Exact competentiegericht

(1)

Exact competentiegericht

Gecijferdheid

met basisrekenen, eenheden, isoleren, afronden en per gedachte.

Didactisch concept : Vervoort Boeken

Grafisch ontwerp: uwontwerp.nl Eindhoven Versie augustus-2014

ISBN 978-90-79798-01-8.

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgavemag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door

fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 B Auteurswet 1912 j^o het Besluit van 20 juni 1974, Stb. 351, zoals gewijzigd bij het Besluit van 23 augustus 1985, Stb. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 3060, 2130 KB

Hoofddorp). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden.

(2)

Verantwoording

Dit deel gecijferdheid is bijzonder geschikt als basis voor een technische opleiding op MBO- niveau. Het eerste hoofdstuk over basisrekenen is bedoeld als opfriscursus. Door middel van toetsen, beschikbaar op internet, kan iedereen zijn voortgang testen.

In hoofdstuk 2 en 3 wordt gewerkt met eenvoudige formules. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de basisvormen uit de meetkunde zoals de cirkel, rechthoek, blok, cilinder en bol en fysische begrippen als dichtheid, vochtigheid, toerental, omtreksnelheid, energie-omzetting.

Veel aandacht wordt besteed aan het gebruik van de juiste eenheden en het omzetten van eenheden. Ook de nauwkeurigheid van het antwoord van een berekening is belangrijk.

Gebruik van het juiste voorvoegsel is hierbij een goed instrument. Belangrijk is dat de cursist een goed beeld heeft van de grootte en de betekenis van getallen. Een van de kenmerken van competent gedrag is het op eigen initiatief reageren op de onjuistheid van een antwoord.

1 mL is ongelijk aan 1000 L en een rode bloedcel kan nooit 15000 kg ijzer bevatten.

Ook het kunnen aangeven hoe nauwkeurig iets is berekend hoort bij competent gedrag.

Een formule invullen zonder dat je kunt vertellen hoe deze is opgebouwd leidt altijd tot oncontroleerbaar rekenwerk en geeft dus een gevoel van onzekerheid en onveiligheid.

In de cursus zijn daarom reflectievragen opgenomen waarmee je geholpen wordt om door middel van een schetsje of een stukje tekst te laten zien op welke manier jij de dingen aanpakt. Het zelf maken van een toolboek met samenvattingen, voorbeelden en tools, dat gebruikt mag worden bij diagnostische toetsen en beroepsopdrachten is ook een bijzonder leerzame bezigheid. Toolboek en reflectievragen zij ook bijzonder geschikt voor remediëring en samenwerkend leren.

En als het toolboek dan ingezet kan worden bij een beroepsopdracht is de cirkel rond.

De site www.vervoortboeken.nl is een belangrijke ondersteuning. Hier zijn diverse tools te vinden, zoals diagnostische toetsen, verwijzingen naar internetsites, stukjes uitleg die opgenomen zijn met behulp van een smartpen en of tekentablet.

De links naar internet verwijzen door naar sites met simulaties, oefenen toetsmogelijkheden . Oefenen kan heel belangrijk zijn, maar mag nooit doel op zich zijn.

De diagnostische toetsen zijn dan ook zo gemaakt dat je er niet op kunt trainen. Je traint op vaardigheden, maar je past het toe op praktische situaties.

Je hebt leren rekenen aan cirkels, maar je komt ze tegen in allerlei apparaten en machines.

Hoeveel originele vragen kun je al niet stellen over een fiets met twee wielen en een versnellingsmechaniek?

De afbeeldingen achterin het boek kun je gebruiken voor het toolboek. Sommige schema’s of didactische tips hoef je niet zelf te bedenken.

Heel veel succes!

(3)

Gebruikte iconen :

Oefenen en toetsen op internet

Reflectievragen

Samenvatting voor toolboek

Zonder zakrekenmachine

Internetverwijzing op http://www.vervoortboeken.nl

Leergesprek op http://www.vervoortboeken.nl 1.2

3.2

1.1

2.3 1.1

(4)

Inhoudsopgave

Onderwerpen Contexten opgave

1.1 Opbouw decimale getallen. 1.1 t/m 1.3

1.2 Basisbewerking optellen. 1.4 t/m 1.5

1.3 Basisbewerking vermenigvuldigen. 1.6 t/m 1.7

1.4 Basisbewerking aftrekken en negatieve getallen. 1.7 t/m 1.9

1.5 Notatie van veranderingen. Temperatuurverschil noteren. 1.10

1.6 Basisbewerking delen. 1.11 t/m 1.13

1.7 Basisbewerking machten. Wetenschappelijke notatie. 1.14 t/m 1.16

1.8 Basisbewerking worteltrekken. 1.17 t/m 1.20

1.9 Volgorde van bewerken 1.21

1.10 Basisbewerkingen met kommagetallen. 1.22 t/m 1.23

1.11 Getallen kleiner dan 1, breuken, procenten. Tandwieloverbrenging, schaalvergroting en rendement. BTW-berekening, groei spaarrekening

1.24 t/m 1.35 Alcholpromillage, massafractie, massapercentage.

Onderwerpen Contexten opgave

2.1 Grootheden, eenheden en voorvoegsels. Grootheden, eenheden en voorvoegsels. 2.1 t/m 2.9

2.2 Afgeleide eenheden oppervlakte. Meetkundige figuren 2D 2.10 t/m 2.12

2.3 Afgeleide eenheden volume. Meetkundige figuren 3D 2.13 t/m 2.15

2.4 Herleiden formule en isoleren variabele. 2.16 t/m 2.18

2.5 Afronden, significantie 2.18 t/m 2.22

1 Basisrekenen en eenvoudige wiskunde

2 Eenheden, isoleren en afronden.

(5)

Onderwerpen Contexten opgave 1 Dichtheid van een metaal.

3.2 Dichtheid water bij verschillende fasen.

3.3 Oppervlaktedichtheid.

3.4 Concentratie is ook een dichtheid.

3.5 Luchtvochtigheid.

3.6 MAC-waarde.

3.7 Energiedichtheid en soortelijke warmte.

3.8 Energie-eenheid kWh.

3.9 Grootheden per tijdseenheid.

3.10 Volume- massa- en warmtedebiet.

3.11 Letterrekenen en herleiden formules.

Bouw van materie met atomen en moleculen.

Dichtheid van verschillende stoffen. Massa en volumepercentage. Dichtheid bij verschillende fasen. Pyknometer.

3.1 t/m 3.4 3.5 t/m 3.8 3.9 t/m 3.10

Oppervlakte bepalen door weging. 3.11 t/m 3.12

Concentratie en verdunnen.

Energiedichtheid, soortelijke warmt.

Eigenschappen van watermoleculen. Absolute en relatieve vochtigheid. Bepalen vochtigheid met dauwpunt en natte boltemperatuur.

3.13 t/m 3.17

MAC-waarde 3.18 t/m 3.20

Energiedichtheid, soortelijke warmte.

Kwh, kcal en voedingswaarde

3.21 3.22 t/m 3.24

Omtreksnelheid en toerental. 3.25 t/m 3.28

Volumedebiet, massadebiet en warmtestroom.

Letterrekenen en formules herleiden.

3.29 t/m 3.31 3.32 t/m 3.33

Afbeeldingen toolboek blz. 104

3 Per gedachte

(6)

1.1 Opbouw decimale getallen

Decimale getallen zijn opgebouwd uit de cijfers 0 t/m 9.

De plaats van een cijfer in een getal is belangrijk.

Het getal 408 duizend, 915

De punt wordt gebruikt om de leesbaarheid te verbeteren. In de USA wordt hiervoor de komma gebruikt. Je kunt dit instellen op je

rekenmachine.

Je kunt een geheel getal 10× zo groot maakt door rechts een ‘0’ achter het getal te plaatsen. Je kunt een geheel getal 10× zo klein maken door rechts de komma een cijfer op te schuiven. Je krijgt dan een kommagetal. In de USA is dit een punt.

40.891.500 is dus 100× zo groot en 408,915 is 1000× zo klein Opgave 1.1 Opbouw van getallen.

