Cabri Geometry VIER
Dick Klingens
Krimpenerwaard College – Krimpen ad IJssel
Cabri Geometry VIER
Inhoud
pag.
1 van VIER
1. Werken met Cabri 1
2. Overzicht van de menu's 2
3. Aan de slag 3
4. Middelloodlijnen van een driehoek en wat meer 5
5. Tekenen en construeren 6
2 van VIER
6. Hoek en bissectrice 8
7. Hoogtelijnen van een driehoek 10
8. Zwaartelijnen 13
3 van VIER
9. Omtrekshoeken 15
10. Raaklijn en omtrekshoek 18
11. Koordenvierhoek 19
4 van VIER
12. Cabri's rekenmachine 23
13. Omrekenen 25
14. De sinus van een hoek 25
15. Grafieken tekenen 26
16. Meetkundige plaats 26
17. Grafieken tekenen (vervolg) 28
Appendix
A Het opnemen van een Cabri-figuur in een Word-bestand 32
Auteur: Dick Klingens / februari 2005 Versie: 1.2(b) / december 2006
Copyright © 2005-2006 Dick Klingens / Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel
Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt door middel van druk, fotokopie, microfilm of op andere wijze dan ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de auteur.
Voor zover het maken van kopieën van deze uitgave aan onderwijsinstellingen is toegestaan op grond van art. 16b en 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor verschuldigde vergoedingen te voldoen of te hebben voldaan aan de Stichting Reprorecht, Postbus 882, 1180 AW Amstelveen. Voor het overnemen van een of enkele gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers of andere compilatiewerken dient men zich tot de auteur te wenden.
No part of this document may be reproduced in any form by print, photoprint, microfilm or any other means without written permission from the author.
Cabri®, Cabri Geometry II(Plus)® en Cabri®Jr. zijn geregistreerde handelsmerken van CabriLog, Grenoble (Frankrijk).
Cabri Geometry – 1 van VIER
1. Werken met Cabri
Cabri is de afkorting van het Franse 'CAhier BRoullion Interactif pour l'apprentissage de la géométrie', ofwel 'interactief tekenblad voor het leren van meetkunde'.
Voor het tekenen van meetkundige figuren met Cabri heb je genoeg aan de linker knop van de muis. Het toetsenbord gebruik je zelden, hoogstens voor het benoemen van punten of het verwijderen van een figuur of een deel daarvan.
Met de toets [F1] – in te drukken toetsen staan tussen [ en ] – open je een klein hulpvenster dat commentaar geeft bij de 'gekozen' functie. Door opnieuw op [F1] te drukken sluit je dat venster weer.
Als je Cabri hebt opgestart, zie je iets als:
Dit is het zogenoemde tekenblad.
De onderdelen van daarop te tekenen figuren, zoals punten, lijnstukken, cirkels, noemen we in Cabri objecten.
Er zijn drie handelingen die je, al werkend met Cabri, vaak zal verrichten:
- selecteren: verplaats de wijzer (cursor, pijl) naar het gewenste object en klik met de linker muisknop;
- verplaatsen (slepen): verplaats de wijzer naar het gewenste object, houd de linker muisknop ingedrukt en verplaats de wijzer naar de gewenste positie en laat de linker muisknop los.
- functie-selectie: de menu-opties die we in Cabri functies noemen, staan in de volgende menu's, te vinden aan de bovenkant van het tekenblad.
Door een menu aan te klikken (en de linker muisknop ingedrukt te houden) worden de functies van het betreffende menu zichtbaar. De menu's zullen met de hierboven staande namen worden
aangegeven.
Zie voor een overzicht van de menu's en functies van Cabri de volgende paragraaf.
2. Overzicht van de menu's
N.b. De namen van de functies kunnen enigszins afwijken van de gebruikte Cabri-versie.
Selectie (Wijzer)
Punt
Lijn (Teken)
Cirkel
Constructie
Afbeeldingen (Transformaties)
Macro
Eigenschappen
Berekeningen (Reken)
Extra (Naam)
Lay-out
3. Aan de slag
Het is de bedoeling dat je van het werken met Cabri Geometry een soort verslag maakt, waarin je je antwoorden bij de diverse opdrachten opneemt.
Vragen waarvan het antwoord in ieder geval in dat verslag moeten komen, zijn aangegeven met .
Opdracht 1a
Kies de functie 'Punt' in het Punt-menu en teken twee punten. Klik op de gewenste posities op het tekenblad.
Opmerking. Als je onmiddellijk na het tekenen op een lettertoets van het toetsenbord drukt, wordt die letter als Naam bij het punt geplaatst. Gebruik hoofdletters, A en B, bij deze punten!
De functie 'Naam' vind je overigens ook in het Extra-menu.
Het tekenen van de objecten gaat min of meer als volgt.
- Bedenk welk object je wilt tekenen.
- Kijk of er al delen van het gewenste object op het tekenblad staan.
- Kies de bijpassende Cabri-functie. De naam van de gekozen functie wordt linksonder in het scherm (onder het tekenblad) weergegeven.
- Selecteer dan (aanwijzen en linksklikken) de te gebruiken deelobjecten.
- Merk op dat de wijzer van gedaante verandert bij het tekenen.
Opdracht 1b
Teken ook een derde punt S.
Kies dan de functie 'Lijnstuk' in het Lijn-menu en teken ook de lijnstukken SA en SB.
Kies de functie 'Midden' in het Constructie-menu en teken het punt M dat midden tussen A en B in ligt. Selecteer daarbij eerst A en dan B.
Objecten worden in Cabri onderscheiden in onafhankelijke en afhankelijke objecten
Ga na dat door het verplaatsen van de punten A en B ook de lijnstukken SA en SB, en ook het punt M een andere positie op het tekenblad krijgen.
We zeggen:
- de punten S, A, B zijn onafhankelijke objecten;
- lijnstukken zijn afhankelijk van de eindpunten van dat lijnstuk.
Kan je het lijnstuk SA verplaatsen? Breng daartoe de wijzer in de buurt van het lijnstuk. Op het scherm zie je dan de tekst 'Dit lijnstuk'. Zijn de lijnstukken SA en SB nu volgens jou afhankelijke of onafhankelijke objecten?
Kan je het punt M verplaatsen? Is M een afhankelijk (en van welke andere objecten dan) of een onafhankelijk object?
Opdracht 2
Selecteer het punt S. Druk nu op de [Del]-toets en kijk wat er gebeurt.
Druk direct daarna op [Ctrl+Z] – dit betekent: houd de [Ctrl]-toets ingedrukt en drukt kort op de [Z]; en laat dan pas de [Ctrl]-toets los.
Selecteer vervolgens het lijnstuk SB (je ziet weer 'Dit lijnstuk') en druk op [Del]. Gebruik ook nu [Ctrl+Z] om het wissen weer ongedaan te maken.
Geef een korte beschrijving van hetgeen je hebt waargenomen bij bovenstaande handelingen.
Kan je op basis van wat je hebt gezien, (nu wel) uitmaken of lijnstukken afhankelijke dan wel onafhankelijke objecten zijn?
Opmerking. In Cabri kan je (alleen) de allerlaatste bewerking (waaronder ook begrepen het verplaatsen van een object op het tekenblad) met [Ctrl+Z] ongedaan maken.
Opdracht 3
In het Reken-menu vind je de functie 'Afstand/Lengte'. Kies deze functie en bereken hiermee de lengtes van de lijnstukken SA en SB. Selecteer daartoe opvolgend de lijnstukken SA en SB (let weer op de tekst 'Dit lijnstuk').
De lengtes van die lijnstukken komen ook op het scherm te staan en kleven als het ware aan het lijnstuk. (Ga dat na!) Door ze aan te wijzen (je ziet 'Dit getal' op het scherm; soms verschijnt ook 'Deze tekst') kan je die getallen naar een geschikte positie op het scherm slepen.
Verplaats nu het punt S en probeer daarbij posities van S te vinden waarvoor beide afstanden, SA en SB, gelijk zijn.
Breng onder woorden welke posities van het punt S inderdaad leiden tot SA = SB? Doe dat kort!
Door alleen de muis te slepen (linker knop ingedrukt) kan je een (gestippelde rechthoek) plaatsen om de punten S en M, zoals in de figuur hieronder.
Druk daarna op [Del]. Als het goed is zijn de punten S en M, en daarmee ook de beide lijnstukken én de lengtes daarvan, van het scherm verdwenen.
Opdracht 4
In het Constructie-menu vind je de functie 'Middelloodlijn'. Kies deze functie en selecteer vervolgens de punten A en B.
Er wordt nu een lijn getekend: de middelloodlijn m van het lijnstuk AB (zie de linker figuur hierboven). Teken dat lijnstuk ook.
