Wiskunde voor 2 vwo

(1)

Wiskunde voor

2 vwo

Deel 1, Antwoordenboek

Versie 2013

Samensteller

(2)

Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechtheb- bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.

Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal

Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).

Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via info@math4all.nl.

Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

(3)

Inhoud

1 Machten en wortels 2 1.1 Kwadraten 2 1.2 Wortels 4

1.3 Rekenen met wortels 7 1.4 Machten 9

1.5 Meneer Van Dalen 11

1.6 Wetenschappelijke notatie 13 1.7 Soorten getallen 14

1.8 Totaalbeeld 16

2 Symmetrie 19 2.1 Lijnsymmetrie 19 2.2 Puntsymmetrie 22 2.3 Draaisymmetrie 24 2.4 Driehoeken 26 2.5 Vierhoeken 28 2.6 Totaalbeeld 31

3 Formules voor omtrek en oppervlakte 34 3.1 Oppervlakteformules 34

3.2 Oppervlakte van driehoeken 36 3.3 Oppervlakte van vierhoeken 38 3.4 Omtrek cirkel 41

3.5 Oppervlakte cirkel 42 3.6 Eenheden 44

3.7 Totaalbeeld 46

4 Vergelijkingen 48 4.1 Rekenschema's 48 4.2 Balansmethode 51 4.3 Haakjes in formules 57 4.4 Machten in formules 60 4.5 Breuken in formules 62 4.6 Totaalbeeld 65

(4)

PAGINA 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

1 Machten en wortels

1.1 Kwadraten

a

1 3 × 3 = 9 cm². b 21 bij 21.

c Omdat je daarvoor een meter met een meter moet vermenigvuldigen. Je hebt dus in 2 richtingen met een m te maken.

2 316 bij 316 en 317 bij 317.

a

3 7 × 7 = 49

b Als zeven kwadraat.

a

4 6²= 36 b 25²= 625

(5)

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS

c 3,5²= 12,25 d (¹₃)²=¹₉

e 2,2²= 4,84 f (2²₃)²= 7⁴₉

5 Doen, oefen ze met een medeleerling.

a

6 Dat is het kwadraat van 38, maar dan gedeeld door 10²= 100.

b ₁₇⁵ =₂₈₉²⁵ c u� = 2,3

d 20²+ 3²= 400 + 9 = 409 en 23²= 529.

Je kunt dit ook laten zien door een vierkant van 23 bij 23 zo op te delen dat er een vierkant van 20 bij 20 en eentje van 3 bij 3 ontstaan. Er blijven dan twee stukken over.

a

7 (−3)²= 9

b Het verschil zit in de rekenvolgorde. Bij (−3)²bereken je −3 × −3 en bij −3²bereken je −3 × 3.

c u� = 3 of u� = −3.

a

8 De zijden van het vierkant lopen steeds onder een hoek van 45^∘met de roosterlijnen. Met elkaar maken zijden die aan elkaar vast zitten dus een hoek van 2 × 45 = 90^∘.

b 8 cm².

c Je vindt ongeveer 2,83 cm.

a

9 Bekijk het plaatje en zie hoe er binnen de roosterﬁguur gelijke rechthoekige driehoeken op de roosterlijnen zijn te maken. Van elke rechthoekige driehoek zijn de twee niet-rechte hoeken samen 90^∘.

b 10 cm².

a

10 3,3²= 10,89 b 0,9²= 0,81 c −2,7²= −7,29 d (−0,1)²= 0,01

e 15²− 13²= 225 − 169 = 56 f (15 − 13)²= 2²= 4

a

11 (²₅)²=₂₅⁴ b (−³₈)²= ₆₄⁹ c (−1¹₄)²= 1₁₆⁹ d − (2²₅)²= −5¹⁹₂₅

(6)

12 Verdeel het vierkant van 1,5 bj 1,5 zo dat er een vierkant van 1 bij 1 en eentje van 0,5 bij 0,5 ontstaan.

Er blijven dat twee rechthoeken van 1 bij 0,5 over.

a

13 Bekijk het plaatje en zie hoe er binnen de roosterﬁguur gelijke rechthoekige driehoeken op de roosterlijnen zijn te maken. Van elke rechthoekige driehoek zijn de twee niet-rechte hoeken samen 90^∘.

b 13 cm².

a

14 u� = 11 of u� = −11.

b u� = 2,1 of u� = −2,1.

c u� = ⁴₃ of u� = −⁴₃. a

15 51²= 50²+ 2 × 50 × 1 + 1²= 2500 + 100 + 1 = 2601.

b 98²= 100²− 2 × 100 × 2 + 2²= 10000 − 400 + 4 = 9604.

c 10,4²= 10²+ 2 × 10 × 0,4 + 0,4²= 100 + 8 + 0,16 = 108,16.

16 Je zult zien dat 35²= 1225, want 3,5 ligt tussen 3 en 4 in en 3 × 3 = 12.

Probeer meer getallen.

Om in te zien hoe deze ‘truc’ werkt kun je een vierkant tekenen van 35 bij 35 en dit verdelen zo dat er een vierkant van 30 bij 30 en een vierkantje van 5 bij 5 in ontstaan. Nu één van de twee overblijvende rechthoekjes slim verplaatsen en de verklaring is gevonden...

1.2 Wortels

a

1 2 cm². b 1,41 cm.

c Omdat u�²= 2 geen gehele oplossingen heeft.

a

2 √64 = 8

b (√7)²= 7 a

3 √49 = 7

b √144 = 12 c √2,25 = 1,5 d √⁴9 =²₃

e √0,64 = 0,08

(7)

f √316¹ = 1³₄ 4 Tussen 11 en 12.

a

5 √64 = 8

b √100 = 10 c √144 = 12 d √225 = 15 e √2,25 = 1,5

f √6,25 = 2,5 g √0,09 = 0,3 h √0,36 = 0,6

a

6 √¹9 =¹₃ b √25¹ =¹₅ c √16⁹ =³₄ d √²⁵36=⁵₆

e √116⁹ = 1¹₄ f √2¹4 = 1¹₂ g √2⁷9 = 1²₃ h √20¹4 = 4¹₂

a

7 Eigen antwoord.

b Eigenlijk zou je als antwoord −4 willen geven, maar het gaat zo: √(−4)²= √16 = 4.

c Neem bijvoorbeeld √−16. Je zou als antwoord wellicht −4 willen geven, maar het kwadraat van −4 is 16 en niet −16.

Je kunt je ook geen vierkant voorstellen met een oppervlakte van −16 waar de zijde dan een lengte van √−16 zou moeten hebben.

a

8 √4²= √16 = 4.

b √4²= 2²= 4.

c Als je een niet-negatief getal eerst kwadrateert en dan uit het resultaat de wortel trekt komt het begingetal er weer uit. Als je uit een niet-negatief getal eerst de wortel trekt en dan het resultaat kwadrateert komt ook het begingetal er weer uit.

a

9 Het vierkant bestaat uit 4 halve roosterhokjes.

b Je vindt 14 mm.

En 1,4²= 1,96 ≠ 2.

c Ook 1,414213562²≠ 2.

d √2 kan geen geheel getal zijn want ligt tussen 1 en 1 omdat 1² = 1 en 2² = 4. Dit betekent dat √2 cijfers achter de komma heeft en als je zo’n getal gaat kwadrateren kom je nooit precies op een geheel getal uit.

e Waarschijnlijk krijg je √2 = 1,414213562 (of nog meer decimalen). Druk je met dit getal in beeld op de kwadraattoets dan geeft je machine waarschijnlijk 2 als antwoord, hoewel dat eigenlijk niet klopt.

Kennelijk heeft je machine nog meer decimalen in zijn geheugen en dan kan het kwadraat met afronden toch wel 2,000000000 zijn en komt er 2 in beeld.

a

10 Schatting: 1 < √3 < 2 (gebruik de kwadraten die je uit het hoofd kent).

Benadering: √3 ≈ 1,7321.

(8)

b Schatting: 7 < √50 < 8 (gebruik de kwadraten die je uit het hoofd kent).

c Schatting: 0 < √0,4 < 1.

Benadering: √0,4 ≈ 0,6325.

d Schatting: 31 < √1000 < 32 (wel erg nauwkeurig, dat √1000 tussen 30 en 40 ligt moet je nog wel uit het hoofd kunnen schatten).

