totale massa van 95 kg maakt een sprong waarbij het hoogte-tijddiagram overeenkomt met figuur M.7.

40

Bepaal de oppervlakte van de vallende parachutist met en zonder parachute op grond van de steilheden van de twee rechte stukken in het diagram en met de eerste wet van Newton.

Figuur M.7

Figuur M.6

(21)

41

Schrijf een model met startwaarden voor de beweging van de parachutist en voer het uit.

• Neem een ALS … EINDALS constructie op voor het openklappen van de parachute. Ga er daarbij van uit dat de parachute geleidelijk openklapt.

• Kies de openklaptijd (topen) zodanig, dat de figuur op de vorige pagina ontstaat.

Noteer het model met startwaarden hieronder.

Hint: maak eerst een model, waarbij de parachute op een bepaald moment direct open is: de grafiek vertoont dan een knik. Lees de versnelling af die de parachutist op dat moment ondervindt.

42

Maak (Fres,t)-, (a,t)-, (v,t)- en (h,t)-diagrammen in het beeldscherm en laat ze controleren.

43

Bepaal aan de hand van je model het tijdstip waarop de parachutist 1000 m is gedaald.

Leg steeds nauwkeurig uit hoe je je antwoord hebt gevonden.

Met het (h,t)-diagram:

Met het (v,t)-diagram:

Met een tabel:

(22)

44

Bepaal aan de hand van het model de snelheid van de parachutist op t = 10 s.

Met het (h,t)-diagram:

Met het (a,t)-diagram:

45

Bepaal aan de hand van het model de versnelling van de parachutist op t = 10 s.

Met het (a,t)-diagram:

Met het (Fres,t)-diagram:

46

Toon met behulp van de resultaten van het model aan dat voor de snelheidsverandering die optreedt tijdens het openen van de parachute de wet van arbeid en kinetische energie geldt. Laat duidelijk zien hoe je aan je antwoord komt.

(23)

7 Een horizontale worp

De bewegingen die je tot nu toe hebt bekeken waren rechtlijnig ofwel eendimensionaal. Er is geen nieuwe theorie nodig om modellen voor tweedimensionale bewegingen te schrijven. De beweging in de éne richting speelt zich onafhankelijk af van die in de andere richting.

Daardoor blijven de basisregels van de mechanica en de vertaling ervan in modelregels gewoon hetzelfde, al worden ze nu op de twee bewegingsrichtingen toegepast.

Vanaf een toren wordt een bal met een massa van 240 g weggeworpen vanaf een hoogte van 80 m en met een horizontale beginsnelheid van 20 m/s.

47

Schrijf een model met startwaarden voor deze beweging met onderstaande structuur en voer het uit. Verwaarloos (voorlopig) de luchtweerstand.

Houd je aan de modelstructuur van het kader in hoofdstuk 2.

Gebruik het assenstelsel van figuur M.8.

Fx = m =

Fy = g =

ax = …

ay = dvx=

Figuur M.8 dvy=

vx :=

vy :=

dx = dy=

x :=

y :=

vtot = t :=

als …

(24)

48

Maak (Fx,t)-, (Fy,t)-, (ax,t)-, (ay,t)-, (vx,t)-, (vy,t)-, (x,t)-, (y,t)-, (vtot,t)- en (y,x)-diagrammen in het scherm en laat ze controleren.

49

Welke van de grafieken stelt de baan van de bal voor?

De (…..,…..)-grafiek.

50

Op welke afstand van de toren komt de bal terecht?

Geef je antwoord tot op cm nauwkeurig.

Afstand: ……… m 51

Vergelijk de grafieken met de tabel in figuur 14.6 in het leerboek 6 vwo en ga na wat voor soort bewegingen er in horizontale en verticale bewegingen plaatsvinden.

Geef op grond daarvan plaatsfuncties voor zowel de x- als de y-richting.

Horizontaal: een ……… beweging: x(t) = ………..

Verticaal: een ……… beweging: y(t) = ………..