Schrijf de volgende getallen als een som van eenheden, tientallen, honderdtallen, enz.

a 605 = 6×100 + 5×1 b 3.178 =

c 56.890 = d 900.230 = e 3.456.675 = f 1.001 = g 1.000.001=

1 Basisrekenen en letterrekenen.

(7)

Opgave 1.2 Noteren van een geheel getal.

Noteer het getal:

a 23 miljoen, 407 duizend, 301.

b 8 miljard, 7 miljoen, 321 duizend, 201 c vier en twintig duizend, vijf en twintig d dat 100× zo groot is als 23

e dat 1000× zo klein is als 231.090

R1 Welke waarde heeft het cijfer 7 in het getal 723.009?

R2 Wat is de waarde van het cijfer 3 als daar nog 4 cijfers achter kunnen staan zonder komma.

R3 Hoeveel nullen komen er achter een getal dat 1 miljoen keer zo groot wordt?

R4 Lukt het om je rekenmachine in te stellen op de Europese notatievorm voor punt en komma?

Opgave 1.3 Naamgeving getallen.

2.125.635

spreek uit: “twee miljoen, honderd vijf en twintig duizend, zes honderd vijf en dertig”

Doe dat ook met onderstaande getallen:

a 15 b 216 c 3097 d 8119 e 21336 f 43048 g 83 h 999.999 i 100.003 j 6.123.928 k 26.498.326

Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met naamgeving van getallen. (Kies onderwerp 1)

Je kunt ook de antwoorden controleren!

1.1

(8)

1.2 Basisbewerking optellen

Als je 475 optelt bij 389 dan tel je de eenheden, de tientallen, de honderdtallen, enz bij elkaar op.

Als de eenheden bij elkaar opgeteld meer dan ‘9’ zijn, bijvoorbeeld

‘14’ dan komt er bij de tientallen ‘1’ bij en wordt het aantal eenheden

’4’. Het aantal tientallen komt dan van ‘15’ op ‘16’, waarbij de ‘1’

doorschuift naar de honderdtallen.

Soms is het optellen gemakkelijk door de getallen te splitsen, het zogenaamde ‘slimme optellen’.

Voorbeeld:

1) 72 + 85 = 70 + 80 + 2 + 5 = 157 2) 8.000.000 + 321 = 8.000.321 3) 30.000 + 45.000 = 75.000

4) 99.999 + 3 = 100.000 + 2 = 100.002

Het is zinvol dit soort rekenoefeningen te doen! Je krijgt daardoor meer gevoel voor getallen en je kijkt kritischer naar uitkomsten van je rekenmachine.

Opgave 1.4 Optellen. (Zonder rekenmachine)

Tel bij elkaar zonder rekenmachine en controleer daarna het antwoord.

a 23 + 56 = b 100 + 200 = c 466 + 529 = d 499 + 499 = e 1267 + 278 =

R5 Bij 499 + 499 is 1000 – 2 de slimme manier.

Wat is de slimme manier bij 149 + 301 ? En bij 58 + 59?

Opgave 1.5 Los op met slim optellen.

a 1012 + 842 = b 520 + 220 = c 53 + 47 = d 999 + 202 = e 455 + 602 = f 96 + 48 = g 67 + 33 =

Op deze site kun je zoveel opgaven over optellen bedenken als je nodig hebt! Je kunt ook de antwoorden controleren!

1.3

1.2 1.1

(9)

1.3 Basisbewerkingen vermenigvuldigen.

Als je 6 keer 48 appels neemt, neem je 48 + 48 + 48 + 48 + 48 + 48 appels. Ofwel vermenigvuldigen is herhaald optellen. In dit geval 6 keer. Je kunt natuurlijk ook 48 keer 6 appels nemen.

6 × 48 = 6 × (40 + 8) = 6 × 40 + 6 × 8 = 288

48 × 6 = (40 + 8) × 6 = 40 × 6 + 8 × 6 = 288 Bij grotere getallen zijn er meerdere mogelijkheden.

We nemen als voorbeeld de opgave 46 × 84 . Methode 1:

46 × 84 = (40 + 6) × (80 + 4) = 3200 + 160 + 480 + 24 = 3864 Methode 2:

De klassieke manier.

Eerst 6 × 84 = 504 uitrekenen en dan 40 × 84 = 3360 uitrekenen en vervolgens 504 + 3360 = 3864 uitrekenen.

Bij 40 × 84 begin je met een ‘0’ te schrijven en vervolgens reken je 4 × 84 uit. Door de ‘0’ eerst te schrijven heb je het getal toch met 40 vermenigvuldigd.

Op de site van WIMS kun je vermenigvuldigen volgens methode 2 oefenen. Kies onderwerp 3 Je kunt ook de antwoorden controleren!

Het is belangrijk dat je jezelf een controlehouding aan leert, waardoor je via een schatting een idee hebt van de orde van grootte van je antwoord.

46 × 84 ≈ 50 × 80 ≈ 4000

Slim vermenigvuldigen blijft natuurlijk altijd een optie.

1.2

1.4 1.3

(10)

Voorbeeld 1:

40 × 50 = 20 × 100 = 2000 (4 × 5 en 2 nullen)

400 × 5000 = 20 × 100.000 = 2.000.000 (4 × 5 en 5 nullen) Voorbeeld 2:

16 × 50 = 8 × 100 = 800 (16 wordt gedeeld door 2 en 50 wordt vermenigvuldigd met 2)

25 × 16 = 100 × 4 = 400 ( eerste getal × 4 en tweede getal :4) Voorbeeld 3:

99 × 99 = 100 × 99 - 1 × 99 = 9900 – 99 = 9801

Een vermenigvuldiging wordt op verschillende manieren genoteerd.

1) 23 × 45

2) a × 45 of 45∙a of 45a ( voor a kan een getal ingevuld worden) 3) 15(a + 10) = 15a + 150

Alle termen tussen de haakjes moeten met 15 vermenigvuldigd worden.

4) 16∙a∙b∙c = 16abc (a, b en c zijn variabelen)

Opgave 1.6 Vermenigvuldigen. (Zonder rekenmachine)

Bereken zonder rekenmachine en controleer daarna het antwoord.

Welke methode is voor jou het snelst?

a 23 × 56 = b 100 × 200 = c 466 × 529 = d 199 × 4 = e 125 × 8 = f 18 × 316 = g 300 × 150 = h 22 × 88 =

Op deze site kun je het record verbeteren met rekenen met vermenigvuldigingstafels.

Opgave 1.7 Haakjes wegwerken. (Zonder rekenmachine)

Schrijf onderstaande expressies zonder haakjes.

a 2(3 + 45) = 6 + 90 b 10(3 + 2a) = c 4(12a + 3b) =

d 19(-1 + 2T) = e (9 + 2a)8 =

f (12 + 8)(10 + 2) = + + + g (12 + a)(10 + b) =

h (a + 3)(10 + b) = 1.4

(11)

R6 In welke tijd kun je de vermenigvuldigingstafel tot 12 voltooien volgens oefening 1.4?

R7 Welke methode van vermenigvuldiging is voor jou het geschiktst en waarom ?

R8 Via copy en paste kun je bewijs verzamelen van toets 1.3.

1.4 Getallen van elkaar aftrekken en negatieve getallen.

6 – 4 = 2 ofwel je gaat 6 naar rechts en 4 naar links het verschil = 2

-6 – (-4) = -2 ofwel je gaat 6 naar links en 4 naar rechts ( - - = +) en je komt uit op -2

34 – 68 = -34 ofwel je gaat 34 naar rechts en 68 naar links en je komt uit op -34

Je kunt ook schrijven: 34 – 68 = -(68 – 34) = -34

Kies op de site van WIMS voor:

2 integers optellen en aftrekken (pos/neg antwoorden)

Hieronder is een voorbeeld te zien van de bespreking van de toets.

Voorbeeld van de site van WIMS.

