a) Limiet voor x  a

Limieten

1) Definities

a) Limiet voor x  a

In het hoofdstuk rationale functies in het begin van dit schooljaar zagen we reeds dat zulke functies soms perforatiepunten hebben.

De functiewaarde in zo’n punt bestaat niet, maar de grafiek lijkt er wel door te gaan. Je ziet een voorbeeld op de grafiek rechts, met een functie f die een perforatiepunt heeft in

^P   ^{1, 2}

^.

We zagen reeds dat we dit noteren als

 

lim

1

2

x

f x





.

(merk op dat

f   1

niet bestaat, omdat 1 dom f ).

We bekijken een rij originelen

  x

n waarvoor geldt dat lim _n 1

n x

  . Wat doet de beeldrij

 f x  

n



?

x ^{f x}  

Dit is uiteraard het resultaat dat we verwachtten: de beeldrij convergeert

naar 2. Maar geldt dit voor alle rijen van originelen die convergeren naar 1?

Het is dit dat we gaan formuleren als definitie van (eindige) limiet.

1,1 1,9490 1,01 1,9950 1,001 1,9995 1,0001 1,9999

1 2

De limiet van een functie f voor

x

gaande naar

a  ℝ

is gelijk aan

b  ℝ

als en slechts als voor elke rij van originelen

  x

n uit het domein van f die naar

a

convergeert, de beeldrij

 f x  

n



convergeert naar

b

.

In symbolen:

^lim

x a

f x   b   x

n

dom f ^{: lim}

n

x

n

a

n

^lim f x  

n

b



   



 





(met de notatie

  x

_n

 dom f

bedoelen we uiteraard dat

  n

^ℕ₀

: x

_n

 dom f

) Deze definitie blijft gelden als de beeldrij

 f x  

n



divergeert naar



of .

Je kan echter ook het begrip limiet van een functie definiëren zonder gebruik te maken van limieten van rijen. Dit is grafisch heel makkelijk in te zien:

 

0 0

 

lim , , : 0

x a

f x b 

^



^

x dom f x a  f x b 



    ℝ   ℝ        

In woorden: ‘Hoe klein je een marge op de y-as (



) ook kiest, je kan altijd een marge op de

x

-as (



) kiezen zodat alle functiewaarden van

x

-waarden die dichter dan



bij

a

liggen (behalve

a

zelf), dichter dan



bij

b

zullen liggen.

Linker- en rechterlimieten

We bekijken eens de grafiek van de functie ^{f x}

 

^{4 Bgtan 1 1}



x

    

  ^.

Deze functie gedraagt zich zeer eigenaardig in de buurt van

0

x 

. Het is duidelijk dat

 

lim

0

x

f x

 niet bestaat, want alle beeldrijen die convergeren naar

0

van negatieve originelen zullen naar 1 convergeren terwijl alle zulke rijen van positieve originelen naar

3

zullen convergeren. We noemen dit respectievelijk de linkerlimiet en de rechterlimiet van deze functie voor

x

gaande naar

0

.

We kunnen dit ook algemeen definiëren:

De linkerlimiet van een functie f voor

x

gaande naar

a  ℝ

is gelijk aan

b  ℝ

als en slechts als voor elke strikt stijgende rij van originelen

  x

n uit het domein van f die naar

a

convergeert, de beeldrij

 f x  

n



convergeert naar

b

.

In symbolen: ^lim

   

n ^,

 

n ^{: lim} n ^lim

 

n

x a f x b x dom f x a n x a n f x b

          

De rechterlimiet van een functie f voor

x

gaande naar

a  ℝ

is gelijk aan

b  ℝ

als en slechts als voor elke strikt dalende rij van originelen

  x

n uit het domein van f die naar

a

convergeert, de beeldrij

 f x  

n



convergeert naar

b

.

