1
Hoofdstuk 4 Op zoek naar de onbekende
4.1 Wat wiskundigen willen….
In veel problemen bij chemie of natuurkunde gaat het om het berekenen van een onbekende waarde. Er is een formule waarin alle waarden zijn gegeven behalve één: de onbekende.
voorbeeld:
V m m2 1
m1 = 3,00 kg
=998 kg.m-3 V = 0,001 m3 m2= onbekend
In de wiskunde houdt men ervan om de onbekende x te noemen. Dat maakt het oefenen met formules makkelijker.
001 , 0 998 x3
2 4.2 Eerstegraads-formules
Eerstegraads-formules zijn formules waarin x alleen voorkomt als x1 en niet x2 of x3 of x. Je lost ze op door alle termen waar x in voorkomt naar links te brengen en alle getallen naar rechts van het =teken (weegschaalmethode)
voorbeeld: Los x op uit 3x-4 = x+8
3x-4 = x+8 3x- x = 8+4 2 x = 12 x = 6
controle: x = 6 invullen in de opgave: 14 = 14 klopt!
3 Oefenen:
4.2
Los x op uit
2 2 . 3
8 15 3 . 7
) 1 ( 2 ) 4 2 ( 3 . . 6
5 2 ) 1 ( 3 . 5
3 15 2 . 4
6 12
3 . 3
22 6 2 . 2
18 3 . 1
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
4 4.3 Tweedegraads-formules.
Tweedegraads-formules zijn formules waarin x voorkomt als x2 en vaak ook nog als x1
voorbeeld:
x2 –3 = 2x +1
Een extra moeilijkheid is dat er soms geen oplossing is.
In veel gevallen zijn er twee oplossingen en soms maar één!
5 4.3.1 Eerst simpel.
We beginnen met de meest simpele vorm:
x
2= getal
De twee oplossingen zijn :
getal en - getal
( : wortel) voorbeelden:x2 = 16 x = 16 = 4 en x = - 16 = -4 x2 = 7 x = 2,65 en x = -2,65
4 x2= x2 + 2 4 x2- x2 = 2 3 x2= 2
x2 = 0,67 x = 0,82 en x = - 0,82
Als het getal in x2 = getal negatief is, is er geen oplossing omdat de wortels van negatieve getallen niet bestaan.
Er is één oplossing als het getal nul is: x2 = 0 x = 0
6 4.3.1
0 .
6
2 5 .
5
4 1 3 . 4
2 .
3
25 .
2
1 .
1
2 2
2 2 2 2
x x
x x x x
7 4.3.2 Iets moeilijker
x
2+ cx= 0
Factorenregel:
Als het product van twee factoren nul is, dan is één van de factoren nul (of allebei).
Je werkt nu niet met maar je splitst het probleem in tweeën.
(x-3)(x+1) = 0 (x-3) = 0 en (x+1) =0 de oplossingen zijn: x = 3 en x = -1
In het volgende voorbeeld moet je eerst zelf factoren maken!
x2 – 5x = 0 x(x-5) = 0 (nu heb je factoren)
x = 0 en (x-5) = 0 x = 5
8 4.3.2
2 2
4 2
2 2
0 4
0 ) 1 )(
2 (
0 ) 1 (
0 ) 1 )(
3 (
0 ) 2 (
2 2
2 2
2 2
x x
x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
9 4.3.3 Vet moeilijk!
3x2 –2x –5 = 0
In het voorbeeld hierboven zie je een term met x2, een term met x en een term met alleen een getal. Dit type sommen is het lastigst.
De methodes van 4.3.1 en 4.3.2 werken niet.
De algemene vorm van dit soort problemen is :
2
0
x b x c a
De factor voor x2 noemen we dus a. De factor voor x noemen we b en het getal noemen we c.
zie voorbeeld hierboven:
5 2 3
c b a
We rekenen eerst de zogenaamde discriminant uit: D
formule: Db2 4ac
De term discriminant komt van discrimineren: onderscheid maken.
Aan D kan je zien hoeveel oplossingen er zijn.
Als D positief is zijn er twee oplossingen Als D nul is , is er één oplossing
Als D negatief is zijn er geen oplossingen.
10 De oplossingen, x1 en x2 vind je met:
a D x b
a D x b
2 2
2 1
De waarde van a, b en c haal je uit de formule:
a x
2 b x c 0
Zorg ervoor dat rechts van de
=
een0
staat!11 Formules Db2 4ac
a D x b
a D x b
2 2
2 1
Het voorbeeld: 3x2 –2x –5 = 0
5 2 3
c b a
D = (-2)2-4.3.(-5)= 4 +60=64
er zijn twee oplossingen x1 en x2 want D is positief
67 , 6 1
8 2 6
64 2
6 1 8 2 6
64 2
2 1
x x
Let op, dat je de waarden van a, b en c goed uit de formule haalt.
Maak geen fouten met mintekens.
Als je merkt dat D negatief is, schrijf je op:”Geen oplossing”
12 4.3.3
Hieronder zie je formules.
Bepaal a, b en c.
Bereken D.
Bereken x1 en x2 (indien mogelijk)
Formule a b c D x1 x2
2x2 - 6x + 2 = 0 (voorbeeld) 2 -6 2 20 0,38 2,6
3x2 -2x – 1 = 0 x2 - x + 1 = 0 -2x2 - 8x + 1 = 0 -x2 -3x + 2 = 0 -x2 + 2 = 0 2x2 - 6x = 0 4x2 + 4x – 2 = 0
13 4.4 gemengde opgaven
0 1 2 .
6 3 .
45 6 3
.
6 3
2 .
3 3
3 .
8 16 2 .
2 2
2 2
2 2
2 2
x f
x x e
x x x x d
x x
c
x x
x b
x x
a
14 0
7 12 .
2 0 1 2
. 1
8 3 2 .
0 1 .
2 2
2 2
x x j
x x i
x x h
x x g