1.3

1.5

(12)

Voorbeelden:

1) -1 – 499 = -500

2) 234 – 567 = - (567 – 234) = -333 3) a – (-10) = a + 10

4) 111a – 123a = -12a

5) 18b – 5a = 18b – 5a (a en b zijn verschillende dingen!) Opgave 1.8 Verschil nemen. (Zonder rekenmachine)

a 45 – 76 =

b -76 – (-13) = c 8 + (- 14) =

d 8 – 14 = e -1 - (-3) = f 1223 – 71345 = g 119a + 12b – 223a = h 2 – 10.000 =

Opgave 1.9 Oefenen met variabelen.

Optellen en aftrekken van meerdere variabelen II Doe een toets van 10 opgaven ( moeilijkheid: normaal) Neem enkele opgaven over in je werkschrift.

R9 Waarom is a – b hetzelfde als – (b – a) ? R10 – (b – a) is hetzelfde als –1 (b – a). Waarom?

R11 Wat was je score bij opgave 1.6? Geef een voorbeeld van een gemaakte fout.

1.5 Notatie van veranderingen.

Bij het bepalen van een temperatuurverandering maken we ook gebruik van positieve en negatieve getallen.

Als de temperatuur afkoelt van 20 ⁰C tot -5 ⁰C dan noteren we ΔT = Teind – Tbegin = -5 – 20 = -25 ⁰C (Δ is het symbool voor verschil, spreek uit :delta)

De negatieve waarde geeft aan dat er sprake is van een afname.

Deze manier van noteren is een van de kenmerken van een procesuitwerking. Het is duidelijk dat het hier gaat over een

temperatuurverschil, dat je de beginwaarde aftrekt van de eindwaarde en dat gemeten wordt in graden Celsius.

1.4 1.6

(13)

Opgave 1.10 Temperatuurverandering bepalen.

Werk de onderstaande vragen uit volgens de beschreven procesuitwerking.

a We gaan water afkoelen van 24 ⁰C tot ijs van -15 ⁰C Bereken de temperatuurverandering ΔT.

b Water heeft een temperatuur van 20 ⁰C. Dit water wordt in een diepvriezer afgekoeld tot -2 ⁰C .

Bereken de temperatuurverandering.

c Op het tijdstip 7.00 u is het 3 ⁰C en op het tijdstip 14.00 u is het 10 ⁰C. Bereken de temperatuurverandering ΔT en de

tijdverandering Δt in uur.

d Wat wordt er bedoeld met T (18.00 u)- T(10.00 u)= -10 ⁰C?

e De begintemperatuur is -2 ⁰C en de eindtemperatuur is -10 ⁰C.

Bereken ΔT ?

f Je gaat een avondje uit en hebt €50,- op zak. Bij terugkomst heb je

€20,- schuld bij een van je vrienden. K is het symbool voor kapitaal. Bereken de verandering van je kapitaal? Waarom zal het antwoord negatief moeten zijn?

Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen. (Kies onderwerp 5) Je kunt ook de antwoorden controleren!

R12 Wat is de betekenis van negatieve ΔT ofwel ΔT < 0?

R13 Tbegin= -2 ⁰C en ΔT < 0 Wat betekent dat voor T^eind?

R14 ΔT = -2 – (-10) = 8 ⁰C Hoe kun je dit in de praktijk realiseren?

R15 Voor een proces met een voorraadvat met water noteert men voor de volumeverandering :

ΔV = Veind – Vbegin = 10 – 2 = 8 L

Geef een beschrijving van wat hier gebeurt is.

Wat gebeurt er als ΔV < 0?

1.6 Basisbewerking delen.

Hoe vaak kun je 5 appels pakken uit een mand met 30 appels.

Ofwel hoeveel is 5

30 of 30/5 of 30 : 5 ?

Als je tafels kent kun je bij eenvoudige getallen de uitkomst uit het hoofd zeggen.

5 6

30 = , want 6 × 5 = 30

De uitkomst van een deling noemt men het quotiënt.

Als het getal niet precies past heb je een restgetal.

Er zijn 3 manieren om het quotiëntte noteren:

1.5 1.7

(14)

36 80 3

276 = rest

45 , 80 3 276 = 5 6

33= rest 3 ofwel

5 63 5

30= of 6,6 5 30 =

Zonder rekenmachine kun je een deling uitvoeren met een

zogenaamde staartdeling. Net zoals bij het vermenigvuldigen is het uitvoeren van een staartdeling nuttig om meer gevoel te krijgen voor getalgroottes. Daardoor krijg je kritischer naar uitkomsten van een rekenmachine.

Hoe vaak past 80 in 276.

80 past 3× in 240 en 4× in 320, dus het quotiënt ligt tussen 3 en 4.

of

80 336 80

276 = of 3,45 80

276 =

3,45 × 80 = 276 Klopt!

Ook bij delen kun je soms het antwoord sneller vinden door naar een gemeenschappelijke factor te zoeken in het deeltal (het getal dat gedeeld wordt) en deler (het getal waardoor gedeeld wordt).

Voorbeelden:

1) 12,06

100 1206 200

2412 = =

2) 4,7

100 470 50

235 − =−

− =

3) 4 20 80

4 20

16× = × = of 16 5 80

4 20

16× = × =

4) b b

a

ab 8

1 8 2

16 = =

5) a a a

80 20 4 4

20

16 × = × = of a a a

80 5 4 16

20

16 × = × =

6) 4 5

4 20 4 16 4

20

16 + = + = +

a a a

7) 2 3

4 12 4 8 4

12

8x− = x− = x− 1.5

Denk aan de komma!

(15)

) 3 ( 5

) 3 ( 8 10 5

10 8 53 83 5 8 5000 8000 05

, 0

08 , 0 5 8

2 2

−

= −

⋅

= ⋅

=

= ₋

−

a a x

x

Als boven de deelstreep een product staat kun je soms vereenvoudigen door één van de factoren te delen.

Als boven de deelstreep een som of verschil staat kun je soms vereenvoudigen door alle termen te delen.

Dit soort regels hoef je niet van buiten te leren, je kunt ze bij twijfel controleren door eenvoudige getallen te kiezen.

2 12 4 6 2

6 12 4

2 6 4 2

6

4 × = × =

=

×

× = of

5 3 2 2

6 2 4 2

6

4+ = + = + =

8) 250

4 1000 04

, 0

10 = =

Deeltal en deler beide met 100 vermenigvuldigd.

Als je deeltal en deler met hetzelfde getal vermenigvuldigd blijft de waarde van het quotiënt hetzelfde.

Opgave 1.11 Delen. (Zonder rekenmachine)

Bereken zonder rekenmachine en controleer daarna het antwoord.

Geef het antwoord op de 3 manieren zoals besproken.

a 56 : 18 = b 412/34 =

c =

12 333

d − =

52 2546

e × =

3 1102 6

f =

2 25

g =

25 2

h =

2 , 0

25

Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen op de staartdeling.

(Kies onderwerp 4) Je kunt ook de antwoorden controleren!

1.8

(16)

Opgave 1.12 Delen bij formules.

Vereenvoudig zo ver mogelijk.

a + =

4 20 8a

b − × =

c c b 5

10 220

c − =

m m mp

41 41 82

d + =

2 10 a

e − =

m p mp

41 41 82

f × =

2 10 a

g =

2 10a

Opgave 1.13 Oefenen met variabelen.

R16 -

R17 Welke drie soorten antwoorden kun je geven bij een deling?

R18 Leg uit waarom je bij het delen van een som alle termen moet delen en bij het delen van een product één van de factoren.

R19 Als je het getal ‘0’ deelt krijg je altijd 0 en als je een getal deelt door ‘0’ krijg je geen antwoord. Geef hier een verklaring voor.

R20 Waarom is a a

+ + =1 10

10 fout?

R21 b b b

⋅

=

⋅

= 4

3 3 4 4

3 Hoe kun je laten dat dit juist is?

R22 Hoe kun je 04 , 0

1 uitrekenen zonder rekenmachine?