Benadering: √1000 ≈ 31,6228.

e Schatting: 2 < √5¹3 < 3.

Benadering: √5¹3 ≈ 2,3094.

f √−21 kun je niet benaderen.

g Schatting: −5 < −√21 < −4.

Benadering: −√21 ≈ −4,5826.

h Schatting: 4 < √50 − √5 < 5 (lastige schatting, √50 ≈ 7 en √5 ≈ 2).

Benadering: √50 − √5 ≈ 4,8350.

a

11 √121 = 11 b √196 = 14 c √4,41 = 2,1 d √0,0025 = 0,15

e √73 − 8 = 8 f √1¹⁵49= 1¹₇

g √625 − √361 = 25 − 19 = 6 h −√0,36 = 0,6

a

12 √20 cm.

b Tussen 4 en 5, want 4²= 16 en 5²= 25.

c Ongeveer 4,472 cm.

d 4,472²= 19,998784 en dus niet precies 20.

a

13 Schatting: 2 < √5 < 3.

b Schatting: 9 < √96 < 10.

c Schatting: 0 < √0,0014 < 1.

Benadering: √0,0014 ≈ 0,0374.

d Schatting: 40 < √1700 < 50 (het is nu nit nodig om te schatten tussen welke twee opeenvolgende gehele getallen deze wortel ligt, het gaat vooral om de orde van grootte).

Benadering: √1700 ≈ 41,2311.

e Schatting: 3 < √15¹5 < 4.

Benadering: √15¹5 ≈ 3,8987.

f Schatting: 24 < 12 ⋅ √5 < 36.

Benadering: 12 ⋅ √5 ≈ 26,8328.

a

14 Noem de lengte van elke zijde van het vierkant u�, dan volgt uit 𝐴 = 25 dat u� = 5 en dus 𝑃 = 4 ⋅ 5 = 20.

b Noem de lengte van elke zijde van het vierkant u�, dan volgt uit 𝐴 = 24 dat u� = √24 en dus 𝑃 = 4 ⋅ √24.

c 𝑃 = 4 ⋅ √𝐴 d 𝐴 = (¹₄ ⋅ 𝑃)²

e Behalve de ﬂauwe waarde 𝐴 = 𝑃 = 0 is er ook nog 𝐴 = 𝑃 = 16.

(9)

a

15 √13²= 13 b √13²= 13

c √7²− 2 ⋅ √49 = −7 d √256 − √15²= 1

a

16 Verdeel de ﬁguur in vierkanten en halve rechthoeken. Teken hem eventueel eerst zelf na.

b 𝐴𝐵 = √20 ≈ 4,47 c Doen.

17 Werk met een ﬁguur zoals deze. Op een groen vierkant met een oppervlakte van 5 ligt een rood vierkant met een oppervlakte van 3. Het deel van het groene vierkant dat nog zichtbaar is heeft een oppervlakte van 2. De zijden van de paars omrande rechthoek zijn nu √5 + √3 en √5 − √3 omdat het paars gekleurde rechthoekje en het groene rechthoekje dat niet in de paars omrande rechthoek zit even groot zijn. De oppervlakte van die paars omrande rechthoek is daarom precies even groot als die van alle zichtbare groen, dus 2.

1.3 Rekenen met wortels

a

1 18 cm². b 3 ⋅ √2 cm.

c 3 ⋅ √2 ⋅ 3 ⋅ √2 = 3 ⋅ 3 ⋅ √2 ⋅ √2 = 9 ⋅ (√2)²= 9 ⋅ 2 = 18.

a

2 √5 cm.

b Je maakt dan de zijden van het getekende vierkant precies twee keer zo groot.

c Het kunt ze allebei voorstellen als vergrotingen van een lijnstuk met lengte √5.

d 5√5.

e √5.

a

3 De oppervlakte is √20.

b 2√5 ⋅ 2√5 = 2 ⋅ 2 ⋅ √5 ⋅ √5 = 4 ⋅ (√5)²= 4 ⋅ 5 = 20 a

4 √2 + 3 + 4 = √9 = 3 b √2 + √3 + √4 ≈ 5,15 c √5 + √5 + √5 = 3√5 ≈ 6,71 d 6√5 + 3√5 − 5√5 = 4√5 ≈ 8,94

a

5 √6 + √6 = 2√6 b 2√3 + 5√3 = 7√3 c 4√7 + √7 = 5√7 d 4√7 + 2√9 = 4√7 + 6

(10)

e 5√3 − 3√3 = 2√3 f 4√7 − 3√7 = √7 g 8√6 − √16 = 8√6 − 4 h 8√6 − √6 = 7√6

a

6 (√2 ⋅ √3)²= √2 ⋅ √3 ⋅ √2 ⋅ √3 = √2 ⋅ √2 ⋅ √3 ⋅ √3 = (√2)²⋅ (√3)²= 2 ⋅ 3 = 6 en (√6)²= 6.

b (^√6

√2)

2

=^√6

√2⋅^√6

√2=^(√6)

2

(√2)²= ⁶₂ = 3 en (√3)²= 3.

a

7 Waar.

b Niet waar.

c Niet waar.

d Niet waar.

e Waar, bedenk dat 3 = √9.

f Waar.

a

8 √7 ⋅ √5 = √35 b √3 ⋅ √3 = √9 = 3 c 4√2 ⋅ 2√7 = 8√14 d √18 /√2 = √9 = 3

e √15 /√3 = √5 f ^8√6

2√2= 4√3 a

9 √7 + √7 = 2√7 b 3√5 + 2√5 = 5√5 c 5√7 − 2√7 = 3√7 d 3√5 − √5 = 2√5

e √2 ⋅ √8 = √16 = 4 f 3√2 ⋅ 2√7 = 6√14 g √125 /√5 = √25 = 5 h 5√10 /√2 = 5√5

a

10 20 roostereenheden.

b Elk vierkant heeft een oppervlakte van 10, dus elke zijde is √10 lang. Dus 𝐴𝐷 = √10 en 𝐴𝐵 = 2√10.

c 2√10 ⋅ √10 = 2√100 = 20.

d 2 ⋅ √10 + 2 ⋅ 2√10 = 6√10.

a

11 Niet waar.

b Waar.

c Waar.

d Niet waar.

a

12 √2 ⋅ √12,5 = √25 = 5 b 3√3 ⋅ √10 = 3√30

c 2√6 ⋅ 3√6 = 6√36 = 6 ⋅ 6 = 36 d √50 /√5 = √10

e ^2√72

√2 = 2√36 = 12 f ^6√12,5

3√2 = 2√6,25 = 5 a

13 𝐴𝐵 = √6 en 𝐴𝐶 = √12 (want de oppervlakte van het grote vierkant is 2 keer die van 𝐴𝐵𝐶𝐷).

(11)

b 𝐴𝐵 = √10 en 𝐴𝐶 = √20.

c De diagonaal is √2 ⋅ 8 = √16 = 4.

d De diagonaal is √2 ⋅ 𝐴 = √2𝐴.

e De diagonaal is √2 ⋅ u�²= u�√2.

14 8 + 2 + 2 ⋅ √8 ⋅ √2 = 18 a

15 √8 = √4 ⋅ 2 = √4 ⋅ √2 = 2√2.

b Je vindt 3√5.

c √18 = 3√2, √12 = 2√3, √32 = 4√2, √40 = 2√10 en √75 = 5√3

16 Controleer je antwoorden met je rekenmachine of zoek meer decimalen van √2 op internet.

1.4 Machten

a

1 3 × 3 × 3 = 27 cm². b 5 bij 5 bij 5.

c Omdat je daarvoor een meter met een meter met een meter moet vermenigvuldigen. Je hebt dus in drie richtingen met een m te maken.