Bepaal met de functie 'Snijpunt(en)', in het Punt-menu, het snijpunt van het lijnstuk AB en lijn m.
Selecteer daartoe het lijnstuk en vervolgens de lijn m. Noem dat snijpunt D.
Opmerking. Je kan ook de wijzer in de buurt van het snijpunt brengen tot de tekst 'Dit snijpunt' verschijnt. Door dan links te klikken wordt het snijpunt ook getekend.
Kies nu vervolgens een punt S op de lijn m (dat gaat via de functie 'Punt op object' in het Punt- menu).
Bereken nu (weer met de functie 'Afstand/Lengte') de afstand tussen S en A en tussen S en B.
Opmerking. De lijnstukken SA en SB zijn nu (nog) niet getekend. Maar zonder dat kan je toch die afstanden met Cabri berekenen.
Zijn er punten die niet op de lijn m liggen en waarvoor toch geldt dat de afstanden van zo'n punt tot A en tot B gelijk zijn? Verklaar je antwoord.
Waarom is DA = DB?
Opdracht 5
Voor congruentie van twee driehoeken is het noodzakelijk, dat (tenminste) drie elementen (zijden en/of hoeken) van die driehoeken aan elkaar gelijk zijn.
Waarom mag je voor die drie elementen niet de drie hoeken van de driehoeken kiezen?
Kijk nu naar de driehoeken SAD en SBD (teken voor de duidelijkheid nu ook de lijnstukken SA en SB). Zie de rechter figuur bij Opdracht 4.
Geef nu elementen van die driehoeken aan waarvan je, alleen op basis van de constructie in Opdracht 4, weet dat ze aan elkaar gelijk zijn.
4. Middelloodlijnen van een driehoek en wat meer
Opdracht 6
Kies een nieuw tekenblad met daarop drie punten A, B, C (wis eventueel de onnodige objecten in de figuur van Opdracht 5).
Teken ook de lijnstukken AB, BC en CA. Kies de positie van het punt C zo, dat er, op het oog, geen sprake is van een rechthoekige of gelijkbenige driehoek ABC (ABC is dan een willekeurige driehoek).
Construeer vervolgens ook de middelloodlijnen van de lijnstukken AC en BC. Geef aan hun snijpunt de naam O.
Zie de linker figuur hierboven.
Op basis van deze constructie weten we iets van de (niet getekende) lijnstukken OA, OB, OC.
Waarom is OA = OC?
Waarom is OB = OC?
Uit deze laatste twee regels kunnen we nu een conclusie trekken. Welke is dat?
Verklaar nu kort waarom de (niet getekende) middelloodlijn van het lijnstuk AB ook door het punt O gaat.
Dit laatste kan je ook door Cabri zelf laten controleren (zie de figuur hierboven, rechts). Teken eerst de middelloodlijn van het lijnstuk AB en kies dan de functie 'Ligt punt op…' ( , in het Eigenschappen-menu). Selecteer dan het punt O en vervolgens de middelloodlijn van AB. Cabri geeft dan de mededeling: 'Dit punt ligt op het object'.
Opmerking. Deze mededeling kan je van het scherm wissen door de tekst te selecteren (je ziet 'Deze eigenschap') en dan op [Del] te drukken.
Opdracht 7
Het in Opdracht 6 geconstrueerde punt O heeft dus de eigenschap dat OA = OB = OC. Het punt O is daardoor het middelpunt van de cirkel die door de punten A, B, C gaat. Die cirkel heet de omgeschreven cirkel (ook wel kort de omcirkel) van driehoek ABC.
Teken deze omcirkel. Kies daarvoor de functie 'Cirkel' in het Cirkel-menu. Selecteer dan het punt O en vervolgens (bijvoorbeeld) het punt A.
Ga na dat door verplaatsing van (bijvoorbeeld) het punt C de cirkel steeds door de punten A, B en C blijft gaan.
Het punt O kan binnen driehoek ABC liggen, op een zijde ervan of buiten driehoek ABC.
Wat is er in deze drie gevallen van (de hoeken van) driehoek ABC te zeggen?
Beschrijf wat er gebeurt als je het punt C een positie geeft in de buurt van het punt A.
Wat is er aan de hand als het punt C op het lijnstuk AB (of op de lijn AB) ligt?
Is er dan nog sprake van een omcirkel? Geef een toelichting op je antwoord.
5. Tekenen en construeren
Tekenen. De menu's Punt, Lijn en Cirkel zijn zogenoemde teken-menu's. Je kan er figuren mee tekenen zonder gebruik te maken van reeds op het tekenblad staande objecten; de benodigde objecten worden zonodig door Cabri zelf op het tekenblad geplaatst. Kies je een functie in een van die menu's, dan verandert de wijzer op het tekenblad in een potlood, . Je kan nu het gewenste object tekenen.
Cabri heeft zogenoemde 'keep-in-tool'-bediening, hetgeen wil zeggen dat de gekozen functie actief blijft.
Wil je iets anders doen, dan kies je de functie 'Selecteren' of een andere functie.
Opmerking. Door op [Esc] te drukken wordt de functie 'Selecteren' actief.
Construeren. Bij het construeren, meestal via functies in het Constructie-menu, maak je gebruik van reeds op het tekenblad staande objecten, zoals punten, lijnen of lijnstukken. De wijzer verandert dan in een handje, , dat je bij elk object 'vraagt' of je dat object bij de constructie wilt gebruiken. De daarbij verschijnende tekst ('Door dit punt', 'Dit middelpunt', …) heeft dezelfde kleur als het bijbehorende object (dat kan onjuiste constructies mogelijk voorkomen).
Ook hier blijft de eenmaal gekozen functie actief.
Opdracht 8
Teken op een nieuw tekenblad een lijnstuk AB en de cirkel met middelpunt A en AB als straal.
Kies een punt C op de cirkel en teken de lijn m door C evenwijdig met AB. Dit laatste gaat via de functie 'Evenwijdige lijn' in het Constructie-menu. Selecteer eerst het punt C ('Door dit punt') en vervolgens het lijnstuk AB ('Evenwijdig aan dit lijnstuk'). Het andere snijpunt van m en de cirkel noemen we D. Zie onderstaande figuur, links.
Omdat we nu alleen geïnteresseerd zijn in vierhoek ABCD, verbergen we het lijnstuk AB en de lijn m (niet wissen!). Dit gaat met de functie 'Verberg/toon' in het Lay-out-menu. Kies deze functie en selecteer vervolgens het lijnstuk AB ('Dit lijnstuk') en de lijn m ('Deze lijn'). De punten A, B, C, D en de cirkel staan nu nog op het tekenblad. De andere objecten zijn verborgen.
Kies nu in het Teken-menu de functie 'Veelhoek' en selecteer achtereenvolgens de punten A, B, C, D en klik tenslotte weer op het punt A.
Wat voor soort vierhoek is ABCD nu? Hoe weet je dat?
Je kunt het punt C verslepen over de cirkel. Doe dat tot ABCD (op het oog) een parallellogram is geworden.
Hoe kan je met Cabri controleren of ABCD inderdaad een parallellogram is. Doe dat en geef een korte beschrijving van je waarnemingen daarbij.
Aanwijzing. Kijk eens naar de functies in het Eigenschappen-menu.
Is er maar één mogelijkheid voor het punt C zodat ABCD een parallellogram is (of lijkt)?
Als er meerdere zijn, schets dan de verschillende mogelijkheden.
Als vierhoek ABCD een parallellogram is, dan is het zelfs een ruit. Hoe kan je dat met Cabri controleren? Beschrijf dit kort.
Opdracht 9a
In Opdracht 8 heb je gezien, dat het op die manier niet goed mogelijk is een parallellogram te tekenen.
Wat zijn de beperkingen van de constructiemethode van Opdracht 8?
Geef, uitgaande van drie willekeurige punten A, B, D, zelf een constructiebeschrijving voor een vierhoek ABCD die in alle gevallen een parallellogram is (en dus blijft).
Opmerking. Probeer je constructiebeschrijving zo kort mogelijk te formuleren, maar geef in ieder geval de door jou gebruikte Cabri-functies aan.
Doe hetzelfde voor een ruit en voor een vierkant.
Opdracht 9b
In de figuur hiernaast zijn een gelijkbenige driehoek ABC en een gelijkzijdige driehoek ABD getekend.
Zie eerst de Opmerking in Opdracht 9a.
Geef een volledige constructiebeschrijving voor een gelijkbenige driehoek.
Geef ook een constructiebeschrijving voor een gelijkzijdige driehoek.