R23 Wat was je score bij de toetsen van 1.8 en 1.9 ? 1.6

1.9

(17)

1.7 Basisbewerking machten.

In plaats van 2 × 2 × 2 × 2 × 2 kun je ook noteren 2⁵. Spreek uit: ‘2 tot de macht 5’ of ‘twee tot de vijfde’.

Enkele voorbeelden:

16 2 2 2 2

2⁴ = × × × =

16 2 2 2 2

2⁴ =− × × × =−

−

16 2 2 2 2 ) 2

(− ⁴ =− ×− ×− ×− =

Oppervlakte vierkant = 6 cm × 6 cm = 6² cm² = 36 cm² 10² = 100

10³ = 1000 10^-2 = 0,01 10^-3 = 0,001

Het decimale getal 2.300.000 kun je schrijven als 2,3∙10⁶en 0,0000023 kun je schrijven als 2,3∙10^-6.

Deze laatste manier van noteren ook wel wetenschappelijk of scientific (SCI op rekenmachine) genoemd.

In het eerste hoofdstuk van het boek ‘Toegepaste Wiskunde’ wordt uitgelegd wat de betekenis is als de exponent :

1) 0 of 1 is.

2) een breuk of kommagetal ( 5

1 of 0,2) is.

3) < 0 is (negatief is).

4) onbekend is en bepaald moet worden (logaritme).

(18)

Opgave 1.14 Eenvoudige machten.

Schrijf uit en geef indien mogelijk de uitkomst.

a 4²⋅3⁴ =4×4×3×3×3×3= 1296 b (-2)⁴ =

c -3² = d 3²⋅a² = e cm²= f cm³=

Opgave 1.15 Oefenen met machten.

Machten: Een macht of een serie producten I (H1) Doe een toets van 5 opgaven ( moeilijkheid: oplopend) Neem enkele opgaven over in je werkschrift.

Opgave 1.16 Wetenschappelijke notatie.

Schrijf in wetenschappelijke notatie.

a 54000 = b 800 = c -3450 = d 0,0034 = e 2.630.000.000 = f 0,000000016 =

R24 Wat is het voordeel van het gebruik van een macht?

R25 Wat is het verschil tussen -2⁴ en (-2)⁴?

R26 Wat is het voordeel van gebruik van de SCI-notatie?

R27 Het getal 1,5∙10⁵ kun je het beste invoeren met 1,5E5. Geldt dat ook voor jouw rekenmachine?

R28 Wat was je score bij de toetsen van 1.10 en 1.11 ?

1.8 Basisbewerking worteltrekken.

Welk getal dat met zichzelf vermenigvuldigd wordt levert het getal 3 op?

Ofwel: getal× getal = 3 of getal² = 3

Dit getal schrijven we als 3 . (wortel 3 of vierkantswortel uit 3) Dus 3 × 3 = 3

Hoe groot is 3 als decimaal getal?

Bij benadering: 3 = 1,732050808

Het antwoord is per definitie positief. 4 = 2 1.7

1.10

1.11

(19)

Voorbeelden van wortels;

1) 9 =3 2) 2 9 =2×3 3) 3×7 = 3× 7 4) 4+9 ≠ 4+ 9 5)

7 3 7 3 =

6) a×7 = a× 7

7)

lengte van de zijde = 7 cm.

Ofwel afgerond op 2 decimalen: l = 2,65 cm.

Opgave 1.17 Eenvoudige wortels(1).

Geef het antwoord als exact getal, dus niet afgerond!

a 12 = 4× 3 =2 3 b 18 =

c 3 8 = d 24 =

Opgave 1.18 Eenvoudige wortels(2).

Maak eerst een schatting en controleer vervolgens met je rekenmachine.

Het antwoord moet afgerond worden op 3 decimalen a 23=

b 17 = c 2 10 = d − 34= e 34+ 12=

(20)

Opgave 1.19 Eenvoudige wortels met letters

Vereenvoudig en rond af op 2 decimalen.

a 6b = 6× b =2,45 b

b =

6 a

c =

3 20h

d 3 2x =

Opgave 1.20 Oefenen met vierkantswortel.

Wortels vereenvoudigen(H2) Wortels vermenigvuldigen(H2)

Doe voor beide onderwerpen een toets van 5 opgaven ( moeilijkheid:

gemakkelijk)

Neem enkele opgaven over in je werkschrift.

R29 Waarom mag het getal onder de wortel niet negatief zijn?

R30 Waarom is 3×7 = 3× 7? Waarom is 3+7 ≠ 3+ 7?

R31 Als a² = 7 dan kan a twee waardes hebben, nl. + 7 of − 7 Waarom is dat?

R32 -

R33 Wat was je score bij de toetsen van 1.12 ?

1.9 Volgorde van bewerken

De rekenmachines maken geen verschil tussen vermenigvuldigen en delen en tussen optellen en aftrekken.

Dus 6+3×2−4×2³ =6+6−32=−20

Wil je dat 6 + 3 eerst wordt uitgerekend dan moet je haakjes gebruiken.

((6+3)×2−4×2³ =18−32=−14

Veel fouten worden gemaakt bij een deling van een product, zoals 2

6 24

× Als je 24÷6×2 invoert gaat het fout!

Of je voert 24÷6÷2 in of ) 2 6 (

24

× 1.12

1.8

(21)

Opgave 1.21 Oefenen met volgorde van bewerkingen.

a 3+2×6= c 4×(6−2)+8= d −2a×4+3= e 8÷2×4−2=

1.10 Basisbewerkingen met kommagetallen.

Opbouw kommagetal.

Het getal 408 komma 915

408,915 = 4 × 100 + 0 × 10 + 8 × 1 + 9 × 0,1 + 1 × 0,01 + 5 × 0,01 spreek uit: “4 honderd acht komma 915”

Voorbeelden (+, -, × en / ) : 1) 24,4 + 814,9 = 839,3

2) 24,4 - 814,9 = - (814,9 – 24,4) = - 790,5

(22)

3)

Door onder elkaar te schrijven en ook weer op het laatst de komma te plaatsen.

4) 10

24 90 4 , 2

0 ,

9 = tellerennoemer×

Vermenigvuldig het deeltal en de deler met 10, 100, 1000 of hoger totdat beide geen komma meer hebben.

Voer vervolgens de staartdeling uit en plaats de komma zoals bij deling zonder kommagetal.

95 , 23 15 367 3 , 2

7 ,

36 = =

Denk aan de komma!

33 , 24 3 90 4 , 2

0 ,

9 = =

,

(23)

Opgave 1.22 Basisbewerkingen met kommagetallen (zonder ZRM)

Geef het antwoord tot 2 decimalen.

a 12,8× 560, =

c =

5 , 5

4 , 105

d 6,45−12,3= e 3,45+123,7=

Opgave 1.23 Oefenen met basisbewerkingen.

Extra oefening nodig voor rekenen

Ga naar WIMS home-site en kies de gewenste onderdelen.

R34 Als je 4,15 × 2,786 uitrekent krijg je een antwoord met 5 decimalen. Waarom is dat?

Hoeveel decimalen krijg je in het antwoord als je 4,1 × 2,7 berekent?

Hoeveel decimalen krijg je in het antwoord als je 4,10 × 2,700 berekent?

Wat is het verschil?

1.11 Getallen kleiner dan 1, procenten en breuken en delen.

045 , 0 3;

2 ; 1,2∙10^-3 ; 3%; 12 ‰ zijn allemaal getallen, kleiner dan 1.

Naamgeving voor de verschillende uitvoeringen:

23 3

2 of is de breuknotatie (spreek uit: ‘twee derde)

0,045 is een decimaal of komma-getal (spreek uit :‘0 komma 0 4 5”) 1,2∙10^-3 is de SCI- notatie (spreek uit: ‘1,2 maal 10 tot de macht -3’) 3 % betekent 3× het honderdste deel

12 ‰ betekent 12× het duizendste deel 1.9

1.13

(24)

625 , 8 0 5 = Breuken:

Het getal boven de streep is de teller en het getal onder streep is de noemer. De teller geeft het aantal aan en de noemer de soort.

De breuken in de figuur zijn gelijkwaardig.

