Hoofdstuk 8: Modelleren Paragraaf 1: Modelleren
1 In woorden staat er:
‘De nieuwe waarde voor de tijd wordt gelijk aan de oude waarde van de tijd plus het tijdstapje dt’.
Deze regel zorgt ervoor dat elke keer dat de modelregels doorlopen worden, de tijd een stapje dt vooruit gezet wordt.
2
3 a.
b. Bij ‘bac = 1000000’ stopt het programma alleen als de waarde van ‘bac’ precies gelijk wordt aan 1000000. De kans hierop is klein. Vandaar dat dit niet werkt. Wat wel werkt is dat we het programma stop zetten zo snel als 1000000 overschreven is.
4
5 Eerst nemen we 5% (factor = 0,05) van het aantal deeltjes dat er op een bepaald moment is (N = 100). Deze regel wordt “afname = N x factor”. Dan halen we dit van het totaal aantal deeltjes af. Deze regel wordt “N = N - afname”.
Paragraaf 2: De vrije val
1 Elk tijdstapje willen we de nieuwe snelheid van het voorwerp bepalen. De snelheidstoename (of afname) gedurende een tijdstapje is “dv”. De nieuwe snelheid na een tijdstapje is de oude snelheid plus de toename van de snelheid (v = v + dv). Omdat dv = a*dt, kunnen we dit herschrijven tot: “v = v + a*dt”
Elk tijdstapje willen we ook de nieuwe positie van het voorwerp bepalen. De positietoename (of afname) gedurende een tijdstapje is “dx”. De nieuwe positie na een tijdstapje is de oude positie plus de toename van de positie (x = x + dx). Omdat dx = v*dt, kunnen we dit
herschrijven tot: “x = x + v*dt”
2 a.
b. We hebben in het bovenstaande voorbeeld te grote stappen in de tijd genomen. Hierdoor zijn er maar weinig meetpunten die met elkaar verbonden worden.
c.
Als we de grafiek aflezen vinden we dat de grafiek de grond raakt op tijdstip t = 32 s.
d. Elk tijdstapje dt berekent het programma de nieuwe positie van de steen. De kans is groot dat door het gebruik van deze stapjes de waarde van x nooit precies 0 wordt. Dit is op te lossen door ‘x<0’ te gebruiken. Nu stopt het programma zo snel als de steen over x = 0 is gestapt.
Hoe kleiner we dt maken, hoe dichter de steen zal stoppen bij de x = 0.
2 a.
b. De steen moet dus stoppen als de x kleiner wordt dan 5 m, maar aan het begin van de beweging is x ook al onder de 5 meter. Hier moet de steen echter nog niet stoppen. We kunnen dit oplossen door ook te eisen dat het voorwerp naar beneden moet bewegen. Dit doen we door te stellen dat de snelheid negatief moet zijn. We hebben daarom twee alsdan- stellingen nodig:
als(x<5){
als(v<0){stop}
}
Dit kunnen we korter schrijven als:
als(x<5 && v<0){stop}
3 Als de stuiterbal op de grond komt, dan moet de snelheid van richting veranderen en de snelheid moet met een factor 0,8 verkleint worden. We schrijven dus:
Als(x<0) Dan{v = -v*0.8}
(VOOR DE PRO’S: Zoals je in de bovenstaande afbeelding kunt zien, komt de stuiterbal op een gegeven moment niet meer omhoog. Dit komt doordat de stuiterbal zo ver onder de x = 0 komt te zitten, dat deze er niet meer bovenuit komt. De volgende iteratie wordt de positieve snelheid door de alsdan-stelling juist negatief en gaat het deeltje juist weer naar beneden. Zo komt het deeltje vast te zitten. Dit kan je voorkomen door de alsdan-stelling te vervangen door:
Als(x<0)
Dan{v = abs(v)*0.8}
De abs() noemen we ook wel de absolute waarde. Deze wiskundige operatie zorgt ervoor dat de waarde tussen de haken altijd positief wordt. We krijgen dan het volgende resultaat:
4