In symbolen: ^lim

   

n ^,

 

n ^{: lim} n ^lim

 

n

x a f x b x dom f x a n x a n f x b

          

Deze definities blijven gelden als de beeldrij

 f x  

n



divergeert naar



of . Ook hier kunnen we deze limieten definiëren zonder het over rijen te hebben:



lim  

0

,

0

, :  

x a

f x b   x dom f a  x a f x b 



 



    ℝ   ℝ        



lim  

0

,

0

, :  

x a

f x b   x dom f a x a  f x b 



 



    ℝ   ℝ        

b) Limiet voor x  

Volledig analoog aan het voorgaande komen we tot de volgende definities:

De limiet van een functie f voor

x

gaande naar



is gelijk aan

b  ℝ

als en slechts als voor elke rij van originelen

  x

n uit het domein van f die naar



divergeert, de beeldrij

 f x  

n



convergeert naar

b

.

In symbolen:

^lim    

_n

^{: lim}

_n

^lim  

_n

x

f x b x dom f

n

x

n

f x b



   



  





Dit gaat uiteraard volledig analoog voor

x  

. Deze definities blijven gelden als ook de beeldrij

 f x  

n



divergeert naar



of .

En ook hier kunnen we deze limieten definiëren zonder het over rijen te hebben:



lim  

0

,

0

, :  

x

f x b 

^

r

^

x dom f x r f x b 



    ℝ   ℝ      



lim  

0

,

0

, :  

x

f x b 

^

r

^

x dom f x r f x b 



    ℝ   ℝ      

2) Eigenschappen voor limieten van functies

a) Limieten van bewerkingen van functies

We hebben alle rekenregels die volgen al bewezen in het hoofdstuk rijen. Dat deze blijven gelden voor limieten van functies volgt onmiddellijk uit de (rij-)definities van deze limieten. We verkrijgen zo de gekende eigenschappen (op voorwaarde dat de limieten waarvan sprake bestaan en zinvol zijn).

Voor alle functies f en g, alle reële getallen r  ℝ en alle natuurlijke getallen

n 

^ℕ₀ geldt:



^lim

_xa

 ^{f x}   ^{ g x}    ^{ lim}

_xa

^{f x    lim}

_xa

^{g x  }



^lim       ^lim   ^{. lim}  

x a

f x g x

x a

f x

x a

g x



 

 



^lim

_xa

 ^{r f x }    ^{  r lim}

_xa

^{f x  }



 

 

 

 

lim

lim lim

x a x a

x a

f x f x

g x g x







 

 

 

  (op voorwaarde dat

^lim   ⁰

x a

g x







^lim

x a

  f x   

ⁿ

  ^lim

x a

f x ^{ } 

ⁿ







 ^limn

 

^nlim

 

x a f x x a f x

  

Ook de rekenregels voor oneindige limieten die we zagen in het hoofdstuk rijen blijven hier uiteraard gelden.

b) Basislimieten

Uit de definitie van limieten van functies volgen ook onmiddellijk de volgende basislimieten:

 lim

x ac c

  (met

c  ℝ

)

 lim

x ax a

 



lim

^{n n}

x a

x a





(met

n 

^ℕ₀)

 1 1

lim

x^a x a



lim

^{n n}

x a

x a





(met uiteraard a ℝ^ als

n

even is).

c) De insluitstelling(en)

Bij rijen hebben we de insluitstelling bewezen. Ook hier blijft deze stellingen uiteraard gelden, samen met twee heel eenvoudige hulpstellingen:

 Als

  ℝ x

, met

0    x a 

geldt dat

^{f x}   ^{ g x}  

^{, dan zal}

^lim   ^lim  

x a

f x

x a

g x







 Als

  ℝ x

, met

0    x a 

geldt dat

^{f x}   ^{ g x}  

^{, dan zal}

^lim   ^lim  

x a

f x

x a

g x







 Als

  ℝ x

, met

0    x a 

geldt dat

^{g x}   ^{ f x}   ^{ h x}  

^{, en}

^lim   ^lim  

x a

g x

x a

h x







dan zal ook

^lim   ^lim   ^lim  

x a

g x

x a

f x

x a

h x









 (dit heet ook de insluitstelling voor functies)