) 3 ( 3

) 3 ( 2 3 2 3 2 24 16 12

8 6 4 3 2

2 2

+

= +

=

= a

a a

a zijn gelijkwaardig

De breuken in de figuur zijn gelijknamig.

9 ) ( 2 9

;9 9

;7 9

;5 9

2 ² a b

a en

aen − zijn gelijknamig

Als breuken gelijknamig zijn kun je ze beter optellen, af trekken en delen.

Je kunt het getal 8

5 zien als een breuk en als een deelsom.

8

5 als breuk 5 × 8

1 , met 5 als teller en 8

1 als soort

maar ook als deelsom van de deling 8

5 ofwel ‘hoe vaak past 8 in 5?’

Het getal 8 past 0,625 × in 5.

(25)

6 , 5 1 8 =

Omgekeerd : Het getal 5 past 1,6× in 8.

Voorbeelden van rekenen met breuken :

1) 28

6 4 3 7 2× =

Het vlak heeft 4 × 7 = 28 vlakjes.

Hiervan nemen we 3 van de 4 rijen, dat is 4 3.

Hiervan nemen we 2 van de 7 kolommen, dat is 28

6 .

4 3 7

2× betekent 2/7 nemen van 3/4 en dat is 28

6

2) 28

1 1 28 29 28 21 28

8 4 3 7

2+ = + = =

3) 28

13 28 21 28

8 4 3 7

2− = − =−

4) 21

8 2128

828 34

27

=

= of

5) 21

8 1212

821 43

34 43 27 34 27

=

× =

×

=

Als je de noemer vermenigvuldigd met 4/3 (het omgekeerde van 4/3) wordt de noemer gelijk aan 1.

Omdat de waarde hetzelfde moet blijven moet je ook de teller met 4/3 vermenigvuldigen.

Bij het delen door een breuk moet je dus vermenigvuldigen met het omgekeerde.

6) 49

4 7 ) 2 7

(2 ₂

2

2 = =

7)

7 2 7 2 =

(26)

Procenten:

19% BTW (belasting toegevoerde waarde) is het meest voorkomende tarief.

Als je een apparaat koopt van €200,- exclusief BTW moet je 19% van

€200,- aan belasting betalen.

19% = 19 ×1/100 stedeel = 19 × 100

200= 19 × 2 = €38,- of

19% van €200 = 0,19 × 200 = €38,- Omgekeerd is lastiger!

Als de prijs €238,- bedraagt incl. BTW dan betekent dit dat

€238,- = 119%

1% = 119

238 en 19% = 19×

119

238 = 238 38

119

19 × =

Dus de prijs zonder BTW = €200,-

Voorbeelden procentberekening:

1) 22% van 20 = 0,22 × 20 = 4,4

2) 20% van 10% van 70 = 0,20 × 0,10 × 70 = 1,4 3) Hoeveel % is 2,2 van 23,5.

0,0936 5

, 23

2 ,

2 = dus 2,2 = 9,36 % van 23,5

Opgave 1.24 Oefenen met breuken.

Schrijf antwoord als breuk, in meest eenvoudige vorm.

a × =

5 3 3 2

b + =

8 5 7 4

c − =

8 5 7 4

d =

23 47

e )³ = 3 (2

(27)

f = 9 4

Extra oefening nodig voor rekenen

Ga naar WIMS home-site en kies de benodigde onderdelen.

Opgave 1.25 Rekenen met procenten.

Geef de antwoorden in 2 decimalen.

a Een auto kost €13450,- incl. 19% BTW . Bereken het BTW- bedrag.

b De BTW bedraagt €12,23. (19%). Bereken de prijs incl. BTW.

c Je krijgt 5% korting op de prijs excl. BTW van een product dat

€100,- excl. BTW kost. Bereken de korting in % op de prijs incl.

BTW.

d In plaats van 19% hoef je maar 6% BTW te betalen en dat scheelt je toch mooi €12,-

Bereken de kostprijs van dit product incl. BTW ? e Van een voorraad van 20 liter moet je 12% opruimen.

Van wat er over blijft moet 3% gebruikt worden.

` Bereken het aantal liter dat gebruikt moet worden.

f De BTW (19%) bedraagt €12,23. Bereken de prijs excl. BTW.

WIMS -site:

Procentrekenen.

Voer de oefeningen uit die je nodig hebt.

WIMS-site:

Doe een toets in het op de juiste volgorde zetten van allerlei soorten getallen.

1.16

1.17 1.15

1.14

(28)

Opgave 1.27 Kleine getallen op een getallenlijn of schaalverdeling.

Op deze lijn liggen getallen tussen 0 en 1.

Bij de bovenste schaal is een verdeling gemaakt met stukjes van

‘0,1’ (‘1 tiende’)

Bij de onderste schaal is een stukje van 0,1 uitvergroot en verdeeld in stukjes van ‘0,01’ ( ‘1 honderdste’).

Het uitvergroten is gedaan om getallen te kunnen aflezen.

a Hoeveel keer is het stukje van 0 tot 0,1 uitvergroot?

b Neem het domein van 0,6 tot 0,7 en vergroot dit 10×.

Verdeel dit domein in 10 stukjes en zet de getallen erbij.

c Neem het domein van 0 tot 0,01 en vergroot dit 10×.

Verdeel dit domein in 10 stukjes en zet de getallen erbij.

d Geef in de schaalverdeling van c de plaats van het getal 0,0055 aan.

e Geef in de bovenstaande figuur op de bovenste schaalverdeling het getal 0,13 aan.

Opgave 1.28 Hoeveel geld levert je spaargeld op?

Je hebt een spaarrekening met een tegoed van Є1250,- Je krijgt een rente van 3,5% per jaar.

a Bereken je tegoed na 8 jaar.

b Na hoeveel jaar heb je meer dan Є300,- aan rente te goed?

(29)

Opgave 1.29 Rekenen met een percentage van een percentage.

In een magazijn is een voorraad kleurstoffen.

42 % van deze kleurstoffen wordt gebruikt in afdeling A.

In afdeling A wordt 55% van de kleurstoffen gebruikt voor bewerking1.

a Bereken het percentage van de totale voorraad die gebruikt wordt voor bewerking1.

b Bereken het aantal kg dat gebruikt wordt voor bewerking1.

c Hoeveel is 25% van 60%.

d Bereken 0,003 × 23.

e Bereken 24% van 0,4

f Bereken 10% van 30% van 200

g Bereken 50% van 50% van 50%. Maak hier een schetsje van.

h Bereken het tiende deel van het honderdste deel.

i Bereken 0,1 × 0,01.

j Bereken 0,2 × 0,03 k Bereken 20% van 0,03.

l Bereken 3% van 0,2 m Maak een schetsje van ¼.

n Laat met een schetsje zien dat

16 1 4 1 4

1× =

o Laat met een schetsje zien

4 2 4 1 4 1 + =

1.18

(30)

Opgave 1.30 Tandwielen en verhoudingsgetallen

Het grote tandwiel heeft 25 tanden, het kleine tandwiel 12 tanden.

Als het kleine tandwiel 1 tand verder gedraaid is geldt dat ook voor het grote tandwiel.

Het verzet bedraagt 12 25 .

Je kunt ook zeggen dat het aantal tanden van het grote wiel in verhouding tot het kleine wiel gelijk is aan 25 staat tot 12.

a Hoeveel tanden is het grote wiel verdraaid als het kleine wiel 1×

rondgedraaid is.

b Welk gedeelte of fractie van het grote wiel is dan verdraaid?

Bij een racefiets heeft het voortandwiel 54 tanden en het achtertandwiel 18 tanden.

c Bereken het verzet. Geef antwoord in breukvorm en decimaal.

d Hoeveel keer is het achterwiel rondgedraaid als het voortandwiel 1× rondgedraaid is?

e Hoeveel × meer tanden heeft het grote tandwiel meer dan het kleine tandwiel?

f Hoeveel × meer tanden heeft het kleine tandwiel meer dan het grote tandwiel?

1.1

(31)

Opgave 1.31 Schaalvergroting en verhoudingsgetallen.

