1 Rekenen met getallen

(1)

concept

6 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2018©Vervoort Boeken

1 Rekenen met getallen

Onderwerpen

- Opbouw en naamgeving van decimale getallen - Optellen en aftrekken

- Negatieve getallen met toepassingen - Vermenigvuldigen en delen

- Breuken, procenten en fracties - Machtsverheffen

- Worteltrekken

1.1 Opbouw en naamgeving van decimale getallen

Een decimaal getal is opgebouwd uit de cijfers 0 t/m 9 en de waarde van de cijfers hangt af van de plaats.

voorbeeld 1:

523,14

523,24 = 5 × 100 + 2 × 10 + 3 × 1 + 1 × 0,1 + 4 × 0,01

Als een decimaal getal cijfers achter de komma heeft wordt dit ook wel een kommagetal genoemd. De cijfers achter de komma noemt men decimalen.

voorbeeld 2:

107.709.462,953

In plaats van “komma negen honderd een en vijftig” kun je ook zeggen “negen honderd drie en vijftig duizendsten”.

Het plaatsen van punten bij grote getallen is een hulpmiddel om het getal beter te overzien. In Engelstalige landen worden komma en punt andersom gebruikt.

Op een rekenmachine kun je dat instellen!

107.709.462,953= 1 × 100000000 + 0 × 10000000 + 7 × 1000000 + 7 × 100000 + 0 × 10000 + 9 × 1000 +

4 × 100 + 6 × 10 + 2 × 1 + 9 × 0,1 + 5 × 0,01 + 3 × 0,001

Tip: in het getal 107.709.462,953 kunnen achter de 1 aan de linkerkant van de komma 8 nullen geplaatst worden, vandaar × 100.000.000 (100 miljoen)

in dit getal 107.709.462,953 kunnen voor de 3 aan de rechterkant van de komma 2 nullen geplaatst worden, vandaar × 0,001 ( 1 duizendste)

vijf honderd drie en twintig komma vier en twintig

honderd zeven miljoen,

zeven honderd en negen duizend, vierhonderd en twee en zestig, komma negenhonderd drie en vijftig decimaal getal

kommagetal

(2)

concept

7 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2018©Vervoort Boeken In schema:

1 0 7 7 0 9 4 6 2

,

⁹ ⁵ ³

100.000.000 10.000.000 1.000.000 100.000 10.000 1000 100 10 1

,

⁰^,1 ⁰^,0

1 0,001

1000000 1000 1

,

⁰^,0

01

Figuur 1.1 schema opbouw getal

107 miljoen + 709 duizend + 462

,

+ 953 duizensten uitspraak: “107 miljoen, 709 duizend, 462 komma 953”

voorbeeld 3:

Getal : 25,3

2 5

,

³ ⁵

10 1

,

⁰^,1 ⁰^,0

1

,

⁰^,0

1

Figuur 1.2 schema opbouw getal

25 + 3 tienden + 5 honderdsten uitspraak: “25 komma 35” of “25 en 35 honderdsten

voorbeeld 4:

Getal: 1,0367

1 + 3 honderdsten + 6 duizensten + 7 tienduizendsten uitspraak: “1 komma 0367” of “1 en 367 tienduizendsten

(3)

concept

8 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2018©Vervoort Boeken Overzicht machten van 10

1.000.000.000 10⁹ miljardtallen

100.000.000 10⁸ honderdmiljoentallen

10.000.000 10⁷ tienmiljoentallen

1.000.000 10⁶ miljoentallen

100.000 10⁵ honderd duizendtallen

10.000 10⁴ tienduizendtallen

1000 10³ duizendtallen

100 10² honderdtallen

10 10¹ tientallen

1 10⁰ eenheden

0,1 10^-1 tienden

0,01 10^-2 honderdsten

0,001 10^-3 duizendsten

0,0001 10^-4 tienduizendsten

Figuur 1.3 Tabel veelvouden van 10

1.000.000.000 wordt ook wel geschreven als 10⁹ of 1·10⁹ of 1×10⁹

Het getal 1.000.000.000 wordt dan geschreven als een macht met grondtal 10 en exponent 9.

We komen hier later op terug bij het onderdeel machtsverheffen en wetenschappelijke notatie.

Tip:

De exponent 9 is gelijk aan het aantal nullen achter het cijfer 1 0,0000001 wordt ook wel geschreven als 10^-7 of 1·10^-7 of 1×10^-7 De exponent is nu -7

Tip:

De exponent -7 is gelijk aan het aantal nullen voor het cijfer 1 voorbeeld 5:

10.000 = 10⁴ 4 nullen achter de 1 0,01 = 10^-2 2 nullen voor de 1

2.000.000.000 wordt ook wel geschreven als 2·10⁹ of 2×10⁹ 0,00000002 wordt ook wel geschreven als 2·10^-8 of 2×10^-8 7.709.462,903 =

7×10⁶ + 7×10⁵ + 0×10⁴ + 9×10³ + 4×10² + 6×10¹ + 2×10⁰ + 9×10^-1 + 0×10^-2 + 3×10^-3= 7×10⁶ + 7×10⁵ + 9×10³ + 4×10² + 6×10¹ + 2×10⁰ + 9×10^-1 + 3×10^-3

0,023 = 2×10^-2 + 3×10^-3

12,5 =

1×10¹ + 2×10⁰ + 5×10^-1

8×10⁶ + 1×10⁵ + 4×10² + 2×10⁰ = 8.100.402 3×10⁰ + 5×10^-2 + 3×10^-4 = 3,0503

macht grondtal exponent

(4)

concept

9 hoofdstuk 1 rekenen met getallen

Opgave 1.1 Opbouw getallen

Schrijf de volgende getallen als een som duizendtallen, eenheden en duizendsten Gebruik schema van voorbeeld 2.

Dit schema kun je ook uitprinten via a 712.903.298,457

b 12,78 c 4503,25

Opgave 1.2 Opbouw getallen 2

Schrijf de volgende getallen als een som van factoren machten van 10 a 712.903.298,457

b 12,78 c 4503,25 d 0,027 e 103000

Opgave 1.3 Opbouw getallen 3 Schrijf de onderste optellingen a

7×10⁶ + 7×10⁵ + 9×10

b 8×10⁵ + 7×10³ + 4×10 c 6×10⁰ + 2×10⁰ + 9×10

Opgave 1.4 Waarde van een cijfer wordt bepaald door zijn plaats Geef de waarde van het gearceerde cijfer

a 234678,34 waarde 4 : 4000 of 4 b 0,00415

c 60002

d 23.204.987,78 e 1.000.678,94

Opgave 1.5 Getallen aflezen op een schaalverdeling

Vul de juiste getallen in op onderstaande schaalverdelingen.

hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2018©Vervoort Boeken

Opgave 1.1 Opbouw getallen 1

Schrijf de volgende getallen als een som van factoren van ‘10’ en als een som van miljoenen, , eenheden en duizendsten, enz.

Gebruik schema van voorbeeld 2.

Dit schema kun je ook uitprinten via tools/afbeeldingen/1A op de site.

Opgave 1.2 Opbouw getallen 2

Schrijf de volgende getallen als een som van factoren machten van 10 zoals in voorbeeld 5.

Opgave 1.3 Opbouw getallen 3

optellingen op als één decimaal getal.

10³ + 4×10² + 6×10¹ + 2×10⁰ + 9×10^-1 + 3×10^-3 10² + 6×10¹

10^-1 + 3×10^-3

Opgave 1.4 Waarde van een cijfer wordt bepaald door zijn plaats Geef de waarde van het gearceerde cijfer(s) in onderstaande getallen.

waarde 4 : 4000 of 4·10

³

Getallen aflezen op een schaalverdeling

Vul de juiste getallen in op onderstaande schaalverdelingen.

Vervoort Boeken

van factoren van ‘10’ en als een som van miljoenen,

zoals in voorbeeld 5.