2 316 bij 316 en 317 bij 317.

a

3 2⁵= 32 b 3³= 27 c 1¹²= 1 d 3,5³= 42,875

e (¹₃)⁴=₈₁¹ f (²₅)⁴=₆₂₅¹⁶ a

4 (−4)⁵= −4 ⋅ −4 ⋅ −4 ⋅ −4 ⋅ −4 = 1024 b −4⁵= −4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = −1024

5 1³= 1, 2³= 8, 3³= 27, 4³= 64, 5³= 125, 6³= 216, 7³= 343, 8³= 512, 9³= 729 en 10³= 1000.

a

6 3⁴= 81 b 3 ⋅ 2⁶= 192 c 7¹= 7 d (¹₂)⁴=₁₆¹

e (2²₃)³= 18²⁶₂₇ f (²₇)⁰= 1 g (−3)⁵= −243 h −3 ⋅ 2⁴= −48

i −2 ⋅ (−3)²= −18 a

7 3⁹⁵⋅ 3¹¹⁴= 3²⁰⁹ b ³₃¹¹⁴95 = 3¹⁹

c 3⁸⁰⋅³₃⁵⁴11 = 3⁸⁰⋅ 3⁴³= 3¹²³ d (3¹²)⁵= 3⁶⁰

e ⁽³

15)¹⁰

3⁵⁰⋅3¹⁰⁰ = 3⁰= 1

(12)

a

8 Door de derde machtswortel uit de inhoud te trekken.

b √8 is de lengte van de zijde van zo’n kubus en daar komt 2 uit omdat 2³ ³= 8.

c Omdat 1³= 1 en 2³= 8.

d Je vindt: √2 ≈ 1,260.³ a

9 √216 = 6³ b √1728 = 12³ c √3,375 = 1,5³ d √³27⁸ = ²₃

a

10 √18 ≈ 2,62³ b √100 ≈ 4,64³ c √49 ≈ 3,66³ d √400 ≈ 7,37³

a

11 4⁵= 1024 b 3⁴⋅ 2³= 648 c (²₃)⁴=²⁶₈₁ d (1³₅)³= 4₁₂₅¹²

e (−2)⁶= 64 f −2⁴⋅ 3³= −432 12 Zie ﬁguur.

a

13 2¹⁶⋅ (2¹⁰)³= 2⁴⁶ b ^4⋅2₂20²⁶ = 2⁸

c ²¹⁴^⋅2²⁶

(2²⁰)² = 2⁰= 1 a

14 √1000 = 10³ b √1000000 = 100³ c √10³ ⁶= 1000 d √0,001 = 0,1³

e √0,000001 = 0,01³ f √0,125 = 0,5³ a

15 De inhoud is 20 dm³. Elke ribbe is dus √20 ≈ 2,714 dm en dat is ongeveer 271 mm.³ b De totale oppervlakte is √20 ⋅³ √20 ⋅ 6 ≈ 44,2004 dm³ ²en dat is ongeveer 442004 mm².

(13)

a

16 Je doet nu eerst de derde macht en dan de derde machtswortel. Uitkomst: 6.

b De uitkomst is ook nu 6.

c In beide gevallen vind je 17 als uitkomst.

d Ja, dat geldt ook voor negatieve getallen. De derde machtswortel uit een negatief getal wordt gewoon weer een negatief getal.

a

17 Het aantal lagen verdubbelt steeds en 2⁸= 256.

b 2¹⁰= 1024

c Daarvoor heb je maar 1000 lagen papier nodig, dus 10 keer vouwen is wel genoeg.

d Daarvoor heb je 100000 lagen papier nodig, dus 17 keer vouwen.

a

18 Doen. Je doet dit het handigst door steeds met 1,04 te vermenigvuldigen.

b 100 ⋅ 1.04¹⁰≈ 148,02 euro.

c Na 18 jaar.

1.5 Meneer Van Dalen

a

1 144 /4 × 3 − 4 + 2³= 144/ 12 − 4 + 8 = 12 − 12 = 0 b Je rekenmachine maakt er 112 van.

c Het gaat tegenwoordig zo: 144 /4 × 3 − 4 + 2³= 36 × 3 − 4 + 8 = 108 − 4 + 8 = 112 . 2 23¹₆

a

3 Eerst √9 en 2³, dan vermenigvuldigen en tenslotte de optelling.

b 8 + 3 ⋅ 8 = 8 + 24 = 32 c 88

a

4 2 ⋅ 3³= 2 ⋅ 27 = 54 b √36 /4 = 6/ 4 = 1,5 c √9 + √16 = 3 + 4 = 7

d 36 /4 + 2³= 36/ 4 + 8 = 9 + 8 = 17 e 6⁵− 6³= 7776 − 216 = 7560

f (2 + 3)⁴= 5⁴= 625 a

5 4 ⋅ 2⁵− 400 /√16 = 128 − 100 = 28 b (2³+ 3²)²/17 −√64 = 17³ ²/ 17 − 4 = 13

c (2 ⋅√2)³ ³= 2 ⋅√2 ⋅ 2 ⋅³ √2 ⋅ 2 ⋅³ √2 = 8 ⋅ (³ √2)³ ³= 8 ⋅ 2 = 16 a

6 3⁴/(8 − 5) = 27 b (2⁵− √256) /2³= 2 c (3 ⋅ 3)²/(√49 − 4) = 27

7 ²^1+√25

12−2⋅6/3 =₁₂₋₄²⁶ =⁶⁴₈ = 8.

8 √2 +2²¹²+2 = √2 +¹²6 = √2 + 2 = √4 = 2.

a

9 3⁵/3²+ 3⁴= 108 b 3⁴⋅ 2³= 648 c (√196 − 3²)³= 125

(14)

d (2 ⋅√15)³ ³= 120 e 6 ⋅ 2³/(4³− 7 ⋅ 2³) = 6

f (²₃)^√9⋅ 1,5³= 1 a

10 √2 ⋅ 70 + 4 = 12 b ₂^12⋅33−4 = 9

c ²^4+√16₂5 = 8 d √³

1

3 − (¹₃)³ a

11 Correct, want 2³⋅ 2⁴= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2⁷. b Niet correct, want 2⁶/2³= 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2

2⋅2⋅2 =^2⋅2⋅2₁ = 2³.

c Niet correct, want (2²)³= (2 ⋅ 2)³= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2⁶. d Klopt, want 2¹/2¹= 2/ 2 = 1 en 2¹/2¹= 2¹⁻¹= 2⁰.

a

12 √18 = √9 ⋅ 2 = √9 ⋅ √2 = 3√2 en √8 = √4 ⋅ 2 = √4 ⋅ √2 = 2√2.

b (√18 + √8)²= (5√2)²= 25√4 = 50.

c (√75 − √27)²= (5√3 − 3√3)²= (2√3)²= 12.

a

13 De aantallen die Sissa op elk vakje wilde hebben zijn de opvolgende machten van 2, namelijk 1 = 2⁰, 2 = 2¹, 4 = 2², 8 = 2³, enzovoorts.

b Je vindt:

> 2⁰= 1

> 2⁰+ 2¹= 3

> 2⁰+ 2¹+ 2²= 7

> 2⁰+ 2¹+ 2²+ 2³= 15

> 2⁰+ 2¹+ 2²+ 2³+ 2⁴= 31

> 2⁰+ 2¹+ 2²+ 2³+ 2⁴+ 2⁵= 63

> 2⁰+ 2¹+ 2²+ 2³+ 2⁴+ 2⁵+ 2⁶= 127

c Alle uitkomsten zijn steeds 1 minder dan de volgende macht van 2. Bijvoorbeeld 2⁰+ 2¹+ 2²+ 2³+ 2⁴+ 2⁵+ 2⁶= 2⁷− 1.

d 2⁶⁴− 1 graankorrels. Dat getal is te groot voor je rekenmachine om echt uit te rekenen, meer dan 18.000.000.000.000.000.000 (18 triljoen) graankorrels. Om precies te zijn 18.446.644.073.709.551.615 graankorrels.

e Neem eens aan dat een graankorrel een kubusje van 1 mm³is. In elke m³gaan dan 1000.000.000 graankorrels. Dat lijkt veel, maar dan heb je toch nog 18.000.000.000 m³. Als je schuur een vloeroppervlakte van 1000 m²heeft (en dat is een ﬂinke schuur), dan moet hij maar liefst 18 miljoen meter hoog zijn.

Dat is nog 18.000 km!

(15)

1.6 Wetenschappelijke notatie

a

1 Elk km is 1000000 mm. De omtrek van de Aarde is daarom 40000 × 1000000 = 40000000000 mm.

b 4 ⋅ 10¹⁰= 4 ⋅ 10000000000 = 40000000000

c Je verliest als snel uit het oog hoeveel nullen er nou precies staan. Bovendien rekenen vrijwel alle apparaten met een beperkt aantal cijfers, vaak een stuk of tien. Dan passen al die nullen niet, een getal van meer dan tien cijfers kan niet worden weergegeven.

d 1 miljard is 1 ⋅ 10⁹.

