Niet alleen mechanicaproblemen kunnen worden gemodelleerd. In dit hoofdstuk leer je een model kennen voor radioactief verval. Hiermee haal je de kennis van hoofdstuk 5 uit het leerboek 4 vwo nog eens op.
Bij radioactief verval zendt een atoomkern een α-deeltje, β-deeltje of γ-foton uit en gaat daarbij over in een andere kern. De oorspronkelijke kern noemen we de moederkern, de ontstane kern de dochter-kern. In een radioactief preparaat neemt het aantal moederkernen dus steeds af en het aantal dochterkernen steeds toe, althans als de dochterkern stabiel is.
Het vervalproces is een toevalsproces. Voor één afzonderlijk kern is niet te voorspellen wanneer hij vervalt. Voor een groot aantal kernen kun je wel voorspellen welk deel in een bepaalde tijd vervalt.
Hoe meer moederkernen er zijn, hoe meer er (per tijdseenheid) vervallen.
In het model geven we het aantal (nog aanwezige) moederkernen aan met de variabele Nmoeder. Het aantal moederkernen dat (per rekenstap) vervalt noemen we dNmoeder. Dit is recht evenredig met:
• het nog aanwezige aantal moederkernen, en
• de tijdsduur van de rekenstap.
Als constante in deze evenredigheid wordt λ gebruikt, de zogenaamde vervalconstante.
67
Kies driemaal:
Hoe groter de vervalconstante, hoe langzamer / sneller de moederkernen vervallen, dus hoe stabieler / instabieler de isotoop, dus hoe groter / kleiner de halveringstijd.
68
Leid de eenheid van de vervalconstante λ af.
69
Schrijf een model met startwaarden dat het aantal nog aanwezige moederkernen in de loop van de tijd uitrekent voor een preparaat met 10 000 kernen op t = 0. De isotoop heeft een vervalconstante van 0,2 (in SI-eenheden).
Laat je model controleren.
model startwaarden
70
Maak de (N,t)-grafiek en bepaal de halveringstijd.
t½ = ……….
71
De halveringstijd hangt met de vervalconstante samen volgens: t½ = ln 2 / λ.
Bereken de halveringstijd op grond van deze formule en vergelijk het resultaat met de uitkomst van het model.
72
Ga met simuleren na of het bij opdracht 67 geformuleerde kwalitatieve verband juist is.
Leg duidelijk uit welke handelingen je daartoe verricht.
De activiteit van een preparaat A(t) is het aantal vervalreacties per seconde. Omdat bij elke reactie het aantal moederkernen met één afneemt, is de activiteit per definitie ook gelijk aan de afgeleide van het aantal moederkernen. Omdat N steeds afneemt geldt: A(t) = −N’(t) = −constante · N(t).
73
Laat zien dat dit verband in de modelregels al is verwerkt.
Schrijf N’(t) daartoe als dN/dt.
74
Maak in hetzelfde diagram als voor N ook de grafiek voor A.
Laat zien dat geldt: A = constante ∙ N en bepaal de constante.
Leg duidelijk uit hoe je je antwoord hebt gevonden.
constante = ………….
75
Voeg aan het model een regel en startwaarde toe waarmee je het aantal dochterkernen ‘Ndochter’
berekent. Maak in hetzelfde diagram een grafiek van het aantal dochterkernen.
Laat je grafiek controleren.
model startwaarden
76
Als de dochterkernen zelf niet stabiel zijn, vervallen ze verder tot ‘kleindochterkernen’.
Stel dat de vervalconstante bij dit verval gelijk is aan 0,1.
Verander het model zodat ook met dit verval rekening wordt gehouden. Bereken in het model ook het aantal kleindochterkernen Nkleindochter.
Laat je modelregels controleren voordat je ze invoert.
model startwaarden
77
Maak in één diagram grafieken van Nmoeder, Ndochter en Nkleindochter als functie van de tijd en druk het af.
Voorzie de afdruk van je naam en ‘Opdracht 77’ en bewaar hem bij dit boekje.
78
Maak ook grafieken van de afgeleiden van de drie (N,t)-grafieken in hetzelfde diagram en maak de drie (N,t)-grafieken onzichtbaar.
Laat zien dat de som van de drie afgeleiden op elk moment 0 is.
Beschrijf nauwkeurig hoe je dat doet.
79
Verklaar waarom de som van de drie afgeleiden nul is.
9 De ruimteslinger
In voorbeeld 10 in paragraaf 8.4 van het leerboek vwo heb je kennisgemaakt met een model voor een sonde die in het gravitatieveld van een denkbeeldige planeet beweegt. Met het model kun je aantonen dat het mogelijk is om zo’n sonde bij de passage van de planeet te versnellen. De sonde krijgt dan een extra ‘slinger’ de ruimte in.
Een sonde die zich op afstand r van een planeet bevindt, heeft een gravitatie-energie van
Eg = −[G · m · M] / r. Stel dat de sonde zich op t = 0 s op deze afstand van een stilstaande planeet bevindt, vervolgens de planeet nadert, zich daarna weer verwijdert en zich op t = t* weer op dezelfde afstand r van de planeet bevindt.
80
Leg met een energiebeschouwing uit dat de snelheid van de sonde op t = t* gelijk is aan de snelheid op t = 0 s.
De extra ‘slinger’ ofwel de snelheidstoename van een sonde kan dus alleen optreden als de planeet wel een snelheid heeft. Dit verschijnsel wordt in het model van figuur M.10 onderzocht.
Vraag je docent of het model ergens beschikbaar is of dat je het moet invoeren.
model startwaarden
81
Bereken van welke waarde voor de massa van de planeet dit model uitgaat.
82
Geef in onderstaand (x,y)-assenstelsel (figuur M.11) de positie van de sonde en de planeet op t = 0 s weer.
Teken ook de snelheidsvectoren van zowel planeet en sonde in de juiste richting en in de juiste verhouding tot elkaar.
Figuur M.11 83
Geef in figuur M11 de grootheden r, xs− xp en ys− yp in de tekening van opdracht 82 weer. Teken ook de vector van de gravitatiekracht, die de sonde van de planeet ondervindt en ontbind die in de x- en y-richting.
Leg nu de regel ‘Fgx = −Fg * (xs-xp)/r’ van het model uit.
84
Ga na of de sonde in de situatie van deze startwaarden door de passage van de planeet een snelheidstoename of -afname ondergaat.
Leg nauwkeurig uit welke tabel of grafiek je maakt en hoe je op grond hiervan tot je conclusie komt.
85
Ga met het model na dat de bewering die je in opdracht 80 met een energiebeschouwing hebt moeten aantonen, juist is.
Beschrijf nauwkeurig wat je doet om tot een conclusie te komen.
86
Ga door simulatie van de variabelen na bij welke startwaarden de passerende sonde een snelheidstoename krijgt en wanneer juist een afname.
Beschrijf welke variabele(n) je systematisch simuleert en trek een zo scherp mogelijke conclusie.