Opgave 1.4 Waarde van een cijfer wordt bepaald door zijn plaats

in onderstaande getallen.

(5)

concept

10 hoofdstuk 1 rekenen met getallen

E1.1

Opgave 1.6 Getallen aflezen op een schaalverdeling

Vul de juiste getallen in op onderstaande schaalverdelingen.

Opgave 1.7 Sommenmaker

Op deze internetsite kun je onbeperkt Voor opgaven zoals Opgave 1.5 kies tools/oefenen en kies voor

Voor opgaven zoals Opgave 1.6 kies en“Getallenlijn aflezen”.

Je kunt zowel de sommen als de antwoorden uitprinten op papier of via een pdf

hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2018©Vervoort Boeken

Opgave 1.6 Getallen aflezen op een schaalverdeling

Vul de juiste getallen in op onderstaande schaalverdelingen.

Opgave 1.7 Sommenmaker

site kun je onbeperkt oefenen.

Voor opgaven zoals Opgave 1.5 kies E1.1 op de site www.vervoortboeken.nl tools/oefenen en kies voor Grote getallen en “Aflezen tot miljoen”.

Voor opgaven zoals Opgave 1.6 kies op dezelfde site voor Kommagetallen en“Getallenlijn aflezen”.

Je kunt zowel de sommen als de antwoorden uitprinten op papier of via een pdf

Vervoort Boeken

www.vervoortboeken.nl bij

“Aflezen tot miljoen”.

voor Kommagetallen

Je kunt zowel de sommen als de antwoorden uitprinten op papier of via een pdf-

(6)

concept

Vermenigvuldigen en delen door macht van 10

Als je een getal met 10 vermenigvuldigt schuift de komma een plaats op naar rechts.

Als je een getal met 10

³

vermenigvuldigt schuift de komma 3 plaatsen op naar rechts.

voorbeeld 6 12,34 × 10 = 123,4 12,34 × 1000 = 12340 0,012 × 1000 = 12

1,2 × 10⁵ = 120000 ( maal 10 geeft 12)

1,2×10³ × 1000 = 1,2×10⁶ of 1200 × 1000 = 12000000

Als je een getal door 10 deelt schuift de komma een plaats op naar links.

Als je een getal met 10

³

deelt schuift de komma 3 plaatsen op naar links.

voorbeeld 7 12,34 : 10 = 1,234 12,34 : 1000 = 0,01234 0,012 : 1000 = 0,000012

1,2 : 10⁵ = 0,000012 (delen door 10 geeft 0,1) 1,2×10⁶ : 10³ = 1,2×10³

voorbeeld 8 0,05 = 5 : 100 0,001 = 1 : 1000 10^-4= 0,0001 = 1 : 10⁴ 30000 = 3 × 10000 = 3×10⁴ voorbeeld 9

500 × 0,02 = 5 × 200 = 1000 (500 wordt 100× kleiner en 0,02 wordt 100× groter) 0,002 × 5000 = 1 × 5 = 5

60 × 0,003 = 60000 × 3 =180000

Opgave 1.8 Maak de volgende getallen 100 × kleiner

a 11,5 : 100 =

b 1,23 : 100 = c 0,023 : 100 = d 10000 : 100 =

Opgave 1.9 Maak de volgende getallen 1000 × groter

a 11,5 × 1000 =

b 1,23 × 10³ = c 0,023 × 1000 = d 10000 × 1000 =

Opgave 1.10 Getal vermenigvuldigen en/of delen met macht van 10

a 11,5 × 100 =

b 123 : 10000 = c 0,023 × 100 = d 1×10⁴ × 23 =

(7)

concept

U1.1

Opgave 1.11 Getal vermenigvuldigen en/of delen met macht van 10

a 2,1 : 100 =

b 1,23·10³ : 10000 = c 2·10⁴ × 3·10³= d 300 × 0,04 =

Opgave 1.12 Schrijf de volgende getallen met een macht van 10

a 0,00005 =

b 0,000052 c 230000000 = d 0,00234 =

Opgave 1.13 Maak getal 1 groter en getal 2 kleiner of andersom.

50000 × 0,0002 = 5 × 2 =10 a 2000 × 0,01 = × =

b 0,00002 × 300000 = × = c 2·10^-5 × 3·10⁵ = × = d 2,1·10^-5 × 3·10⁵ = × =

1.2 Optellen en aftrekken decimale getallen, negatieve getallen

Optellen van decimale getallen

voorbeeld 10

3246,5 + 76,4 = ………..

3 × 1000 + 2 × 100 + 4 × 10 + 6 × 1 + 5 × 0,1 + (7 × 10 + 6 × 1 + 4 × 0,1) = 3 × 1000 + 2 × 100 + 11 × 10 + 12 × 1 + 9 × 0,1 =

3 × 1000 + 3 × 100 + 2 × 10 + 2 × 1 + 9 × 0,1 = 3322,9

De duizendtallen, honderdtallen, tientallen, eenheden en tienden worden opgeteld.

11 × 10 = 1 × 100 + 1 × 10 en 12 × 1 = 1 × 10 + 1 × 1

De getallen die opgeteld worden noemt men de termen en de uitkomst van de optelling noemt de som.

Je kunt de getallen ook onder elkaar zetten voorbeeld 11

Bepaal de som van 3246,5 + 76,4 schatting : som ≈ 3200 + 70 ≈ 3300

term

som

tienden: 5 + 4 = 9

eenheden: 6 + 6 = 12 (2 opschrijven en 1 doorschuiven naar de tientallen)

tientallen: 1 + 4 + 7 = 12 ( 2 opschrijven en 1 doorschuiven naar de honderdtallen) honderdtallen: 1 + 2 =3

duizendtallen: 3 + 0 = 3

(8)

concept

U1.2

Voorbeeld 12

Bepaal de som 46,78 + 5,46 + 20,97 schatting: som ≈ 50 + 5 + 20 ≈ 75

Opgave 1.14 Bepaal de som van de volgende getallen 1

Maak eerst een schatting

a 456,09 + 88,6 =

b 0,0023 + 0,25 = c 205,8 + 0,03 = d 2300000 + 70000 =

Opgave 1.15 Bepaal de som van de volgende getallen 2

a 0,09 + 1,98 =

b 2899 + 799 =

c 0,00065 + 0,00045 = d 223000 + 400 =

Aftrekken van decimale getallen

voorbeeld 13 415 - 231 = ………..

4 × 100 + 1 × 10 + 5 × 1 – (2 × 100 + 3 × 10 + 1 × 1 ) = 4 × 100 + 1 × 10 + 5 × 1 –2 × 100 - 3 × 10 - 1 × 1 = 2 × 100 - 2 × 10 + 4 × 1 =

1 × 100 + 10 × 10 -2 × 10 + 4 × 1 = 1 × 100 + 8 × 10 + 4 × 1 = 184

De honderdtallen, tientallen en eenheden worden van elkaar afgetrokken.

2 × 100 = 1 × 100 + 10 × 10

De getallen die opgeteld worden noemt men de termen en de uitkomst van de aftrekking noemt het verschil.

Je kunt de getallen ook onder elkaar zetten term

verschil

honderdsten: 8 + 6 + 7 = 21 ( 1 opschrijven en 2 doorschuiven) tienden: 2 + 7 + 4 + 9 = 22 (2 opschrijven en 2 doorschuiven) eenheden: 2 + 6 + 5 = 13 ( 3 opschrijven en 1 doorschuiven) tientallen: honderdtallen: 1 + 4 + 0 + 2 =7

(9)

concept

U1.3

U1.4

voorbeeld 14

Bepaal het verschil van 246,5 en 76,4 schatting : verschil ≈ 250 - 70 ≈ 180

Als getal 1 < getal 2 is het verschil negatief ofwel is er een tekort!