Construeer met Cabri beide soorten driehoeken volgens de gegeven constructiebeschrijving, druk ze af op een printer en voeg de
afdruk(ken) toe aan je verslag.
Cabri Geometry – 2 van VIER
6. Hoek en bissectrice Opdracht 10
Wat we in de meetkunde onder een hoek verstaan is niet zo eenvoudig in woorden vast te leggen.
We geven een drietal definities die gevonden zijn in diverse boeken.
a. In Van Dale, Groot Woordenboek der Nederlandse Taal, vinden we:
1 (meetk.) de onbepaalde ruimte tussen twee rechte lijnen (…) die elkaar snijden (…).
b. In het oudste geschreven meetkundeboek, De Elementen van Euclides, samengesteld omstreeks 300 v.Chr., staat (als definitie 8):
Een vlakke hoek is de helling tot elkaar van twee lijnen in een plat vlak, die elkaar ontmoeten en niet op een rechte liggen.
c. En in een meetkundeboek dat in 1957 op een aantal middelbare scholen in Nederland (in ieder geval op een gymnasium in Rotterdam) werd gebruikt, staat:
Een hoek is een figuur bestaande uit twee halve lijnen met een gemeenschappelijk eindpunt.
Kan je op basis van elk van die definities een hoek tekenen? Probeer het eens, en vermeld daarbij welke problemen je bent tegen gekomen.
In definitie c staat het begrip 'halve lijn'. Hoe zou je dat begrip zelf definiëren?
Probeer ook eens een definitie te geven die vastlegt wat jij zelf onder een hoek (in de meetkunde dan) verstaat.
Opdracht 11
Teken op een nieuw tekenblad een cirkel met middelpunt M en een willekeurige straal (via de functie 'Cirkel' in het Cirkel-menu). Kies op die cirkel twee punten A en B. En teken dan met de functie 'Halve lijn' twee halve lijnen OA en OB. Selecteer eerst O en dan A, en vervolgens weer O en dan B. Als het goed is, krijg je een figuur als onderstaand (links).
Laten we nu eens bekijken wat Cabri onder een hoek verstaat.
Kies de functie 'Markeer hoek' in het Extra-menu. Selecteer dan achtereenvolgens de punten A, O, B. Cabri zet dan een tekentje (een cirkelboogje met een streepje) in wat wij nu maar als definitie van hoek zullen gaan gebruiken: de beide halve lijnen (zie definitie c in Opdracht 10) en het gedeelte van het vlak (tekenblad) dat door het boogje wordt aangegeven (zie definitie a in opdracht 10).
Kijk ook eens wat er gebeurt als je het punt B over de cirkel verplaatst.
We zullen deze hoek in hetgeen volgt aangeven met ∠AOB (of ook wel met AOB als er geen verwarring met driehoek AOB kan ontstaan; ∠ spreek je dan uit als hoek). De beide halve lijnen noemen we de benen van de hoek.
Opmerking. Bij het tekenen van een hoek heb je de eerst getekende cirkel niet nodig; om het hoektekentje te plaatsen moet je natuurlijk wel een punt op elk van de benen kiezen (maar dat kan willekeurig).
Opdracht 12
Teken op een nieuw tekenblad een hoek O (het punt O is hier het hoekpunt) en kies op elk van de benen een punt (aangegeven met A en B).
Kies vervolgens de functie 'Bissectrice' (of 'Deellijn') in het Constructie-menu en selecteer achtereenvolgens A, O en B. Cabri tekent nu een lijn (in de figuur aangegeven met de letter d): de bissectrice van hoek AOB, die hoek AOB in twee gelijke delen verdeelt.
De punten die op de bissectrice liggen, hebben een bijzondere eigenschap. Deze eigenschap zullen we in deze opdracht onderzoeken.
Kies een punt P op de lijn d en teken vervolgens met de functie 'Loodlijn' (in het Constructie- menu) de loodlijnen uit P op de benen van de hoek (let op de teksten: 'Door dit punt' en
'Loodrecht op deze halve lijn'). Teken ook de lijnstukken PC en PD (waarbij C en D de snijpunten zijn van de loodlijnen met de benen van hoek O); verberg daarna de beide loodlijnen.
Lijnstuk PC is de afstand van P tot het been OA van hoek O; PD is de afstand van P tot het been OB van hoek O. De punten C en D heten wel de voetpunten van P.
Er zijn nu twee driehoeken ontstaan: POC en POD.
Juist door de uitgevoerde constructies weten we van twee hoeken en één zijde in beide driehoeken dat ze aan elkaar gelijk zijn. Welke hoeken zijn dat? En welke zijde?
Hierdoor weet je dat de driehoeken congruent zijn.
Waarom weet je nu ook dat PC = PD? Ga dit ook met Cabri na!
Verplaats nu het punt P over de lijn d. Wat valt je daarbij op?
Formuleer op basis daarvan een eigenschap van de punten die op de bissectrice van een hoek liggen.
Opdracht 13
Teken op een nieuw tekenblad drie punten A, B, C en de lijnen AB, BC, CA. Construeer met de functie 'Bissectrice' ook de bissectrices van hoek B en van hoek C (je hebt hierbij geen extra punten op de benen nodig; die staan er immers al: voor de bissectrice van hoek B gebruik je C en A; voor die van hoek C gebruik je de punten A en B).
Het snijpunt van beide bissectrices is het punt I. Construeer ook de afstanden ID, IE, en IF van het punt I tot de benen van de hoeken B en C (zie de figuur hieronder).
Opmerking. Kijk zo nodig nog eens hoe dat in Opdracht 12 gedaan is.
Waarom is nu ID = IF?
En waarom is ID = IE?
Uit de laatste twee regels kan je nu een conclusie trekken omtrent IE en IF. Welke?
Verklaar nu kort waarom de (nog niet getekende) bissectrice van hoek A ook door het punt I zal gaan.
Teken nu ook de bissectrice van hoek A en ga met Cabri na dat het punt I inderdaad op die bissectrice ligt.
Hoe heb je dat onderzoek met Cabri verricht?
Opdracht 14
Het in Opdracht 13 geconstrueerde punt I heeft dus de eigenschap, dat ID = IE = IF; of anders gezegd: het punt I heeft gelijke afstanden tot de drie zijden van driehoek ABC. Het punt I is daardoor de ingeschreven cirkel (kortweg incirkel) van driehoek ABC.
Teken deze incirkel.
Opmerking. In bovenstaande figuur zijn de lijnen die door de hoekpunten gaan, verborgen.
Driehoek ABC is getekend met de functie 'Driehoek' in het Lijn-menu. Driehoek DEF is ook met die functie getekend.
Verklaar nu waarom de bissectrices van de hoeken van driehoek ABC de middelloodlijnen zijn van de zijdes van driehoek DEF.
Aanwijzing. Je hoeft een dergelijke verklaring slechts te geven voor één van de bissectrices (waarom is dat voldoende, denk je?).
Kies bijvoorbeeld de bissectrice van hoek A. Je moet nu voldoende argumenten hebben om te kunnen zeggen, dat het punt P (zie bovenstaande figuur, waarin P het snijpunt is van de lijn AI en het lijnstuk EF) het midden is van het lijnstuk EF. En ook waarom APE en APF rechte hoeken zijn. Want dan pas is AI middelloodlijn van EF!
7. Hoogtelijnen van een driehoek Opdracht 15
In onderstaande figuur is verder gewerkt met de figuur uit Opdracht 14. Er is nu ook een driehoek PQR getekend. Ook PQR is een bijzondere driehoek in samenhang met de bissectrices van
driehoek ABC. We zullen zien waarom.
Bewijs (dat is hetzelfde als: geef een sluitende redenering) dat (bijvoorbeeld) QR // EF.
Aanwijzing. Kijk in het bijzonder naar driehoek DEF en de ligging van de punten P, Q, R op de zijden van die driehoek (zie eventueel Opdracht 14).
Nu is ook RP // FD en PQ // DE. Waarom?
De lijn AI staat loodrecht op EF (waarom wat dat ook alweer?). Waarom staat AI dan ook loodrecht op QR? We schrijven dit ook wel als: AI ⊥ QR (⊥ spreek je uit als: staat loodrecht op).
En dus weet je in dit verband ook iets van BI en PR en ook van CI en PQ. Wat is dat dan?
In bovenstaande figuur staat de lijn PI (dus) loodrecht op de zijde QR van driehoek PQR.
Een lijn die door een hoekpunt gaat én loodrecht staat op de overstaande zijde van dat hoekpunt (QR is de overstaande zijde van het hoekpunt P in driehoek PQR), heet hoogtelijn van die driehoek.
We hebben nu de volgende belangrijke eigenschap van de hoogtelijnen van een driehoek gevonden:
De hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in hetzelfde punt (het hoogtepunt van die driehoek).
