Eigenschappen en toepassingen van
determinanten
Stelling
Als A een n × n matrix is dan det(AT) = det(A).
Bewijs.
Ontwikkelen van det(AT) langs rij j is hetzelfde als ontwikkelen van det(A) langs kolom j . Voor n = 2 is dit duidelijk. Maar dan ook voor n = 3, n = 4 etc. En dus det(AT) = det(A).
Gevolg
Hieruit volgt onmiddelijk dat alle eigenschappen van determinanten niet alleen voor rijen gelden maar ook voor kolommen.
Herinnering
Eigenschappen determinant
Laat A een n × n matrix zijn. Dan geldt:
a. Als A een nulrij (nulkolom) heeft dan det(A) = 0.
b. Als de matrix B wordt verkregen door twee rijen (kolommen) van A te verwisselen dan det(B) = − det(A).
c. Als A twee gelijke rijen (kolommen) heeft dan det(A) = 0.
d. Als de matrix B wordt verkregen door ´e´en rij (kolom) van A met een factor k te vermenigvuldigen dan
det(B) = k det(A).
Eigenschappen determinant, vervolg
Laat A een n × n matrix zijn. Dan geldt:
e. Als de matrix B wordt verkregen door een veelvoud
van ´e´en rij (kolom) bij een andere rij (kolom) op te tellen dan det(B) = det(A).
Voorbeeld
A =
−2 1 2 7
3 5 −3 e
−1 π 1 4
2 9 −2 1
Bepaal det(A) zonder ´e´en berekening uit te voeren.
a3= −a1en dus
det(A) = |a1a2a3 a4| = |a1a2 − a1a4| = − |a1a2 a1a4|
| {z }
twee gelijke kolommen
= 0.
Elementaire matrices
Definitie
Laat A een n × n matrix zijn en B een n × n matrix die uit A wordt verkregen door ´e´en rijoperatie op A uit te voeren.
Dan bestaat er een n × n matrix E zodat B = EA.
E wordt elementaire matrix genoemd.
Voorbeeld
Laat A een 4 × 4 matrix zijn.
Als A −−−−−−−−→
| {z }
rij 1 en rij 3 verwisselen
B en E =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
dan
EA =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
A1
A2 A3
A4
=
A3
A2 A1
A4
= B
Voorbeeld (vervolg)
Als A −−−−−−−−→
| {z }
rij 3 met k6=0 vermenigvuldigen
B en E =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 k 0
0 0 0 1
dan
EA =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 k 0
0 0 0 1
A1
A2 A3
A4
=
A1
A2 kA3
A4
= B
Voorbeeld (vervolg)
Als A −−−−−−−−→
| {z }
k maal rij 1 bij rij 3 optellen
B en E =
1 0 0 0
0 1 0 0
k 0 1 0
0 0 0 1
dan
EA =
1 0 0 0
0 1 0 0
k 0 1 0
0 0 0 1
A1
A2 A3
A4
=
A1
A2 kA1+ A3
A4
= B
Stelling
Laat E een elementaire matrix zijn. Dan is E inverteerbaar en E−1is van hetzelfde type.
Bewijs.
Als E twee rijen verwisselt dan is E inverteerbaar en E−1= E , als E een rij met een factor k 6= 0 vermenigvuldigt dan is E inverteerbaar en E−1vermenigvuldigt dezelfde rij met een factor
1 k en
als E k maal rij i bij rij j op dan is E inverteerbaar en E−1telt
−k maal rij i bij rij j op.
Laat A een n × n matrix zijn en E een elementaire matrix met dezelfde afmetingen.
Als E twee rijen verwisselt dan
det(E ) = det(EIn) = − det(In) = −1 en det(EA) = − det(A) = det(E ) det(A)
als E een rij met een factor k 6= 0 vermenigvuldigt dan det(E ) = det(EIn) = k det(In) = k en det(EA) = k det(A) = det(E ) det(A)
en als E een aantal malen ´e´en rij bij een andere optelt dan det(E ) = det(EIn) = det(In) = 1 en
det(EA) = det(A) = det(E ) det(A)
Stelling
Als A een inverteerbare matrix is dan is A het product van elementaire matrices.
Bewijs.
Laat A een inverteerbare n × n matrix zijn. Om A−1 te bepalen hebben we AX = Inopgelost.
Dus [ A | In] −→
|{z}
rijoperaties
[ In| A−1].
Er zijn dus elementaire matrices E1, E2, . . . Ep−1, Epzodat EpEp−1· · · E2E1A = Inen
EpEP−1· · · E2E1In= A−1
Hieruit volgt:
Ep· · · E2E1A = In en
A−1= EpEp−1· · · E2E1In= Ep· · · E2E1dus A = (EpEp−1· · · E2E1)−1= E1−1E2−1, · · · Ep−1−1Ep−1 Niet alleen AX = AA−1= In maar ook A−1A = In
Stelling
Als A en B n × n matrices zijn dan det(AB) = det(A) det(B).
Bewijs.
Als A niet inverteerbaar is dan is AB ook niet inverteerbaar (§2.3, opgave 23). In dit geval det(AB) = det(A) det(B) = 0.
Laat A wel inverteerbaar zijn.
Dan A = E1E2· · · Ep−1Ep voor zekere elementaire matrices E1, E2, . . . EP−1, Ep. Hieruit volgt
det(AB) = det(E1E2· · · Ep−1EpB)
vervolg.
En verder
det(AB) = det(E1E2· · · Ep−1EpB)
= det(E1) det(E2· · · Ep−1EpB)
= det(E1) det(E2) det(· · · Ep−1EpB) = . . .