2 - 8 = -6 er is een tekort van 6

8 -2 = 6 is het tegengestelde van 2 - 8 = -6

Hoe bereken je het verschil als getal 1< getal 2 ?

voorbeeld 15

Bepaal het verschil van 76,4 - 246,1 schatting : verschil ≈ 70 - 250 ≈ -180 76,4 – 246,1 = -(246,1 – 76,4) = -169,7

Je rekent dus eerst (getal 2 – getal 1) uit en zet hier een –teken voor.

Opgave 1.16 Bepaal het verschil van de volgende getallen

a 23,2 – 16,9 =

b 0,0023 - 0,001 c 205,8 – 12,8 = d 2300000 - 70000 =

Opgave 1.17 Bepaal het verschil van de volgende getallen

a 12 – 16,9 = b 0,16 - 2,1 c 1500 - 2378 = d 123,8 - 200 =

Rekenen met negatieve getallen

In de natuurkunde kom je regelmatig negatieve getallen tegen.

Een temperatuur van -10

^o

C of een volumeverandering van -10 mL zijn daar voorbeelden van.

tienden: 11 - 4 = 7 ( 10 geleend van de eenheden) eenheden: 15 - 6 = 9 (10 geleend van tientallen) tientallen: 13 - 7 = 6 ( 1 geleend van honderdtallen) honderdtallen: 1 -0 =1

(10)

concept

U1.5

voorbeeld 16

De temperatuur daalt van 10

^o

C naar -5

^o

C. Bereken de temperatuurverandering (ΔT) Δ is het symbool voor verandering

ΔT = T(eind) – T(begin) of

ΔT = Teind – Tbegin = -5 ôC – 10 ÔC = -15 ÔC eind en begin zijn hier genoteerd als index

Een temperatuurverandering van -15

^o

C betekent een temperatuurdaling van 15

^o

C . Het gebruik van een getallenlijn geeft een duidelijk beeld van de verandering.

voorbeeld 17

De temperatuur stijgt van -2

^o

C naar 5

^o

C. Bereken de temperatuurverandering (ΔT)

ΔT = Teind – Tbegin = 5 ôC –(-2) ÔC = 7 ÔC

Opgave 1.18 Bepaal de verandering van de temperatuur

a Tbegin = 20 ^oC en Teind = 5 ^oC

b Tbegin = -5 ôC en Teind = 5 ôC c Tbegin = 10 ôC en Teind = -10 ôC d Tbegin = 0 ôC en Teind = 5 ôC

In plaats van verandering (Δ) kun je ook spreken van afname of toename.

verandering of Δ = (eind – begin) Afname en toename zijn altijd positief.

toename = (eind – begin) en afname = (begin –eind)

getallenlijn

index

(11)

concept

16 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2018©Vervoort Boeken voorbeeld 18

De begintemperatuur is -15

^o

C en de eindtemperatuur -28

^o

C. Bereken de temperatuurverandering (ΔT) en de temperatuurtoename of afname.

De temperatuurverandering:

ΔT = Teind – Tbegin = -28 ôC –(-15) ôC = -13 ôC De temperatuurafname= Tbegin – Teind = -15 ôC –(-28)ôC = 13 ôC

voorbeeld 19

De begintemperatuur is 5

^o

C en de eindtemperatuur 15

^o

C. Bereken de temperatuurverandering (ΔT) en de temperatuurtoename of afname.

De temperatuurverandering:

ΔT = Teind – Tbegin = 15 ôC – 5 ôC = 10 ôC De temperatuurtoename = Teind– Tbegin = 15 ôC - 5 ÔC = 10 ôC

In het algemeen is het gemakkelijker de verandering uit te rekenen en aan het + of – teken van de uitkomst zie je dan meteen of er sprake is van een toename of afname.

Opgave 1.19 Verandering en de toe- of afname van je banksaldo

Je gaat een avondje uit. In het begin van de avond is je banksaldo 70 euro (Kbegin = € 70,00) en op het eind van de avond is je banksaldo negatief . Keind = € -16,30

a Bereken de verandering van je banksaldo.

b Bereken de kosten van het avondje stappen.

Opgave 1.20 Verandering van massa

Je moet ongeveer 10 gram van een stof afwegen.

Je neemt een leeg bekerglas en meet een massa van 54,10 gram.

Je doet er met een lepel enkele scheppen van de stof in en meet opnieuw de massa.

De massa is nu 64,37 gram.

a Bereken de verandering van de massa (Δm) b Bereken de massa (m) van de stof.

Opgave 1.21 Verandering van volume

Een buret is gevuld met vloeistof. Je leest op de schaalverdeling 9,70 mL af.

Je laat vloeistof uit de buret stromen en leest af 34,24 mL.

a Bereken het volume (V) van de uitgestroomde vloeistof.

b Bereken de verandering van het volume (ΔV) van de vloeistof in de buret.

Opgave 1.22 Verandering van temperatuur

De buitenlucht heeft een temperatuur van 15 ^oC en koelt s’nachts af tot -5 ⁰C.

a Bereken de verandering van de temperatuur.

b Bereken de daling ofwel van de temperatuur.

Opgave 1.23 Verandering van temperatuur

Een vloeistof heeft een temperatuur van 5 ⁰C en wordt afgekoeld.

De temperatuurverandering is -10 ^oC a Bereken de eindtemperatuur.

b Hoeveel daalt de temperatuur?

(12)

concept

U1.6

U1.7

U1.8

1.3 Vermenigvuldigen en delen van decimale getallen

Vermenigvuldigen van decimale getallen

voorbeeld 20 42 × 76 = ………..

2 × 76 + 40 × 76 = 152 + 4 × 76 × 10 = 152 + (4 × 6 + 4 × 70) × 10 = 152 + (24 + 280) ×10 = 152 + (304 × 10) = 152 + 3040 = 3192

De getallen die vermenigvuldigd worden noemt men de factoren en de uitkomst van de vermenigvuldiging noemt het product.

Je kunt de getallen ook onder elkaar zetten voorbeeld 21

Bepaal het product van 42 × 76 schatting : product ≈ 40 × 80 ≈ 3200

Voorbeeld 22

Bepaal het product van 296 × 318 schatting: product ≈ 300 × 300 ≈ 90000

Voorbeeld 23

Bepaal het product van 8,9 × 6,8 schatting: product ≈ 9 × 7 ≈ 63

factor

product

2 × 76 = 152

40 × 76 = 4 × 76 × 10 = (4 × 10 met een ‘0’ erachter) 152 + 3040 = 3192

6 × 318 = 1908 (6 × 8 = 48 □ 6 × 1 + 4 = 10 □ 6 × 3 + 1 =19

90 × 318 = 9 × 318 × 10 = 28620 (9 × 318 met 1 maal ‘0’ erachter) 200 × 318 = 2 × 318 × 100 = 63600(2 × 318 met 2 maal ‘0’ erachter) 1908 + 28620 + 63600 = 94128

9 × 68 = 612 (9 × 8 = 72 □ 9 × 6 + 7 = 61)

80 × 68 = 8 × 68 × 10 = 5440 (8 × 68 met 1 maal ‘0’ erachter) 612 + 5440 = 6052

(13)

concept

Bij vermenigvuldiging van decimale getallen met cijfers achter de komma bepaal je eerst het product zonder de komma’s en vervolgens zet je komma op de juiste plaats.

Als het eerste getal 2 decimalen heeft en het tweede getal 3 decimalen dan heeft het product 5 decimalen.

0,02 × 0,003 = 0,00006

Opgave 1.24 Bepaal het product van de volgende getallen 1

a 0,03 × 60 =

b 231 × 79 = c 5,8 × 9,2 = d 0,034 × 1,5 =

Opgave 1.25 Bepaal het product van de volgende getallen 1.

Maak eerst een schatting a 99 × 631 =

b 2310 × 4 = c 0,025 × 400 = d 0,034 × 1,5 =

Als één van de 2 factoren negatief is , is het product ook negatief.