2 1 ⋅ 10⁷+ 6 ⋅ 10⁶+ 7 ⋅ 10⁵+ 3 ⋅ 10⁴+ 6 ⋅ 10³+ 3 ⋅ 10²+ 9 ⋅ 10¹+ 8 a

3 100000 = 10⁵

b 3 ⋅ 10⁵+ 4 ⋅ 10³+ 5 ⋅ 10²+ 8 ⋅ 10¹+ 6 ⋅ 10⁰ c 0,00001 = ₁₀₀₀₀₀¹ = ₁₀¹5 = 10⁻⁵

d 3 ⋅ 10¹+ 4 ⋅ 10⁻¹+ 5 ⋅ 10⁻²+ 8 ⋅ 10⁻³+ 6 ⋅ 10⁻⁴ a

4 1 miljoen is 10⁶. 1 miljard is 10⁹. b 1 miljoenste is 10⁻⁶.

1 miljardste is 10⁻⁹. 5 3 miljoen is 3 ⋅ 10⁶.

2,5 miljoenste is 2,5 ⋅ 10⁻⁶. 468 miljard is 4,68 ⋅ 10⁹. a

6 Omdat het getal er dan niet gemakkelijker leesbaar door wordt.

b 3600 ⋅ 3.0 ⋅ 10⁸= 10800 ⋅ 10⁸= 1.08 ⋅ 10¹²m/uur.

c 0.001 ⋅ 1.08 ⋅ 10¹²= 10⁻³⋅ 1.08 ⋅ 10¹²= 1.08 ⋅ 10⁹km/uur.

a

7 4 ⋅ 10⁷/1,5 ≈ 2,7 ⋅ 10⁷.

b (7 ⋅ 10⁹) /(2,7 ⋅ 10⁷) ≈ 2,6 ⋅ 10²= 260 .

8 Ongeveer ^1,5⋅10_3,0⋅10¹¹8 = 0,5 ⋅ 10³= 500 seconden. Dat is ongeveer 8,3 minuten.

9 Ongeveer 12000 ⋅ 1.5 ⋅ 10⁻³= 18 gram.

a

10 1 ⋅ 10²⁰⁰, dus een getal met 200 nullen.

b 1 ⋅ 10⁵⁰, dus een getal met 50 nullen.

11 1 ⋅ 10^-100, dus 1 ⋅ 10^-98%.

a 12 10³

b 10⁷ c 10¹⁰ d 10⁻³ e 10⁻⁵ f 10⁻¹⁰ a

13 1,23 ⋅ 10⁸ b 6,14 ⋅ 10¹¹ c 1,496 ⋅ 10⁻⁵ d 4,2 ⋅ 10⁻¹³

a

14 1,6 ⋅ 10⁷⋅ 1,8 ⋅ 10⁴= 2,88 ⋅ 10¹¹euro. Dat is ongeveer 288 miljard euro.

(16)

b 1,5 ⋅ 10⁶⋅ 4,5 ⋅ 10³= 6,75 ⋅ 10⁹euro. Dus ongeveer 6,75 miljard euro.

a

15 2,4 ⋅ 10⁻⁸⋅ 3,2 ⋅ 10⁶= 7,68 ⋅ 10⁻²kg, dus ongeveer 76,8 gram.

b 1 /(2,4 ⋅ 10⁻⁸) ≈ 4,17 ⋅ 10⁷.

16 ₁₀₀₀¹ mm is 10⁻⁶m. Dus zo’n amoebe is 800 ⋅ 10⁻⁶= 8 ⋅ 10⁻⁴m.

a

17 3 ⋅ 10⁸⋅ 3600 ⋅ 24 ⋅ 365,25 /1000 ≈ 9,47 ⋅ 10¹² km. Dat is ongeveer _1,496⋅10^9,47⋅10¹²8 ≈ 63300 AE.

b Ongeveer 4,36 ⋅ 9,47 ⋅ 10¹² ≈ 4,13 ⋅ 10¹³km van de Zon. Omdat de afstand van de Aarde tot de Zon

‘slechts’ 1,496 ⋅ 10⁸km is, is er binnen de gepleegde afrondingen geen verschil tussen de afstand van de Zon tot Alpha Centauri en de Aarde en Alpha Centauri.

c Naar de Zon kost ongeveer 1,496 ⋅ 10⁸/20000 = 7480 uur. Dat is ongeveer 312 dagen.

Naar Alpha Centauri kost ongeveer 4,13 ⋅ 10¹³/20000 ≈ 2,065 ⋅ 10⁹ uur. Dat is ongeveer 236000 jaar.

18 Eigen antwoord, afhankelijk van de keuzes die je maakt. Een standaard schoollokaal is 7,2 bij 7,2 bij 3,5 m.

1.7 Soorten getallen

1 Eigen antwoord. In de ?Uitleg? zie je ze nog eens allemaal voorbijkomen. Vergelijk wat daar staat met je eigen overzicht.

a

2 IV

b XXIV

c MDCCXXIX is 1729.

1999 is MCMXCIX. (Probeer zo min mogelijk tekens te gebruiken, bijvoorbeeld MDCCCCLXXXXIX zou ook kunnen maar heeft veel meer tekens.)

d In een positiestelsel (zoals ons tientallig stelsel) hangt de waarde van een getal af van zijn plaats.

Bijvoorbeeld in 112 is de eerste 1 gelijk aan 100 en de tweede 1 stelt 10 voor.

Bij de Romeinse cijfers is dat niet het geval: de X is altijd 10, de I is altijd 1. (Er is trouwens wel enige afhankelijkheid van de plek: IV is 5 − 1 = 4 en VI is 5 + 1 = 6.)

e De getallen zijn vaak moeilijk te lezen en bestaan uit veel symbolen.

f Voor de lege posities. Bijvoorbeeld 2012 heeft geen honderdtallen.

a

3 Bijvoorbeeld bij hoogteschalen, temperatuursschalen en dergelijke. Bij een schaalverdeling waarbij je ergens een nulpunt kiest en toch beide kanten op moet kunnen.

b Door de deling uit te voeren met de hand of met de rekenmachine.

c Ja, dat kan beide.

d Ja, bijvoorbeeld de wortels.

a

4 Bijvoorbeeld √¹4.

b Bij rationale getallen ontstaat er altijd regelmaat in de decimalen, of is er maar een beperkt aantal decimalen. Bij veel wortels is het aantal decimalen onbeperkt en zijn de decimalen onvoorspelbaar.

c Eigen antwoord.

d Dat kan bijvoorbeeld door steeds het getal voor de komma er van af te trekken en dan met 10 te vermenigvuldigen. Probeer maar eens...

(Waarschijnlijk krijg je niet meer dan twee extra decimalen.) a

5 Als je een reëel getal kwadrateert is de uitkomst altijd positief.

b Dan is √−1 = i.

(17)

c √−4 = 2 ⋅ i en √−4 = √2 ⋅ i a

6 Doen.

b −√53 ≈ −7,28 is het kleinste getal, dan komt −¹²₄ = −3, vervolgens −2,25 en tenslotte √¹⁰⁸3 = 6.

a

7 ₁₆³ = 0,1875 b ₁₃² = 0, 153846

c Eigen antwoorden, maak staartdelingen.

a

8 1234, 1234 b 1234 c ¹²³⁴₉₉₉₉.

d Noem het getal weer u�. Nu trek je 100 ⋅ u� en 1 ⋅ u� van elkaar af. Je vindt u� =¹²²²₉₉ . a

9 Zie ﬁguur.

b Ze moeten in de volgorde −¹²₄, −√5, −1,5, 0, 1, 15,⁷₃ en tenslotte √16 op de juiste plek worden gezet.

10 Voer de deling met de hand uit, je rekenmachine laat je waarschijnlijk in de steek. Je vindt 0, 225806451612903.

11 Bekijk eventueel nog even hoe je dit doet in ?opgave?. Je vindt ⁵¹¹²₉₉₀ =²⁸⁴₅₅. a

12 Nee, want bijvoorbeeld 3 − 5 = −2 en hoewel 3 en 5 natuurlijke getallen zijn is −2 dat niet.

b Ja, het verschil van twee gehele getallen is altijd weer een geheel getal.

c Ja, voor vermenigvuldigen wel. Het product van twee gehele getallen is altijd weer een geheel getal.