Het punt I is dus het hoogtepunt van driehoek PQR. Het hoogtepunt van een driehoek wordt overigens meestal met de letter H aangegeven.
Opdracht 16
We gaan nu de figuur van Opdracht 15 in de omgekeerde volgorde construeren. We beginnen met driehoek PQR en eindigen met driehoek ABC.
Teken daartoe op een nieuw tekenblad een driehoek PQR en de hoogtelijnen van die driehoek.
Gebruik daarbij de functie 'Loodlijn' in het Constructie-menu.
Construeer dan driehoek DEF en tenslotte dus driehoek ABC.
Geef van bovenstaande constructie een korte beschrijving. Druk de geconstrueerde figuur ook af en voeg die toe aan je verslag.
Aanwijzing. (Voor driehoek ABC) De raaklijn aan een cirkel kan je construeren als loodlijn in het raakpunt op de straal naar dat raakpunt.
Opdracht 17 - Negenpuntscirkel
In onderstaande figuren zijn AD, BE en CF de hoogtelijnen van driehoek ABC.
Driehoek DEF wordt de voetpuntsdriehoek van driehoek ABC genoemd (de punten D, E, F zijn de zogenoemde voetpunten van de hoogtelijnen). In de linker figuur is het punt A' het midden van het lijnstuk BC.
Waarom gaat de cirkel met middellijn BC (het middelpunt is dus A') door de punten E en F?
Aanwijzing. BEC = 90°, BFC = 90°. Volgens de Stelling van … is dan … Waarom gaat de middelloodlijn van EF dan door A' ?
In de rechter figuur is het punt D' het midden van het lijnstuk AH.
Waarom gaat de middelloodlijn van EF ook door D' ?
Opmerking. Het is zeker illustratief om bovenstaande figuur in Cabri te construeren. Je kan dan door het verplaatsen van de punten A, B en/of C zien, dat de genoemde eigenschappen van de middelloodlijn van EF inderdaad in alle situaties geldt.
Noem overeenkomstige eigenschappen van de middelloodlijn van FD en de middelloodlijn van DE.
In onderstaande figuur snijden de middelloodlijnen van de lijnstukken DE en DF elkaar in het punt N.
Waarom is N het middelpunt van de omcirkel van driehoek DEF?
Verklaar nu (kort samenvattend) waarom deze omcirkel ook gaat door de punten B', C', A' (dat zijn de middens van de zijden van driehoek ABC en ook door de punten E', F', D' (dat zijn de middens van de 'bovenste stukken' van de hoogtelijnen van driehoek ABC).
Aanwijzing. Kijk nog eens naar wat je hierboven over de middelloodlijnen gevonden hebt.
Met het hierboven staande is een belangrijke stelling uit de driehoeksmeetkunde bewezen: de Stelling van Feuerbach, genoemd naar Karl Feuerbach, een Duits wiskundige die leefde van 1800 tot 1834. De omcirkel van driehoek DEF wordt de Feuerbach-cirkel van driehoek ABC genoemd. Vanwege de negen punten (tel ze maar na) die op de cirkel liggen, heet de cirkel ook wel negenpuntscirkel van driehoek ABC.
De negenpuntscirkel heeft een groot aantal andere eigenschappen. Een enkele zullen we hieronder nog bekijken.
Opdracht 18
De negenpuntscirkel is ook de omcirkel van driehoek A'B'C'; dat is dus de driehoek gevormd door de middens van de zijden van ABC.
Het punt O is het middelpunt van de eveneens getekende omcirkel van ABC.
Wat weet je van de lengtes van de zijden van driehoek A'B'C' als je die vergelijkt met overeenkomstige zijden van driehoek ABC?
R is de lengte van de straal van de omcirkel van driehoek ABC en RN is de lengte van de straal van de negenpuntscirkel.
Waarom geldt nu: RN = ½R?
Opdracht 19
De negenpuntscirkel is ook omcirkel van driehoek D'E'F'; dat is dus de driehoek gevormd door de middens van de bovenste stukken van de hoogtelijnen van driehoek ABC.
Deze middens worden wel de Euler-punten van driehoek ABC genoemd. In dit verband heet driehoek D'E'F' de Euler-driehoek van driehoek ABC (naar Leonard Euler, een Zwitsers wiskundige die leefde van 1707 tot 1783).
In Frans-sprekende landen wordt de negenpuntscirkel ook wel Euler-cirkel genoemd.
Waarom zijn de zijden van driehoek D'E'F' evenwijdig met de (overeenkomstige) zijden van driehoek ABC?
Aanwijzing. Kijk eens naar de driehoeken HE'F' en HBC. Wat weet je van de punten E' en F' ?
Waarom is E'F' = ½BC, en ook F'D' = ½CA en D'E' = ½AB?
Kan je nu verklaren waarom de punten H, N en O op dezelfde rechte lijn liggen?
Aanwijzing. Waarom is HN = ½HO (met andere woorden: waarom is het punt N het midden van het lijnstuk HO)? Hoe groot is de vermenigvuldigingsfactor?
De lijn HO is een heel belangrijke (en beroemde) lijn in de driehoeksmeetkunde: de Euler-lijn van driehoek ABC.
Het zal blijken, dat het (zogenoemde) zwaartepunt van driehoek ABC ook op de Euler-lijn ligt.
8. Zwaartelijnen van een driehoek
Opdracht 20
Teken op een nieuw tekenblad weer een driehoek ABC. Doe dat dit keer met de functie 'Driehoek' in het Lijn-menu.
Construeer vervolgens de middens A', B', C' van de zijden van ABC. Teken ook de zwaartelijnen BB' en CC'. Dat zijn dus lijnen door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde van dat hoekpunt. Deze lijnen snijden elkaar in het zwaartepunt Z van driehoek ABC.
Opmerking. Ook de lijn AA' is een zwaartelijn van ABC. In onderstaande figuur is die lijn 'nog niet' door het punt Z getekend. We zullen nog bewijzen dat het punt Z ook op AA' ligt.
Bereken met Cabri de lengtes van de lijnstukken BZ en ZB'.
Verplaats nu de punten A, B en/of C en bekijk daarbij de verhouding BZ : ZB' (gebruik hierbij zonodig je eigen rekenmachine).
Formuleer op basis van je waarnemingen een vermoeden omtrent die verhouding.
Je kan het bewijs van dat vermoeden eenvoudig leveren door te kijken naar de driehoeken ZBC en ZB'C'.
Waarom is in die driehoeken B'C' = ½BC? En waarom zijn die driehoeken gelijkvormig?
Wat volgt daaruit dan voor de verhouding BZ : ZB' ? En dus ook voor de verhouding CZ : ZC' ?
Dat het punt Z ook op AA' moet liggen, is nu wel te bewijzen. Geef een bewijs (gebruik daarbij, indien gewenst, de hierna volgende aanwijzing).
Aanwijzing. Geef eens antwoord op de volgende vragen. Wat is de verhouding van de lengtes van de stukken waarin twee zwaartelijnen (opgevat als lijnstukken) elkaar verdelen? In welke verhouding wordt het lijnstuk BB' dan door de zwaartelijn AA' verdeeld? Kan dat in een ander punt van BB' zijn dan in het punt Z? Waarom wel c.q. waarom niet?
En dan nu terug naar de Euler-lijn van een driehoek. We hebben immers beweerd dat het zwaartepunt Z van een driehoek ook op die lijn ligt. En dan moet bewezen worden!
Opdracht 21a – Een nuttig intermezzo in twee delen In nevenstaande figuur is O het middelpunt van de omcirkel van ABC en A' het midden van BC, met BC = a.
Het is niet al te ingewikkeld om te bewijzen dat
∠BOA' = ∠A, gezien de drie gelijkbenige driehoeken waarin driehoek ABC via het punt O is opgedeeld.
Waarom is ∠BA'O = 90°?
Bewijs nu dat ∠BOA' = ∠A.
Aanwijzing.
Merk op, dat x + y + z = 90°, en dat ∠BOA'= 90° – x.
Toon ook aan dat, als OA' = p, dan tanx= 2ap .
Opdracht 21b
In de figuur hiernaast staan nu ook de hoogtelijnen AD en BE en hun snijpunt H.
Waarom is nu∠ABE = x?
Waarom zijn de driehoeken AEH en BEC gelijkvormig?
Toon aan dat uit die gelijkvormigheid volgt dat, met OA' = p, geldt:
AE 2
AH BC p
= ⋅BE =
We hebben hiermee dus bewezen dat AH = 2OA'.
Opdracht 22 – Het zwaartepunt van een driehoek ligt ook op de Euler-lijn!