3) Rekenregels voor limieten van functies

Afspraak: de notatie lim

xis een korte notatie voor twee limieten: lim

x en lim

x.

a) Limieten van veeltermfuncties

Stel dat

f x    c x

_n ⁿ

 c

_n1

x

^n1

  ... c x

2 ²

 c x c

1



0, met

c

_n

 0

, dan geldt:



^lim    

x a

f x f a





(de functiewaarde berekenen)



^lim   ^lim

n ⁿ

x

f x

x

c x





 (de limiet van de hoogstegraadsterm) Bewijs: 

^lim

_xa

^{f x}   ^{ lim}

_xa

 ^{c x}

^{n n}

^{ c}

^n1

^x

^n1

^{  ... c x}

^{2 2}

^{ c x c}

¹

^

⁰



 

1 ¹

...

2 ² 1 0

 

lim

eig

n n

n n

x a f x

c a c a c a c a c f a





 



    



lim   lim 

_n ⁿ _n 1 ^{n 1}

...

2 ² 1 0



x

f x

x

c x c

_

x

^

c x c x c







    

 

 

1 2 1 0

2 1

1

lim 1 ...

lim lim 1 lim

lim

n n

n n n n

x n n n n

eig

n n

x n x

n x

x

c c c c

c x c x c x c x c x

f x

f x c

c x c x



 





 





  

        

   ... ²_{n 2}

n

c c x ^

  ¹_{n 1}

n

c c x ^

 ⁰_n

n

c

 c x lim _n ⁿ

x c x



 

 

 

 

Voorbeelden: *

^{lim 6}

_x2

 ^x

²

^{ 10 x  3}  ^{ 6.2}

²

^{ 10.2 3 1  }

* _x

^lim

_

 ^x

²

^{ 10 3  x}

³

 ^

_x

^{lim 3}

_

^{ x}

³

^{ }

b) Limieten van rationale functies

Stel dat

   

 

1 2

1 2 1 0

1 2

1 2 1 0

...

...

n n

n n

m m

m m

T x a x a x a x a x a

f x N x b x b x b x b x b









    

 

     , dan geldt:

 Als

^{N a }   ⁰

^:

   

lim

 

x a

f x T a

  N a (de functiewaarde berekenen)

 Als

^{N a}   ^{  0 T a}   ^{ 0}

dan heeft de functie een verticale asymptoot

x  a

. Om de linker en rechterlimieten voor

x  a

te berekenen (altijd



of ) is een tekentabel nodig.

 Als

^{N a}   ^{  0 T a}   ^{ 0}

dan kan je met het algoritme van Horner de graad van de teller en de noemer verlagen. Je krijgt dan een nieuwe eenvoudigere limiet.

   

lim lim

Horner

x a x a

x a



f x



   

 

' 1 ' 2 ' 2 ' '

1 ⁿ 2 ⁿ

...

2 1 0

n n

a x a x a x a x a

x a

 







   

  ^b

^m'1

^x

^m1

^{ b}

^m'2

^x

^m2

^{  ... b x}

^{2' 2}

^{ b x b}

^1'

^

^0'





^lim   ^lim

ⁿ _mⁿ

x x

m

f x a x







b x

(de limiet van het quotiënt van de hoogstegraadstermen) Bewijs: volgt uit de eigenschappen van limieten en de rekenregels voor limieten van veeltermen.