Maar voor delen niet, bijvoorbeeld 7 /3 is geen geheel getal.

d De reële getallen.

a

13 De even getallen.

b De oneven getallen onder de 100.

c Je houdt alle oneven getallen die niet deelbaar zijn door 3 over. Dat zijn er nog 34.

d Dat zijn even getallen en die zijn al doorgestreept.

e De priemgetallen onder de 100.

f Ja, behalve misschien 0 en 1.

a

14 De delers van 28 zijn 1, 2, 4, 7 en 14 en tel maar op. Je moet wel nagaan dat er niet al eerder een perfect getal is.

b Dan krijg je 6 en 28.

c Je krijgt dan 120 en de som van de delers van dit getal is groter dan het getal zelf.

d Bij u� = 4 hoort 496.

(18)

1.8 Totaalbeeld

a

1 Zie ﬁguur.

b √7 ≈ 2,65 a

2 Bijvoorbeeld: 3√7 + √7 = 4√7 en 3√7 − √7 = 2√7.

b Bijvoorbeeld: 3√7 ⋅ √2 = 3√14 en ^6√18

2√2 = 3√9 = 9.

c Bijvoorbeeld: 5√8 + 3√2 = 5 ⋅ 2√2 + 3√2 = 13√2.

3 Zie ﬁguur.

a

4 Zie ﬁguur.

b √7 ≈ 1,91³ a

5 Bijvoorbeeld: 5⁶⋅ 5⁴= 5⁶⁺⁴= 5¹⁰en 5⁶/5⁴= 5⁶⁻⁴= 5². b Bijvoorbeeld (5²)³= 5^2⋅3= 5⁶.

c Bijvoorbeeld √5 ⋅ 3²+ 8 /2 = √5 ⋅ 9 + 8 /2 = √45 + 4 = √49 = 7. Merk op dat de lange streep aan het wortelteken de haakjes vervangt.

6 12000000000 = 1,2 ⋅ 10¹⁰en 0,0000000035 = 3,5 ⋅ 10⁻⁹ 7 Er zijn:

> natuurlijke getallen 0, 1, 2, 3, enz.;

> gehele getallen 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, enz.;

> rationale getallen, alle getallen die je als breuk kunt schrijven;

> reële getallen, de rationale en de irrationale getallen (zoals √5) samen.

a

8 7²= 49.

b 1,5²= 2,25 c (²₅)²=₂₅⁴

(19)

d √6,25 = 2,5 e √81⁴ =²₉

f √116⁹ = 1¹₄ g √70 ≈ 8.37 h (3√6)²= 54

a

9 Die omtrek is 2 ⋅ (3√2 + 2√2) = 10√2.

b Door de oppervlaktes van de zes vierkanten op te tellen vind je 12 als oppervlakte.

Door lengte en breedte te vermenigvuldigen vind je 3√2 ⋅ 2√2 = 6√4 = 12 als oppervlakte. Twee keer hetzelfde dus.

a

10 2,5³= 15,625 cm³. b Tussen 3 en 4 cm.

c √40 ≈ 3,420.³ a

11 7⁴= 2401.

b 5⁰= 1 c (²₃)⁴=¹⁶₈₁ d 1,6³= 4,096

e √2 ⋅ 2²+ 17 = 5 f (√75 + √3)²= 108 g ₆₋₃^6⋅3²2 = −18

h 5^1+√25/25 − 5 = 620 a

12 7 ⋅ 7¹⁴⁰= 7¹⁴¹ b 7¹⁴¹/7¹⁵= 7¹²⁶ c (7⁷⁰)⁷= 7⁴⁹⁰

d 7⁵+ 42 ⋅ 7⁴= 7 ⋅ 7⁴+ 42 ⋅ 7⁴= 49 ⋅ 7⁴= 7⁶ e ^3⋅7₁₀₂₉¹¹⁵=⁷₃₄₃¹¹⁵= ⁷₇¹¹⁵3 = 7¹¹²

f ₇201^8⋅7+7²⁰⁰²⁰⁰= 1 a

13 Aantal inwoners: 1,66 ⋅ 10⁷.

Nationaal inkomen: 2,7058 ⋅ 10¹¹euro.

b 2,7058 ⋅ 10¹¹/(1,66 ⋅ 10⁷) ≈ 1,63 ⋅ 10⁴= 16300 euro.

c 7,7 ⋅ 10⁶/(1,66 ⋅ 10⁷) ≈ 4,64 ⋅ 10⁻¹= 0,464 km². 14 Zie ﬁguur.

a

15 Gok bijvoorbeeld eerst 2, dan levert stap 2 het getal 6 op en stap 3 het getal 4. Dit is je nieuwe gok waarmee je de stappen 2 en 3 herhaalt. Resultaat 3,5. En hiermee doe je weer stap 2 en 3; resultaat

(20)

3,465. En nog een keer; resultaat 3,464.

b Controleer je antwoord met je rekenmachine.

c Neem bijvoorbeeld het benaderen van √12 ≈ 3,644.

Na de stappen 1 en 2 heb je een rechthoek van 2 bij 6 die oppervlakte 12 heeft. Dan neem je door het middelen een nieuwe zijde voor die rechthoek. Die zijde levert weer een nieuwe rechthoek op met dezelfde oppervlakte die al meer lijkt op een vierkant. Dit proces herhaal je steeds weer. Je rechthoek wordt steeds meer een vierkant met oppervlakte 12 en dus komt de zijde steeds dichter bij √12 ≈ 3,644 te liggen.

(21)

2 ^Symmetrie

2.1 Lijnsymmetrie

a

1 Doen, zie ﬁguur.

b Doen.

c Die zijn elkaars spiegelbeeld.

d Ja.

e Ook die zijn altijd elkaars spiegelbeeld.

a

2 De linkerfoto is ook een echte foto van een persoon. De andere twee zijn gemaakt door een helft van de foto te spiegelen en beide delen dan aan elkaar te leggen. Veel fotobewerkingsprogramma’s kunnen dat wel voor je.

b Omdat zelfs een ogenschijnlijk regelmatig gezicht toch niet precies een gelijke linker- en rechterhelft heeft.

(22)

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > SYMMETRIE

c Dat is een leuke sport...

Wie maakt het mooiste (of bijzonderste) resultaat?

a

3 Zie ﬁguur.

b De d en zijn spiegelbeeld hebben een verschillende kleur. Die kleur moet je gelijk maken en dan krijg je ook een lijnsymmetrisch logo.

c Als je een (vlak) spiegeltje op de symmetrieas zet en je kijkt er in, dan moet je het complete logo zien.

4 Zie ﬁguur.

a

5 Maak eventueel zelf telkens een tekening.

𝐴′ (−3, −2), 𝐵′ (−5, 0) en 𝐶′ (−1, 4).

b 𝐴′ (1, −2), 𝐵′ (−1, 0) en 𝐶′ (3, 4).

c 𝐴′ (3, 2), 𝐵′ (5, 0) en 𝐶′ (1, −4).

a

6 Omdat punt 𝐻 het beeld van 𝐴 is, enzovoorts.

b De lijn door (0; 1, 5) en (10; 1, 5).

c Nee, niet bij lijnspiegeling.

a

7 Zie ﬁguur.

b Eigen antwoord.

8 Eigen antwoord. Laat je ﬁguur controleren.

9 𝐴^′(−2, 3), 𝐵^′(0, 5) en 𝐶^′(3, 1).

a

10 De u�-as.

b 𝐴^′(−3, 2) en 𝐴^′(−1,5; −1) c 𝐴′(−u�, u�)

d De roosterlijn door o.a. (2, 0) en (2, 5).

(23)

e 𝐴^′(1, 2) en 𝐴^′(2,5; −1) f 𝐴^′(4 − u�, u�)

g Doen.

a

11 𝐴^′(3, −2) en 𝐵^′(1,5; 1) b 𝐴′(u�, −u�)

c 𝐴^′(3, 4) en 𝐴^′(1,5; 7) d 𝐴′(u�, 6 − u�)

e Doen.