Woonhuis en elektronica onderdeeltje zijn beide niet op ware grootte getekend. Het huis is getekend op een schaal van 1 : 400 (1 staat tot 400). Iedere cm is in werkelijkheid 400 cm. (verkleining = 400 ×) Het elektronica onderdeel is afgebeeld op een schaal van 4 : 1 . Iedere cm is in werkelijkheid ¼ cm. (vergroting = 4 × )

a Bereken de werkelijke hoogte van het huis via meting in de tekening.

b Bereken de werkelijke hoogte van het onderdeel.

c Bereken de vermenigvuldigingsfactor (k) bij een afbeelding op een schaal 50 :1.

d Bereken de vermenigvuldigingsfactor bij een afbeelding op schaal 1 : 25.

e De vermenigvuldigingsfactor (k) is 0,012 . Welke schaal hoort bij deze factor k?

Opgave 1.33 Energieomzetting en verhoudingsgetallen.

Een gloeilamp verbruikt elektrische energie (Eelek). Deze elektrische energie wordt in een gloeidraad in de lamp omgezet in warmte en licht.

Maar liefst 95% van de elektrische energie wordt omgezet in warmte en dat is dus verlies. Het gaat namelijk om het licht ,dat is de nuttige energie (Enuttig). De hoeveelheid energie wordt gegeven in joule (J).

Een lamp van 100 W (watt) verbruikt iedere seconde 100 J en geeft iedere seconde 5 J aan lichtenergie.

(32)

a Welk gedeelte van de gebruikte energie gaat verloren aan warmte?

Geef het antwoord als breuk, percentage en als decimaal getal.

b Het rendement is de verhouding tussen de nuttige energie en de verbruikte energie.

Bereken het rendement.

Geef antwoord in de vorm van een breuk en als percentage.

Opgave 1.34 Toepassen van breuken bij de klok.

a Bereken de helft van 1/4?

b Bereken 2/9 × 0,34.

c Bereken 25% van 50% van 1200.

d Welk gedeelte van de klok hoort bij het oppervlak tussen de kleine en grote wijzer?

e Welk gedeelte van de klok hoort bij 5 minuten verdraaiing van de grote wijzer?

f Welk gedeelte van de klok hoort bij een verdraaiing van de grote wijzer van 2.00 u tot 2.17 u?

g Waarom is 17/60 × oppervlak klok voor een uitleg beter dan 0,283

× oppervlak klok?

Opgave 1.35 Percentage, promillage, fractie van alcohol.

Lees eerst het artikel op het eind van deze opgave!

In onderstaand artikel is te zien dat een lichaam van 75 kg 45 liter water ( = 45 kg) bevat. Het massapercentage bij mannen is ongeveer 60 % of men zegt ook wel het waterpercentage is ongeveer 60 m%

(massaprocent).

a Bereken het gedeelte of fractie van de massa van het lichaam dat uit water bestaat. Geef het antwoord in de vorm van een breuk, een decimaal getal en in procenten.

1.19

1.2

(33)

b Bereken het gewicht van het water in een man van 60 kg.

c Bereken het massapercentage van het water in de bloedvaten en lymfevaten ten opzichte van alle water in een lichaam.

d Voor de berekening van het alcoholpromillage rekent men voor het waterpercentage bij mannen met 60 m% en bij vrouwen met 55m%

van het lichaamsgewicht. Het schijnt dat spierweefsel meer water bevat dan vetweefsel.

Bereken het lichaamsgewicht van een vrouw die evenveel water heeft dan een man van 80 kg.

e Een alcoholische consumptie bevat normaal gesproken 10 gram alcohol.

Bereken het alcoholpercentage na 3 consumpties bij een man van 75 kg.

f 1 procent (1%) betekent 1 per honderd (cent) 1 promille (1‰) betekent 1 per duizend (mille)

Welk promillage komt overeen met een percentage van 1 procent?

g Bereken het alcoholpromillage bij vraag e

Wettelijk mag je maximaal 0,5‰ alcohol in je bloed hebben als je een auto bestuurt.

Conclusie?

1.20

1.21

1.22

(34)

R35 3

2 kun je ook schrijven al 2 : 3

Soms is de ene schrijfwijze duidelijker dan de andere.

Geef van beide een voorbeeld met de beste schrijfwijze.

R36 0,666/6/ 3

2 = is een repeterende breuk, het aantal decimalen is oneindig groot. Geef nog enkele voorbeelden.

R37 Hoe kun je zonder rekenmachine bepalen welke van de twee breuken

5 4 of

6

5 de grootste waarde heeft?

R38 25% van iets is hetzelfde als ……….× iets 4 × zo klein is hetzelfde als ……….× zo groot.

R39 Wat was je score bij de toetsen van 1.20 t/m 1.22 ?

S1 Opbouw en naamgeving decimaal getal.

S2 Basisbewerkingen met gehele en kommagetallen, ook negatieve getallen.

S3 Haakjes wegwerken bij expressies.

S4 Notatie bij veranderingen met wiskundige notatie van toe- en afname volgens procesuitwerking.

S5 Wetenschappelijke notatie.

S6 Soorten getallen.

S7 Afspraken over volgorde van bewerken?

S8 Schrijfwijzen voor getallen <1?

S9 Basisbewerkingen met breuken.

S10 Procentberekening en verhoudingsgetallen.

1.1 1.10

(35)

2.1 Grootheden, eenheden en voorvoegsels.

In plaats van 0,002 L (liter) of 2∙10^-3 L kun je ook schrijven 2 mL (milliliter). Het voorvoegsel m staat voor 0,001× . ‘m’ is de eerste letter van het voorvoegsel milli.

Het voordeel hiervan is dat je een beter beeld krijgt van de grootte van een getal en dat je beter de nauwkeurigheid van een getal aan kunt geven. 0,00200 L heeft dezelfde nauwkeurigheid als 200 mL. Het laatste getal geeft aan dat het volume tot op 1 mL nauwkeurig is.

In onderstaande tabel zijn de belangrijkste voorvoegsels te zien.

Voorbeelden:

1) 2 mm = 0,002 m (meter)

2) 3,4 μL = 0,0000034 L of 3,4∙10^-6 L (liter) 3) 23 GW = 23.000.000.000 W of 23∙10⁹ W (Watt)

De voorvoegsels worden geplaatst voor de eenheid van een fysische (natuurkundige) , chemische (scheikundige) of biologische grootheid.

2 Eenheden, isoleren en afronden

(36)

Een grootheid heeft net als zijn eenheid een symbool.

De grootheid elektrische spanning heeft als symbool U en als eenheid de volt, die het symbool V heeft.

In woorden : De spanning heeft een waarde van 230 kV.

Alle grootheden en eenheden met symbolen staan vermeld in tabellenboeken, zoals BINAS is. Ook op internet zijn talloze overzichten te vinden.

Internationaal zijn afspraken gemaakt over het gebruik van eenheden.

In het SI-systeem (Système International) zijn alle basisgrootheden en basiseenheden vastgelegd.

Alle andere grootheden en eenheden zijn van deze basiseenheden afgeleid en worden dan ook afgeleide eenheden genoemd.

Voorbeelden hiervan zijn m², m³ en m/s.

Op de hiernaast vermelde internetsite van Wikipedia staan ze allemaal.

In Engelstalige landen als de USA en UK wordt ook nog erg veel gebruik gemaakt van Angelsaksische eenheden, zoals inch en pound.

Hieronder staan enkele veel gebruikte grootheden met de bijbehorende eenheden.

grootheid / eenheid beschrijving voorbeeld Lengte (l) / meter(m)

1 km =1000 m 1 m = 1000 mm

Hiermee kun je grootte van een voorwerp aangeven.

Hoogte, breedte, dikte, diameter ,straal zijn lengtematen.

Schaalverdeling met mm en cm.

2.1

(37)

Massa (m) / kilogram (kg)

1 kg = 1000 g 1 g = 1000 mg

Hiermee kun je de hoeveelheid

materiaal aangeven.

De massa bepaal je met een weegschaal of balans.