Als beide factoren negatief zijn is het product positief.

2 × 3 = 6 -2 × 3 = -6 2 × -3 = -6 -2 × -3 = 6

-2 × 3 × -2 = -6 × -2 = 12 -2 × 3 × 2 × 3 = -6 × 6 = 36

Opgave 1.26 Bereken het product van de volgende getallen.

Maak eerst een schatting a -2,3 × 6,1 =

b -34 × -41 = c 0,025 × -400 = d -210000 × -1,5 =

Opgave 1.27 Is het product >0 (positief) of <0 (negatief)?

Vul in.

a -2,3 × 6,1 × -2 = → product ………0 b -2 × -4 × 3 × -3 = → product ………0 c 0,025 × -400 × -2 = → product ………0 d -2 × -1,5 × -3 × -3 = → product ………0

(14)

concept

U1.9

Opgave 1.28 Is het product >0 of <0 ?

Vul in

a het getal (-2) wordt 5 maal met zichzelf vermenigvuldigd → product ………0 b het getal (-2) wordt 4 maal met zichzelf vermenigvuldigd → product ………0 c 7 getallen, waarvan twee <0 worden met elkaar vermenigvuldigd → product………0 d 12 getallen, waarvan drie <0 worden met elkaar vermenigvuldigd → product………0

Delen van decimale getallen

10 : 2 = 5 of 5

102 of 2 5

10= =

10 is het deeltal , het getal dat gedeeld wordt 2 is de deler, het getal waardoor gedeeld wordt 5 is het quotiënt, de uitkomst van een deling

Betekenis: Hoe vaak past 2 in 10?

10 : 2 = 5 omdat 5 × 2 =10

10,5 : 3,4 = 3,088 (afgerond) omdat 3,088 × 3,4 = 10,5 (afgerond)

voorbeeld 24

Bepaal het quotiënt van 3146 : 76 schatting : quotiënt ≈ 3200 : 80 ≈ 40 omdat 40 × 80 = 3200

76 past 41 keer in 3140 en dan blijft er nog 30 over

Je kunt deze deling ook voortzetten zodat ook de decimalen berekend worden.

Soms is het

quotiënt niet te schrijven als een decimaal getal en moet je afronden.

deeltal

quotiënt

314 : 76 > 4 □ 4 × 76 = 304 □ 314 – 304 = 10 tientallen rest : 10 tientallen + 6 eenheden ofwel 106

106 : 76 >1 □ 1 × 76 = 76 □ 106 – 76 = 30 rest: 30

deler

(15)

concept

U1.10

U1.11

Voorbeeld 25

Bepaal het quotiënt van 3146 : 76 en rond af op 2 decimalen

Voorbeeld 26

Bepaal het quotiënt van 67,8 : 2,34 schatting: product ≈ 70 : 2,5 ≈ 700 : 25 ≈ 28 rond af op 2 decimalen

schrijf 3146 als 3146,000 3 decimalen dus ! reken door tot 3 decimalen en rond vervolgens af 41,394 rond je af op 41,39

41,396 rond je af op 41,40 Opm:

*30 is ook 30,0 (30 is ook 300 tienden)

**7,2 is ook 7,20 ( 7,2 is ook 720 honderdsten)

***0,36 is ook 0,360 (0,36 is ook 360 duizendsten)

67,8 : 2,34 heeft dezelfde waarde als 6780 : 234

we schrijven 6780,000 omdat we gaan rekenen tot 3 decimalen 28,974 ronden we af op 28,97

afronden

(16)

concept

Bij deling van decimale getallen met cijfers achter de komma bepaal je eerst het quotiënt zonder de komma’s . Je vermenigvuldigt deeltal en deler met hetzelfde getal. De uitkomst van de deling blijft hetzelfde.

3,3 : 0,3 = 33 : 3 (beide × 10)

12,67 : 0,35 = 1267 : 35 = 1267,000 : 35 (beide × 100)

Opgave 1.29 Bereken het quotiënt van de volgende getallen.

Maak eerst een schatting a 63 : 20 =

b 6,3 : 2,5 = c 458 : 26 = d 0,034 : 2 =

Als één van de 2 factoren negatief is , is het quotiënt ook negatief.

Als beide factoren negatief zijn is het quotiënt positief.

6 : 3 = 2 -6 : 3 = -2 6 : -3 = -2 -6 × -3 = 2

-6 : 3 × -2 = -2 × -2 = 4 -6 : - 3 : - 2 × 3 = 2 : -2 = -1

Opgave 1.30 Bereken het quotiënt van de volgende getallen.

Maak eerst een schatting a -25 : 2,5 =

b -34 : 5,7 = c 0,025 : -0,5 = d -210000 : -1500 =

Opgave 1.31 Is het product >0 (positief) of <0 (negatief)?

Vul in.

a -2,3 × 6,1 : -2 = → product ………0 b -2 : -4 × 3 : -3 = → product ………0 c 0,02 × -50 : -2 = → product ………0 d -2 : -1,5 : -3 × 4,5 = → product ………0

Opgave 1.32 Is het rekenen zonder rekenmachine zinvol?

Wat leer je door rekenopdrachten op papier uit te werken?

Opgave 1.33 Rekenen aan zoutoplossing

Je moet een zoutoplossing maken van 2,50 g/L.

Je hebt 100 g zout.

Hoeveel liter oplossing kun je hier mee maken?

(17)

concept

22 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2018©Vervoort Boeken 5

3

35

5

3 1

5 3<

3 5 6 , 0 6

, 5 0

3= ofwel × =

5 3

7 10

7 13 7 3 1 7 7 1 7

10= × + × =

1.4 Breuken, decimale getallen en percentage

Breuk

Een breuk is een quotiënt van 2 gehele getallen.

Voorbeeld 27

of

In plaats van kan ook geschreven worden

Betekenis :

Spreek uit: “drie vijfde”

3 van de 5 delen 3 maal 1/5 deel

Het getal boven de deelstreep noemt de teller (aantal x 1/5)

Het getal onder de deelstreep noemt men de noemer (de soort : 1/5 vijfdes) Hoe vaak past 5 in 3?

is kleiner dan 1 ofwel

5 past 0,6 × in 3

Betekenis :

Spreek uit: “tien zevende”

10 maal 1/7 deel

of

Men noemt dit een samengestelde breuk.

Het getal bestaat uit een geheel getal en een breuk.

teller noemer

1

2

1

samengestelde breuk

(18)

concept

10 1

7 10>

10 7 428571 ,

1 428571

, 7 1

10= ofwel × =

% 75 75 , 4 0

3= =

225 75 3 300 4van 3 1 300 4 van 3 4

3→ = = × = × =

= aantalrood rood

deel

225 75 4 3

3 300 300 4 van 3 4

3→ = = × = × =

= aantalrood rood

deel

225 300 75 , 0 300 van 75

, 0 75

,

0 → = = × =

= aantalrood deel

rood

deel ^e

100 225 75 300 300

% 1 75 300 van

% 75

%

75 → = = × = × =

= aantalrood van

rood deel

Hoe vaak past 7 in 10?

is groter dan 1 ofwel

7 past 1,428571 × in 10

Eigenlijk kun je 10/7 niet precies uitrekenen als decimaal getal.

10/7 noemt men een rationaal getal.

De breuk 10/7 noemt men een repeterende breuk.

De cijfers achter de komma 428571 herhalen zich telkens.

`

Dit wordt ook wel genoteerd als: 1,428571

In de praktijk wordt een getal afgerond tot een beperkt aantal decimalen.

We komen hier later op terug.

Breuk, decimaal getal en percentage

Een breuk kan ook worden geschreven als een decimaal getal of een percentage of promillage.