52

Controleer het antwoord op opdracht 50 met behulp van de plaatsfuncties bij opdracht 51.

53

Geef een functieverband voor de (vtot,t)-grafiek (er mag dus nog alleen t in voorkomen).

Stel daartoe eerst de vx(t)- en de vx(t)-functie op en gebruik daarna de stelling van Pythagoras om de vtot(t)-functie af te leiden.

vx(t) = ……….

vy(t) = ……….

vtot(t) = ………

Controleer voor de volgende waarden van t of de (vtot,t)-grafiek juist is.

t(s) 0 1 2 3 4

berekend met vtot(t): ….. ….. ….. ….. …..

uitgelezen vtot(m/s) ….. ….. ….. ..… …..

De waarden komen wel / niet overeen.

Maximale procentuele afwijking:

(25)

Het model wordt uitgebreid tot een schuine worp omhoog. De beginsnelheid blijft 20 m/s.

Zie figuur M.9 hiernaast.

De hoek waaronder de bal wordt weggegooid met de horizontaal noemen we alfa.

Figuur M.9 54

Vul onderstaande regels voor de startwaarden aan en neem ze op in de startwaarden bij je model in de computer (in plaats van eerder ingevoerde startwaarden).

alfa = 40 v0 = 20 vx = … vy = … 55

Geef in het volledige scherm een weergave van de baan van de bal.

Pas de instelling aan, zodat de volledige baan in het diagram past.

Ga naar het programmaonderdeel SIMULEREN en teken in hetzelfde diagram de banen voor andere hoeken.

Onderzoek voor welke waarde van hoek alfa de bal het verst komt tot op honderdste graden nauwkeurig. Pas bij het nauwkeurig bepalen van de juiste alfa een ingezoomde instelling toe.

alfa = …….

56

De hoek waarbij de maximale afstand wordt overbrugd heet ook wel de optimale werphoek. De optimale werphoek is belangrijk voor bijvoorbeeld discus- of speerwerpers. Onderzoek of de optimale werphoek afhankelijk is van de beginsnelheid en leg duidelijk hoe je dit hebt onderzocht.

Antwoord: ja / nee, want: ……….…

……….

We breiden het model uit met een snelheidsafhankelijke wrijving; Fw,tot = k ∙ vtot 2

De ontbinding van deze wrijvingskracht in x- en y-richting is niet zo eenvoudig als het lijkt.

57

Toon aan dat niet geldt: F_w,x = k ∙ vx

2 en F_w,y = k ∙ vy 2

Vul beide formules daartoe in in: Fw,tot = Fw,x2 +Fw,y2

58

Toon aan dat wel geldt: Fw,x = k ∙ vx∙ vtot en Fw,y = k ∙ vy∙ vtot

(26)

59 Vul de regels in het model aan (let op +/− tekens!)

Fx = Fy = 60

Neem als startwaarden: alfa = 20 en v0 = 20.

Voor welke grootheid moet je een nieuwe startwaarde toevoegen?

voor: …………...

61

Onderzoek met behulp van SIMULEREN voor welke waarde van k de bal 25 m minder ver van de toren terechtkomt als in de situatie zonder luchtweerstand.

k = ……….

62

Druk een diagram van de baan van de bal af waarin zowel de grafiek met als die zonder luchtweerstand is te zien.

Voorzie de afdruk van je naam en ‘Opdracht 62’ en bewaar hem bij dit boekje.

We voeren aan het model een horizontale tegenwind met snelheid vwind toe.

Houd de waarde voor k aan, die je bij opdracht 61 hebt gevonden.

63

Pas de modelregel voor Fx hieraan aan:

Fx = 64

Onderzoek met SIMULEREN voor welke waarde van de windsnelheid de bal de voet van de toren raakt.

vwind = ………..

65

Druk een diagram van de baan van de bal af waarin hij de voet van de toren raakt.

