Determinanten - toepassingen

Óscar Romero College

Campus Talen & Exacte Wetenschappen Vak: Wiskunde

Leerkracht: Sven Mettepenningen

Determinanten - toepassingen

1. Bespreek het stelsel met behulp van de methode van Cramer:

( )

1 1

1 x my z

mx y m z m x y z m

+ + =

 + + − =

 + + = +



.

2. Los het

2 3 ×

-stelsel op met behulp van determinanten:

2 3 4 0

4 2 0

x y z

x y z

− + =

  − + =



^.

3. Bepaal voor welke waarde(n) van

k

de rechten

a

,

b

en

c

concurrent zijn:

3 4 2 0

a↔ x− y+ = , b↔2x+ky− =5 0 en c↔ + −x y 8k=0. Bepaal in beide gevallen ook het snijpunt van de rechten.

4. Bewijs dat dit stelsel met

m ∈ ℝ

nooit oplossingen naast de nuloplossing heeft:

2 3 6 0

9 0

15 18 0 mx y z x my mz

mx y z

+ + =

  + + =

  + + =



.

5. Voor welke waarden van

m ∈ ℝ

zal het stelsel onbepaald zijn

( )

( )

( )

2 1 2 3 0

2 2 2 2 0

2 2 4 0

2 2 3 6 2 0

m x y mz u

x my z m u

mx y z u

x my z m u

− + + + =

 

+ + + − =

 

+ − + =

  − + + − =



?

6. Elimineer

x

en y uit de volgende vergelijkingen:

4

0 0 x y a ax y x by

 − =

 − =

  + =



. Wat betekent dit?

7. Elimineer

x

, y en z uit de volgende vergelijkingen:

4 3 0

2 0

0 mx ny x mz y nz

+ =

  − =

  + =



. Wat betekent dit?

8. We noemen

v ∈ℝ

^n×1 een eigenvector van de vierkante matrix

A ∈ ℝ

^{n n×} met bijhorende eigenwaarde

λ ∈ ℝ

als en slechts als

A v ⋅ = ⋅ λ v

(met

v

verschillend van de nulvector).

a) Toon aan dat het gestelde equivalent is met

( ^{A − λ I v} ) ^{= O}

^.

b) Beredeneer dat eigenvectoren slechts op een reëel veelvoud na bepaald zijn.

c) Beredeneer dat

λ ∈ ℝ

een eigenwaarde is als en slechts als

^det ( ^{A − λ I} ) ^{= 0}

^.

d) Bereken de eigenwaarden van de matrix 2 4

1 5

A  

=  

  en hun bijhorende eigenvectoren.

(Eigenwaarden en eigenvectoren spelen een hele grote rol in verschillende takken van de wiskunde, fysica,

biologie en tal van andere wetenschappen.) Veel succes!

Antwoorden (moeilijkheidsgraad : eenvoudig, : gemiddeld, : lastig, : erg moeilijk)

1.

1

m = →

V = ∅

1 m ≠ →

3 2

2 1 2

, ,

1 1

m m m m

V m m

m m

 − − + 

 

= − − + 

2.

^{V =} { ( ^{5 , 14 , 8 λ λ λ λ} ) ^{|| ∈ ℝ} }

3. Als 1

k = 2 is het snijpunt van de rechten

^P ( ^{2, 2} )

^{. Als 13}

k = − 4 is het snijpunt 80 102 7 , 7

P 

 

 ^.

4. Tip: bewijs dat de determinant van de coëfficiëntenmatrix nooit nul kan zijn.

5. 1

2 1

m= ∨m= − ∨2 m= −

6. Als

^{a ab +} ( ¹ ) ^{= 0}

dan heeft het stelsel minstens één oplossing.

7. Als 4m²−6n² =0 dan heeft het stelsel oplossingen verschillend van de nuloplossing.

8.

a) Tip: gebruik eenvoudige eigenschappen van matrices.

b) Tip: gebruik eenvoudige eigenschappen van matrices.

c) Tip: beschouw wat je bewezen hebt in (a) als een homogeen stelsel.

d)

4k

v k

 − 

=  

 

^{, met}

k ∈

^ℝ0 is de eigenvector die hoort bij eigenwaarde 1.

v k

k

=    

 

^{, met}

k ∈

^ℝ0 is de eigenvector die hoort bij eigenwaarde

6

.