Multivariate GARCH Modellering

Multivariate GARCH Modellering

M.L. van Keulen

Econometrie & Operational Research Augustus 2007

Begeleider : Prof. Dr. P.A. Bekker

Voorwoord

Bij deze wil een dankwoord uitbrengen aan degenen die mij hebben bijgestaan in het voltooi-en van dit onderzoek.

Met name wil ik bedanken, Prof. Dr. Bekker, die ooit zei:

“het wordt een molensteen om je nek, als je die studie niet meteen afmaakt”.

1 INTRODUCTIE ...1

2 UNIVARIATE MODELLEN ...2

2.1 UNIVARIATE TIJDREEKS...3

2.2 AUTOREGRESSIVE MOVING AVERAGE (ARMA)PROCES...5

2.2.1 Modelidentificatie ...9

2.2.2 Schatten van modelparameters ...11

2.2.3 Statistische modeldiagnose ...12

2.2.4 Voorspellen ...14

2.3 VAN HOMOSCEDASTICITEIT NAAR HETEROSCEDASTICITEIT...15

3 ARCH & GARCH MODELS...16

3.1 AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTIC (ARCH)PROCES...16

3.2 GENERALIZED CONDITIONAL HETEROSCEDASTIC (GARCH)PROCES...19

3.2.1 Modelidentificatie ...21

3.2.2 Schatten van de modelparameters...21

3.2.3 Statistische modeldiagnose ...24

3.2.4 Voorspellen ...24

3.3 EXTENSIES VAN HET GARCH MODEL...26

3.4 SAMENVATTING...28

4 MULTIVARIATE GARCH MODELLEN ...29

4.1 CCC-GARCHMODEL,BOLLERSLEV (1990) ...31

4.2 DCC-GARCHMODEL,ENGLE (2002)...32

4.2.1 Schatten van de DCC modelparameters ...34

5 BESCHRIJVING VAN DE DATA ...35

5.1 SCHATTEN MODELPARAMETERS UNIVARIATE PROCESSEN. ...45

5.2 SCHATTEN PARAMETERS VAN HET DCC MODEL...48

6 PRINCIPALE COMPONENTEN ANALYSE (PCA)...52

6.1 FACTOR ANALYSE...52

6.2 PCA VAN HET DCC-MODEL...56

6.3 PCA VAN DE LOGRENDEMENTEN...61

6.4 CONCLUSIE...61

1

1 Introductie

In het bank– en verzekeringswezen spelen aandelen en obligaties en in het bijzonder de in-schatting van risico’s en correlaties ervan een grote rol. Hoewel er inmiddels meerdere me-thodieken voor handen zijn om dit risico nauwkeuriger in te kunnen schatten, maken de meeste banken en verzekeraars toch nog gebruik van verouderde risico- en correlatiemodel-len. Deze correlaties en risico’s worden onder andere gebruikt voor risicomanagement en asset management doeleinden, zoals het prijzen van financiële instrumenten en portefeuille-optimalisaties.

Om correlaties tussen obligaties en aandelen beter te modelleren stel ik een multivariaat dy-namisch conditioneel correlatiemodel (DCC) van Engle and Sheppard (2001) voor. Dit model is gebaseerd op univariate processen die bewezen hebben volatiliteiten beter te kunnen mo-delleren. Bovendien geeft dit model een betere inschatting van de onderliggende tijdvariëren-de correlaties dan tijdvariëren-de niet-conditionele matrix. Daarnaast heeft dit DCC motijdvariëren-del het voortijdvariëren-deel dat het aantal te schatten parameters onafhankelijk is van het aantal tijdreeksen in de correla-tiematrix.

In dit onderzoek worden de modelleringen van univariate processen ARMA, GARCH Bollerslev (1986) en extensies van het GARCH proces besproken. Ten aanzien van de mo-dellering van correlaties wordt het CCC en DCC model Engle and Sheppard (2001) model toegelicht, waarmee uiteindelijk het multivariate DCC model zal worden geschat.

2

2 Univariate Modellen

In paragraaf 2.1 wordt kort ingegaan op een univariate tijdreeks onderliggend aan het datage-nererende proces. We beschouwen een discreet homoscedastisch tijdreeksmodel, zijnde het Autoregressive Moving Average (ARMA) model in paragraaf 2.2. Voor dit tijdreeksmodel zijn de (niet-conditionele) verwachting en de (niet-conditionele) variantie constant over de tijd.

In hoofdstuk 3 laten we de assumptie van homoscedasticiteit vallen. De reden hiervoor is dat een economische tijdreeks perioden kent met hoge volatiliteit, die worden opgevolgd door perioden van lage volatiliteit, ofwel de variantie van de tijdreeks varieert met de tijd en is daarmee heteroscedastisch. De heteroscedastische processen ARCH en GARCH zullen in dit hoofdstuk de revue passeren.

Het heteroscedastisch proces is geconditioneerd op haar verleden. Het heteroscedastisch pro-ces maakt namelijk gebruik van recente informatie in de vorm van de conditionele variantie. Dit maakt het model beter in het voorspellen dan modellen die geen gebruik maken van deze informatie. Het fenomeen volatiliteitsclustering kan daarmee worden bedwongen.

3 2.1 Univariate Tijdreeks

Een univariate tijdreeks is een reeks waarvan de waarnemingen elkaar opvolgen in vaste tus-senpozen. Deze geobserveerde tijdreeks kunnen we omschrijven als {y , y ,..., y }_{1 2 t} . Een element y _t van de geobserveerde tijdreeks is de gerealiseerde waarde van een stochastische variabele Yt. Een opeenvolging van deze stochastische variabelen, { ...,Y , Y ,..., Y ,...}0 1 t is een stochastisch proces.

Het stochastische proces, ook wel het data genererende proces genoemd, legt de verdeling van de reeks en die van toekomstige waarden vast. De meest praktische modellen hebben een verdeling waarvan de parameters constant zijn. Dit is het geval als de verdeling van Y_t onaf-hankelijk is van keuze van tijd.