66

De benodigde snelheid van de tegenwind om de voet van de toren te raken noemen we vvoet. Ga na of vvoet afhangt van de massa van de bal. Leg nauwkeurig uit hoe je aan je antwoord komt.

(27)

8 Radioactief verval

Niet alleen mechanicaproblemen kunnen worden gemodelleerd. In dit hoofdstuk leer je een model kennen voor radioactief verval. Hiermee haal je de kennis van hoofdstuk 5 uit het leerboek 4 vwo nog eens op.

Bij radioactief verval zendt een atoomkern een α-deeltje, β-deeltje of γ-foton uit en gaat daarbij over in een andere kern. De oorspronkelijke kern noemen we de moederkern, de ontstane kern de dochterkern. In een radioactief preparaat neemt het aantal moederkernen dus steeds af en het aantal dochterkernen steeds toe, althans als de dochterkern stabiel is.

Het vervalproces is een toevalsproces. Voor één afzonderlijk kern is niet te voorspellen wanneer hij vervalt. Voor een groot aantal kernen kun je wel voorspellen welk deel in een bepaalde tijd vervalt.

Hoe meer moederkernen er zijn, hoe meer er (per tijdseenheid) vervallen.

In het model geven we het aantal (nog aanwezige) moederkernen aan met de variabele Nmoeder. Het aantal moederkernen dat (per rekenstap) vervalt noemen we dNmoeder. Dit is recht evenredig met:

• het nog aanwezige aantal moederkernen, en

• de tijdsduur van de rekenstap.

Als constante in deze evenredigheid wordt λ gebruikt, de zogenaamde vervalconstante.

67

Kies driemaal:

Hoe groter de vervalconstante, hoe langzamer / sneller de moederkernen vervallen, dus hoe stabieler / instabieler de isotoop, dus hoe groter / kleiner de halveringstijd.

68

Leid de eenheid van de vervalconstante λ af.

69

Schrijf een model met startwaarden dat het aantal nog aanwezige moederkernen in de loop van de tijd uitrekent voor een preparaat met 10 000 kernen op t = 0. De isotoop heeft een vervalconstante van 0,2 (in SI-eenheden).

Laat je model controleren.

70

Maak de (N,t)-grafiek en bepaal de halveringstijd.

t½ = ……….

(28)

71

De halveringstijd hangt met de vervalconstante samen volgens: t½ = ln 2 / λ.

Bereken de halveringstijd op grond van deze formule en vergelijk het resultaat met de uitkomst van het model.

72

Ga met simuleren na of het bij opdracht 67 geformuleerde kwalitatieve verband juist is.

Leg duidelijk uit welke handelingen je daartoe verricht.

De activiteit van een preparaat A(t) is het aantal vervalreacties per seconde. Omdat bij elke reactie het aantal moederkernen met één afneemt, is de activiteit per definitie ook gelijk aan de afgeleide van het aantal moederkernen. Omdat N steeds afneemt geldt: A(t) = −N’(t) = −constante · N(t).

73

Laat zien dat dit verband in de modelregels al is verwerkt.

Schrijf N’(t) daartoe als dN/dt.

74

Maak in hetzelfde diagram als voor N ook de grafiek voor A.

Laat zien dat geldt: A = constante ∙ N en bepaal de constante.

Leg duidelijk uit hoe je je antwoord hebt gevonden.

constante = ………….

75

Voeg aan het model een regel en startwaarde toe waarmee je het aantal dochterkernen ‘Ndochter’

berekent. Maak in hetzelfde diagram een grafiek van het aantal dochterkernen.

Laat je grafiek controleren.

(29)

76

Als de dochterkernen zelf niet stabiel zijn, vervallen ze verder tot ‘kleindochterkernen’.

Stel dat de vervalconstante bij dit verval gelijk is aan 0,1.

Verander het model zodat ook met dit verval rekening wordt gehouden. Bereken in het model ook het aantal kleindochterkernen Nkleindochter.

Laat je modelregels controleren voordat je ze invoert.