In de figuur hiernaast is de lijn e de Euler-lijn en is AA' een zwaartelijn van driehoek ABC; deze zwaartelijn snijdt de lijn e in het punt Z.
We moeten nu aantonen dat AZ : ZA' = 2 : 1. Waarom is dat nodig?
Waarom is AH // OA' ?
Bewijs nu dat inderdaad AZ : ZA' = 2 : 1.
Aanwijzing. Wat weet je van de driehoeken AHZ en A'OZ?
Waar (hoe) ligt het punt Z op het lijnstuk HO?
Opmerking. Op de Euler-lijn liggen naast de punten H, O, N en Z nog zo'n 20 (als het er al niet meer zijn) andere bijzondere punten van de driehoek.
Cabri Geometry – 3 van VIER
9. Omtrekshoeken
Bij het meten van hoeken maken we meestal gebruik van het feit dat we een gestrekte hoek kunnen verdelen in 180 gelijke deelhoekjes. We zeggen dan dat de grootte van zo'n deelhoekje 1 graad is: het 180ste deel van een gestrekte hoek is een hoek van 1°. De grootte van een gestrekte hoek is dus 180°.
Een rechte hoek wordt gedefinieerd als de helft van een gestrekte hoek. De grootte van een rechte hoek is dus 90°. Een hoek van 360° wordt ook wel volle hoek genoemd.
Hulpstelling – Stelling van de buitenhoek
Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de niet-aanliggende binnenhoeken van die driehoek.
Bewijs
In de figuur hiernaast is ∠A1 een buitenhoek van driehoek ABC. De hoeken B en C van driehoek ABC zijn dan niet-aanliggende binnenhoeken, omdat ze geen nevenhoek zijn van die hoek A1
(hoek A2 is dat wel).
Nu geldt
o
1 2
o 2
180 180
A A
B C A
∠ + ∠ =
∠ + ∠ + ∠ = En daaruit volgt direct dat ∠ = ∠ + ∠ . A1 B C
We kunnen op basis van de verdeling van een volle hoek in hoeken van 1° ook de omtrek van een cirkel in hetzelfde aantal stukjes verdelen. De 'lengte' van zo'n cirkelboogje (we spreken dan van booglengte) geven we ook aan met 1°; we spreken ook wel van 1 b o o g g r a a d .
Hierboven, in de figuur links, is dat gedeeltelijk (in stapjes van 2° en 10°) gedaan voor een cirkelboog van 90°.
Op het principe van de verdeling van een gestrekte hoek in 180° is ook de zogenoemde gradenboog van de geodriehoek gebaseerd. Een 'echte' gradenboog zie je in figuur rechts hierboven.
Opdracht 23
Natuurlijk kan je ook de lengte van een cirkelboog van 1° (en dat is wat anders dan de boogleng- te!) in cm uitdrukken.
Daarbij moet je echter de lengte R van de straal van de cirkel weten, immers de totale omtrek van een cirkel (dat is dus de totale lengte van die cirkel) is gelijk aan 2 Rπ .
Van een cirkel is de straal R gelijk aan 5 cm.
Bereken de lengte van een boog van 1° van die cirkel in cm (in één decimaal).
Neem vervolgens de straal van de cirkel gelijk aan 10 cm. Hoe groot is de lengte van een boog van 1° nu?
Het voordeel van het werken met b o o g l e n g t e s in graden is, dat de booglengte niet afhankelijk is van de straal van de cirkel.
Uit het bovenstaande volgt nu eenvoudig de volgende stelling.
Stelling 1
De booglengte van een cirkel (in booggraden) is gelijk aan het aantal graden van de middelpuntshoek die op die boog staat.
Opdracht 24
In Stelling 1 wordt het begrip 'middelpuntshoek' gebruikt.
Geef daarvan een definitie.
Teken nu op een nieuw tekenblad een cirkel met middelpunt O. Kies op de omtrek van de cirkel twee punten A en B. Teken ook de lijnstukken OA en OB.
Bereken met Cabri de grootte van de middelpuntshoek AOB en de lengte straal.
Je kan met Cabri eenvoudig de omtrek van de cirkel vinden. Kies daartoe de functie 'Afstand/Lengte' in het Reken-menu en selecteer de cirkel (let op de tekst: 'Omtrek van deze cirkel').
Bereken nu de lengte van boog AB in cm. Schrijf eerst de met Cabri gevonden gegevens op en dan je volledige berekening.
Je kan deze berekening ook eenvoudig door Cabri laten doen. Kies daartoe eerst in het Cirkel- menu de functie 'Cirkelboog'. Selecteer dan A ('Door dit punt'), klik vervolgens op een willekeurig punt, een tussenpunt, op de boog van de middelpunthoek ('Op deze cirkel') en selecteer dan het punt B ('en dit punt'). Kies weer de functie 'Afstand/Lengte' en selecteer de getekende cirkelboog.
Cabri geeft dan aan 'Welk object'. Selecteer dan natuurlijk 'cirkelboog'.
Zoals je in de figuur (hierboven rechts) kunt zien geven we de lengte van boog AB (in cm) aan met L(bg(AB)).
Op basis van stelling 1 schrijven we bg(AB) = ∠AOB = 71,6° als we de lengte in booggraden, de booglengte, bedoelen.
Voor de omtrek van een cirkel gebruiken we soms de letter Z.
Opdracht 25
In de figuur hiernaast zijn twee cirkels getekend met middelpunt O.
Waarom is nu bg(AB) = bg(CD)?
Is L(bg(AB)) = L(bg(CD))?
Verklaar in beide gevallen je antwoord.
In de figuur kan je de 'grootste' boog van elke cirkel aangeven met bg(AXB), van A via X naar B, en bg(CYD); je gebruikt dus een derde letter om mogelijke verwarring te voorkomen.
Zijn bg(AXB) en bg(CYD) gelijk? Licht je antwoord weer kort toe.
Opdracht 26
Teken in de figuur van Opdracht 24 nu een punt P op de omtrek van de cirkel, maar niet op bg(AB).
Teken ook de halve lijnen PA en PB. Bereken hoek APB. Verplaats nu het punt P over de cirkel.
Wat merk je op?
Op basis van hetgeen gevonden is in Opdracht 27 formuleren we nu de volgende stelling.
Stelling 2 – Stelling van de omtrekshoek
Een omtrekshoek van een cirkel is gelijk aan de helft van de boog waarop hij staat.
Uiteraard moet deze stelling bewezen worden. We mogen namelijk niet alleen op Cabri afgaan.
Heb je een idee waarom je niet op Cabri alleen zou mogen afgaan?
Opdracht 27
Ga na dat we drie mogelijkheden hebben; zie de volgende figuur.
Geval 1: het middelpunt O van de cirkel ligt op één van de benen van hoek P;
Geval 2: het punt O ligt binnen hoek P;
Geval 3: het punt O ligt buiten hoek P.
Geval 1 Geval 2 Geval 3
We bekijken eerst geval 1.
Waarom is in de figuur links ∠APB = ∠PBO ? We stellen deze hoek gelijk aan x.
Gebruik nu de stelling van de buitenhoek om hoek AOB in x uit te drukken.
Druk nu ook bg(AB) uit in x.
Vervolgens geval 2. In de middelste figuur is de lijn PQ als hulplijn door het punt O getekend.
Waarom is bg(BQ) = 2x ? Waarom is bg(AQ) = 2y ? En maak het bewijs verder af.
(Zie de figuur hierboven, rechts) Hier is nog steeds ∠P = ∠APB. Bewijs geval 3 nu op min of meer dezelfde manier als geval 2.
Opdracht 28 – Cabri's gradenboog
Ook met Cabri kunnen we natuurlijk hoeken van willekeurige grootte tekenen.
Het ligt voor de hand daarbij de Cabri-functie 'Rotatie' te gebruiken. Deze functie is te vinden in het Afbeeldingen-menu (het 6e menu van links).
De opdracht luidt: teken een driehoek ABC met opvolgend hoeken van 62°, 70° en 48°.
Het is uiteraard voldoende de hoeken van 62° (bij A) en 70° (bij B) te construeren, omdat dan 'automatisch' de derde hoek (bij C) gelijk is aan 48°.
Teken op een nieuw Cabri-tekenblad een lijnstuk AB van voldoende lengte en plaats op het tekenblad met behulp van de functie 'Getallen' (of 'Wijzig getallen') de getallen 62 en –70 (jawel, min 70). Zie de figuur hierboven, links.
Kies nu de functie 'Rotatie' en roteer het punt B om het punt A over de hoek van 62 (graden).
Cabri vat bij een rotatie de getallen standaard op als graden.