Voorbeeld 28

1 % = 1/100 = 0,01

Van een mengsel van 300 bolletjes bestaat ¾ deel uit rode bolletjes en de rest uit witte bolletjes.

Bereken het aantal rode bolletjes van het mengsel.

of of

of

2

rationaal getal repeterende breuk

(19)

concept

24 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2018©Vervoort Boeken 100 225

75 300 300 100van

% 75

75 → = = × =

= aantalrood

rood deel

17 , 6 0 1 30

5 = =

% 7 , 66

% 30 100

20× =

10 , 10 0

1 30

3 = =

% 33 , 2

% 1 C 215 , 0

C 5 , C 0 5 ,

0 0

0

0 = × =

of

Het deel van iets wordt ook wel fractie of gedeelte genoemd.

De fractie van de rode bolletjes bij voorbeeld 28 was dus 3/4 of 0,75 0f 75 % Vaak wordt ook aangegeven over welk soort fractie het gaat.

Zo kun je spreken van deeltjesfractie, volumefractie en massafractie.

In het algemeen geldt:

aantal deeltjes A = fractie van A × totaal aantal deeltjes volume A =volumefractie × totaal volume

massa A = massafractie × totale massa

Voorbeeld 29

In het magazijn is een voorraad van 30 met alcohol gevulde thermometers.

5 thermometers geven een waarde aan van 21,0 ⁰C, 20 thermometers geven een waarde aan van 21,5 ⁰C, 2 thermometers geven een waarde aan van 21,7 ⁰C en 3 thermometers geven een waarde aan van 22,0 ⁰C. Met een zeer nauwkeurige digitale thermometer wordt een temperatuur gemeten van 21,5 ⁰C.

a Bereken het deel van de thermometers dat een te lage waarde aangeeft. Geef het

antwoord als een zo eenvoudig mogelijk rationaal getal en als decimaal getal afgerond op 2 decimalen.

b Bereken het percentage thermometers dat de juiste waarde aangeeft (rond af op 1 decimaal).

c Bereken de fractie van de thermometers dat een 0,5 ⁰C te veel aangeeft. Geef het

antwoord als zo eenvoudig mogelijke breuk en als decimaal getal afgerond op 2 decimalen.

De hoogst gemeten temperatuur wijkt 0,5 ⁰C af van de juiste temperatuur.

d Bereken hoeveel procent de hoogste temperatuur afwijkt van de juiste waarde a het deel dat te lage waarde aangeeft =

b percentage met juiste waarde = c fractie dat 0,5 ⁰C te veel meet =

d 21,5 ⁰C =100 % → 1 % = 0,215 ⁰C →

Je kunt hierbij ook gebruik maken van een verhoudingstabel

waarde 21,5 ⁰C

215 , 100 0

5 ,

21 = 0,5 ⁰C

100 % 1%

33 , 215 2 , 0

5 ,

0 =

fractie

verhoudings- tabel

(20)

concept

10 65 50=

25 1 100

15 20

3 = =

8 of 6 7 5

56 42 7 8

7 6 8 6 56

40 8 7

8 5 7

5 =

×

= ×

=

×

= × en

7 5 8 6>

100 30 10 10

10 3 10

3 100

35 5 20

5 7 20

7 =

×

= ×

=

×

= × en

100 6 , 66 100

3 , 33 2 3 3 100

3 2 100 3

2 × =

=

×

=

Afronden:

0,66 rond je op 0,7 met 1 decimaal 0,666 rond je af op 0,67 met 2 decimalen 0,664 rond je af op 0,66 met 2 decimalen 0,649 rond je af op 0,65 met 2 decimalen

Gelijkwaardige breuken:

teller en noemer gedeeld door 5

teller en noemer vermenigvuldigd met 5

Als je de teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigd of deelt blijft de waarde van de breuk hetzelfde. Deze bewerking kan handig zijn om een breuk om te zetten in tienden of honderdsten of om breuken te vergelijken.

Voorbeeld 30

Welke breuk heeft een grotere waarde?

Maak beide breuken van dezelfde soort .

Conclusie:

Voorbeeld 31

Schrijf breuk als honderdtal 3/20 , 5/10 en 2/3

Afgerond op 1 decimaal

De breuk 2/3 kun je niet precies omvormen naar honderdsten omdat 100/3 een repeterende breuk is.

In alle gevallen kun je ook gewoon de deling uitvoeren met je rekenmachine. Voor een goed

‘getal-gevoel’ en als voorbereiding op het rekenen met formules is het bijzonder zinvol vaardigheid te hebben met het rekenen met breuken!

afronden

gelijkwaardige breuken

(21)

concept

Opgave 1.34 Berekening met percentage

Bij een kwaliteitscontrole blijken 3 producten van de 35 niet te voldoen.

a Welke gedeelte is onvoldoende?

b Bereken het percentage dat voldoet aan de kwaliteitseisen.

Opgave 1.35 Berekening bedrag excl. BTW

Een apparaat kost €2360,- incl. BTW Het BTW-tarief is 21%

a Waar moet je 21% van nemen?

Van het bedrag excl. Of van het bedrag incl. ? b Is €2360,- gelijk aan 121 % of gelijk aan 100%?

c Bereken de kostprijs van het apparaat excl. BTW.

Opgave 1.36 Berekening fractie en percentage

In een groep van 130 studenten zitten 25 studenten die medisch laborant willen worden en 50 studenten die chemisch laborant willen worden. De rest wil microbiologisch laborant worden.

a Bereken het deel van de studenten dat medisch laborant wil worden. Geef het antwoord als een zo eenvoudig mogelijk rationaal getal en als decimaal getal afgerond op 2 decimalen.

b Bereken het percentage studenten dat chemisch analist wil worden. Rond af op 2 decimalen.

Opgave 1.37 Betekenis massafractie

Van een mengsel van de stoffen A en B is de massafractie van stof A 3/11.

a Wat betekent dat?

b Hoe groot is de massafractie van stof B?

Opgave 1.38 Berekening met percentage

Van een mengsel van de stoffen A en B is de massafractie van stof A 3/11.

a Schrijf deze fractie als decimaal getal.

b Hoe groot is het massapercentage van stof A?

Opgave 1.39 Fractie en percentage

Van een mengsel water/alcohol is het volumepercentage alcohol 15%.

a Wat betekent dit?

b Hoe groot is de fractie alcohol? Geef antwoord als breuk in honderdsten en als decimaal getal.

c Bereken de hoeveelheid alcohol in 1000 mL van dit mengsel.

Opgave 1.40 Welke breuk heeft de grootste waarde?

a 5/11 of 4/9 b 2/3 of 5/12 c 10/7 0f 10/8 d 1/4 of 2/5

Opgave 1.41 Onderzoek met rekenmachine welke breuk de grootste waarde heeft.

a 5/11 of 4/9 b 2/3 of 5/12 c 10/7 0f 10/8 d 1/4 of 2/5

(22)

concept

120 21 41 21 35 21

6 7 3

7 5 3 7

3 2 3 5 7

2 = + = =

× + ×

×

= × +

21 1 8 21 29 21 35 21

6 7 3

7 5 3 7

3 2 3 5 7

2 = − =− =−

×

− ×

×

= ×

−

Opgave 1.41 Wat is de betekenis van?

a 5/11

b 5/11 is een rationaal getal. Waarom?

c schrijf 5/11 als een decimaal getal met 3 cijfers achter de komma.

d hoeveel elfde moet je bij 5/11 optellen om 1 te krijgen?

Opgave 1.42 Rationaal of decimaal?

Geef een voorbeeld waarbij een vermenigvuldiging met een breuk als rationaal getal nauwkeuriger is dan de vermenigvuldiging met de decimale waarde van deze breuk.

Opgave 1.43 Repeterende breuk

a Waarom kun een repeterende breuk niet exact omzetten in een decimaal getal?

b Als je 5/11 en 6/11 via je rekenmachine (geen breukenmodus) optelt komt er niet 1 uit!