77

Maak in één diagram grafieken van Nmoeder, Ndochter en Nkleindochter als functie van de tijd en druk het af.

78

Maak ook grafieken van de afgeleiden van de drie (N,t)-grafieken in hetzelfde diagram en maak de drie (N,t)-grafieken onzichtbaar.

Laat zien dat de som van de drie afgeleiden op elk moment 0 is.

Beschrijf nauwkeurig hoe je dat doet.

79

Verklaar waarom de som van de drie afgeleiden nul is.

(30)

9 De ruimteslinger

In voorbeeld 10 in paragraaf 8.4 van het leerboek vwo heb je kennisgemaakt met een model voor een sonde die in het gravitatieveld van een denkbeeldige planeet beweegt. Met het model kun je aantonen dat het mogelijk is om zo’n sonde bij de passage van de planeet te versnellen. De sonde krijgt dan een extra ‘slinger’ de ruimte in.

Een sonde die zich op afstand r van een planeet bevindt, heeft een gravitatie-energie van

Eg = −[G · m · M] / r. Stel dat de sonde zich op t = 0 s op deze afstand van een stilstaande planeet bevindt, vervolgens de planeet nadert, zich daarna weer verwijdert en zich op t = t* weer op dezelfde afstand r van de planeet bevindt.

80

Leg met een energiebeschouwing uit dat de snelheid van de sonde op t = t* gelijk is aan de snelheid op t = 0 s.

De extra ‘slinger’ ofwel de snelheidstoename van een sonde kan dus alleen optreden als de planeet wel een snelheid heeft. Dit verschijnsel wordt in het model van figuur M.10 onderzocht.

Vraag je docent of het model ergens beschikbaar is of dat je het moet invoeren.

r = sqrt((xs−xp)^2+(ys−yp)^2) Fg = 10E7/r^2

Fgx = −Fg * (xs−xp)/r Fgy = −Fg * (ys−yp)/r ax = Fgx/m

ay = Fgy/m vx := vx + ax * dt vy := vy + ay * dt v = sqrt(vx^2 + vy^2) xs := xs + vx * dt ys := ys + vy * dt t := t + dt xp := xp + vpx * dt

t = 0 dt = 0,0005 m = 100 xs = −1000 ys = 260 xp = 0 yp = 150 vpx = −5 vx = 33,2 vy = −15

Figuur M.10

(31)

81

Bereken van welke waarde voor de massa van de planeet dit model uitgaat.

82

Geef in onderstaand (x,y)-assenstelsel (figuur M.11) de positie van de sonde en de planeet op t = 0 s weer.

Teken ook de snelheidsvectoren van zowel planeet en sonde in de juiste richting en in de juiste verhouding tot elkaar.

Figuur M.11 83

Geef in figuur M11 de grootheden r, x_s− xp en y_s− yp in de tekening van opdracht 82 weer. Teken ook de vector van de gravitatiekracht, die de sonde van de planeet ondervindt en ontbind die in de x- en y-richting.

Leg nu de regel ‘Fgx = −Fg * (xs-xp)/r’ van het model uit.

(32)

84

Ga na of de sonde in de situatie van deze startwaarden door de passage van de planeet een snelheidstoename of -afname ondergaat.

Leg nauwkeurig uit welke tabel of grafiek je maakt en hoe je op grond hiervan tot je conclusie komt.

85

Ga met het model na dat de bewering die je in opdracht 80 met een energiebeschouwing hebt moeten aantonen, juist is.

Beschrijf nauwkeurig wat je doet om tot een conclusie te komen.

86

Ga door simulatie van de variabelen na bij welke startwaarden de passerende sonde een snelheidstoename krijgt en wanneer juist een afname.

Beschrijf welke variabele(n) je systematisch simuleert en trek een zo scherp mogelijke conclusie.

(33)

10 Afsluiting: gps-satelliet

Als afsluiting vind je in deze paragraaf een opgave uit een computerexamen (naar compex-examen vwo natuurkunde 1,2 uit 2003). Het gaat over een gps-satelliet die met behulp van een draagraket en een stuurraket in een baan om de aarde wordt gebracht.