Dit pak bevat 1 kg melk.

Volume (V) /eenheid m³

1 m³ = 10³ liter(L) 1 dm³ = 1 L 1 cm³= 1 mL 1 cc = 1 cm³ (cubic centimeter)

Hiermee wordt de ruimte aangegeven die een stof of voorwerp inneemt.

Men spreekt ook wel over de inhoud van een voorwerp.

Dit glas bevat 300 mL bier.

Tijd (t) seconde (s) 1 minuut (min) = 60 s 1 uur (h) = 60 min 1 dag = 24 uur

Hiermee wordt een periode aangegeven

Dit horloge geeft de tijd aan in uren, minuten en

secondes.

Opgave 2.1 Eenheden en voorvoegsels.

Maak de volgende eenhedenconversies:

Geef het antwoord zowel wetenschappelijk als decimaal.

a 4,25 mg = 0,00425 g of 4,25∙10^-3g b 4,25 mg = kg

c 4,0·10³ g = kg d 2,30 L = mL e 60 μL= L f 40 ms = s g 1,25 h = min h 0,56 h = s i 2 kV = V j 3 mA = A

(38)

Opgave 2.2 Oefenen met eenheden en voorvoegsels.

1. Lengte eenheden omzetten.

5. Oefenen met SI-voorvoegsels.

18. Rekenen met tijd II 19. Eenheid massa.

Neem van ieder onderdeel enkele opgaven over in je werkschrift.

Opgave 2.3 Voorvoegsels en macht van ‘10’

Welk voorvoegsel en symbool of welke macht van 10 hoort hier bij?

a milli = 10^-3 b mega = c 10³ = d 10^-6 = e μ =

f atto =

g deci = h 10¹² = i 10^-9 = j p =

Opgave 2.4 Oefenen met voorvoegsels.

5. Oefenen met SI-voorvoegsels.

10. Rekenen met SI-voorvoegsels.

11. Omrekenen van SI-voorvoegsel.

Neem van ieder onderdeel enkele opgaven over in je werkschrift.

Opgave 2.5 Grootheden, eenheden en symbolen.

Welk grootheid, eenheid of symbool hoort hierbij?

Gebruik BINAS of Wikipedia site.

a eenheid meter (m) hoort bij grootheid lengte (l)

b grootheid massa (m) heeft als eenheid kilogram (kg) c eenheid seconde ( ) hoort bij grootheid ( ) d eenheid ( ) hoort bij grootheid spanning ( )

e eenheid ampère ( ) hoort bij grootheid ( ) f eenheid gram ( ) hoort bij grootheid ( )

g grootheid hoeveelheid materiaal ( ) heeft als eenheid ( ) h grootheid ( ) heeft als eenheid (L)

12. Zoek de goede SI-eenheid.

2.1

2.2

2.3

(39)

Opgave 2.7 Gebruik van online coversieprogramma.

Converteer de volgende waardes. Gebruik online conversieprogramma.

a 3 km = 3000 m of 3∙10³ m b 60 μm = m of

c 70 MJ = J of d 50 mJ = J of e 4,75 kg = g of

f t = 2,78 min= s of g F = 100 kN = N of h V = 250 mL= L of i 250 mL = L j 20 ⁰C = K k 8,5 kW = W Opgave 2.8 Data, opslag en communicatie

Data of gegevens worden ingevoerd of gemeten en omgezet in een binaire code met de cijfers ‘0’ en ‘1’ en als bestand of file verstuurd naar allerlei randapparatuur zoals geheugen, beeldscherm, printer en modem.

Je kunt hierbij denken aan een draadje waar eventjes wel (1) of geen (0) stroompje door gaat. Bij data kun je denken aan plaatjes, filmpjes, geluidsfragmenten, stukjes tekst, etc….

Er zijn allerlei manieren van ‘inpakken’ van bestanden. Tekens en letters worden meestal omgezet in een code van 8 ‘nullen en enen’.

Men noemt dit een byte (B). Een ‘0 ‘ of een ‘1’ noemt men een bit (b), dit is de afkorting van ‘binary digit’. Een byte (B) is 8 bits. (1B = 8 b) Voorbeeld : de letter ‘a ‘ heeft de code ‘01000001’.

Ieder bestand heeft een extensie zoals .doc , .bmp .jpeg , .gif , .mpeg, .mov , .wav , .mp3

Ook bij metingen van bijvoorbeeld temperatuur of druk wordt de gemeten waarde omgezet in een binaire code. Hiervoor gebruikt van een ADC-converter (een analoog naar digitaal omvormer).

Alle gecodeerde data kan opgeslagen worden.

Op een CD kan 650∙10⁶ bytes opgeslagen worden.

650∙10⁶ bytes wordt meestal geschreven als 650 MB.

Een DVD kan 4,7 GB aan data bevatten.

De volgende tekst heeft betrekking op de snelheid waarmee data via internet in je computer komt:

“van 512 kbps downstream (van het internet naar uw pc) en 128 kbps upstream (van uw pc naar het internet)”

Met kbps bedoeld men kilobits per seconde.

2.2

(40)

Voorbeeld van een map in met verschillende bestanden :

a Een letter of teken kan opgeslagen worden met één byte.

Hoeveel geheugenruimte heb je nodig voor een tekst van 1000 tekens. Geef het antwoord in B en b.

b Een kleurenplaatje heeft de extensie .bmp. (bitmap). Voor iedere pixel wordt een code gebruikt van 24 b.

Bereken het aantal bytes geheugen dat nodig is om een plaatje van 600 x 800 pixels op te slaan.

c Bereken het aantal kilobytes (kB) dat nodig is voor dit plaatje van 600x800 pixels.

d Bereken de tijd die nodig is om een plaatje van 2,3 MB te downloaden bij een transmissiesnelheid van 512 kbps.

e In een map van Windows staat een geluidsbestand (.mp3) van 6 MB. Bereken hoeveel van dit soort mp3-files opgeslagen kunnen worden op een CD van 560 MB.

f Het promotiefilmpje eos_preview neemt 2600 kB geheugen in beslag. Bij het afspelen in mediaplayer staat de afspeelsnelheid afgebeeld. Deze is 150 kbits per seconde.

Bereken de afspeeltijd van dit filmpje.

g afbeelding 100_0903.jpg is een digitale foto zoals opgeslagen op een geheugenkaartje van de digitale camera. De resolutie is 1656

×1242 (pixels) en hiervoor is 1 MB geheugenruimte nodig.

Plaatje rotatiepers.jpg is een foto die op een internetsite geplaatst is.

Deze heeft een resolutie van 222 × 350 en neemt 71 kB in beslag.

Bereken in beide gevallen hoeveel geheugen er per pixel nodig is.

Opgave 2.9 Oefenen met voorvoegsels computerbestanden.

16. Omrekenen van bytes.

R1 De letter ‘m’ wordt zowel gebruikt voor de grootheid ‘massa’ en de eenheid ‘meter’ en het voorvoegsel ‘milli’.

Laat m.b.v. een voorbeeld zien, hoe je duidelijk aan kunt geven waar het over gaat.

R2 Beschrijf het verschil tussen de basiseenheden van het SI-stelsel en de afgeleide eenheden. Geef enkele voorbeelden.

R3 Een veel gemaakte fout: 1,23 min = 1 min en 23 s.

Welke fout wordt hier gemaakt?

2.1 2.4

(41)

R4 De eerder genoemde procesuitwerking komt hier duidelijk aan de orde. Laat met een voorbeeld zien wat met deze manier van uitwerken bedoeld wordt.

R5 Een tekening is vaak een goed begin van de oplossing.

Bedenk een opgave die bij bovenstaande tekening hoort.

R6 Tussen 1000× en 1.000.000× is geen voorvoegsel beschikbaar.

Hoe los je dit op? Geef voorbeelden.

R7 Welke problemen deden zich voor bij het oefenen op de WIMS- site? Geef voorbeelden van gemaakte fouten.

Opgave 2.10 Het getal π.