Voorbeelden: *

2 2

2 2

2

12 3 6 12.2 3.2 6 48

lim 48

1 5 3 1 5.2 3.2 1

x

x x

x x



   

   

    

*

 

     

1 2 1 1

0

0

1 .3

3 3 3 3

lim lim lim 1

2 1 . 2 2 3

x x x

x x

x x x x x

  

     

    

*

2

1 2

3 2 1

li

4

m

0

2

x

x x

x x



      

   

^ tekenonderzoek

 2 1

1 3

1



2

2

3 2 1

2

x x

x x

 

  ^{+ | - 0 + 0 - | +} Dus

2

1 2

3 2 1

lim

^x

2

x x

x x



 

   

^en

2

1 2

3 2 1

lim

^x

2

x x

x x



 

   

*

2 2

2 2

12 3 6 12

lim lim 4

1 5 3 3

x x

x x x

x x x

 

 

  

  

* 5 3₂ 3 ₂

lim lim 0

1

x x

x x

x x

 

  

 

4) Asymptoten

In het hoofdstuk rationale functies van de cursus elementaire functies stonden we al even stil bij het begrip asymptoot. We kunnen dit begrip nu ook beter definieren aan de hand van limieten.

a) Definities

Verticale asymptoten

De (grafiek van een) functie f heeft een verticale asymptoot (VA) met vergelijking

x  a

als en slechts als: ^lim_{x a} ^{f x}

 

   of ^lim_{x a} ^{f x}

 

   of ^lim_{x a} ^{f x}

 

   of ^lim_{x a} ^{f x}

 

  .

Verticale asymptoten kunnen enkel voorkomen op de grens van het domein van een functie, aangezien een functiewaarde niet oneindig kan zijn.

Voorbeeld: De functie

  ⁵

2 3 f x x

x

 



heeft een VA 3

v x 2, want:

3 2

lim 5 2 3

x

x

 x



  

 ^{en 3 2}

lim 5

2 3

x

x



x



  



 5

3 2 

5 2 3

x x



 ^{+ 0 - | +} Horizontale asymptoten

De (grafiek van een) functie f heeft een horizontale asymptoot (HA) met vergelijking yb als en slechts als:

^lim  

x

f x b





of

^lim  

x

f x b





.

Voorbeeld: De functie

  ⁵

2 3 f x x

x

 



heeft een HA 1

h y 2, want: 5 1

lim 2 3 2

x

x

 x

 



Schuine asymptoten

De (grafiek van een) functie f heeft een schuine asymptoot (SA) met vergelijking

y  mx  q

als en slechts als:_x

^lim

_

 ^{f x}    ^{ mx  q}   ^{ 0}

^of _x

^lim

_

 ^{f x}    ^{ mx  q}   ^{ 0}

^.

Om schuine asymptoten te berekenen kunnen we een beroep doen op de formules van Cauchy:

Stelling: Als

y  mx  q

een SA is van f , dan is

 

xlim m f x

 x

 en

^{q }

_x

^lim

_

 ^{f x}   ^{ mx} 

^.

Bewijs:  _x^lim



^{f x}

  

^{mx q}

 

⁰ _x^lim



^{f x}

 

^{mx q}



_x^{lim 1 0}

         x 

   

  ^{li  }

lim 0

m

x f x mx q x

f x q

x m x

   





   

0 lim

x

m f x



x

 

  

 

 

 _x

^lim

_

 ^{f x}   ^{ mx q }  ^{   0 q}

_x

^lim

_

 ^{f x    mx} 

^□

Voorbeeld: De functie

  ⁴

²

⁵

2 3 f x x

x

 



heeft een SA s y 2x3, want:

 

²

2

4 5

lim lim 2

2 3

x x

f x x

m

^

x

^

x x

   



^en

   

^{4 2 5 6 5}

lim lim 2 lim 3

2 3 2 3

x x x

x x

q f x mx x

x x

  

   

        

Merk op dat je deze schuine asymptoot nog steeds kan berekenen met behulp van een Euclidische deling. De formules van Cauchy zullen vooral handig blijken bij andere soorten functies.