Een stochastisch proces, volgens Taylor (1986), is strikt stationair als voor iedere i, j en k geldt dat de multivariate verdeling van

(

Y Yi i_, +₁,...,Yi k+ −₁

)

gelijk is aan

(

Y Yj, j+1,...,Yj k+ −1

)

. In de praktijk worden alleen de uitkomsten van strikt stationair getoetst. De consequenties hier-van zijn dat de verdelingen identieke eerste en tweede orde momenten bevatten.

Een stochastisch proces met een eindig gemiddelde en variantie is tweede orde stationair ofwel covariantie stationair als voor iedere t en s geldt aldus Enders (1995 ) dat

( )t ( t s) , E Y =E Y₋ =

µ

(2.1) 2 2 0 [( t ) ] [( t s ) ] , E Y −

µ

=E Y₋ −

µ

=

λ

(2.2)

en voor iedere t, s en k geldt dat de autocovariantie cov

(

Y Yt t s_, −

)

gelijk is aan

[( _t )( _{t s} )] [( _{t k} )( _{t k s} )] _s,

E Y −

µ

Y− −

µ

=E Y− −

µ

Y− − −

µ

=

λ

(2.3)

4

De correlatie tussen twee stochastische variabelen Y_senY_{t s−} verkregen uit een stationair pro-ces heet de autocorrelatie met vertraging s. Onder stationariteit hebben Y_s en Y_{t s−} een iden-tieke variantie gelijk aan

λ

₀. De autocorrelatie tussen Ys en Yt s− kunnen we dan schrijven als 0 0 0 0

cov( ,

t t s

) cov( ,

t t s

)

s

_.

s

Y Y

Y Y

λ

ρ

λ

λ

λ λ

− −

=

=

=

(2.4)

De autocorrelaties zijn afhankelijk van

λ

₀ en

λ

_sdie onafhankelijk zijn van de parameter t en daarmee zijn de autocorrelaties

ρ

_sook onafhankelijk van de parameter t.

Een veel gebruikt bouwblok van een stochastische tijdreeks is het witte ruis proces. De reeks 2

t

{ }

ε

WN(0,

σ

)is witte ruis volgens Stewart (1991) als voor iedere t geldt

( ) 0_t

E

ε

= , (2.5)

2 2

( )_t

E

ε

=

σ

, (2.6)

en voor iedere k, met k t≠

cov( , ) 0.

ε ε

t k = (2.7)

Het witte ruis proces is dus tweede orde stationair en is ongecorreleerd.

In het geval dat we assumptie (2.7) laten vallen, waarbij de covariantie cov(

ε ε

_{t k}) 0≠ voor minimaal een t k≠ .Dan is er een verband tussen de termen in de tijdreeks en dit staat bekend als seriële correlatie.

Als

ε

_t IID(0,

σ

2)onafhankelijk en identiek verdeeld is, dan betekent het dat

ε

t naast een

5

is een witte ruis proces met een iets sterkere assumptie, namelijk: onafhankelijkheid tussen alle verschillende paren

(

ε ε

_t, _k

)

.

Seriële autocorrelatie verschijnt waneer de residuen in een periode correleren met residuen uit een andere periode. Als er seriële correlatie tussen de residuen wordt aangetroffen duidt dit meestal op een incorrect gespecificeerd model. In het volgende hoofdstuk wordt ARMA pro-ces gebruikt om seriële correlatie van de residuen te modelleren.

2.2 Autoregressive Moving Average (ARMA) Proces

Een ARMA model bestaat uit een lineaire stochastische differentievergelijking, ofwel een AR autoregressief proces, gecombineerd met een MA proces, ook wel Moving Average pro-ces genoemd. Het AR propro-ces is een mechanisme dat observaties in het verleden incorporeert in het heden en het MA proces is een voortschrijdend gemiddelden model dat afhangt van stochasten uit het verleden en het heden.

Beschouw een p-de orde differentievergelijking

1

,

p t i t i t i

Y

δ

α

Y

−

X

=

= +

+

(2.8)

waarbij , i constanten zijn voor i=1,...,p. Laat nu {X }_t een MA(q) proces,

0 , q t j t j j X

β ε

− = = (2.9)

waarbij

β

_jconstanten zijn voor j=0,...,q. Daarnaast veronderstellen we dat reeks 2

(0, )

t WN

6

Definieer een lineaire vertragingsoperator L zodanig dat i _- .

t t i

LY = Y Het ARMA

( , )p q model, weergegeven in (2.10), kunnen we dan herschrijven met behulp van deze

ver-tragingsoperator als 1 0

1

p i q j i t j t i j

L Y

L

α

δ

β

ε

= =

−

= +

. (2.11)

Als we A(L) en B(L) definiëren als polynomische vertragingen dan kan (2.11) verder worden herschreven als ( ) _t ( ) ,_t A L Y = +

δ

B L

ε

(2.12) waarbij 2 1 2

( ) 1

...

p

,

p

A L

= −

α

L

−

α

L

− −

α

L

(2.13) en 2 0 1 2

( )

...

q

.

q

B L

=

β β

+

L

+

β

L

+ +

β

L

(2.14)

Als { }Yt een stationair, stabiel of inverteerbaar ARMA proces is moet het AR en MA proces

aan bepaalde condities voldoen volgens Peracchi (2001). Als de polynomische vertragingen A(L) en B(L) geen gemeenschappelijke wortels hebben dan is:

• { }Yt stationair dan en slechts dan als A(z) 0≠ voor alle

z

=

1

.

• { }Yt stabiel dan en slechts dan als A(z) 0≠ voor alle

z

≤

1

• { }Yt inverteerbaar dan en slechts dan als B(z) 0≠ voor alle

z

≤

1

We leggen de tijdreeks een aantal condities op, zodat de stochastische tijdreeks stationair is. De stabiliteitsconditie is voldoende voor stationariteit. Voor de eenvoud bekijken we de con-dities voor stationariteit, evenals de (conditionele) verwachting en variantie van een AR-MA(p, q) model, met q=0en

β

₀ =1. Dit is een puur AR(p) model en kunnen we weerge-ven als 1 p t i t i t i

Y

δ

α

Y

−

ε

=

= +

+

(2.15)

7 1

1,

p i i

α

=

<

(2.16)

en sinds

α

_i ook negatieve en positieve waarden kan aannemen, voldoende als geldt dat

1

1.

p i i

α

=

<

(2.17)

De noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor stabiliteit is volgens Stewart (1991) dat alle waarden van

λ

waarvoor geldt dat

2 1 2

( ) 1

...

p

0,

p

A

λ

= −

α λ α λ

−

− −

α λ

=

(2.18)

1

λ

>

zijn. Dit betekent dat de coëfficiënten

α

i

<

1

voor i=1,...,p.