Selecteer eerst B, dan A en vervolgens het getal 62. Dit geeft het punt B'. Teken de halve lijn AB'.
Selecteer dan A, B en het getal –70 (in deze volgorde!). Dit geeft het punt A'. Teken de halve lijn BA'.
Ga met Cabri na dat de hoek bij C inderdaad 48° is.
Verklaar waarom je bij B het getal –70 moet gebruiken en niet 70.
De omcirkel van ABC wordt door de punten A, B, C in drie bogen verdeeld.
Bereken de booglengtes van die bogen.
Opdracht 29
Bereken in de driehoek van Opdracht 28 de bogen waarin de hoogtelijnen AP, BQ, CR van driehoek ABC de omcirkel verdelen (zie de rechter figuur bij Opdracht 28).
Vermeld daarbij niet alleen de antwoorden, maar licht je berekeningen ook voldoende toe.
Aanwijzing. Bedoeld worden dus bg(PCQ), bg(QAR), bg(RBP).
10. Raaklijn en omtrekshoek
Afspraak. Een raaklijn in een punt aan een cirkel is een lijn die loodrecht staat op de straal naar dat punt.
Opdracht 30
Teken op een nieuw tekenblad een cirkel met middelpunt O. Teken ook een punt P op de omtrek van de cirkel. Construeer nu de raaklijn in het punt P aan de cirkel. Kies vervolgens een punt A op de cirkel en een punt B op de raaklijn (zie de figuur hieronder).
Ook een raaklijn in een punt van de cirkel en een koorde die door dat punt gaat, vormen samen een omtrekshoek.
De boog binnen die hoek, hier dus bg(PA), kunnen we berekenen. Er geldt ook nu:
Stelling 3
De hoek P gevormd door een raaklijn in het punt P aan een cirkel en een koorde door P is gelijk aan de helft van de boog binnen die hoek.
Het bewijs van Stelling 3 kan je geven in Opdracht 31.
Maar je kan met Cabri al vast wat berekeningen maken, zoals L(bg(PA)), de straal van de cirkel, de grootte van hoek POA. En dan op basis van die berekeningen laten zien dat Stelling 3 inderdaad juist is. Laat daarbij duidelijk zien hoe je aan je antwoorden gekomen bent.
Opdracht 31 – Bewijs van stelling 3
Ook hier kunnen we weer drie gevallen onderscheiden.
Geval 1: het middelpunt O van de cirkel ligt op de koorde;
Geval 2: het punt O ligt binnen hoek P;
Geval 3: het punt O ligt buiten hoek P.
Maak met Cabri een tekening voor elk van deze drie gevallen en geef het bewijs. Voeg die tekeningen toe aan je verslag.
Aanwijzing. Je kan, op dezelfde manier als in Opdracht 27, bij het bewijs van de gevallen 2 en 3 het resultaat van geval 1 gebruiken.
Opdracht 32
De punten A, B, C verdelen een cirkel in bogen die zich verhouden als 7, 10 en 13.
In die punten trekt men de raaklijnen aan de cirkel. Deze raaklijnen vormen een driehoek PQR.
Maak eerst een tekening met Cabri en bereken daarna (niet met Cabri, maar je kan daarmee wel je antwoorden controleren) de grootte van de hoeken van driehoek PQR. Voeg de gemaakte tekening weer toe aan je verslag.
11. Koordenvierhoek
Afspraak. Een koordenvierhoek is een vierhoek die gevormd wordt door vier koorden van een cirkel, waarbij de koorden twee aan twee één eindpunt gemeenschappelijk hebben en elkaar niet snijden binnen de cirkel.
In de figuur hiernaast is een koordenvierhoek ABCD getekend.
Een koordenvierhoek heeft belangrijke hoekeigenschappen, gebaseerd op de stelling van de omtrekshoek.
Bij veel bewijzen in de driehoeksmeetkunde speelt de koordenvierhoek een belangrijke rol.
Stelling 4
In een koordenvierhoek is de som van de overstaande hoeken gelijk aan 180°.
Opdracht 33
Bewijs stelling 4.
Aanwijzing. Het is dus voldoende aan te tonen, dat A + C = 180°. Waarom?
Maak nu een Cabri-tekening van een koordenvierhoek ABCD, waarbij de diagonalen AC en BD van die vierhoek elkaar snijden in het punt S.
In die figuur zijn vijf paren hoeken aan te wijzen die aan elkaar gelijk zijn.
Voeg de figuur toe aan je verslag en geef in die figuur met kleine letters (x, y, …) aan welke hoeken aan elkaar gelijk zijn.
Opmerking. Ook de omgekeerde stelling van Stelling 4 geldt:
Als in een vierhoek de som van twee overstaande hoeken gelijk is aan 180°, dan is die vierhoek een koordenvierhoek
Van die omgekeerde stelling kan je gebruik maken bij het bewijs in de volgende opdracht.
Opdracht 34
Bovenstaande figuur (links) is met Cabri geconstrueerd via lijnstukken AB, BC en CA. De punten P, Q, R liggen opvolgend op BC, CA en AB (tekst: 'Op dit lijnstuk'). Ook zijn de omcirkels van de driehoeken BPR, CQP en ARQ getekend.
De omcirkels van BPR en CQP snijden elkaar in een tweede punt, dat is aangegeven met M. De derde cirkel is niet door M getekend. Maar als je zelf de figuur met Cabri maakt, dan zal je zien dat die drie cirkels steeds een punt M gemeenschappelijk hebben, ook als je de punten P, Q en/of R over de zijden van ABC verplaatst.
Maak nu met Cabri eenzelfde figuur (verberg natuurlijk alle niet noodzakelijke lijnen, zoals de zes gebruikte middelloodlijnen).
Ga na, dat de drie cirkels inderdaad een gemeenschappelijk snijpunt hebben.
Maar hoe bewijzen we nu dat die derde cirkel inderdaad ook door het punt M gaat?
In de figuur rechts is (bij andere posities van P, Q en R):
∠M1 = ∠RMP, ∠M2 = ∠PMQ, ∠M3 = ∠QMR Druk nu M3 uit in M1 en M2. Dat wil zeggen:
M3 = …… (aanvullen met 'iets met M1 en M2').
Aanwijzing. Je weet hoeveel M1, M2 en M3 samen zijn (toch?).
Waarom is M1 + B = 180°? En waarom is M2 + C = 180°?
Toon nu aan dat M3 = 180° – A.
Waarom mag je nu concluderen dat vierhoek ARMQ een koordenvierhoek is?
Is naar jouw mening nu bewezen, dat de drie cirkels een gemeenschappelijk snijpunt M hebben?
Een speciale 'configuratie' krijgen we als de punten P, Q, R op een rechte lijn liggen (zie de figuur hiernaast).
Natuurlijk hebben de drie cirkels (door P, Q, R en de
hoekpunten van ABC) ook in dit geval een gemeenschappelijk snijpunt M.
Waarom?
In de figuur is ook de omcirkel van driehoek ABC getekend.
(niet eenvoudig, maar …) Toon aan dat de omcirkel van driehoek ABC in dit geval ook door het punt M gaat.
Je hebt nu de zogenoemde Stelling van Miquel bewezen; genoemd naar Auguste Miquel, een Franse wiskundige die rond 1840 in Nantua leefde en les gaf aan het 'Collège de Castres'. Hij bewees deze stelling vermoedelijk in 1832. Hij publiceerde erover in het Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (Journal de Liouville, tome III, Octobre 1838, Paris).
Het punt M is het Miquel-punt van driehoek ABC (bij PQR). De cirkels heten ook wel Miquel-cirkels.
De eigenschap die Miquel formuleerde in de naar hem genoemde stelling (zie Opdracht 34), kan gemakkelijk worden uitgebreid naar meerdere cirkels die een gemeenschappelijk snijpunt hebben.
Als inleiding daarop allereerst een aardige toepassing (of een gevolg) van de stelling van Miquel.
Opdracht 35a
Teken op een nieuw tekenblad een punt M en drie cirkels die door het punt M gaan. We geven die cirkels aan met (A'), (B'), (C'), naar hun middelpunten. Die middelpunten zijn dus willekeurig op het tekenblad gekozen.
Bepaal dan de andere snijpunten P, Q, R van die cirkels (zie onderstaande figuur). Construeer verder de snijpunten B en C via de lijnen AP en BQ. Teken tenslotte de lijn CR.
Wat valt je op? Verplaats het punt A over de cirkel (A').
Geef een verklaring waarom de lijn CR door het punt A blijft gaan.
De eigenschap in Opdracht 35a is een voorbeeld van wat men in de meetkunde een 'sluitingsstelling' noemt. Ook in Opdracht 35b staat een sluitingsstelling, maar dan gebaseerd op 4 cirkels.