12 Zie ﬁguur.

13 Zie ﬁguur.

a

14 De beeldpunten zijn 𝐴^′(−2, −2), 𝐵^′(−4, 2), 𝐶^′(−2, 3) en 𝐷^′(0, 2). Zie ﬁguur bij b.

b De beeldpunten zijn 𝐴^″(2, 2), 𝐵^″(4, −2), 𝐶^″(2, −3) en 𝐷^″(0, −2). Zie ﬁguur.

a

15 Doen. De spiegellijn gaat door (0, 1) en (1, 3).

b 𝐶^′(5, 1).

a

16 𝐴^′(u�, −u�).

b 𝐴^′(u�, 4 − u�).

c 𝐴^′(u�, u�).

(24)

a

17 Doen, zie constructie.

b Als je twee punten op een cirkel tekent heb je altijd een symmetrische ﬁguur waarvan de symmetrieas de middelloodlijn van die twee punten is. Op deze symmetrieas ligt ook altijd het middelpunt van de cirkel. Teken je dus twee van die middelloodlijnen en hebben ze een snijpunt, dan is dat het middelpunt van de cirkel.

c Nee, de punten mogen niet op één lijn liggen.

d Neem drie punten op de rand die niet op één lijn liggen. Teken vervolgens met behulp van twee middelloodlijnen de cirkel door die drie punten.

18 Maak een mooie verzameling en geef de symmetrieassen aan.

2.2 Puntsymmetrie

a

1 Nee.

b Ja, maar het gaat dan niet om spiegelen in een lijn.

c Eigen antwoord.

a

2 Van links naar rechts: 1, 3, 2 en 0 symmetrieassen. Dus alleen het rechter logo is niet lijnsymmetrisch.

b Zie ﬁguur.

c Nee.

d Ja, bekijk het rechter logo maar eens.

3 Een cirkel.

a

𝐴′ (−3, 2), 𝐵′ (−5, 0) en 𝐶′ (−1, −4).

b 𝐴′ (3, 6), 𝐵′ = 𝐶 en 𝐶′ = 𝐵.

c 𝐴′ (7, 2), 𝐵′ = 𝐵 en 𝐶′ (9, −4).

a

5 Omdat punt 𝐹 het beeld van 𝐴 is, enzovoorts.

b Punt (1; 1, 5).

c 𝐾 (3, 4), 𝐿 (1, 4), 𝑀 (0, 2) en 𝑁 (3, 1).

a

6 Zie ﬁguur.

(25)

b Eigen antwoord.

8 𝐴^′(3, 4), 𝐵^′(1, 2) en 𝐶^′(5, −2).

a

9 𝐴^′(−1, 6) en 𝐴^′(0,5; 7) b 𝐴′(2 − u�, 6 − u�) c 𝐴^′(5, 0) en 𝐴^′(6,5; 3) d 𝐴^′(8 − u�, 2 − u�)

e Doen.

10 𝑃(1,5; 0) 11 Zie ﬁguur.

12 Zie ﬁguur.

a

13 De beeldpunten zijn 𝐴^′(−2, 2), 𝐵^′(−4, −2), 𝐶^′(−2, −3) en 𝐷^′(0, −2). Zie ﬁguur bij b.

b De beeldpunten zijn 𝐴^″(4, 2), 𝐵^″(2, −2), 𝐶^″(4, −3) en 𝐷^″(5, −2). Zie ﬁguur.

(26)

a

14 Doen, je vindt 𝑃(0, 1).

b 𝐶^′(3, −3).

a

15 𝐴^′(−u�, 2 − u�).

b 𝐴^′(6 − u�, 8 − u�).

c 𝐴^′(−6 − u�, 8 − u�).

a

16 Dat die gelijk zijn.

b Dat die gelijk zijn.

c Dat die elkaar doormidden delen.

d Een vlieger is niet puntsymmetrisch.

a

17 Puntsymmetrisch zijn (van het lettertype Arial) de letters C, H, I, N, O, S, X, Z.

Lijnsymmetrisch zijn (tussen haakjes het aantal symmetrieassen): A(1), C(1), D(1), E(1), H(2), I(2), M(1), O(2), T(1), U(1), V(1), W(1), X(2) en Y(1).

b Eigen antwoord.

2.3 Draaisymmetrie

a

1 De rechter.

b Ook weer alleen de rechter, die heeft zes symmetrieassen. Bij de linkerster lopen er stroken voor elkaar langs.

c Ja, je kunt ze draaien en dan toch steeds dezelfde ﬁguur zien.

a

2 Van links naar rechts: 5, 3, 2 en 0 symmetrieassen. Dus alleen het rechter logo is niet lijnsymmetrisch.

b Zie ﬁguur.

c Van links naar rechts: 360 /5 = 72 °, 360 /3 = 120 °, 180° en 180°.

(27)

d De twee rechter logo’s.

3 Alleen als 180° een veelvoud van die draaihoek is. Dus bijvoorbeeld 180°, 90°, 45°, 22,5°, enzovoorts.

a

𝐴1(−1, 1), 𝐵1(−1, 5) en 𝐶1(−4, 1).

b 𝐴₂(1, −1), 𝐵₁(1, −5) en 𝐶₂(4, −2).

c 𝐴₃(7, 2), 𝐵₃= 𝐵 en 𝐶₃(9, −4).

a

5 𝑃 (0, 3) en de draaihoek is 90°.

b Je vindt 𝐾 (−2, 2), 𝐿 (−2, 0), 𝑀 (0, −1) en 𝑁 (1, 2).

c Draaiing om 𝑃 over −90°.

a

6 Zie ﬁguur.

b Eigen antwoord.

8 𝐴^′(6, 1), 𝐵^′(6, 3) en 𝐶^′(0, −1).

a

9 𝐴^′(−2, 3) en 𝐴^′(1; 1,5) b 𝐴′(−u�, u�)

c 𝐴^′(5, 0) en 𝐴^′(2; −3) d 𝐴^′(u�, −u�)

e De u�-as.

10 𝑃(3, 2)

(Hint: Teken voorbeelden van 𝐴 en 𝐴′.) a

11 360 /13 ≈ 28 °.

b Nee, want de kleinste draaihoek heeft geen veelvoud dat 180° is.

c Ja, er zijn 13 symmetrieassen.

a

12 Figuur I: 120°

Figuur II: 30°

Figuur III: 72°

Figuur IV: 90°

Figuur V: 45°

Figuur VI: 180°

b De ﬁguren II, IV, V en VI.

c De ﬁguren I (3 symmetrieassen), II (12 symmetrieassen), III (5 symmetrieassen), IV (4 symmetrieassen) en V (8 symmetrieassen).

13 Zie ﬁguur.

(28)

a

14 Je vindt 𝐴^′(2, 2), 𝐵^′(−2, 4), 𝐶^′(−3, 2) en 𝐷^′(−2, 0).

b Je vindt 𝐴^″(−2, −2), 𝐵^″(2, −4), 𝐶^″(3, −2) en 𝐷^″(2, 0).

a

15 De helft van 360 /6 = 60 ° en dat is 30°.

b Dit kun je op verschillende manieren doen. Maak gebruik van het feit dat de hoeken van een driehoek altijd samen 180° zijn en dat er rechte hoeken in de ﬁguur voorkomen.

De gevraagde hoeken zijn 30°, 30° en 120°.

a

16 𝐴^′(−u�, u�).

b 𝐴^′(−u�, 2 + u�).

a

17 Dat die gelijk zijn, allemaal 108^∘.

De vijf driehoeken met één hoekpunt in het draaicentrum hebben immers alle een hoek van 72^∘, dus de twee andere zijn samen 108^∘.

b Dat die even lang zijn.

c Begin met een cirkel (kies zelf middelpunt en straal) en construeer daar een regelmatige vijfhoek in.

Teken de diagonalen en zo het pentagram.

d (180 −³⁶⁰_u� )^∘. a

18 60^∘.

b Eigen antwoord.

