Voorditproje tbestuderenwe`draaikolk'oplossingen(vortexoplossingen).
De vergelijking waarvoor deze oplossingen interessant zijn is de Ginzburg-
Landauvergelijking. DeGinzburg-Landauvergelijking iseenmodelverge-
lijking voor vers hillende problemenuit de natuurkunde, de biologie en de
hemie. De vergelijking bes hrijft bijvoorbeeld het gedrag van de li htin-
tensiteit van eengaslaser. DeGinzburg-Landau vergelijkingwordtgegeven
door
i
t
+(1 i")+(1+ib")jj 2
=0; (1)
waarbij ;";b > 0 en t > 0. De zogenaamde amplitude is een om-
plexwaardigefun tievandeplaatsvariabelexendetijdt. Wekiezenx2R 2
zodat=
2
x 2
1 +
2
x 2
2
met x=(x
1
;x
2 ).
Voor"=0 wordt vergelijking (1)de niet-lineaireS hrodingervergelijk-
ing genoemd. Voor de niet-lineaire S hrodinger vergelijking is al een start
gemaaktmethet bestuderen vande vortex oplossingen.
Wij zullenaannemendat"kleinis,dan kan deGinzburg-Landauverge-
lijkinggezienwordenalseenkleineverstoringvandeniet-lineaireS hrodinger
vergelijking. Devraagisnuofdevortexoplossingendiegevondenzijnvoor
de niet-lineaireS hrodingervergelijking blijven bestaanvoor0<" 1.
Als de vergelijking in pool oordinaten r en ges hreven wordt hebben
de vortexoplossingen devorm
=A(r;t)e im
; m2Z:
Voor m = 0 zijn er stationary oplossingen (onafhankelijk van de tijd)
bekend waarbij A eenpulse heeft(voorr>0), zie guur1. Deze oplossin-
genworden ook wel ring-oplossingengenoemdvanwege de stru tuurdie ze
hebben indriedimensies.
0 5 10 15
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
ξ
|Q( ξ )|
k = 2, lower branch, a = .0979
tenemendatdezeoplossingen devolgendestru tuurhebben
A(t;r)=R (r)e it
(met R stationair). Voor " = 0 zijn er van het gedrag van R al diverse
eigens happenbekend,maarzelfsvoordatgevalzijnernogveleopenvragen.
Metbehulpvanasymptotis heanalyseiservoorm 1eenpulseoplossing
gevonden wanneer r =O(
1
m
). Maar, een volledigeasymptotis he oplossing
die geldig is voor alle r > 0 is nog niet bekend voor " = 0 (eventueel ook
ietsomnaarte kijken?)
Voor de Ginzburg-Landau vergelijking willen we graag weten wat de
invloed is van " en b is op dit soort oplossingen. Kunnen deze nog steeds
ge onstrueerd? Onderwelke voorwaarden? Hoe zien zeeruit?
Ookoplossingen voorm=O(1) zijnerginteressantnatuurlijk.
Zodra deze vortex oplossingen ge onstrueerd zijn geeft dit ook dire t
het bestaan van andere oplossingen. Dit vanwege het feit dat er voor de
Ginzburg-Landauvergelijkingbepaaldetransformatiesbekend zijnwaaron-
derde vergelijkinginvariant blijft,endatgeeftdusdire tmeeroplossingen.
Hettoepassenvandezetransformatiesop devortexoplossingen leidtdire t
tothet bestaanvan zogenaamde`blowup'oplossingen. Blowup oplossingen
zijnoplossingendieineindigetijdoneindigworden(jjgaatnaaroneindig),
metanderewoordenopblazen. Blowupoplossingenwordeninexperimenten
gevonden inlasers. Daarbij wordt de li htintensiteit `oneindig'; dezewordt
in iedergeval zo groot dat de Ginzburg-Landau vergelijking niet meer het
orre temodelis omtebestuderen.
Er is een dire te relatie tussen dit proje t en mijn eigen onderzoek
aangezien ik ook blowup oplossingen bestudeer voor de Ginzburg-Landau
vergelijking en voor andere modellen. Maar, de vragen die gesteld wor-
den indit proje t zijnzeker nog niet bestudeerd en wel erginteressant om
antwoordopteweten.
Vivi Rotts hafer
vivimath.leidenuniv.nl
Ba helorproje t voorseminariumAS&B