Opdracht 35b
Neem een nieuw Cabri-tekenblad en kies daarop weer een punt M. Teken nu vier cirkels (A'), (B'), (C'), (D') die alle door M gaan. Bepaal verder de andere snijpunten P, Q, R, S van die cirkels zoals gedaan is in onderstaande figuur.
Kies vervolgens een willekeurig punt A op (A') en bepaal dan de snijpunten B, C, D via de lijnen AP, BQ, CR. Teken ook de lijn DS.
Verplaats dan het punt A over cirkel (A').
Ga met de Cabri na dat de lijn DS steeds door het punt A gaat. Geef kort aan hoe je dat hebt nagegaan.
(niet zo eenvoudig) Geef (zo mogelijk) een bewijs daarvan.
Aanwijzing. Natuurlijk kan je ook hier weer gebruik maken van koordenvierhoeken!
Tot slot nog wat extra vragen voor diegenen die 'echt' meetkundig onderzoek willen doen.
In de figuur zijn ook nog twee andere cirkelsnijpunten, T en U, getekend, alsmede de diagonalen van AC en BD van vierhoek ABCD.
Waarom gaan die diagonalen opvolgend door de punten U en T?
Bewijs dat het snijpunt N van die diagonalen een cirkel beschrijft als A de cirkel (A') doorloopt.
Over het punt van Miquel is veel meer te schijven, maar dat doen we hier (en nu) maar niet. We geven tot slot wel een verwijzing naar een andere uitbreiding van de stelling: het Miquel-pentagram.
Zie via Internet bijvoorbeeld: http://agutie.homestead.com/files/miquel_pentagram1.htm .
Een aardige constructie-oefening. Maak deze figuur na, uitgaande van de willekeurige vijfhoek ABCDE!
En bewijs dan dat de punten U, V, W, X, Y op dezelfde cirkel liggen.
Cabri Geometry – 4 van VIER
12. Cabri's rekenmachine
In het Reken-menu van Cabri (het 3e menu van rechts) vinden we de functie 'Rekenmachine':
Met behulp van deze (in een enkel opzicht beperkte) rekenmachine kunnen we berekeningen uitvoeren, waarvan de uitkomst op het Cabri-tekenblad wordt geplaatst. Zo'n uitkomst (in Cabri 'resultaat' genoemd) kan dan eventueel weer worden gebruikt in een andere berekening.
We werken eerst een eenvoudige opdracht uit.
Opdracht 36
Teken een in C rechthoekige driehoek ABC en meet daarvan met Cabri de lengte van de beide rechthoekszijden.
Aanwijzing. Teken eerst twee lijnen die in C loodrecht op elkaar staan. Kies de punten A en B op deze lijnen met de functie 'Punt op object'. Je hoeft de lijnstukken CA en CB niet te tekenen (maar het mag wel).
Kies dan de functie 'Rekenmachine'.
In het grote venster van de Rekenmachine – we noemen dat in hetgeen volgt het rekenvenster – kunnen uitdrukkingen worden geplaatst. Deze uitdrukkingen worden meestal opgebouwd met getallen die op het werkblad staan, zoals de lengtes van de beide rechthoekszijden. Ook wiskundige functies kunnen erin worden opgenomen. De getallen worden door Cabri zelf toegevoegd aan variabelen (aangegeven met kleine letters: a tot en met z).
Klik om te beginnen in het rekenvenster (hiermee maak je de rekenmachine actief).
Selecteer nu de waarde van de hoogte (je ziet 'Dit getal'). Op het werkblad wordt dan boven het getal de Cabri-variabele zichtbaar (een a). Deze a zie je ook terug in het rekenvenster. Klik dan op de [x]-knop van de rekenmachine en selecteer vervolgens de lengte van de basis (nu wordt de variabele b gebruikt). Klik dan weer op [x] en typ vervolgens 0.5 (nul punt vijf).
Klik tenslotte op de [=]-knop van de Rekenmachine (of gebruik [Enter]). Het antwoord van de uitdrukking komt dan in het antwoordvenster (hierboven links).
Klik nu op het antwoord in het venster en beweeg de wijzer naar het tekenblad. Kies daarop een geschikte positie en klik met de linker muisknop.
Het antwoord staat (achter de tekst 'Resultaat:') op het tekenblad geplaatst.
N.b. De tekst 'Resultaat:' kan indien gewenst worden gewijzigd.
Ga bij verplaatsing van de punten A en B na, dat het resultaat van de berekening – de oppervlakte van de driehoek – telkens wordt aangepast.
Wijziging van de uitdrukking. De rekenkundige uitdrukking waarop een resultaat is gebaseerd, kan ook worden gewijzigd. Ga daartoe te werk zoals in Opdracht 37 is beschreven.
Opdracht 37
Kies de functie 'Rekenmachine' en klik in het rekenvenster. Dubbelklik daarna op het getal achter 'Resultaat:'.
Je ziet dan de gebruikte uitdrukking weer in het rekenvenster (de gebruikte variabelen worden eveneens op het werkblad aangegeven).
Wijzig nu het getal 0.5 in bijvoorbeeld 10/20 en bekijk het gevolg (…?).
Gebruik van de functieknoppen. De functieknoppen op de Rekenmachine spreken wel voor zichzelf.
De toets [inv] bepaalt de inverse van de functies [sin], [cos], [tan], [ln] en [log]; de inverse van de eerste drie functies zijn arcsin, arccos, arctan (dit zijn dezelfde functies als sin-1, cos-1, tan-1 die op je rekenmachine voorkomen).
[inv][ln] geeft ex en [inv][log] geeft 10x. [sqrt] is √x. [inv][sqrt] geeft x2, hoewel dat niet in het rekenvenster wordt weergegeven.
Je moet bij het gebruik van haakjes (sommige openingshaakjes worden door Cabri toegevoegd) ook de sluithaakjes zelf toevoegen met [ ) ] of door ze te typen.
Voorkomende foutmeldingen hierbij zijn:
- Er is een fout gevonden bij de analyse van de uitdrukking - Deling door 0.
Opdracht 38
Ga weer uit van bovenstaande rechthoekige driehoek (zie Opdracht 36).
Meet de hoeken bij A en bij B. Bereken daarna met de Cabri's Rekenmachine de uitdrukking sin2A+cos2A.
Aanwijzing. Je moet deze uitdrukking invoeren alssin(a)^2 + cos(a)^2, waar je op de plaats van de a telkens de waarde van hoek A die op het scherm staat, selecteert.
Bepaal nu met Cabri ook de lengte van de zijde AB.
Controleer Cabri's lengteberekening met de stelling van Pythagoras (gebruik ook nu de Rekenmachine; kan het eigenlijk in één uitdrukking?).
Wat heb je als invoer gebruikt bij die laatste berekening? En wat was het resultaat?
Bereken ook: ½×AB×BC×sin(B). Komt dit overeen met een eerder berekend resultaat? Zo ja, met welk?
Opdracht 39
Waaruit kan je afleiden dat de goniometrische functies van Cabri werken met graden?
Opmerking. De reden daarvan is, dat het in de meetkunde gebruikelijk is de grootte van hoeken uit te drukken in graden.
13. Omrekenen
Zoals we eerder gezien hebben, is er een verband tussen de grootte van de middelpuntshoek AOB van een cirkel en de lengte (in cm) van de boog waarop die middelpuntshoek staat.
Opdracht 40
Ga uit van een middelpuntshoek van een cirkel van x°. Welk deel van de totale omtrek van de cirkel is de boog waarop die middelpuntshoek staat?
In de figuur hiernaast is de boog AB bepaald via het tussenpunt P.
De lengte van de boog en de lengte van de straal R is berekend met de functie 'Afstand/Lengte'.
Iemand heeft nu onderstaande uitdrukking in het rekenvenster ingevoerd:
Levert die uitdrukking dezelfde waarde als L(bg(AB))?
Wat merk je op? Wat is het uiteindelijke resultaat van de berekening van Cabri?
Verklaar indien mogelijk de uitkomst van Cabri.
Opmerking. Bij de gegevens in de tekening geeft Cabri als uitkomst: 0,05 cm.
Kies nu de functie 'Getallen' (c.q. 'Wijzig getallen') in het Extra-menu en klik op het tekenblad.
Het is mogelijk een getal dat is voorzien van eenheden, op het tekenblad te plaatsen. Typ 360 en druk op [Ctrl+U]. Er verschijnt dan een menu waarin je 'Graden' kiest.
Aanwijzing. Die 'U' staat voor het Engelse 'unit'; een geheugensteuntje dus.