5) Continuïteit

a) Definitie

Een functie f heet continu in adom f als en slechts als

^lim    

x a

f x f a





( f is dus discontinu in een punt adom f als

^lim    

x a

f x f a





of als

^lim  

x a

f x

 niet bestaat.) Een functie f heet linkscontinu in adom f als en slechts als ^lim_{x a} ^{f x}

 

^{f a}

 

 

Een functie f heet rechtscontinu in adom f als en slechts als ^lim_{x a} ^{f x}

 

^{f a}

 

 

Een alternatieve definitie voor continuïteit (‘zonder’ limieten) kan als volgt gegeven worden:

f is continu in a  



ℝ0^, 



ℝ^0, x dom f : x a  



f x

 

 f a

 





_. Merk op dat we continuïteit enkel definiëren voor punten in het domein van de functie.

Bij uitbreiding heet een functie continu f in een interval

  ^{a b ,  dom f}

als en slechts als ze rechtscontinu is in

a

, linkscontinu in

b

en continu in alle punten van

  ^{a b ,}

^.

b) Eigenschappen

Uit de definitie van continuïteit en de eigenschappen van limieten van functies volgen onmiddellijk de volgende eigenschappen:

 Als f en g continu zijn in

a

, dan zijn ook f g, f g en f g continu in

a

.

 Als f en g continu zijn in

a

, en

^{g a }   ⁰

, dan is ook f

g continu in

a

.

 Als f continu is in

a

en g is continu in

^{f a}  

, dan is ook g f continu in

a

.

 Als f continu is in

a

dan is f^1 continu in

^{f a}  

(op voorwaarde dat

^{f a}   ^{ dom f}

^1).

Met andere woorden: bijna alle functies die wij kennen zijn continu in hun domein. Dat geldt voor veeltermfuncties, rationale functies, irrationale functies, goniometrische functies, cyclometrische functies (en ook exponentiële en logaritmische functies).

Een voorbeeld van een functie die niet continu is een punt van haar domein is de signumfunctie waarvan je hiernaast de grafiek ziet. Deze is overal continu behalve in

0

, want

^f   ^{0  0}

^maar

 

lim sgn

0

x

x



bestaat niet.

Ook samengestelde functies kunnen discontinu zijn. Zo is de functie

 

²

^{, 1}

, 1

x x

f x x x

 

    

niet continu in 1.

Ze is er echter wel linkscontinu, want ^lim_{x 1} ^{f x}

 

^f

 

¹

  .

Deze functie vertoont een sprong, dat is typisch voor een discontinuïteit.

c) De stelling van Bolzano

Stelling: Als f continu is in

  ^{a b ,}

^en

^{f a}     ^{ f b  0}

dan heeft f een nulwaarde in

  ^{a b ,}

^.

Bewijs: We stellen voor de eenvoud

^{f a }   ⁰

^en

^{f b }   ⁰

(het andere bewijs verloopt analoog).

We stellen een algoritme op dat ons zal toelaten het nulpunt te definiëren:

Noem m₁ het midden van

a

en

b

, dus stel ₁ 2 m a b

 . Als

f m   

₁

0

dan is de stelling bewezen.

Als

f m   

1

0

noem dan a₁m₁ en stel b₁b. Als

 

1

0

f m 

noem dan a₁a en stel b₁m₁.

We krijgen zo een nieuw interval

 a b

1

,

1



, met

f a   

1

0

en

f b   

1

0

, en breedte _{1 1} 2 b a

b a 

  . Herhalen we deze redenering nogmaals (met m₂ als midden van

 a b

1

,

1



), dan krijgen we een nieuw interval

 a b

2

,

2



, met

f a  

₂

 0

en

f b  

₂

 0

, en breedte _{2 2 2}

2 b a b a

  .

Blijven we op deze manier verder gaan dan vinden we ofwel ooit een nulwaarde m_n (en dan is de stelling bewezen), ofwel krijgen we twee rijen

  a

_n en

  b

_n .