Als de karakteristieke wortels van de homogene vergelijking van (2.18) binnen de éénheids-cirkel liggen, dan is de reeks convergent. We kunnen de particuliere oplossing van (2.15) dan schrijven als 0 1 , 1 t p i t i i i i Y

δ

λ ε

α

∞ − = = = + − (2.19)

waarbij

λ

_i vooralsnog onbepaalde coëfficiënten zijn. We zien dat (2.19) een oneindig MA proces volgt.

Gegeven dat (2.19) een convergente reeks is, kunnen we (2.19) gebruiken om condities voor

tweede orde stationariteit toetsen. Gegeven dat

λ

₀ =1, 1

1

p i i

α

=

<

en eindig is, is de verwach-ting van Yt gelijk aan

1 ( ) ( ) . 1 t t s p i i E Y E Y

δ

α

− = = = − (2.20)

8 Voor de variantie geldt dat

2 1 1

( )t [( t t ... n t n ...) ]

Var Y =E

ε λ ε

+ ₋ + +

λ ε

₋ + . (2.21) Als

ε

_teen witte ruis proces volgt en deze onderling niet gecorreleerd zijn, kunnen we deze vereenvoudigen tot

( )

2 2 0 ( )t t s i. i Var Y Var Y₋

σ

∞

λ

= = = (2.22)

Als we veronderstellen dat 2 1 i

i

λ

∞

=

eindig is, kunnen we dus concluderen dat de variantie ook

eindig is en niet afhangt van t.

De autocovariantie Cov Y Y( ,_{t t s−} ) voor iedere t en t-s is gelijk aan

E[(

ε λ ε

_t+ _{1 t−1}+ +...

λ ε

_{n t n−} +...)(

ε

_{t s−} +

λ ε

_{1 t s− −1}+ +...

λ ε

_{n t s n− −} +...)]. (2.23) Aangezien E(

ε ε

_{t t s}− ) 0= kunnen we (2.23) verder schrijven als

1 1 2 2

( ,t t s) [ s s s ...]

Cov Y Y₋ =E

λ λ λ

+ ₊ +

λ λ

₊ + . (2.24) Als(

λ λ λ

_s+ _{1 s+1}+

λ λ

_{2 s+2}+...)eindig is, kunnen we stellen dat (2.24) eindig is en niet afhangt van t. We kunnen dus stellen dat aan de condities voor stationariteit van (2.1), (2.2) en (2.3) is voldaan en het AR(p) proces covariantie stationair is.

Samengevat zijn de noodzakelijk en voldoende voorwaarde voor stationaire MA processen,

dat 2 0 ( )_i i

λ

∞ =

en (

λ λ λ

_s + _{1 s}+₁+

λ λ

_{2 s}+₂+...)eindig zijn volgens Enders (1995 ). Gegeven dat

1 1 2 2

(

λ λ λ

s+ s+ +

λ λ

s+ +...)eindig moet zijn voor alle waarden van s≥0 en

λ

0 =1, dan is de conditie dat 2 0 ( )_i i

λ

∞ =

eindig moet zijn overbodig. Hieruit volgt dat eindige orde MA(q)

pro-cessen altijd stationair zijn en dat voor MA( ) propro-cessen moet gelden dat

1 1 2 2

9

Gegeven stationariteit en inverteerbaarheid kunnen Yt en t als volgt worden uitgedrukt in elkaars termen, met Yt gelijk aan

1_{( )[ ( ) ]} t t Y ₌ A L−

δ

₊B L

ε

_(2.25) en

ε

_t gelijk aan 1_{( )[ ( ) ].} t B L A L Yt

ε

₌ − ₋

δ

_(2.26)

Beide gevallen beschrijven volgens Stewart (1991) oneindige orde processen.

Een belangrijke conditie voor het gebruik van ARMA modellen is dat de tijdreeks stationair is. Voor de volledigheid en omdat in de praktijk menige tijdreeks niet stationair is, dient te worden opgemerkt dat ARIMA modellen kunnen worden gebruikt voor het beschrijven van bepaalde niet stationaire processen. ARIMA staat voor autoregressive integrated moving average. De term “integrated” houdt in dat het stationaire model, welke gebruikt is om gedif-ferentieerde data van de orde d te fitten, moet worden geïntegreerd tot een model voor niet stationaire data. Het ARIMA model kan worden geformuleerd als

d

t t

A(L) Y = B(L) .∆

ε

(2.27)

2.2.1 Modelidentificatie

Voordat we de parameters van het model gaan schatten, dienen we van tevoren het model te identificeren. Dat wil zeggen dat we bepalen welk type model we willen gebruiken en hoe-veel parameters er benodigd zijn. Zoals eerder vermeld moet de geobserveerde financiële tijdreeks stationair zijn. In dat geval dienen het gemiddelde, de variantie en de autocorrelaties constant te zijn. Om dit te realiseren kunnen we vertragingen aanbrengen in het model of een logaritmische Box-Cox transformatie aanbrengen om de variantie te stabiliseren.

auto-10

correlatie functie (ACF) en de partiële autocorrelatie functie (PACF). De theoretische ACF patronen voor een ARMA(p q, ) model zijn afgeleid van de differentie vergelijkingen,

1

0,

p k i i k i

ρ

α ρ

− =

−

=

(2.28)

met k q> . Waarbij de eerste p−1 waarden kunnen worden gezien als initiële condities die voldoen aan de Yule-Walker vergelijking. De regel van Cramer kunnen we op dit stelsel van lineaire vergelijkingen toepassen. Met de regel van Cramer kun je de waarde van een variabe-le in een stelsel van vergelijkingen bepavariabe-len zonder daarvoor het hevariabe-le stelsel te hoeven oplos-sen.