Wielen, cilinders, overbrengingen, katrollen, bollen, ballen, vaten, tonnen, flessen, waar kom je geen cirkels tegen.

Het is een bijzonder figuur. Al in tijd van de Egyptenaren (2000 voor Christus) werd onderzoek gedaan naar de bijzondere eigenschappen.

De middellijn (diameter) van de cirkel past iets meer dan 3× op de omtrek. In de figuur is een touwtje gespannen om een cirkel. Het touwtje is doorgeknipt en de lengte is gemeten.

2.3 2.5

(42)

Het touwtje bleek 3,14× zo lang te zijn als de diameter. Het getal was niet exact te bepalen. Dit onmeetbare getal wordt π (pi) genoemd.

Iedere rekenmachine heeft een π-toets.

Wiskundigen hebben het getal steeds nauwkeuriger bepaald, 20 decimalen in 1600, 100 decimalen in 1985 en met hulp van computers tot 1,24 biljoen ( 1,24∙ 10¹²) cijfers achter de komma.

a Bereken de omtrek van een fles, die een diameter heeft van 10 cm.

b Hoe groot zal de omtrek zijn als de diameter 5,0 cm is?

c Bereken de lengte (l) van een draad van een spoel met 10 windingen. De diameter is 50 mm.

d Bedenk zelf een formule om de lengte (l) van een draad van een spoel uit te rekenen. De spoel heeft n windingen en een diameter d.

Bereken met deze formule de lengte die nodig is om een spoel te maken van 100 windingen met een diameter van 70 mm.

R8 De formule bij vraag d moest zijn: l=n⋅π⋅d Beschrijf in eigen woorden de betekenis van deze formule.

R9 Welke eenheid hoort bij l als je voor d de eenheid ‘cm’ neemt?

Wat moet je doen om l uit te rekenen in ‘m’.

2.2 Afgeleide eenheden voor oppervlakte.

Een vlakje van 1 dm bij 1 dm heeft een oppervlak van 1 vierkante dm.

ofwel:

1dm × 1dm = 1 dm² of :

1dm × 1dm = 10 cm × 10 cm = 100 cm² andersom:

1cm × 1cm = 1 cm² of :

1cm × 1cm = 0,1 dm × 0,1 dm = 0,01 dm²

In 1 vierkante decimeter passen 100 vierkante centimeters.

In 1 vierkante centimeter past 0,01 vierkante decimeter.

(zie afbeelding) 2.2

2.6

(43)

Van dm →cm betekent × 10

Van dm² →cm² betekent × 100 (=10²) Van cm →dm betekent × 0,1

Van cm² →dm² betekent × 0,01 (=10^-2) 2,3 dm² = 230 cm²

2,3 cm² = 0,023 dm²

Op dezelfde manier kun je ook van km² naar mm² en omgekeerd.

Tussen km en mm zit een factor 1.000.000 of 10⁶. Tussen mm en km zit een factor 0,000001 of 10^-6. Tussen km² en mm² zit dus een factor 1.000.000² of 10¹². Tussen mm² en km² zit dus een factor 0,000000000001 of 10^-12. Hieronder staan de vermenigvuldigingsschalen voor lengte- en oppervlakte-eenheden.

Enkele voorbeelden:

1) 2 km = 20.000 dm of 2 km = 2∙10⁴ dm

2) 4,56 μm = 4,56 × 0,000001 m of 4,56 μm = 4,56∙10^-6 m 3) 3,4 mm² = 0,000000000001 × 3,4 = 0,0000000000034 km² of 3,4 mm² = 3,4∙10^-12 km²

4) 2∙10^-3 m² = 10.000 × 2∙10^-3 = 20 cm²

(44)

Opgave 2.11 Converteren van lengte- en oppervlakte-eenheden (1).

De rechthoek heeft een lengte (l) van 20 cm en een breedte (b) van 5,0 cm

a Bereken de omtrek in m.

b Bereken de oppervlakte in mm². c Bereken de oppervlakte in m². d Bereken de oppervlakte in hm². e Bereken de lengte in μm.

Opgave 2.12 Converteren van lengte- en oppervlakte-eenheden (2)

De cirkel heeft een diameter (d) van 10 cm.

a Bereken de omtrek in mm.

b Bereken de omtrek in km.

c Bereken de oppervlakte van de cirkel in m². d Bereken de oppervlakte van de cirkel in μm².

e Een draad is 20 × om een as (d = 10 cm) gewikkeld. Bereken de lengte van de draad.

Opgave 2.13 Oefenen met voorvoegsels oppervlakte-eenheden.

14. Oppervlakte eenheden omrekenen (basis).

R10 Vermenigvuldigen met 0,001 is hetzelfde als delen door 1000.

Laat met een voorbeeld zien dat dat inderdaad zo is.

R11 Een cirkel met een 2× zo grote diameter heeft een 4× zo groot oppervlak. Leg uit met voorbeeld.

R12 Een cirkel met een 2× zo grote diameter heeft een 2× zo grote omtrek. Leg uit met voorbeeld.

R13 Bij omzetten van μm² naar m² wordt vaak als factor 0,000001 genomen. Wat gaat hierbij fout?

2.3 2.7

(45)

2.3 Afgeleide eenheden voor volume.

Een kubus van 1 dm bij 1 dm bij 1 dm heeft een volume van 1 kubieke dm.

ofwel:

1 dm × 1dm × 1dm = 1 dm³ of :

1dm × 1dm × 1dm = 10 cm × 10 cm × 10 cm = 1000 cm³ andersom:

1cm × 1cm × 1cm = 1 cm³ of :

1cm × 1cm × 1cm = 0,1 dm × 0,1 dm × 0,1 dm = 0,001 dm³ In 1 kubieke decimeter passen 1000 kubieke centimeters.

In 1 kubieke centimeter past 0,001 kubieke decimeter.

(zie afbeelding)

Van dm →cm betekent × 10

Van dm³ →cm³ betekent × 1000 (=10³) Van cm →dm betekent × 0,1

Van cm³ →dm³ betekent × 0,001 (=10^-3) 2,3 dm³ = 2300 cm³

2,3 cm³ = 0,0023 dm³

Op dezelfde manier kun je ook van m³ naar cm³ en omgekeerd.

Tussen m en cm zit een factor 100 of 10². Tussen cm en m zit een factor 0,01 of 10^-2. Tussen m³ en cm³ zit dus een factor 100³ of 10⁶. Tussen cm³ en m³ zit dus een factor 0,000001 of 10^-6. In plaats van 1 dm³ wordt vaak 1 liter (L) gebruikt.

Hieronder staan de vermenigvuldigingsschalen voor de volume- eenheden.

2.1

(46)

Enkele voorbeelden:

1) 2 dm³ = 2.000.000 mm³ of 2 dm³ = 2∙10⁶ mm³

2) 4,56 mm³ = 0,00000000456 m³ of 4,56 mm³ = 4,56∙10^-9 m³ 3) 3,4 mL = 0,001 × 3,4 L = 0,0034 L

of 3,4 mL = 3,4∙10 ^-3 L 4) 2 L = 100 × 2 cL = 200 cL

Opgave 2.14 Converteren van oppervlakte- en volume-eenheden (1).

De balk heeft een lengte (l) van 10 cm, een breedte (b) van 5 cm en een hoogte (h) van 3 cm

a Bereken het volume in dm³.

b Bereken de totale oppervlakte in cm². c Bereken het volume in mL.

d Bereken het volume in L van een balk die 2× zo lang is.

Opgave 2.15 Converteren van oppervlakte- en volume-eenheden (2).

De cilinder heeft een diameter van 10 cm en een hoogte van 15 cm.

Vcilinder = ‘oppervlakte cirkel × hoogte’.

a Bereken het volume in mL.

b Bereken de omtrek in mm.

c Bereken de totale oppervlakte van de cilinder in m². d Bereken het volume in m³.

e Een cilindervormig vat heeft dezelfde afmetingen en is met water gevuld tot een hoogte van 8 cm.

Bereken de hoeveelheid water in het vat in mL.

15. Inhoudsmaten omrekenen (basis).

2.8