  5log   5 5 25log 1253

1. Bereken zonder rekenmachine:

a) ² 1

log 3

8 

b)

^{2. log 5 5}

⁵

  ^

⁵

^log _{ } ^   ^{5 5}

²

^ _{ } ^

⁵

^{log 125    3}

c)

3

1 3 3 2

3

3 1

3

log 27 log 3 3 2 3 log 27

1 log 3 1 2

log 3

 



  



d)

3

3 3 3 3 3 4 3

4

3. 9 1 1 3 2 17

log log 3 log 9 log 3 1 log 9

3 4 4 3 12

3

 

         

 

 

 

e)

3 2 3

4 4 3 4

2

2 log 2 1 3 5

log log 2 log 4 1 1

4    log 4   2    6

f)

2 8

2

1 1

log 2 2 2 1 log 2 2

log 8 3 2

   

g)



³



¹³

 

^{3 2}



³3 ³

log 243

log169 log 243 log13 2. log13 log13

 

  

  ³

. 5

log13

10

h) ₂

1

₃

1

^{36 36 36}

1

log 2 log 3 log 6 log 36  log 36     2

i)

5

8 3 2

4

32 32 2 5 1

log 8 2 3 4

16 16 2 2 2

x x

x x x

 

          

 

 

 

2. Bewijs de formules:

a)

1

1

log

^b

log . log

^a

b

c c

a

    

 

1 1 1

1 1

log1 log

1 log

log . log .

log log

b b b

b a

b b

c a

RL c a

a b a

  

    

 

1

1

. log

1 log

b

b

c

 a

1

log

b c LL

 

b) ^{2 2}

log

log . log

4

x

a x

b

b a 

2 2

2 2

log log log

log . log

log log 2. log

x x x

a x

x x x

b a b

LL b a

a x a

   

^x

log a

 log

2 4

x

b

  RL

3. Bepaal de inverse van de functie f met voorschrift

 

^{4. 2 3 1}

3

x

f x      

  

 

.

2

3 3 2 3

3

log 1

2 2 4

4. 1 1 3 log 1

3 3 4 4 3

y y

x

x x

x y y

  

 

        

                

     

 

 

4. Bereken

a

in de volgende uitdrukkingen:

a) ^alog 225 2. log 5 ^a  ⁹log 81

2

225

log 225 log 5 2 log 2 log 9 2 3

25

a a a a

a

        

b) ^alog 27 3. log 2 ^a 3

 

log 27 log 23 3 log 27.8 3 3.2 6

a a a

      a 

c) ^alog 45 2. log 3 ^a  ^alog 202

45.20

log 45 log 9 log 20 2 log 2 log100 2 10 9

a a a a a

        a

5. Bepaal het domein van de functie

^{f x}   ^

^{1 2}

^{log x  2}

1 2 * 1

log 2 0 0 4

0 x x dom f x

x x

    

  

   

. Dus het domein is 1

0,4 dom f  

  ^.

1 2 1 2 1 2

1 1

* : log 2 log log

4 4

x   x    x

6. Los op:

a) ³

^{log 2}  ¹ 

³

^log  ¹  ^{2 : 2 1 0 1 2 1 2}

1 0 1

x x

x x BV x

x x

      

                  

   

 

3 3 2

log 2 x 1 . x 1 log 9 2 x x 10 0 x 2 x 5 2

             ^{V }   ²

b) ^{2. log4 2log}



⁴



² ₃¹

2.^x log 2

x x   _

0 0

4 0 4

: 4

3 0 3

3 1 4

x x

x x

BV x

x x

x x

     

        

      

      

 

        

 

     

4 2 2 1 2 2 2 2 1

log log 4 2 . log 3 log log 4 log 4

2 2

x x x x x

           ^{. log2}



^{x 3}



²

 

     

2 2 2 2

log x x 4 log 4 x 3 x 4x 4x 12 x 8x 12 0 x 2

             

 

6 6

x V

 



c) ^xlog



^x23x5



^{2 :} ₂ ^{0\ 1}

^{ }

^!

