Hoofdstuk 6: Modelleren Paragraaf 1: Modelleren
1 In woorden staat er:
‘De nieuwe waarde voor de tijd wordt gelijk aan de oude waarde van de tijd plus het tijdstapje dt’.
Deze regel zorgt ervoor dat elke keer dat de modelregels doorlopen worden, de tijd een stapje dt vooruit gezet wordt.
2
3 a.
b. Bij ‘bac = 1000000’ stopt het programma alleen als de waarde van ‘bac’ precies gelijk wordt aan 1000000. De kans hierop is klein. Vandaar dat dit niet werkt. Wat wel werkt is dat we het programma stop zetten zo snel als 1000000 overschreven is.
Als we dt kleiner maken, dan stopt de grafiek steeds dichter bij het punt waarop er 1000000 bacteriën zijn.
4
5
6
Paragraaf 2: De vrije val
1 Elk tijdstapje moet de verplaatsing Δx tijdens een tijdstapje bij de positie x opgeteld worden.
Dit schrijven we als:
x = x + dx
Met dx/dt=v, herschrijven we dit tot:
x = x + v*dt
Elk tijdstapje moet de toename van de snelheid Δv tijdens een tijdstapje bij de snelheid v opgeteld worden. Dit schrijven we als:
v = v + dv
Met dv/dt=a, herschrijven we dit tot:
v = v + a*dt
2 a.
b. We hebben in het bovenstaande voorbeeld te grote stappen in de tijd genomen. Hierdoor zijn er maar weinig meetpunten die met elkaar verbonden worden.
c.
Als we de grafiek aflezen vinden we dat de grafiek de grond raakt op tijdstip t = 32 s.
d. Elk tijdstapje dt berekent het programma de nieuwe positie van de steen. De kans is groot dat door het gebruik van deze stapjes de waarde van x nooit precies 0 wordt. Dit is op te lossen door ‘x<0’ te gebruiken. Nu stopt het programma zo snel als de steen over x = 0 is gestapt.
Hoe kleiner we dt maken, hoe dichter de steen zal stoppen bij de x = 0.
3 a.
b.
4
Paragraaf 3: De val met wrijving
1
2 a.
b.
In de grafiek lezen we af dat de maximale snelheid gelijk was aan ongeveer 360 m/s. Dit is groter dan de geluidsnelheid (343 m/s).
3
4
5 De afzetkracht werkt alleen als de voeten van de persoon de grond nog raken. Dit is alleen het geval als y kleiner is dan yB.
als( y < yB) dan Fafzet = C*(yB – y)
Als de voeten van de grond zijn, dan is de afzetkracht gelijk aan nul:
Fafzet = 0
Op het hoogste punt is de snelheid even nul. We gebruiken daarom:
als( v < 0 ) dan stop
6 De massa van de brandstof neemt na verloop van tijd af. Hierdoor neemt de zwaartekracht af en als gevolg neemt de resulterende kracht toe.
De versnelling wordt gegeven door a = Fres/m. Omdat m naar beneden gaat en Fres omhoog gaat, zien we dat de versnelling groter wordt.
Paragraaf 4: De worp
1
a.
b.
c. Op beide ballen werkt maar één kracht (de zwaartekracht) en deze werkt in beide gevallen verticale richting. De beweging in de verticale richting is in beide gevallen dus gelijk.
d. De snelheid in de horizontale richting blijft gelijk, want in deze richting werken geen krachten.
2
a.
b.
Paragraaf 5: De gravitatiekracht modelleren
1 Ellipsbaan:
Deel van hyperbolische baan:
2
3
a. Om er voor te zorgen dat de raket de aarde verlaat, moet deze een beginsnelheid hebben.
Zonder beginsnelheid zou de raket op de aarde blijven staan.
b. Dit is de straal van de aarde. Er geldt dus:
RA = 6,378 x 103 m
c. We hebben de formule voor de gravitatiekracht nodig. De ‘r’ in deze formule is de afstand tussen het middelpunt van beide massa’s. In dit geval gaat dit om de massa van de zon en de massa van de raket. De afstand tussen deze massa’s is dAZ – x. Er geldt dus:
Fzon = GMzonm/(dAZ - x)2
De gravitatiekracht van de zon werkt naar rechts (positief) en de gravitatiekracht van de aarde werkt naar links (negatief). We vinden dus:s
Fres = Fzon – FA
d. De raket stopt als de zon bereikt is. De positie van de raket (x), is dan gelijk aan dAZ – Rzon: als (x > dAZ – Rzon) dan {stop}