Waarom is dat?

Opgave 1.44 Samen 100%?

Fles A bevat 30 % alcohol en fles B bevat 70% alcohol.

Na het bij elkaar voegen van de inhoud van beide flessen blijkt het percentage alcohol niet gelijk te zijn aan 100%.

Geef hier een verklaring voor.

1.5 Basisbewerkingen +,-,x en : met breuken

Optellen en aftrekken met breuken

Voorbeeld 32

2/7 en 5/3 zijn breuken van verschillende soort.

We kunnen ze van dezelfde soort maken door van 2/7 6/21 temaken en van 5/3 35/21 te maken.

Voorbeeld 33

Bij het verschil nemen van 2 breuken geldt hetzelfde als bij het optellen, je moet ze van dezelfde soort maken.

Opgave 1.45 Breuken optellen en aftrekken

a 2/9 + 3/8 =

b 3/4 - 5/6 = alcohol niet gelijk te

c − =

512 23 1

d 1 – 11/12

(23)

concept

10 18 2 5 18 15 3 2 6 5 3

2× = × = × =

9 5 18 10 6 5 3

2× = =

Opgave 1.46 Wat is het verschil?

Je kunt (2/3 - 7/12) op verschillende manieren uitrekenen.

1) Verschil 2 breuken:

2/3 - 7/12 = 8/12 - 7/12 = 1/12

2) Met rekenmachine omzetten naar decimale getallen:

2/3 - 7/12 = 0,667 - 0,583 = 0,0833 Wat is het voordeel van de eerste manier?

De vaardigheid van breuken optellen en aftrekken zal vooral toegepast worden bij het werken met formules en eenheden. We komen hier later op terug.

Vermenigvuldigen en delen met breuken Voorbeeld 34

Hoe groot is 2/3 deel van 5/6 ofwel bereken 2/3 × 5/6

We maken van 5/6 15/18 , omdat 15 beter deelbaar is door 3 daar nemen we 1/3 deel van ,dat is 5/18

dat vermenigvuldigen we met 2 , dan is het antwoord 10/18 ofwel 5/9 of

Het product van twee breuken is gelijk aan het product van de tellers gedeeld door het product van de noemers.

(24)

concept

16 1 =

43 129 61 29 16 29

=

×

=

32 23

1 =

=

× 2 3 3 2

= 32 23

=

× 23

18 27

Voorbeeld 35

Welk percentage krijg je als je 30% van 60% neemt?

1 % van 60 % is 0,60%

30% is dus 30 × 0,60 % = 18%

of verkort: 30% van 60% is 0,30 × 0,60 = 0,18 = 18%

Voorbeeld 36

Hoe vaak past 1/6 in 2/9 ofwel bereken 2/9 : 1/6

1/6 past 6 keer in 1 ofwel : 1/6 is hetzelfde als × 6/1

1/6 past 12/9 keer ofwel 4/3 keer in 2/9

Voorbeeld 37

Hoe vaak past 2/3 in 1 ofwel bereken 1 : 2/3

2/3 past 3/2 keer in 1 ofwel : 2/3 is hetzelfde als × 3/2

Delen door een breuk is gelijk aan vermenigvuldigen door het omgekeerde.

Opgave 1.47 Vermenigvuldigen en delen met breuken 1

Schrijf antwoord als zo eenvoudig mogelijke breuk.

a

b

c

(25)

concept

=

× 8 2 3

= 38

2

=

× 8 3 2

=

×8 2

3

Opgave 1.48 Vermenigvuldigen en delen met breuken 2

Schrijf antwoord als zo eenvoudig mogelijke breuk.

a

b

c

d

Opgave 1.49 Vermenigvuldigen en delen met breuken en procenten

Schrijf antwoord zo eenvoudig mogelijk.

a 20% van 16% =

b 10% van (20% van 60%) = c 30% van 2/7

d 20% van 20 + 30% van 30 =

Opgave 1.50 Zet getallen in volgorde van grootte van klein naar groot

a 0,23 34% 5/6 2/9 1,2

b 120% 2,0 15/6 9/10

Opgave 1.51 Rekenen met een percentage van een percentage.

In een magazijn is een voorraad kleurstoffen.

42 % van deze kleurstoffen wordt gebruikt in afdeling A.

In afdeling A wordt 55% van de kleurstoffen gebruikt voor bewerking1.

a Bereken het percentage van de totale voorraad die gebruikt wordt voor bewerking 1.

b Bereken het aantal kg dat gebruikt wordt voor bewerking 1.

Opgave 1.52

a Hoeveel is 25% van 60%.

b Bereken 0,003 × 23.

c Bereken 24% van 0,4

d Bereken 10% van 30% van 200

(26)

concept

31 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2018©Vervoort Boeken e Bereken 50% van 50% van 50%. Maak hier een schetsje van.

f Bereken het tiende deel van het honderdste deel.

g Bereken 0,1 × 0,01.

h Bereken 0,2 × 0,03 i Bereken 20% van 0,03.

J Bereken 3% van 0,2

l Laat met een schetsje zien dat

16 1 4 1 4

1× =

m Laat me t een schetsje zien

4 2 4 1 4 1+ =

Opgave 1.53 Toepassen van breuken bij de klok.

a Bereken 25% van 50% van 1200.

b Welk gedeelte van de klok hoort bij het oppervlak tussen de kleine en grote wijzer?

c Welk gedeelte van de klok hoort bij 5 minuten verdraaiing van de grote wijzer?

d Welk gedeelte van de klok hoort bij een verdraaiing van de grote wijzer van 2.00 tot 2.17 u?

e Waarom is 17/60 × oppervlak klok meer inzicht dan 0,283 × oppervlak klok?

Opgave 1.54 Percentage, promillage, fractie van alcohol.

Lees eerst dit artikel .

a

Bereken het gedeelte of fractie van de massa van het lichaam dat uit water bestaat. Geef het antwoord in de vorm van een breuk, een decimaal getal en in procenten.

b Bereken het gewicht van het water in een man van 60 kg.

c Bereken het massapercentage van het water in de bloedvaten en lymfevaten ten opzichte van alle water in een lichaam.

d Voor de berekening van het alcoholpromillage rekent men voor het waterpercentage bij mannen met 60 m% en bij vrouwen met 55m% van het lichaamsgewicht. Het schijnt dat spierweefsel meer water bevat dan vetweefsel. Bereken het lichaamsgewicht van een vrouw die evenveel water heeft als een man van 80 kg.

(27)

concept

32 hoofdstuk 1 rekenen met getallen 5

5 5

1 5

5 ³ 1₃

×

=

− =

e Een alcoholische consumptie bevat normaal gesproken 10 gram alcoholpercentage na 3 consumpties bij een man

f 1 procent (1%) betekent 1 promille (1‰) betekent

Welk promillage komt overeen met een percentage van g Bereken het alcoholpromillage

Wettelijk mag je maximaal 0,5‰ alcohol in je bloed hebben als je een auto bestuurt.

Conclusie?

Opgave 1.55 Filtreerpapier Lees bijgaande prijsopgave

Gebruik bij deze uitwerking een verhoudingstabel.

a Bereken de prijs van 100 g f b Bereken de prijs van 1 m

c Bereken de massa van een stuk filtreerpapier van 20 x 20 cm.

1.6 Machtsverheffen en worteltrekken

Machtsverheffen

Voorbeeld 38

2

⁴

, 4

²

, 10

³

en 5

^-2 zijn 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2

2is het 4² = 4 × 4

10³ = 10 × 10 × 10

De exponent kan ook nul zijn of een breuk. Daar komen we op terug bij het boek Toegepaste wiskunde.

macht grondtal exponent

hoofdstuk 1 rekenen met getallen 2018©Vervoort Boeken Een alcoholische consumptie bevat normaal gesproken 10 gram alcohol.

alcoholpercentage na 3 consumpties bij een man van 75 kg.

procent (1%) betekent 1 per honderd (cent) (1‰) betekent 1 per duizend (mille)

Welk promillage komt overeen met een percentage van 1 procent?

alcoholpromillage bij vraag e.