De partiële autocorrelatiefunctie is als volgt gedefinieerd 1 1, 1 1 1, 1 , 1 s s s j s j j ss s s j s j

ρ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ρ

− − − = − − = − = − (2.29) waarbij 1, , 1, sj s j ss j s j

ρ

=

ϕ

₋ −

ϕ ϕ

₋ (2.30)

voor j=1, 2,...,s−1 en s>2 met

ρ

_sde autocorrelatie omschreven in vergelijking (2.28). De theoretische momenten van het gemiddelde, de variantie en de autocorrelaties van een tijdreeks zijn onbekend. Gegeven dat de tijdreeks stationair is kunnen we het steekproefge-middelde, de steekproefvariantie en de steekproefautocorrelaties van de tijdreeks gebruiken als schatting voor het werkelijke data genererende proces. Als we een univariate tijdreeks

t

y beschouwen met Tobservaties dan kunnen we de schatters van

_{µ σ}

_, 2_en

11 2 2 1 ( ) , 1 T t t Y Y s T = − = − (2.32) en voor iedere k=1,2,..., 2 1 2 1 ( )( ) ( ) T t t k t k k T t t Y Y Y Y r Y Y − = + = − − = − . (2.33)

De steekproef autocorrelatie functies ACF, afgeleid uit (2.33), en PACF kunnen helpen in het bepalen van identiteit van het datagenererende proces.

In de praktijk blijkt dat het aantal te schatten coëfficiënten niet groter is dan twee en daarmee kunnen we een vijftal basis modellen onderscheiden. Dit varieert van een MA(q) of AR(p) met een eerste of tweede orde vertraging. Deze ordes kunnen we aan de hand van de patronen in de correlogrammen van de ACF en de PACF van de gedifferentieerde tijdreeks identifice-ren.

De ACF en de PACF kunnen overigens ook gebruikt worden voor seizoensmodellen. In dat geval duiden significante uitschieters in de correlogrammen bij een periodiek aantal vertra-gingen op een mogelijk seizoenseffect.

2.2.2 Schatten van modelparameters

Voor het schatten van de parameters van het ARMA model is een aantal methoden voor han-den. Zo kunnen we volgens Enders (1995 ) gebruik maken van het Akaike Information Crite-rion

ln( ) ,

AIC T= ⋅ RSS +n (2.34)

met het aantal gebruikte observaties T en n het aantal te schatten parameters van het model. Waarbij RSS de som is van de gekwadrateerde residuen. Of we kunnen gebruik maken van het Schwartz Bayesian Criterion

ln( ) ln( ),

12

met T het aantal gebruikte observaties en

n

het aantal te schatten parameters van het model. In principe kan het AIC ook gebruikt worden voor het bepalen van de orde van het ARMA model. Een verhoging van het aantal parameters in het model leidt tot een verlaging in de gekwadrateerde residuen, maar leidt dit tevens tot een minder spaarzaam gebruik van para-meters en verhoogt het aantal vrijheidsgraden.

Als het te schatten model een puur AR(p) model betreft, dan is het een lineair schattingspro-bleem en kan Ordinary Least Squares worden toegepast. OLS schatters zijn gelijk aan de Maximum Likelihood (ML) schatters, als het een eindige steekproef betreft. Om van een ML schatting gebruik te mogen maken moeten we wel de vector van de residuen normaal veron-derstellen.

Zodra er in het model een MA component aanwezig is, wordt het een niet-lineair schattings-probleem dat kan worden opgelost met een Nonlinear Least Squares (NLS) gebaseerd op een Gauss-Newton algoritme. De NLS benadering is een minimalisatie procedure, waarbij de som van de gekwadrateerde residuen wordt geminimaliseerd.

2.2.3 Statistische modeldiagnose

Met behulp van een statistische modeldiagnose kunnen we de kwaliteit van het model vast-stellen. Een veel gebruikte statische maatstaf is de Ljung-Box Q-statistic, die gebaseerd is op de residuen van het model. Daarnaast kunnen we ook een grafiek maken van de residuen om deze te onderzoeken op de aanwezigheid van uitschieters en perioden waarin het model de data minder goed fit.

13

In de Box-Jenkins (1976) benadering staat het spaarzame gebruik van parameters centraal. Voor de overall fit wordt meestal gekeken in deze context naar het AIC en/of SBC criterium.

Het geschatte ARMA(p,q) model, weergegeven in vergelijking (2.10), kan met behulp van de Lag operator indien aan de inverteerbaarheidsconditie is voldaan, geschreven worden als

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

_t

B L A L Y

( )[ ( )

_t

].

ε

₌

−

₋

δ

_(2.36)

De autocorrelaties van de geschatte residuen zouden theoretisch onder de nulhypothese een witte ruis proces moeten volgen, waarbij alle autocorrelaties gelijk zijn aan nul. Met behulp van de specificatietoets vermeld in Taylor (1986) kan worden gekeken of een waarde voor

k

r binnen het test interval valt, waarbij

1 2 1 ˆ ˆ ( )( ) , ˆ ( ) t n t t k t k k t n t t r

ε ε

ε

= − = + = = = (2.37)

voor k =1,2,...,. Waarbij r_k bij benadering r_k N(0,1/ )n voor hoge waarden voor n en k>5.

Een andere wijze voor het toetsen van deze nulhypothese is de Box-Pierce toets met

2 2 1 ( ) k K k , K p q k Q K n = r _{− −} = = Χ (2.38)

of de modified Box-Pierce toets

2 2 1 1 2 2 1 ( )* ( 2)k K[ /(k )] , K p q p q k Q K n n = r n k _{− − − −} = = + − Χ (2.39)

14 2.2.4 Voorspellen

Een belangrijke toepassing van ARMA( , )p q modellen is het voorspellen van toekomstige waarden. De functie met een voorspellende waarde is de conditionele verwachting van Y_t, die we definiëren als

E y |F

(

_{t t-1}

)

, waarbij F_t-1alle informatie bevat die beschikbaar is op

1

t− .