Gps-satelliet vertelt op halve meter nauwkeurig waar je bent

Weten waar je bent is van groot belang voor iemand die reist, vooral op zee, in de lucht of in de woestijn. Het Global Positioning System (gps) is daarbij een nauwkeurig hulpmiddel.

Dit navigatiesysteem bestaat uit 24 gps- satellieten die in verschillende banen op een hoogte van zo’n 20 000 km boven het aardoppervlak draaien.

Door de signalen van een aantal satellieten te verwerken, kan overal ter wereld tot op een halve meter nauwkeurig de positie worden vastgesteld.

Om het systeem in stand te houden, worden regelmatig nieuwe gps-satellieten

gelanceerd. Eerst wordt een draagraket in een baan op ruim duizend kilometer hoogte gebracht. Vanuit deze draagraket wordt daarna de satelliet naar zijn uiteindelijke baan geschoten.

Figuur M.12

Je gaat in onderstaand computermodel de banen van de draagraket en de satelliet nabootsen. Voer het model in of vraag aan je docent of je het model kunt downloaden.

r = sqrt(x^2 + y^2) v = sqrt(vx^2 + vy^2) a = −G * M / r^2 ax = a * x / r ay = a * y / r vx := vx + ax * dt vy := vy + ay * dt x := x + vx * dt y := y + vy * dt t := t + dt

t = 0 ʹs

dt = 2 ʹs

M = 5,976E24 ʹkg G = 6,67E−11 ʹN/m2kg2

vx = 0 ʹm/s

vy = −9,1E3 ʹm/s x = 7,578E6 ʹm

y = 0 ʹm

Figuur M.13

(34)

87

Leg uit waarom in dit model geen variabele voor de massa van de draagraket nodig is.

Voer het model uit. De draagraket draait enkele keren in een cirkelbaan om de aarde.

88

Ga na of de hoogte waarop de draagraket boven het aardoppervlak rondcirkelt overeenstemt met het artikel. Beschrijf hoe je aan je antwoord komt.

Zie figuur M.14. Vanuit de draagraket wordt op een bepaald moment de gps-satelliet gelanceerd in punt A van de baan. De satelliet komt daardoor in een elliptische baan om de aarde terecht. Door de startwaarde van vy aan te passen, beschrijft het model nu de ellipsbaan van de satelliet.

89

Ga met simuleren na welke waarde vy moet krijgen, zodat het verste punt B van de ellips op 28 · 10⁶ m van het middelpunt van de aarde komt te liggen.

vy = ………..

Figuur M.14

Laat je antwoord controleren en sla de nieuwe startwaarde voor vy in het model op.

Als de satelliet van A naar B beweegt, neemt zijn snelheid af.

90

Leg dat uit met een energiebeschouwing.

(35)

Iemand beweert dat de snelheid van de satelliet omgekeerd evenredig is met de afstand van de satelliet tot met middelpunt van de aarde.

91

Ga na of deze bewering juist is. Ga daarbij uit van de punten A en B en beschrijf duidelijk hoe je aan je antwoord komt.

92

Bepaal de omlooptijd van de satelliet in zijn ellipsbaan. Beschrijf hoe je aan je antwoord komt.

T = … uur en …. minuten

Het is de bedoeling dat de satelliet uiteindelijk in een cirkelbaan door B gaat rondcirkelen. Daartoe geeft men de satelliet (m = 900 kg) in B met behulp van een stuurraket een impulsverandering.

93

Bereken de arbeid die de stuurraket daartoe op de satelliet moet verrichten. Bereken daartoe eerst de snelheid die de satelliet moet krijgen.

94

Controleer met het model of de satelliet met de door jou in opdracht 93 berekende snelheid de gewenste cirkelbaan gaat beschrijven. Vul daartoe in onderstaande regel waarden in en vul het model met deze regel aan.

Als t = ………. dan vy = ………. eindals