Voer nogmaals een berekening uit als hierboven, maar gebruik in het rekenvenster nu het getal 360° dat op het scherm staat, in plaats van het getypte getal 360.
Bereken op dezelfde manier de oppervlakte van het vlakdeel (de sector) OAPB.
Aanwijzing.Je kan natuurlijk de functie 'Oppervlakte' uit het Reken-menu gebruiken voor de oppervlakte van de cirkel.
Laat duidelijk zien hoe je aan je antwoord bent gekomen.
14. De sinus van een hoek
Opdracht 41
In onderstaande figuur zijn de lengtes van de lijnstukken OP en PQ vastgesteld met de functie 'Afstand/ Lengte'. Hoek AOP is met Cabri's Rekenmachine omgerekend naar radialen.
Met welke invoer in het rekenvenster kan je een hoek in graden omrekenen naar een hoek in radialen?
De sinus van hoek AOP, in de figuur geschreven als sin(AOP), is berekend volgens de definitie van de sinus, dus met PQ / OP (met gebruikmaking van de Rekenmachine).
In bovenstaande figuur zijn enkele getallen die bij de daar staande berekeningen zijn gebruikt, niet zichtbaar.
Welke voor de berekeningen noodzakelijke getallen zijn in bovenstaande figuur in ieder geval niet zichtbaar?
Opmerking. Berekeningen moeten natuurlijk worden uitgevoerd met de gegevens die op jouw scherm staan!
Kies een nieuw tekenblad en maak daarop bovenstaande figuur, inclusief alle teksten.
Voeg deze figuur toe aan je verslag. Maak vóór het afdrukken eventueel verborgen getallen weer zichtbaar.
In de figuur hiernaast is de grootte van hoek AOP (in radialen)
gebruikt als invoer (zie het gebruik van de variabele a), ter berekening van sin(AOP).
Welke waarde geeft Cabri nu voor sin(AOP)?
Komt deze waarde overeen met de eerder door jou gevonden waarde van sin(AOP)?
Geef een verklaring waarom Cabri nu wel tot een juiste berekening met radialen komt.
15. Grafieken tekenen
Cabri's Rekenmachine kan ook worden benut bij het tekenen van grafieken, niet direct meetkunde dus (zou je denken).
We moeten daarbij gebruik maken van het achter het tekenblad verborgen assenstel, dat met 'Toon assenstelsel' (in het Lay-out-menu) zichtbaar kan worden gemaakt.
Kiezen we nu een punt op het tekenblad, dan kunnen we van dat punt de coördinaten bepalen met de functie 'Vergelijking en coördinaten' (hier verder afgekort tot 'VerCo').
We gaan er bij de volgende opdrachten van uit dat het coördinatenstelsel steeds zichtbaar is.
Opdracht 42
Teken een punt X op de x-as (let op de tekst 'Op deze as'). En toon de coördinaten van dat punt met 'VerCo'; selecteer daartoe het punt X (tekst: 'Coördinaten van dit punt').
De x-coördinaat van dat punt wordt dan gebruikt voor het berekenen van een uitdrukking die kan worden afgeleid van het functievoorschrift van de functie die we willen tekenen.
Laten we eenvoudig beginnen.
De opdracht luidt: Teken de grafiek van de functie y = x2 – 3x –1.
We berekenen nu de y-waarde bij de x-coördinaat van het reeds getekende punt X. De
vergelijking moet daarbij enigszins herschreven worden, omdat Cabri (o.a.) het machtsverheffen en vermenigvuldigen zonder bewerkingstekens niet herkent.
De Cabri-uitdrukking van bovenstaande functie wordt dan: x^2 – 3*x – 1.
In het rekenvenster moeten we dan op de plaats van x telkens het getal dat de x-coördinaat voorstelt, selecteren (die dan daarin verschijnt als variabele a).
Als alles goed gegaan is, heb je iets als onderstaand op je scherm:
Hierin is het getal achter Resultaat: (hier: -2,28) de gezochte y-waarde bij x = 2,49 (in deze figuur althans).
Bij het verplaatsen van punt X over de x-as wordt die y-waarde aangepast. Ga dat na!
In hetgeen volgt is het soms handig de tekst 'Resultaat:' te veranderen in 'y = '. Ga zelf na hoe dat moet!
Maar hoe tekenen we nu de grafiek van de functie?
N.b. We stappen nu even over naar een ander onderwerp. Het is daarom verstandig bovenstaand tekenblad op disk op te slaan.
16. Meetkundige plaats
Een noodzakelijk intermezzo. Als een punt op een zogenoemd pad ligt, dan kan Cabri alle posities van een object dat van dat punt afhankelijk is, berekenen en wel bij elke positie die dat punt op het pad kan innemen.
Onder een pad moeten we dan in Cabri verstaan: een lijn of lijnstuk, een halve lijn, een cirkel, en zelfs een driehoek of veelhoek, mits die met de bijbehorende functie uit het Lijn-menu is getekend.
Bij dat berekenen gebruikt Cabri het 'achterliggende' coördinatenstelsel.
Is de (interne) berekening voltooid, dan plaats Cabri op alle berekende posities het object op het scherm.
Opdracht 43a
Teken op een nieuw tekenblad een lijnstuk AB met daarop een punt X.
Teken vervolgens de cirkel met middelpunt X die door A gaat.
Duidelijk is nu dat X op een pad ligt en dat de getekende cirkel een van X afhankelijk object is (wordt X gewist, dan verdwijnt ook de cirkel).
Beschrijf eerst eens wat er gebeurt als je het punt X over het lijnstuk AB verplaatst.
Kies nu in het Constructie-menu de functie 'Meetkundige plaats'. Selecteer dan de cirkel en vervolgens het punt X.
Je krijgt nu (min of meer) onderstaande figuur.
Daarin is de zogenoemde meetkundige plaats van de cirkel getekend als X het lijnstuk AB doorloopt. X heet in Cabri-termen wel het aansturende punt van die meetkundige plaats.
Opmerking. Het kan zijn dat je de afzonderlijke cirkels van de meetkundige plaats niet goed kunt onderscheiden. Als dit het geval is, selecteer dan die meetkundige plaats (tekst: 'Deze meetkundige plaats') en druk dan (een aantal keer) op de [grijze-min]; dat is de min-toets op het numerieke deel (rechts) van het toetsenbord. [Numlock] moet daarbij niet actief zijn (lampje uit). Hierdoor wordt het
aantal berekende elementen van de meetkundige plaats kleiner. Moet het aantal elementen van de meetkundige plaats groter worden, druk dan op de [grijze-plus].
Een tweede voorbeeld van een meetkundige plaats staat in Opdracht 43b.
Opdracht 43b
Teken zelf de hiernaast staande figuur op een nieuw tekenblad.
A en O zijn willekeurig punten op het tekenblad. P is een willekeurig punt van een cirkel met middelpunt O en t is de raaklijn in P aan die cirkel. Construeer dan de loodlijn n uit A op t. Het snijpunt van de lijnen n en t is het punt Y.
Bepaal nu de meetkundige plaats van het punt Y als X de cirkel doorloopt.
De meetkundige plaats van Y is een kromme lijn die cardioïde heet (ook wel hartlijn).
Beschrijf kort hoe de cardioïde verandert als je het punt A verplaatst van een positie buiten de cirkel naar een positie binnen de cirkel.
Wanneer valt de meetkundige plaats met de cirkel samen?
Met andere woorden: de cirkel behoort tot de familie van de cardioïdes.
Einde intermezzo. En nu terug naar onze grafieken.
17. Grafieken tekenen (vervolg)
Zoals we zullen zien, kunnen we de functie 'Meetkundige plaats' gebruiken om grafieken van functies te tekenen. Een punt X (bijna altijd gelegen op de x-as) zal dan het aansturende punt zijn van de
meetkundige plaats van een nog te construeren punt Y.
Opdracht 44
Aan het einde van Opdracht 42 hebben we een y-waarde (het resultaat van een berekening) op het scherm gezet.
Deze y-waarde kunnen we 'overbrengen' op de y-as met de functie 'Maat overbrengen' (te vinden in het Constructie-menu). Selecteer na keuze van deze functie eerst het getal achter 'y = ' (in dit geval is dat -2,28; let op de tekst 'Dit getal'). Dit geeft dan op de y-as een punt dat in de figuur hierboven is aangegeven met Y'.
Teken nu in het punt X een loodlijn op de x-as (tekst 'Loodrecht op deze as') en in Y' een loodlijn op de y-as. Deze beide loodlijnen snijden elkaar in het punt Y.
Construeer nu de meetkundige plaats van het punt Y als X de x-as doorloopt.
En zie daar: de grafiek van de functie f (x) = x2 – 3x – 1.