De conditionele verwachting voor een ARMA( , )p q convergeert naar haar niet conditioneel gemiddelde en is gelijk aan

t+1 t 1 E(Y | ) . 1 p _i i

δ

α

= = − F (2.40)

De kwaliteit van het voorspellen kunnen we bepalen aan de hand van de variantie van de voorspelfout. De voorspelfout kunnen we schrijven als

(

)

1 1 1

|

1

.

t t t t t

f

+

=

Y

+

−

E Y

+

F

=

ε

+ (2.41)

De variantie van de voorspelfout wordt dan

(

)

(

)

2 2

1 1 1 1 0

(

t

)

t t

|

t

(

t

)

.

Var f

+

=

Var Y

+

−

E Y

+

F

=

Var

ε

+

=

λ σ

(2.42) De variantie van de voorspelfout voor ft g+ resulteert in

2 2 2 2 2

0 1 2

(

t g

)

[

...

g

].

Var f

₊

=

σ λ

+

λ λ

+

+ +

λ

(2.43)

Nemen we van (2.43) de limiet voor g→ ∞ dan tendeert 2 2 0 ( n g) i i Var f +

σ

∞

λ

= → (2.44)

15

2.3 Van homoscedasticiteit naar heteroscedasticiteit

We hebben nu een discreet tijdsmodel bekeken waarin de stochastische ter-men

ε

_t IID(0,

σ

2) identiek en onafhankelijk waren verdeeld, waardoor de mogelijkheid om volatiliteitsclustering te modelleren werd uitgesloten. Volatiliteitsclustering, zoals Mandelbrot (1963) het beschreef, bestaat uit grote veranderingen die worden opgevolgd door grote veranderingen, zowel negatieve als positieve, en kleine veranderingen worden opge-volgd door kleine veranderingen.

In het navolgende hoofdstuk zal de assumptie van homoscedasticiteit worden losgelaten, waarbij de residuen niet meer onafhankelijk, maar nog wel serieel ongecorreleerd zijn.

In paragraaf 2.2 is de variantie van

ε

_t constant en dus homoscedastisch verondersteld. Een alternatieve veronderstelling van homoscedasticiteit is heteroscedasticiteit. We kunnen de heteroscedastische gedragingen, waarbij de variantie

ε

_t in dit geval proportioneel is aan de variabele Zt, op verschillende manieren specificeren. Hieronder zijn enkele van de meest gangbare vormen opgesomd:

2 2 ( )t t t; 0; 1,..., , var

ε

=

σ

=

δ

Z

δ

> t= n (2.45) 2 2 2 ( )t t t ; 0; 1,..., , var

ε

=

σ

=

δ

Z

δ

> t = n (2.46) 2 2 1 2 1 ( )t t t; 0; 1,..., , var

ε

=

σ

= +

δ δ

Z

δ

> t= n (2.47) 2 2 1 2 ( )t t exp( t); 1,..., . var

ε

=

σ

=

δ δ

+ Z t= n (2.48)

16

3 ARCH & GARCH Models

Engle (1982)stelde een nieuwe klasse van stochastische processen voor. Deze klassen noemt men autoregressieve conditionele heteroscedastische processen en worden verkort aangeduid als ARCH(p) processen en zal in paragraaf 3.1 worden beschreven. Deze processen maken gebruik van recente informatie en beschrijven de conditionele variantie.

Paragraaf 3.2 omvat het werk van Bollerslev (1986). Deze breidde het werk van Engle (1982) uit door het ontwikkelen van een techniek, die toestaat dat de conditionele variantie een AR-MA proces volgt, waardoor nog steeds de Box-Jenkins methode, Box and Jenkins (1976), kan worden toegepast. Deze techniek wordt veel gebruikt bij het modelleren van univariate processen, waaronder het GARCH model.

3.1 Autoregressive Conditional Heteroscedastic (ARCH ) Proces

Eén van de modellen aangereikt door Engle (1982) is het conditioneel heteroscedastische ARCH(p) model met

1/ 2_, t t t Y =

ν

h (3.1) en 2 0 1

,

q t i t i i

h

α

α

Y

₋ =

=

+

(3.2)

waarbij de reeks

ν

t een witte ruis is en

α

i de constanten zijn voor i=0,...,q.

We zien in vergelijking (3.2) dat 2

t

Y een AR(q) proces volgt. Om er verzekerd van te zijn dat dit AR proces stabiel is, dient te gelden dat _i

1

<1

q i

α

= .

17 2 0 1 ( )t t q i t i i E Y E

ν α

α

Y₋ = = + . (3.3)

De uitwerking van de verwachting van vergelijking (3.3) geeft, gegeven dat

E

( )

ν

_t

=

0

en

(

t t i

)

0

E

ν

Y

−

=

voor iedere i=1,..,q, een verwachting die gelijk is aan nul

( )

2 0 1 ( )t t q i t i 0. i E Y E

ν

E

α

α

Y₋ = = + = (3.4)

Voor de variante van Y_t geldt dat

2 2 2 0 1 ( )_{t t} q _{i t i} i E Y E

ν α

α

Y− = = + . (3.5)

Uit het gegeven dat

ν

_teen witte ruis proces en

ν

_ten Y_t onafhankelijk volgt dat

( )

2 2 2 0 1

( )

_{t t} q _{i t i} i

E Y

E

ν

E

α

α

Y

− =

=

+

. (3.6)

Uit de expansie van de tweede term volgt

2 0 0 0 1 1 1

...

n q q q i t i i i i i i

E

α

α

Y

−

E

α

α

α

α

= = =

+

=

+ +

. (3.7)

Nemen we van (3.7) de limiet voor n naar oneindig dan resulteert de vergelijking (3.6),

gege-ven dat _i 1

<1

q i

α

= en E

( )

ν

_t2 =1, in 2 2 0 q i i=1 E( )= 1- t Y

σ

α

α

= . (3.8)

De niet-conditionele variantie is dus constant.