19 Eigen antwoord.

2.4 Driehoeken

a

1 De driehoeken 𝐴𝐵𝐶 (1 symmetrieas) en 𝐾𝐿𝑀 (3 symmetrieassen).

b Geen enkele.

c Alleen Δ𝐾𝐿𝑀.

a

2 De hoeken bij 𝐴 en bij 𝐶.

b Alle drie de hoeken zijn gelijk.

a

3 Δ𝐴𝐵𝐶 en Δ𝐾𝐿𝑀

b Δ𝐾𝐿𝑀

c Deze uitspraak klopt niet. Het omgekeerde wel: elke gelijkzijdige driehoek is automatisch ook gelijkbenig.

d Δ𝐷𝐸𝐹

e Ja, bijvoorbeeld je geodriehoek.

(29)

4 Hij moet er zo uit komen te zien als de gelijkzijdige driehoek in de uitleg. Gebruik je passer.

a

5 De drie hoeken van elke driehoek zijn samen 180^∘, dus ∠𝐵 = 180^∘− 90^∘− 70^∘= 20^∘. b ¹₂× 3 × 6 = 9.

6 Teken eerst de rechthoekszijden van de rechte hoek 𝐴. Maak 𝐴𝐵 precies 6 cm. Neem nu 6,5 cm tussen de passer en cirkel dit vanuit 𝐵 om. Punt 𝐶 is nu het snijpunt van de cirkel met de andere rechthoeks- zijde.

a

7 De drie hoeken van elke driehoek zijn samen 180^∘ en beide basishoeken zijn even groot, dus ∠𝐵 = (180^∘− 70^∘) /2 = 55^∘.

b Doen, het is wel wat gepruts en helemaal precies lukt het ook niet.

8 Bereken eerst de tophoek, die is 40^∘en teken die tophoek. Neem nu 6 cm tussen de passer en cirkel dit vanuit de tophoek om. Nu is je driehoek zo klaar.

a

9 Je kunt dit het gemakkelijkst doen door 𝐵 op één van de roosterlijnen door 𝐴 te leggen en precies op een roosterpunt. 𝐶 is dan geen roosterpunt.

b 60^∘

c Een gelijkbenige driehoek.

10 Δ𝐾𝐿𝑀 is een gelijkzijdige driehoek.

Dat moet wel omdat de driehoeken 𝐴𝐾𝑀, 𝐾𝐵𝐿 en 𝑀𝐿𝐶 allemaal gelijkzijdige driehoeken zijn met zijden van 3 cm. (En waarom is dat zo?)

11 ∠𝐵 = 45^∘, ∠𝐶 = 45^∘, ∠𝐷 = 60^∘, ∠𝐸 = 60^∘, ∠𝐹 = 60^∘, ∠𝐻 = 75^∘, ∠𝐼 = 30^∘, ∠𝐴 = 72^∘. a

12 Δ𝐵𝐷𝐸 is gelijkbenig, Δ𝐴𝐵𝐸 is rechthoekig en Δ𝐵𝐶𝐷 is gelijkzijdig.

b ∠𝐴𝐵𝐸 = 45^∘, ∠𝐸𝐵𝐷 = 74^∘en ∠𝐶𝐵𝐷 = 60^∘. Dat is samen ∠𝐴𝐵𝐶 = 179^∘. Dus dat is niet zo.

13 ∠𝐴 = ∠𝐷 = 37^∘

∠𝑆4= 180^∘− 37^∘− 37^∘= 106^∘

∠𝑆1= 180^∘− 106^∘= 74^∘ 14 ∠𝐸 = ∠𝐴 = 35^∘

∠𝐹 = 180^∘− 2 × 35^∘= 110^∘

∠𝐵 = 180^∘+ 140^∘/2 = 250^∘

15 Maak een eigen schets van de driehoek.

De driehoek is gelijkbenig en de beschreven lijn loodrecht op 𝐴𝐵 is de symmetrieas van die driehoek.

En daardoor zijn de twee hoeken die bij punt 𝐶 tegen de symmetrieas aanzitten gelijk. De symmetrieas deelt ∠𝐶 doormidden.

a

16 Zie ﬁguur bij d.

b Dit lukt niet omdat 1 + 3 < 5.

c Zie de ﬁguur bij d. Er zijn nu twee driehoeken mogelijk.

d Zie de ﬁguur.

(30)

a

17 Bij gelijkzijdige driehoeken delen de drie symmetrieassen alle hoeken en alle zijden doormidden. In een gelijkbenige driehoek (die niet ook gelijkzijdig is) is er maar één symmetrieas en wordt er dus ook maar éé hoek en ook maar één zijde doormidden gedeeld.

b Doen. De bissectrices gaan alledrie door hetzelfde punt.

c Doen. De drie zwaartelijnen gaan door hetzelfde punt. Dat heet het zwaartepunt van de driehoek. (Kun je die naam verklaren?)

d Doen. Ze gaan inderdaad alle drie door hetzelfde punt.

2.5 Vierhoeken

a

1 Zie ﬁguur.

b De vierhoeken I, II, III en IV. Zie ﬁguur bij a.

(31)

c De vierhoeken I (90^∘), II (180^∘), III (180^∘) en IV (180^∘).

a

2 Geef ze in de ﬁguur op het werkblad aan. De hoeken onder en boven zijn gelijk en de hoeken links en rechts zijn gelijk.

b Geef ze in de ﬁguur op het werkblad aan. De hoeken linksonder en rechtsboven zijn gelijk en de hoeken rechtsonder en linksboven zijn ook gelijk.

c Geef ze in de ﬁguur op het werkblad aan. De hoeken onder en boven zijn gelijk.

a

3 Vierhoek I: vierkant.

Vierhoek II: ruit.

Vierhoek III: rechthoek.

Vierhoek IV: parallellogram.

Vierhoek V: vlieger.

b Het trapezium.

c Deze uitspraak klopt. Het omgekeerde niet: een trapezium hoeft geen parallellogram te zijn.

d Deze uitspraak klopt. Het omgekeerde niet: een parallellogram hoeft geen ruit te zijn want de zijden hoeven niet alle vier even lang te zijn.

e Ja, dat is een vierkant.

4 Doen. In de voorbeelden kom je deze vierhoeken en hun eigenschappen nog tegen. Vergelijk je eigen antwoord met wat je in elk van de voorbeelden aantreft.

a

5 Alleen 𝐴 en 𝐵 kun je vrij bewegen. Als die twee punten eenmaal hun plek hebben dan kan 𝐶 alleen nog loodrecht op 𝐴𝐵 bewegen, want de hoek bij 𝐵 moet recht blijven. Als dan 𝐶 zijn plek heeft, dan ligt de plaats van punt 𝐷 vast.

b Doordat de rechthoek twee symmetrieassen heeft door de middens van de zijden en door het snijpunt van de diagonalen zijn alle vier de lijnstukken 𝐴𝑆, 𝐵𝑆, 𝐶𝑆 en 𝐷𝑆 even lang.

c Door punt 𝐶 te verschuiven tot alle vier de zijden even lang zijn.

6 Twee, bijvoorbeeld de lengte en de breedte.

Of de lengte van beide diagonalen en de hoek er tussen. Of...

a

7 Alleen 𝐴 en 𝐵 kun je vrij bewegen. Als die twee punten eenmaal hun plek hebben dan kan 𝐶 alleen nog over de symmetrieas bewegen. Punt 𝐷 kun je nu nog bewegen, maar dan beweegt 𝐵 symmetrisch mee.

b In de ﬁguur ligt diagonaal 𝐴𝐶 op de symmetrieas en de punten 𝐵 en 𝐷 elkaars spiegeldbeeld. Dus is 𝐴𝐶 de middelloodlijn van 𝐵𝐷.

c Door punt 𝐶 te verschuiven tot alle vier de zijden even lang zijn.

Je kunt er inderdaad ook een vierkant van maken, want dat is een ruit met rechte hoeken.

a

8 Drie, bijvoorbeeld de lengtes van twee opeenvolgende ongelijke zijden en de hoek tussen die twee zijden.

b Twee, bijvoorbeeld de lengte van de zijden en de hoek tussen twee zijden.

a

9 Als de lijnstukken 𝐴𝐵 en 𝐵𝐶 vast liggen, dan ligt ook 𝐷 vast als spiegelbeeld van 𝐵 bij puntspiegeling ten opzichte van het midden van 𝐴𝐶.

b Doen.

c Een ruit, een rechthoek en een vierkant.

a

10 Drie, bijvoorbeeld de lengtes van twee opeenvolgende ongelijke zijden en de hoek tussen die twee zijden.

b Vier, bijvoorbeeld de lengtes van drie zijden en een hoek tussen twee zijden. (Bedenk nu maar eens hoe je het trapezium dan kunt tekenen. Het is leuk om meerdere manieren te bekijken waarop je een

(32)

trtapezium kunt tekenen. Je zult zien dat je altijd minstens vier gegevens nodig hebt.) 11 Vierhoek I: ruit, de andere hoeken zijn 50^∘, 130^∘en 130^∘.