= det(E1) det(E2) · · · det(Ep−1) det(EpB)
= det(E1) det(E2) · · · det(Ep−1) det(Ep) det(B)
= det(E1) det(E2) · · · det(Ep−1Ep) det(B) = . . .
= det(E1) det(E2) det(· · · Ep−1Ep) det(B)
= det(E1) det(E2· · · Ep−1Ep) det(B)
= det(E1E2· · · Ep−1Ep) det(B) = det(A) det(B)
Gevolg
Als A een inverteerbare matrix is dan det(A−1) = 1 det(A).
Opgave
§3.2, opgave 39
A en B zijn 3 × 3 matrices det(A) = −3 en det(B) = 4.
Bereken
a. det(AB) b. det(5A) c. det(BT) d. det(A−1) e. det(A3)
a. det(AB) = −12 b. det(5A) = −375 c. det(BT) = 4 d. det(A−1) = −1
3 e. det(A3) = −27
De regel van Cramer
De video is ge¨eindigd met de regel van Cramer.
Stelling
Als A een inverteerbare n × n matrix is en b ∈ Rndan heeft de matrixvergelijking Ax = b precies ´e´en oplossing x
Er geldt:
xi =det(Ai(b)) det(A)
Hierin is Ai(b) de matrix die wordt verkregen door de i -de kolom van A te vervangen door b.
Bewijs.
Ii(x) is de identieke matrix waarbij de i -de kolom vervangen is door x.
AIi(x) = A[e1e2 · · · ei −1x ei +1 · · · en]
= [Ae1Ae2 · · · Aei −1Ax Aei +1 · · · Aen]
= [a1a2· · · ai −1Ax ai +1 · · · an]
= [a1a2· · · ai −1b ai +1 · · · an]
= Ai(b)
Enerzijds det(AIi(x)) = det(A) det(Ii(x)) = det(A)xi en anderzijds det(AIi(x)) = det(Ai(b)) zodat
xi =det(Ai(b)) det(A)
Opgave
§3.3, opgave 7
Bepaal de parameter s waarvoor het stelsel vergelijkingen:
6sx1+ 4x2= 5 9x1+ 2sx2= −2
precies ´e´en oplossing heeft en bepaal deze oplossing.
A =
"
6s 4 9 2s
#
, A1(b) =
"
5s 4
−2 2s
#
en A2(b) =
"
6s 5
9 −2
# dus det(A) = 12s2− 36, det(A1(b)) = 10s + 8 en det(A2(b)) = −(12s + 45).
Hieruit volgt: als s 6= ±√
3 is A inverteerbaar en in dat geval
5s + 4 4s + 15
Een gesloten formule voor A
−1Laat A een inverteerbare n × n matrix zijn. De j -de kolom van A−1 is de oplossing van Ax = ej. Toepassing van de regel van Cramer geeft:
xi= det(Ai(ej))
det(A) = (−1)i +jdet(Aji)
det(A) = Cji det(A) Dit is het element in de i -de rij en j -de kolom van A.
Definitie
Als A een inverteerbare n × n matrix is dan heet de matrix met als element Cji in de i -de rij en j -de kolom (1 ≤ i , j ≤ n) de
geadjungeerde van A. Deze matrix wordt genoteerd als adj(A).
Er geldt: A−1= 1
det(A)adj(A).
Stappenplan
Laat A een inverteerbare n × n matrix zijn.
Bepaal det(A)
Bepaal de matrix B met als elementen bij= Cij (1 ≤ i , j ≤ n) adj(A) = BT
A−1= 1
det(A)adj(A)
Opgave
§3.3, opgave 11
Bepaal door toepsassing van de regel van Cramer de inverse van de
matrix A =
0 −2 −1
5 0 0
−1 1 1
det(A) = 5 en adj(A)T=
0 −5 5
1 −1 2
0 −5 10
dus A−1=
0 15 0
−1 −15 −1
1 25 2
Oppervlakte parallellogram
Stelling
Als A een 2 × 2 matrix is dan is de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de kolommen van A gelijk aan | det(A)|.
En als A een 3 × 3 matrix is dan is de inhoud van het
parallellepipedum opgespannen door de kolommen van A gelijk aan
| det(A)|.
Bewijs.
Als de kolommen van A lineair afhankelijk zijn dan spannen zij een gedegenereerd parallellogram P op en A(P)= | det(A)| = 0. Hierbij is A(P)
vervolg.
Laat nu A een 2 × 2 matrix zijn met lineair onafhankelijke kolommen.
Als A =
"
α 0
0 β
#
(α, β 6= 0) dan A(P) = |α||β| = |αβ| = | det(A)|.
Kies een rechthoekig assenstelsel zodat a1= αe1.
Er bestaat een k zodat b = a2+ ka1 een veelvoud is van e2en A(P)=A(Q) waarbij Q het parallellogram is opgespannen door a1en b = βe2.
Laat E de elementaire matrix zijn die k maal rij 1 bij rij 2 optelt.
Dan A(P)=A(Q)= |α||β| = |αβ| = | det(
"
α 0
0 β
#
)| = | det(
"
aT1
bT
# )| =
| det(EAT)| = | det(E ) det(AT)| = | det(AT)| = | det(A)|.
Opgave
§3.3, opgave 21
Bereken de oppervlakte van het parallellogram P met (−2, 0), (0, 3), (1, 3) en (−1, 0) als hoekpunten.
Verschuif het parallellogram zodat ´e´en van de hoekpunten in de oorsprong komt te liggen.
(0, 0), (2, 3), (3, 3) en (1, 0) zijn de hoekpunten van zo’n parallellogram.
De oppervlakte hiervan is | det | "
2 1 3 0
#!
| = | − 3| = 3.