18 q 2 0 i i=1

1-

,

α

=

σ

α

(3.9)

en deze vervolgens invullen in de vergelijking van (3.1) dan volgt q 2 2 i i=1 1

1-

q t t i t i i

Y

ν σ

α

α

Y

− =

=

+

. (3.10)

We zien dan dat (3.10) een combinatie is van een globale lange termijn variantie tezamen met een gewogen gemiddelde van lokale varianties 2

t Y .

In tegenstelling tot de rolling standaarddeviatie, waarbij alle observaties een gelijke weging hebben of dat observaties langer dan een maand geleden niet meer in het proces worden be-trokken, biedt het ARCH proces een alternatieve manier van wegen van de observaties.

In het navolgende bekijken we de conditionele verwachting en de conditionele variantie. De conditionele verwachting kunnen we schrijven als

2 1 0 1 ( t | t ) t q i t i , i E Y ₋ E

ν α

α

Y₋ = = + F (3.11)

Evenals voor de conditionele verwachting als de niet-conditionele verwachting geldt dat

2 1 0 1 ( t | t ) t q i t i 0. i E Y ₋ E

ν

E

α

α

Y₋ = = + = F (3.12)

Voor de conditionele variantie geldt

2 2 2 1 1 0 1 ( t | t ) t q i t i i E Y ₋ E

ν

₊

α

α

Y₋ = = + F . (3.13)

Aangezien E( ) 0

ν

_t = ,

E

(

ν

_{t t i}

Y

−

)

=

0

en E

( )

ν

t2+1 =1 kunnen we (3.13) schrijven als

2 2 1 0 1

(

_t

|

_t

)

q _{i t i} i

E Y

−

α

α

Y

− =

=

+

F

. (3.14)

19

Het ARCH(q) proces heeft in deze exercitie een gemiddelde van nul, is serieel ongecorre-leerd, heeft een variabele conditionele variantie en een constante variantie. Daarnaast zien we dat het ARCH(q) correspondeert met een AR(q) proces voor Yt2.

Er zijn verscheidene toepassingen voor ARCH(p) modellen sinds de residuen onder andere kunnen komen van autoregressie, een ARMA model of een standaard regressie model. Zo schatte Engle (1982) in zijn paper de residuen van het standaard multiple regressiemodel van de looninflatie spiraal voor de UK met een ARCH proces en liet hierin zien dat het mogelijk is het gemiddelde en de variantie van een serie gelijktijdig te modelleren.

Als we een ARCH regressiemodel van Higgins and Bera (1992) beschouwen onder de as-sumptie van normaliteit en we stellen dat Y_t zowel een lineaire combinatie van vertraagde endogene als exogene variabelen bevat inX_t, waarbij het gemiddelde van Y_t gelijk is aan

t

X

β

, dan kunnen we de conditionele verdeling van Y_t schrijven als

(

'

)

1 | , , t t t t Y F− N X

β

h (3.15) met ' _. t Y Xt t

ε

= −

β

(3.16)

De variantie kan in algemene termen omschreven kan worden als

{

1, 2,...., ,

}

,

t t t t p

h =

ε ε

− −

ε

−

α

(3.17)

met αen

β

vectoren met nog nader te bepalen coëfficiënten.

3.2 Generalized Conditional Heteroscedastic (GARCH) Proces

20

volgens Enders (1995 ) een unitroot toe in de conditionele variantie en laat schokken dus een permanente invloed hebben op de conditionele variantie.

Als we het gemiddelde constant beschouwen dan kunnen we { }Yt schrijven als

.

t t

Y = +

µ ε

(3.18)

Het proces van de residuen kan volgens Enders (1995 ) worden uitgedrukt in een GARCH(p,q) model waarbij

, t v ht t

ε

= (3.19) en 2 1 1 , q p t i t i j t j i j h

ω

α ε

₋

β

h₋ = = = + + (3.20) met

ω

>0,

α

i ≥0,

β

j ≥0 en

σ

v2 =1.

De voorwaarde voor het algemene GARCH(p,q) model beschreven in (3.20) is dat alle

para-meters positief zijn of gelijk zijn aan nul enmax( , ) 1

(

) 1

p q i i i

α β

=

+

<

. Dit impliceert dat de niet-conditionele volatiliteit bestaat en dit is tevens de noodzakelijke voorwaarde voor de stabili-teit van het stochastische proces.

Het meest populaire model onder de GARCH(p,q) modellen is het GARCH(1,1) of IGARH(1,1) vanwege zijn spaarzame gebruik aan parameters. De conditionele variantie wordt door Hull (1986) omschreven als

2 2 2

1 1,

t V t t

σ

=

γ

+

αε

− +

βσ

− (3.21)

onder de conditie dat de constanten

γ α

, en

β

gesommeerd gelijk zijn aan

γ α β

+ + =1. De variantie 2

t

hui-21

dige variantie

σ

_t2₋₁en de huidige gekwadrateerde residuen

ε

_t2₋₁, die de nieuwe informatie bevatten.

3.2.1 Modelidentificatie

Met behulp van de (augmented) Dickey and Fuller (1979) test kan er worden getest op uni-troot voor hogere orde processen. Als uit de test toch blijkt dat de coëfficiënten sommeren tot één, dan is er op zijn minst een karakteristieke wortel gelijk aan 1.

De Phillips and Perron (1988) test is een generalisatie van de Dickey-Fuller procedure en is iets milder wat betreft de assumpties van de residuen onder de Dickey-Fuller test, waar wordt verondersteld dat de residuen onafhankelijk en ongecorreleerd moeten zijn. Andere unitroot- testen zijn die van Nelson and Charles (1982) en van Perron and Vogelsang (1992).

The Box-Jenkins methodologie, Box and Jenkins (1976), kunnen we ook hier toepassen op de residuen om de orde p en q van het model te bepalen.

Hogere orde GARCH modelleringen worden meestal gebruikt wanneer een zeer lange hori-zon aan historische data wordt gebruikt. Een veelgebruikt model beschreven door Engle and Lee (1992) voor de lange termijn horizon is het GARCH(2,2) model, welke ook wel het component model wordt genoemd. Dit model wordt ook veel toegepast als startpunt voor tijdreeksen die een snelle en langzame informatiegraad vereisen in het model.