De rij

  a

n is monotoon stijgend en naar boven begrensd door

b

, en de rij

  b

n is monotoon dalend en naar onder begrensd door

a

, dus beide rijen convergeren. noem lim _n

n a A

  en lim _n

n b B

  . Anderzijds halveert de lengte b_na_n telkens, zodat geldt:

 

lim lim lim lim 0

n n n n 2n

n n n n

B A b a b a b a A B

   

          . Stel

c   A B

. We bewijzen

nu nog dat

c

de nulwaarde is die we zoeken.

     

       

0

0 lim 0

: 0

0 lim 0

n n n

n n n

f a f c f a

n f c

f b f c f b





    

   

    

ℕ □

Opmerking: het bewijs van deze stelling is een algoritme dat ons toelaat om het gezochte nulpunt te benaderen tot op elke gewenste nauwkeurigheid. Bekijk zeker eens de applet over deze stelling.

d) De tussenwaardestelling

Een logische veralgemening van deze stelling zegt dat een continue functie alle functiewaarden tussen twee waarden in een interval bereikt:

Als f continu is in

  ^{a b ,}

^{, met}

^{f a}   ^{ f b}  

^{, en}



een functiewaarde tussen

^{f a}  

^en

^{f b}  

, dan bestaat er een

  ^,

c  a b

zodat

^{f c}   ^{ }

^.

Bewijs: Pas de stelling van Bolzano toe op de functie

^{g x}   ^{ f x}   ^{ }

^{. □}

e) Stelling van Weierstrass

Een zeer belangrijke stelling in de analyse is de stelling die zegt dat elke continue functie in een interval ook begrensd is en dus een supremum en een infimum bereikt. Dit is de stelling van Weierstrass.

Hiernaast zie je de stelling geïllustreerd.

Het bewijs van deze stelling valt (ver) buiten het bereik van deze cursus.

f) Regula falsi

Een andere methode om nulpunten te benaderen is de regula falsi. We vertrekken weer van een functie f die continu is in

  ^{a b ,}

, en stellen voor de eenvoud

^{f a }   ⁰

^en

^{f b }   ⁰

^.

Deze methode werkt op dezelfde manier als de methode van Bolzano, op één detail na. De waarden

1

mi_ zullen nu niet de middens zijn van de intervallen

 a b

i

^,

i



maar de

x

-coördinaten van de snijpunten van de koorde A B_{i i} met de

x

-as (hierbij is

A a f a

i



i

^,  

i



en

B b f b

i



i

^,  

i



). We voeren de berekening uit voor de startpunten

^{A a f a}  ^,   

^en

^{B b f b}  ^{,  } 

^:

De koorde heeft als vergelijking ^{AB y f a}

 

^{f b}

 

^{f a}

   

^{x a}

b a

     

 ^.

We vinden het snijpunt met de

x

-as door y 0 te stellen (en dan is xm₁):

      

1

    

f b f a

f a m a b f a a f a

b a

         

 



f b

 

 f a

  

m1 a f b

 

 a f a

 

           

   

1

a f b b f a f b f a m

f a x a

f b f

a a

b



   

 

 

 



Als

f m   

₁

0

dan is dit het gezochte nulpunt.

Als

f m   

₁

0

noem dan a₁m₁ en stel b₁b. Als

 

1

0

f m 

noem dan a₁a en stel b₁m₁. Blijven we op deze manier verder gaan dan vinden we ofwel een nulwaarde m_n (en dan is de stelling bewezen), ofwel kan je bewijzen dat de rij

  m

n

convergeert naar het nulpunt.

Het bewijs van deze methode valt echter (heel ver) buiten het bestek van deze cursus. Een belangrijk verschil met de methode van Bolzano is dat hier de breedte van het interval

  a b

i i niet noodzakelijk willekeurig klein wordt.