Filtreerpapier

Lees bijgaande prijsopgave. 275grams betekent dat 1 m

²

275 gram weegt

Gebruik bij deze uitwerking een verhoudingstabel.

Bereken de prijs van 100 g filtreerpapier.

Bereken de prijs van 1 m² filtreerpapier.

Bereken de massa van een stuk filtreerpapier van 20 x 20 cm.

Machtsverheffen en worteltrekken

zijn machten

is het grondtal en 4 is de exponent

kan ook nul zijn of een breuk. Daar komen we op terug bij het boek Toegepaste

Vervoort Boeken alcohol. Bereken het

275 gram weegt

kan ook nul zijn of een breuk. Daar komen we op terug bij het boek Toegepaste

(28)

concept

E1.2

Voorbeeld 39

6·10

³

= 6 × 10 × 10 × 10

10 10 10

6 10

10 6

6

3

×

=

⋅

⁻

Voorbeeld 40

Een laboratoriumruimte heeft de afmetingen van 10 × 20 × 3 m.

Het volume of inhoud van deze ruimte is 600 m³. (m³ = m · m· m of m³ = m × m × m)

Opgave 1.56 Machten 1

Schrijf de volgende machten uit als een herhaalde vermenigvuldiging.

a 6³ , 5⁴ b 3·10⁴ , 2·10^-4

Opgave 1.57 Machten 2

Schrijf de eenheid kg·m^-3 als een herhaalde vermenigvuldiging .

Opgave 1.58 Notatie van getal met macht

Wat is het verschil tussen 6·10³ en (6·10)³ ?

Opgave 1.59 Notatie van getal met macht

Wat is het verschil tussen 6·10³ en (6·10)³ ? Behoefte aan extra uitleg en meer oefening?

Op deze site is extra uitleg beschikbaar en kun je extra opgaven maken.

Maak de opgaven 2 t/m 14 en controleer je antwoorden.

Noteer de gemaakte fouten in je werkschrift.

Worteltrekken

Voorbeeld 41

4

en

7

zijn wortels (vierkantswortels of tweedemachtswortels)

Een (vierkants)wortel is een getal dat met zichzelf vermenigvuldigd het getal onder het wortelteken oplevert.

2 4 =

want 2 × 2 = 4

7 7 7 × =

7

is een getal dat je niet exact kunt schrijven als decimaal getal.

7

=

2,64575

afgerond op 5 decimalen (2,64575² ≈ 7) vierkants

wortel

(29)

concept

3 700

2 5 5 of

5 25 5

25= − =−

2 8 8

2 2

8 ³ ³

3 − =− want(− ) =− en =

2

3 −8=− Voorbeeld 42

Een vierkant heeft een oppervlak van 7 cm². Bereken de zijde van het vierkant.

oppervlak = zijde² = 7 cm² zijde = 7 cm exact of

zijde = 2,65 cm afgerond op 2 decimalen

Voorbeeld 43

3 8

en

3 7

zijn derdemachtswortels

Een derdemachtswortel is een getal dat je tot de macht 3 moet verheffen om het getal onder het wortelteken te krijgen

2

3

8 =

_{want 2}³_{= 8}

7 7 7

7

³ ³

3

× × =

_{of (}³

7

)³ = 7

3

7

is een getal dat je niet exact kunt schrijven als decimaal getal.

3

7

=

1,91293

afgerond op 5 decimalen (1,91293³) ≈ 7

Een n^demachtswortel is een getal dat bij verheffen tot de macht n het getal onder de wortel oplevert.

2

5

32 =

_{want 2}⁵_{= 32}

Voorbeeld 44

Een kubus heeft een volume van 700 cm³.

Bereken de ribbe van de kubus.

volume = ribbe³ = 700 cm³ ribbe = cm exact of

ribbe = 8,88 cm afgerond op 2 decimalen Enkele voorwaarden bij wortels:

Getal onder het wortelteken bij een vierkantswortel ( ) moet positief (>0) zijn.

Een vierkantswortel is altijd positief.

Getal onder het wortelteken bij een 3^e-machtswortel mag ook negatief zijn (<0).

Een 3^e-machtswortel kan ook negatief zijn derdemachts

wortel

volume = 700 cm³

(30)

concept

2 3 2 =

3 6 1 3

6 3 3

3 2 3

2 = =

×

= × 2× 3= 6

25 3

25 0 7 3

9 , ² , , , , (− )² ,−

7 2 7 4

28= × =

14 10 100 14

1400= × =

4 37 14 10 100 14

1400= × = = ,

3 3

3 3 3

4

3 8 , 16 , −27 , 0,6 , 1000 , 10⁻

14 4 5 2 2

9 7

2 , , ,

Voorbeeld 45

Als je een wortel moet berekenen van een breuk, kan je deze ook herleiden zodat de noemer niet onder het wortelteken staat.

Als je links en rechts kwadrateert zie je dat dit klopt!

Bij het omvormen van formules kan dit een handige vaardigheid zijn.

Voorbeeld 46

Soms kun je een factor van een getal onder de wortel uithalen en daardoor meer inzicht krijgen in de grootte van het getal.

exact

afgerond op 1 decimaal

Opgave 1.60 Worteltrekken 1

Een kubus heeft een inhoud van 150 cm³. a Bereken de ribbe van de kubus exact

b Bereken de ribbe van de kubus afgerong op 2 decimalen.

Opgave 1.61 Worteltrekken 2

Een vierkant heeft een zijde van √5 cm.

Bereken de oppervlakte.

Opgave 1.62 Worteltrekken 3

Bereken: rond af, indien nodig, op 2 decimalen a

b 3,5⋅10³ , 2,5×10⁻² , 0,01 ,− 0,043 c

Opgave 1.63 Worteltrekken 4

Waarom moet het getal onder het gewone wortelteken groter zijn dan nul?

Opgave 1.64 Worteltrekken 5

Schrijf zonder wortel in de noemer en bereken de decimale waarde.

Indien nodig rond af op 2 decimalen.

a

(31)

concept

E1.3

2,5 2) (4 : 2 20 4

20 = × =

×

Maak het getal onder het wortelteken zo klein mogelijk b 50 , 200 , 0,4 ,−2 0,09

Behoefte aan extra uitleg en meer oefening

Op deze site is extra uitleg beschikbaar en kun je extra opgaven maken.

Maak de opgaven 1 t/m 14 en controleer je antwoorden.

Noteer de gemaakte fouten in je werkschrift.

1.7 Praktijk van het rekenen

Volgorde van bewerken.

Er zijn afspraken gemaakt over de volgorde waarin bewerkingen moeten worden uitgevoerd.

De juiste volgorde die je moet aanhouden is:

1) Onderdelen tussen haakjes krijgen altijd voorrang!

2) Machten, wortels (en logaritmen) in volgorde van links naar rechts.

3) Vermenigvuldigen en delen, in volgorde van links naar rechts.

4) Optellen en aftrekken, in volgorde van links naar rechts.

Bewerkingen die in de lijst op dezelfde hoogte staan zijn gelijkwaardig en moeten van links naar rechts worden uitgevoerd.

Een handig ezelsbruggetje is:

Hoe moeten wij van de onvoldoendes afkomen?

Voorbeeld 47

Bereken zonder rekenmachine:

15 : 3 + 4 = 5 + 4 = 9

√9 + 2

²

+ 3 × 2 + 6 = 3 + 4 + 6 + 6 = 19 (5 - 3):(5 + 3) + 2

³

= 2 : 8 + 8 = 8,25 20 : 4 × 2 = 10

20 : 4 : 2 = 2,5 20 : (4 × 2) = 2,5

Je rekenmachine voert de berekeningen uit volgens de genoemde voorrangsregels.