3 5 0

BV x controle achteraf

x x

    



  

     

 

ℝ

2 2 5 5

3 5 3 5 0

3 3

x x x x x V  

           

 

d)

^{2.log x   1 log 17}  ^{x  6} 

^{: 0 0}

17 6 0

BV x x

x

   

  

    

 

   

2 2 2

log log10 log 17 6 log10 log 17 6 10 17 6 0

2 3 10

x x x x x x

x x

          

     ^{V }

 

²

7. Los op:

a) ³

^{log 2}  ^{x  5}  ^{ 2}

^{: 2 5 0 5}

BV x x 2

     

 

 

   

3 3

log 2 x 5 log 9 2 x 5 9 x 7 V 7,

         

b) ^{1 3}

^{log 4 x }

^{1 3}

^log  ^{x   1}  ^{2 : 4 0 1}

1

BV x x

x

   

 



   

 

 

 

1 3 1 3 1 3

1 3 1 3

log 4 log 1 log 9 log 4 log 9 9

4 9 9

9 9

5 1, 5

x x

x x

x x

x V

   

  

  

 

     

c) ^{2 3}

^{log 5}  ^{ x}  ^{  2 0}



^{BV : 5 x 0  x5}



   

2 3 2 3 2 3 9 9 11 11

log 5 2 log 5 log 5 ,

4 4 4 4

x x x x V  

              

8. Bereken 2 3 4 2017

1 1 1 1

... *

log 2017!  log 2017!  log 2017!   log 2017! 

(denk eraan dat

2017! 1 2 3 4 ... 2017      

)

 

2017! 2017! 2017! 2017! 2017! 2017!

*  log 2  log 3  log 4 ...   log 2017  log 2.3.4. ... .2017  log 2017! 1 

9. Bereken log 95^51 (schrijf je uitkomst in wetenschappelijke notatie).

51

51 101 0,1360961303 0,1360961303 101 101

log 95 51.log 95 100,8639039 101 0,1360961303

95 1 0 10 .10 1,3680 .10



    

      

   

10. Beredeneer dat het aantal cijfers waaruit een natuurlijk getal n  ℕ0 bestaat gelijk is aan logn  1^. Bereken dan met je rekenmachine uit hoeveel cijfers het getal

2

²⁰¹¹ bestaat.

Het aantal cijfers waaruit een natuurlijk getal n  ℕ₀ bestaat gelijk is aan logn  1^. Dit klopt want: i1 n 10log1lognlog10 0 logn 1 logn0_,

10 n 100log10lognlog100 1 logn 2 logn1

i _,

100 n 1000log100lognlog1000 2 logn 3 logn2

i _,

enzovoort…

Voor

n  2

²⁰¹⁷ geeft dit log 2²⁰¹⁷  1 2017.log 2 1 608. Het getal

2

²⁰¹⁷ bestaat dus uit 608 cijfers.

Een iets omslachtigere manier om dit aan te tonen is na te rekenen dat:

22017 1504877864909870890002459133447611330097732258481694573170055888012268354132 2076177782007219047710981075054947716136472064126077643824238840065967471547 556631560845937254371164250279660518119161



3879323184416012690760159020510594 1563930273723717600594767445970887146193668599049166825870452800411690209544 5209142907238410945246315083832742911528263323025464230244084170860858180649 9084738614737329040021529033435245993167449987296007346139762764351459674598 8041499221097942661066549351679026229629820374291322314211013630733173213356 7798248592543027545063446994685630981451647656652367955517092809805578371072 11. Bewijs dat geldt:

^{ x y ,  }  ^1,  ^{: log}

^x

^{y }

^y

^{log x  2}

^.

 

2 2 *

2 2

2 2 2

log log log log

log log 2 2 2 log log 2.log .log

log log log .log

log 2.log .log log 0 log log 0

x y y x y x

y x y x x y

x y x y

y x y x y x

          

       □

*:

de noemer is positief want

x   1 log x  0

en

y   1 log y  0

. Als we beide leden dus vermenigvuldigen met

log .log x y

blijft het teken behouden.

12. Schrijf de volgende uitdrukking in functie van logx, logy en logz:

a)

 

3 4 5

3 5 2

2

. 10 1 1

log log log10 log1000 log 3log 1 5log 3 2 log

1000. 4 4

5 11

3log log 2 log

4 4

x y

x y z x y z

z

x y z

 

          

 

 

   

b)

    ^{ }

5 5

5 2 5 2

3

2 2

1 1 1 1

log .log log log log log log 5 log log 2 log

3 3 3 3

5 2 1

log log log

3 3 3

a c a c

a c b a c b a c b

b b

a b c

        

  

13. Bij de tandarts wordt een patiënt ingespoten met xylocaïne, een verdovend middel. Daardoor voelt de patiënt plaatselijk voor een tijdje geen pijn meer. De concentratie xylocaïne bedraagt bij de inspuiting 80 ml/g (milliliter per gram), en neemt elke minuut af met 5%.

a) Stel het functievoorschrift op van de concentratie

^{C t}  

xylocaïne in functie van de tijd.