Vierhoek II: parallellogram, de andere hoeken zijn 60^∘, 120^∘en 120^∘.

Vierhoek III: vlieger (pijlpuntvlieger), de andere hoeken zijn 240^∘, 35^∘en 35^∘. a

12 Zie ﬁguur. Er ontstaat een ruit met twee hoeken van 38^∘en twee hoeken van 142^∘.

b Zie ﬁguur. Er ontstaat een vlieger met een hoeken van 40^∘, een hoek van 100^∘ en twee hoeken van 110^∘.

a

13 𝐷(−1, 4) b 𝐸(−3, 2)

c Je kunt op verschillende manieren een trapezium maken, bijvoorbeeld door 𝑃(1, 4) te kiezen. En er zijn nog wel meer punten 𝑃 mogelijk.

Andere soorten bijzondere vierhoeken zijn echter niet mogelijk.

a

14 Een parallellogram.

b Een strip die diagonaal wordt geplaatst. Je krijgt dan een driehoek met drie gegeven lengtes en die kan niet worden vervormd. Een driehoek is een starre ﬁguur.

c Twee hoeken van 122^∘en nog een hoek van 58^∘. 15 Linker ﬁguur:

Bij het middelpunt zitten allemaal hoeken van 360 /12 = 30^∘. Vanwege de draaisymmetrie is elke punt een vlieger met een hoek van 30^∘en een hoek van 90^∘. De hoek met het rondje is dus (360 − (90 + 30)) /2 = 120^∘.

Rechter ﬁguur:

Bij het middelpunt zitten allemaal hoeken van 360 /5 = 72^∘. De ruiten tegen het middelpunt aan hebben dus hoeken van 72^∘en 108^∘. De ruiten die niet tegen het middelpunt aan zitten hebben grootste hoeken van 360 − 2 × 108 = 144^∘en dus zijn de hoeken met de stip gelijk aan 36^∘.

16 De blauwe vliegers hebben drie hoeken van 108^∘en dus ook één van 36^∘.

De oranje sterren hebben dus punten met een hoek van 36^∘. De andere hoeken van de sterren zijn 108^∘.

a

17 Begin met Δ𝐴𝐵𝐶 en spiegel dan punt 𝐵 in lijn 𝐴𝐶 om punt 𝐷 te krijgen.

b Bereken eerst ∠𝐴 = 140^∘. Nu kun je de ﬁguur gemakkelijk afmaken. Laat je antwoord controleren.

c Bedenk dat ook ∠𝐾 = 40^∘. Nu kun je de ﬁguur gemakkelijk afmaken. Laat je antwoord controleren.

a

18 72^∘en 216^∘. b 45^∘en 270^∘. c 3,6^∘en 352,8^∘.

(33)

d (³⁶⁰_u� )^∘en (360 − 2 ⋅³⁶⁰_u� )^∘.

2.6 Totaalbeeld

1 Figuur I: lijnsymmetrie, één (verticale) symmetrieas.

Figuur II: puntsymmetrie, draaisymmetrie over 180^∘. Figuur III: puntsymmetrie, draaisymmetrie over 90^∘. Figuur IV: puntsymmetrie, draaisymmetrie over 45^∘. 2 Doen, je krijgt zoiets als in de ﬁguur hieronder.

a

3 𝐴^′(−u�, u�) b 𝐴^′(u�, −u�) c 𝐴^′(−u�, −u�) d 𝐴^′(8 − u�, u�)

e 𝐴^′(−u�, u�) f 𝐴^′(u�, −u�)

4 Neem de tabel over en vul hem zo in.

naam aantal

symmetrieassen

draaisymmetrie kleinste draaihoek

gelijke zijden gelijke hoeken

rechthoekige driehoek 0 nee 0 0

gelijkbenige driehoek 1 nee 2 2

gelijkzijdige driehoek 3 ja, 120° 3 3, elk 60°

a

5 ∠𝐷𝐹𝐸 en ze zijn beide 60^∘.

b De hoeken in Δ𝐴𝐵𝐶 zijn samen 180^∘, dus ∠𝐴𝐵𝐶 = 75^∘. c De driehoeken 𝐵𝐴𝐸 en 𝐷𝐹𝐸

d Δ𝐴𝐵𝐶

e 4

6 Neem de tabel over en vul hem zo in.

(34)

naam aantal

symmetrieassen draai- symme- trie kleinste draaihoek

gelijke zijden gelijke hoeken evenwijdige zijden

even lange diagonalen

diagonalen delen elkaar doormidden

vierkant 4 ja, 90° alle vier alle vier 90° 2 keer 2 ja ja

rechthoek 2 ja, 180° 2 keer 2 alle vier 90° 2 keer 2 ja ja

ruit 2 ja, 180° alle vier 2 keer 2 2 keer 2 nee ja

parallellogram 0 ja, 180° 2 keer 2 2 keer 2 2 keer 2 nee ja

vlieger 1 nee 2 keer 2 twee nee nee de één

wel

trapezium 0 nee nee nee twee nee nee

7 Logo I: draaisymmetrisch met kleinste draaihoek 120^∘. Logo II: lijnsymmetrisch met één (verticale) symmetrieas.

Logo III: niet symmetrisch.

Logo IV: draaisymmetrisch met kleinste draaihoek 90^∘en dus ook puntsymmetrisch.

Logo V: draaisymmetrisch met kleinste draaihoek 45^∘en dus ook puntsymmetrisch.

Logo VI: lijnsymmetrisch met één (schuine, van linksonder naar rechtsboven) symmetrieas.

a

8 Zie ﬁguur.

b Zie ﬁguur.

a

9 Een gelijkbenige driehoek, want 𝑃𝑄 en 𝑅𝑄 zijn even lang (ruit) en dus zijn 𝐴𝑄 en 𝐵𝑄 (de helften van die lijnstukken) dat ook.

b ∠𝑄𝐴𝐵 = 180 − 2 × 64 = 58^∘ en ∠𝐴𝑃𝐷 = (360 − 2 × 64) /2 = 116^∘, zodat ∠𝑃𝐴𝐷 = (180 −

(35)

116) /2 = 32^∘. De gevraagde hoek is ∠𝐵𝐴𝐷 = 180 − 58 − 32 = 90^∘. a

10 𝐷(−4, 0) b 𝐸(−1,5, 4,1) a

11 𝑃^′(−u�, −u�) b 𝑃^′(3 − u�, 2 − u�).

12 Bereken eerst de twee basishoeken. Ze zijn 80^∘. Nu teken je de basis met de twee basishoeken er op aan weerszijden. De rest gaat vanzelf.

13 (Tip: maak eerst een schets.)

Begin met de zijde van 6 cm en zet daar aan weerszijden een hoek van 50^∘op. Pas vanaf het midden van die zijde naar beide kanten 1,5 cm af. Je krijgt nu twee punten op de getekende zijde waartussen de zijde van 3 past. Teken door die punten loodlijnen op de getekende zijde. Waar die loodlijnen de andere benen van beide hoeken snijden liggen de andere twee hoekpunten van het trapezium. Maak de ﬁguur af.

a

14 Elke gelijkzijdige driehoek is ook gelijkbenig.

b Er zijn rechthoekige driehoeken die ook gelijkbenig zijn. Ze hebben de vorm van je geodriehoek.

c Zie ﬁguur.

a

15 Een vlak dat een kubus verdeeld in twee delen die elkaars spiegelbeeld zijn.

b 3

c De diagonaalvlakken.

d Over draaisymmetrie, over draaiing om die symmetrieas. De kleinste draaihoek is 90^∘.

e De andere twee symmetrieassen door de middens van tegenover elkaar liggende grensvlakken en de lichaamsdiagonalen. In totaal zijn er 7 symmetrieassen.

f Eigen antwoord.