Controleer de berekeningen in het voorbeeld met je rekenmachine.

Gebruik haakjes als je de volgorde zelf wil bepalen.

(( 2 + 3) : 6) × 6

²

: √9 = (5 : 6) × 36 : 3 =5/6 × 36 : 3 = 30 : 3 = 10

Controleer dit voorbeeld met je rekenmachine.

(32)

concept

3 6× −

2

2 28 7

3 +( : )

2

2 1

6 4 8

) (

) :

( +

−

Opgave 1.65 Volgorde van bewerkingen 1

Bereken zonder rekenmachine. Noteer de tussenstappen.

a

24 : 4 – 3 = b ( 18 + 9 ) : 3 + 5 = c ( 27 + 5 ) : ( 4 + 4 ) = d 36– 7 + 5 = e ( 5 + 3 ) ² = f 9 – 9 + 9 : 9 – 9 = g ( 24 : 6 ) 2 – 6 = h 4² – 5² + 10² = i 6 ( 19 – 8 ) = j 3 + 5 – 49 – 4² =

k ( 5 + 2 – 3 ) ² – ( 12 – 8 : 4 ) ² = l 9 – 9 : 9 + 9 – 9 =

Opgave 1.66

Bereken zonder rekenmachine. Noteer de tussenstappen.

a 9 + b (15 + 24) : 3 4 b

c (2,5 + 3,5)² d 15 + 24 : 3 e

f

S-vragen

(33)

concept

snelheid

tijd

s m

v eenheid v in

t s

=

= →

Tabel 2.1 Voorvoegsels van eenheden

2 Rekenen met meetwaardes

Onderwerpen

- Grootheden en eenheden

- Voorvoegsels en wetenschappelijke notatie - Significantie

- Afronden

2.1 Grootheden en eenheden

In het dagelijks leven en in het lab komen getallen vrijwel altijd voor in combinatie met grootheden en eenheden.

voorbeeld 48:

snelheid : v = 10 m/s volume : V = 3,9 dm³ kracht : F = 4,9 N

Een grootheid is een natuurkundig verschijnsel dat meetbaar is in een daarvoor afgesproken eenheid.

in het Internationale Stelsel van Eenheden (SI-stelsel) zijn 7 basisgrootheden en bijbehorende eenheden vastgelegd.

Van deze grootheden zijn allerlei andere grootheden met hun eenheden afgeleid. Men spreekt van afgeleide grootheden en eenheden.

voorbeeld 49

Voorbeeld van afgeleide grootheid en eenheid basisgrootheid

basiseenheid

grootheid : snelheid symbool v waarde : 10

eenheid : meter per seconde of m/s

afgeleide eenheid

(34)

concept

E 2.1

m3

L g s

mol A s⋅

In het tabellenboek zijn alle afgeleide eenheden opgenomen. Het SI-stelsel is de wettelijke standaard in de Europese Unie. In landen als de USA en Engeland worden ook nog steeds

‘ímperial units’ gebruikt zoals gallon, inch en ⁰F gebruikt.

Naast de SI-eenheden zijn er nog andere eenheden die nog steeds gebruikt mogen worden, zoals liter (L) ,uur en minuut (h en min) en graad Celsius (⁰C).

Ook zijn er verschillende tabellenboeken online beschikbaar. De site van The Engineering toolbox is hier een voorbeeld van.

Opgave 2.1 Van welke basiseenheden afgeleid?

Hier staan enkele voorbeelden van afgeleide eenheden.

Van welke basiseenheden zijn deze eenheden afgeleid?

a ; ; ;

2.2 Machten van ‘10’ ,wetenschappelijke notatie en voorvoegsels.

Grote en kleine getallen worden voor een betere leesbaarheid vaak geschreven in wetenschappelijke notatie of met voorvoegsel.

In plaats van 2,3·106 wordt ook wel 2,3 M geschreven ( M = 10⁶) In plaats van 2,3·10-6 wordt ook wel 2,3 µ geschreven (µ=10^-6) Dit gebeurt dan meestal in combinatie met een eenheid.

voorbeeld 50

2,3 kg (bij massa); 2,3 mV (bij spanning) ;2,3 µA (bij stroom) of 2,3 dL (bij volume)

Overzicht van de belangrijkste voorvoegsels:

(35)

concept

( )

, . . , ,

, M spreek uit: miljoen of mega of

= × = ⋅ ×

=

6 6

1140000 1 14 1 000 000 1 14 10 1 14 10 1140000 1 14

Voorbeeld 52

, , ,

, , μ(spreek uit: micro of mu)

− of −

= ⋅ ×

=

6 6

0 00000119 1 19 10 1 19 10 0 00000119 1 19

Voorbeeld 53 met eenheid

( )

6 6

050000 V 1,25 1.000.000 V 1,25 10 V of 1,25 10 V V , MV spreek uit: 1,05 miljoen volt of 1,05 megavolt

= × = ⋅ ×

= 1

1050000 1 05

Voorbeeld 54 met eenheid

microgram) :

uit spreek ( μg 14 , 1 00000114 ,

0

) ( g 10 25 , 1 g 10 14 , 1 g 00000114 ,

0 ⁶ ⁶

=

×

⋅

= ⁻ of ⁻ gram

Als een getal geschreven wordt met één cijfer voor de komma en een macht van ‘10’

noemt men dat ook wel de wetenschappelijke notatie.

Voorbeeld 55

12,3·10⁷ (notatie met macht van ‘10’)= 1,23·10⁸ (wetenschappelijke notatie) 1,23 × 10⁷ wordt ook gebruikt !

Opgave 2.2 Wetenschappelijke notatie 1

Schrijf de volgende getallen in wetenschappelijke notatie. 1300 ; 0,0013 ; 950.000.000.000;

0,0000000245; 2300 ; 188.000.000.000.000.000.000; 0,0130 Opgave 2.3 Wetenschappelijke notatie en voorvoegsels

Schrijf de volgende eenheden zonder voorvoegsel in wetenschappelijke notatie.

12 kV ; 2,354 mg ; 3,2 nm; 26 pm ; 2,3 ns ; 23 MHz

Opgave 2.4 Wetenschappelijke notatie en voorvoegsels

Leg uit waarom 140 × 10^-12 = 1,40·10^-10 en 0,0460 × 10¹² = 4,60·10¹⁰

(36)

concept

: (m)

: (s)

: (ms)

v s t

s afgelegde weg t tijd

v snelheid

=

km 6

25 h 2,5 km

h 60

s= ⋅ =v t × = 25 km 6 min 2,5 km

s= ⋅ =v t min× =

60

2.3 Coherente eenheden

Bij het invullen van formules is het belangrijk de eenheden mee te nemen omdat je daarmee ook kunt controleren of de juiste formule en de juist eenheden gebruikt zijn.

Voorbeeld 55

Als je de snelheid wilt berekenen in m/s moet je de afgelegde weg invullen in meter en de tijd in seconden.

Als je de afgelegde weg invult in km en de tijd in uur dan krijg je de snelheid in km/h.

Let op: Bij het berekenen van een grootheid moet je altijd eenheden nemen die bij elkaar passen, zogenaamde coherente eenheden !

Voorbeeld 56

Je hebt een snelheid van 25 km/h. Hoeveel km leg je af in 6 minuten?

of

km/h en h passen bij elkaar km/min en min passen bij elkaar

Opgave 2.5 Coherente eenheden

Met de formule m

ρ=V kun je de dichtheid van een stof uitrekenen.

: : :

dichtheid m massa V volume

ρ

a Welke eenheden kies je voor m en V om de dichtheid uit te rekenen in g mL? b Welke eenheden kies je voor m en V om de dichtheid uit te rekenen in kg

m³ ? coherente

eenheid