 

^{80.0, 95t}

C t  , met

C

in ml/g en t in minuten.

b) Wat is de concentratie xylocaïne één minuut na de inspuiting? En wat één uur later? Rond je antwoorden af op 0,001 ml/g nauwkeurig.

 

^{1 80.0, 95 76}

C   (ml/g)

 

^{60 80.0, 9560 3, 686}

C   (ml/g)

c) Een patiënt begint terug pijn te voelen eens de concentratie xylocaïne minder dan 30 ml/g bedraagt.

Hoe lang mag een ingreep maximaal duren opdat de patiënt geen pijn zou voelen tijdens de ingreep?

Bereken dit exact (met behulp van logaritmen), en rond daarna je antwoord af op de seconde nauwkeurig.

  3 3 ^{log 3 8}  

30 80.0,95 30 0,95 .log 0,95 log 19,12198

8 8 log 0,95

t t

C t       t    t 

De operatie mag maximaal 19 minuten en 7 seconden duren.

14. Op “warme-truiendag” wordt om 7u ’s morgens de verwarming uitgezet. Daardoor verliezen de klaslokalen uiteraard warmte, want het is buiten kouder dan binnen.

De binnentemperatuur wordt gegeven door de functie ^{T t  }

 

^{8 10. 0,8}

 

^{t, met t} het tijdstip op de dag uitgedrukt in uur na het uitzetten van de verwarming (

t  0

correspondeert met 7u), en T uitgedrukt in °C.

a) Hoe warm is het in een lokaal op het moment dat de verwarming wordt uitgezet?

 

^{0 8 10. 0,8}

 

^{0 18}

T    . Het is om 7u ‘s ochtends dus 18°C.

b) Hoe warm is het nog om 8u30 ’s morgens, als het eerste lesuur begint? (rond af op 0,01°C).

 

^{1, 5 8 10. 0, 8}

 

^{1,5 15,16}

T    . Om 8u30 is het al maar 15,16°C meer.

c) Vorm de formule om zodat het tijdstip gegeven wordt in functie van de temperatuur.

  ⁸

^0,8

⁸

8 10. 0,8 0,8 log

10 10

t

T

t

T

T        t 

d) Bereken wanneer het nog amper 10°C zal zijn in een lokaal? (rond af op de minuut).

  ¹⁰

^0,8

^{log 10 8 7, 212567}

t 10 

 

. Om 14u13 zakt de temperatuur onder de 10°C.

15. Zonnebloemen zijn snelgroeiende planten die vaak worden gebruikt voor de productie van olie. Om zicht te krijgen op het groeiproces van zonnebloemen, worden regelmatig metingen gedaan. Bij een experiment is van een zonnebloem gedurende vijftien weken elke week de lengte gemeten. Het resultaat van deze metingen is hieronder met stippen weergegeven.

# weken 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 hoogte 1 3 4 7 15 20 47 65 85 131 215 267 300 350 370 385

De hoogte van de zonnebloem gedraagt zich duidelijk logistisch in functie van de tijd.

a) Voer met je rekenmachine een logistische regressie uit. Rond alle parameters af op 5 decimalen.

 

0,58447.

406, 61943 1 348, 56734 . ^t

h t  e^



b) Hoe groot zal de zonnebloem maximaal worden volgens dit model? Rond af op 1 mm.

De maximale grootte vind je terug in de teller, dus die is ongeveer 406,6 cm.

c) Bereken na hoeveel weken de exponentiële fase eindigt.

De exponentiële fase eindigt als de grootte de helft is van de maximale grootte. Dus:

  203, 309715 203,309715 ^{406, 61943}

_0,58447.

1 348, 56734 .

^0,58447.

2 1 348,56734 .

ln 348,56734

10, 016 0, 58447

t

h t

t

e

e t



  



  



  

De exponentiële fase eindigt dus na ongeveer 10 weken. Dat kon je ook uit de tabel aflezen trouwens.