3.2.2 Schatten van de modelparameters

Hoe goed een model de data repliceert, wordt in de Ordinary Least Squares benadering be-paald door de _R2 _{of het gemiddelde van de gekwadrateerde residuen, RSS.}

22

waarde van _R2_{, maar gaat ten koste van een verlaging van het aantal vrijheidsgraden. Voor} de mate van de globale fit van het model worden veelal de AIC en/of SBC criteria gebruikt.

Zodra het stochastische volatiliteitsmodel is gekozen kan het worden gekalibreerd ten opzich-te van de beschikbare data. Het principe van maximum likelihood is het kiezen van schatopzich-ters, die asymptotisch efficiënt zijn voor een parameter of een verzameling van parameters. De techniek omvat het kiezen van de waarden van de parameters zodanig dat de likelihood wordt gemaximaliseerd.

De parameters van het GARCH(1,1) model kunnen worden geschat met behulp van de maximum likelihood. We kunnen de conditionele loglikelihoodfunctie conditioneel op h₀

definiëren als 2 1 1 1

1

1

( )

ln(2 )

ln( )

,

2

2

2

T T T t T t t t t t

T

L

h

T

h

ε

θ

π

= = =

= −

−

−

(3.22)

met

θ

=( , , )

ω α β

de vector met de te schatten parameters.

De Maximum Likelihood Estimator (MLE),

θ

ˆ

ML, wordt verkregen door (3.22) te

maximali-seren ofwel de eerste orde partiële afgeleide te vinden van

ln ( )LT

θ

_0.

θ

∂ ₌

∂ (3.23)

23 0 2 _{( )} , t T L A E θ θ

θ

θ θ

₌ ∂ = − ∂ ∂ (3.25)

Lumsdaine (1996) liet in zijn artikel zien dat de Quasi-Maximum likelihood(QML) schatters consistent en asymptotisch normaal zijn voor een GARCH(1,1) proces.

0

ˆ

( n ) D (0, ),

n

θ θ

− →N Q (3.26)

Volgens McCullough and Charles (1998) is in deze context de quasi-maximumlikelihood schatter (QMLE) Q gelijk aan_{Q H g=} −1_{[ ( ) ( )'}

_θ

_g

_θ

_]H−1 _{met g( )}

_θ

_{de gradient en H( )}

_θ

_de hessiaan van de likelihoodfunctie. Hierdoor is het mogelijk om consistente schatters van het GARCH model te verkrijgen met behulp van QML.

In Bollerslev and Wooldridge (1992) is de Bollerslev-Woolridge (BW) schattter Q gelijk aan 1 1 Q I JI₌ − − _met 0 2 _{( )} ( ) t , T L I E θ θ

θ

θ

θ θ

₌ ∂ = − ∂ ∂ (3.27) en J is gelijk aan 0

( )

( )

_.

t t T

L

L

J E

θ θ

θ

θ

θ

θ

=

∂

∂

=

∂

∂

(3.28)

Volgens de Cramer-Rao ondergrens geldt dan dat de inverse van de informatiematrix de on-dergrens is van de variantie voor een onzuivere schatter van

θ

. Toetsen die betrekking heb-ben op de likelihood zijn Wald, Score en LR.

24 3.2.3 Statistische modeldiagnose

Na het schatten van de parameters in het model kunnen we ons richten op de mogelijke mis-vattingen van de assumpties in het model. Toetsen die we hiervoor kunnen gebruiken zijn:

• De Q-statistic, waarbij de uitkomst geleverd wordt door de Box-Pierce toets of de

(Portman-teau) Ljung and Box (1978) Q statistic, die een

_χ

2_{-verdeling volgt.}

• Jarque–Bera (1980) Normality test, Bera, Jarque and Lee (1984) • Engle (1982) ARCH LM test.

• Likelihood Ratio test (LR) voor het toetsen van GARCH versus ARCH,

Asymmetri-sche·GARCH versus GARCH.

3.2.4 Voorspellen

Het GARCH model wordt veel gebruikt voor het waarderen van derivaten, omdat de waarde-ring stijgt bij een stijging van de volatiliteit. De timing en de duur van de volatiliteitsclusters kunnen de waarde van bijvoorbeeld een volatiliteitswap significant veranderen. De mogelijk-heid om hiermee te kunnen voorspellen is dan ook van wezenlijk belang. De termijnstructuur van de volatiliteit is in dit geval een “mean-reversion” proces. Dat wil zeggen dat de volatili-teit terug gaat naar het lange termijngemiddelde, zijnde de niet-conditionele volatilivolatili-teit van het proces. Dit kunnen we herleiden als we de volatiliteit gaan voorspellen.

Als we in vergelijking (3.21) V gelijk stellen aan , dan kunnen we dit schrijven als,

2 2 2

1 1

t t t

σ

= +

ω α ε

₋ +

βσ

₋ . (3.29) Door middel van een iteratieproces kunnen we de conditionele variantie bepalen. We leiden eerst de conditionele variantie af van 2

t

σ

2 2 2 1 ( t | )t t t. E

σ

₊ F = +

ω αε

+

βσ

(3.30)

25 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 3 1 ( | ) ( ( | ) , ( | ), ( | ) ( | ), ( ) ( | ), ( | ) (1 ( )) ( ) ( | ). t t t t t t t t t t t t t t t t t t E E E E E E E E E E

σ

ω αε

β σ

ω α ε

β σ

ω α σ

β σ

ω α β

σ

σ

ω

α β

α β

σ

+ + + + + + + + + = + + = + + = + + = + + = + + + + F F F F F F F F (3.31)

De k-de iteratie resulteert in

1 2 1 2 1

1 (1 (

)

(

| )

(

)

(

| )

1 (

)

k k t k t t t

E

σ

ω

α β

α β

E

σ

α β

− − + +

− +

+

=

+

+

−

+

F

F

. (3.32)

Nemen we hiervan de limiet voor k naar oneindig, dan volgt hieruit dat de lange termijn vari-antie van het GARCH(1,1) proces tendeert naar

(

2

)

1 lim | , 1 t k t k E V

ω

σ

α β

+ − →∞ F = − − = (3.33) de niet-conditionele variantie, V.

Vergelijking (3.29) is ook wel de vorm waarin de parameters kunnen worden geschat. Als de variabelen

ω α

, en

β

zijn geschat, kunnen we

γ

bepalen als

γ

= − −1

α β

. De lange ter-mijn variantie V kan dan vervolgens worden berekend aan de hand van V =

ω γ

/ .

De lange termijn variantie, V,kunnen we schatten op basis van de historische data,

2 2 1 1 ˆ T _{( t ) .} t V r r T = = − (3.34)

Als we V in (3.33) de steekproefvariantie vervangen door (3.34) krijgen we 2

ˆ (1 )

V

ω

= − −

α β

.

26 3.3 Extensies van het GARCH model

ARCH en GARCH modellen veronderstellen dat de conditionele variantie symmetrisch ge-drag vertoont, waardoor het niet volledig in staat is om niet-normaliteit volledig te omvatten. Deze asymmetrie beschreven in Bakaert and Wu (2000) en Wu (2001) kan zich manifesteren in een negatieve relatie tussen rendementen en volatiliteit.

Dit effect noemt men ook wel het leverage effect. Hierbij dalen de aandelenprijzen, waardoor de financiële leverage, ofwel de verhouding van het vreemdvermogen tot het eigenvermogen, stijgt. Dit heeft tot gevolg dat het risico voor de aandeelhouder stijgt en wat de volatiliteit van het aandeel doet stijgen aldus Wong and Vlaar (2003).

Een ander effect is het volatility feedback effect (Campbell and Hentschel, 1992). De econo-mische verklaring die wordt gegeven door Pindyck (1984) en French, Schwert and Stamb-augh (1987) is dat een stijging van de volatiliteit van de markt leidt tot hogere verwachtingen van het rendement, welke leidt tot lagere aandelenprijzen.

We beschouwen in navolgende een aantal populaire GARCH modellen. Een van deze popu-laire modellen is het EGARCH model van Nelson (1991). Dit is een asymmetrisch model en verschilt van het GARCH model dat het (3.38) rekening houdt met de asymmetrie in de con-ditionele variantie.

Als we { }Yt schrijven als

. t t Y = +

µ ε

(3.35) en . t v ht t

ε

= (3.36)

dan kunnen we het EGARCH model als volgt specificeren,

27

{ }

2 / Gaussian 1 2 2 _{Student's t} , 2 t j t j t j E z E h

π

ν

ε

ν

ν

π

− − − − Γ = = ₋ Γ (3.38)

met

ν

>2 vrijheidsgraden. Het leverage effect zoals eerder besproken is terug te vinden als

leverage component in vergelijking (3.37), 1 1 t t h

ε

γ

− −

. Als deze component negatief is er sprake

van een leverage effect.

De meest populaire extensies van het GARCH model zijn waarschijnlijk wel het Tresshold of Tree ARCH model, aangeduid als TGARCH, voorgesteld door Rabemananjara and Zakoian (1993) en het GJR-GARCH model van Glosten, Jagannathan and Runkle (1993).

Als we het algemene asymmetrische model voor de conditionele variantie h_tbeschouwen

/ 2 / 2 1 1 ( 0) ( 0) , q p t j t j t j j t j t j i t i i i hλ

ω

α ε

+I

ε

λ

α ε

−I

ε

λ

β

hλ − − − − − = = = + > + ≤ + (3.39)

met I( )⋅ een indicator functie. ls

λ

=1, dan hebben we het over een TGARCH of Tresshold GARCH met ht gelijk aan

1/ 2 1/ 2 1 1

(

0)

(

0)

,

q p t j t j t j j t j t j i t i j i

h

ω

α ε

+

I

ε

α ε

−

I

ε

β

h

− − − − − = =

= +

>

+

≤

+

(3.40)

28

En als

λ

=2 dan bepalen we het GJR-GARCH model, waarbij wij GJR-GARCH model beschrijven als als

2 2 2 2 , 1 1 1 p q q t i t i j t j j t j t j i j j

h

ω

β

h

α ε

γ ε

S

− − − − − = = =

= +

+

+

(3.42) waar

1

0

,

0

t j t j

S

anders

ε

− − −

<

=

met de conditie dat

1 1 1

1

1 en dat >0,

0,

0,

0,

0.

2

p q q i j j i j j j j i j j

β

α

λ

ω

β

α

λ

α λ

= = =

+

+

<

≥

≥

≥

+

≥

Voor het Asymmetrisch GARCH, AGARCH(1,1), model Engle (1990) is de volgende speci-ficatie van toepassing voor de conditionele variantie

2

1 1

( ) .

t t t

h = +

ω α ε

₋ +

γ

+

β

h₋ (3.43)

Engle and Ng (1993) lieten in hun artikel zien dat EGARCH en GJR-GARCH modellen beter presteerden dan AGARCH modellen.

3.4 Samenvatting

Het GARCH model houdt rekening met kurtosis en volatiliteitsclustering van een financiële tijdreeks en voorziet in een accurate voorspelling van de variantie en covariantie van de ren-dementen van financiële waarden.

29

De conditionele variantie, bekeken voor een vrij klein tijdsinterval, is interessanter voor een belegger met een actieve portefeuille dan met een passieve portefeuille, waarbij een a “buy and hold strategy” wordt toegepast. In het laatste geval zal namelijk de niet-conditionele va-riantie, ofwel de lange termijn voorspelling, een meerwaarde hebben.

Het GARCH model is een belangrijk instrument voor het voorspellen. Helaas levert het voor-spellen niet altijd het gewenste resultaat op, omdat sommige oorzaken van de verandering in de volatiliteit niet worden meegenomen. Hierbij valt te denken aan crashes en andere niet geanticipeerde gebeurtenissen, die kunnen leiden tot structurele veranderingen.

Heteroscedastische processen weten een deel van de dikke staarten in de verdeling te verkla-ren, maar niet volledig en daarom worden er ook wel andere verdelingen toegepast waaronder Student-t verdeling.

4 Multivariate GARCH modellen

Tot nu hebben we alleen nog maar univariate tijdreeksen behandeld. Maar meestal bestaat de data uit meerdere geobserveerde tijdreeksen. We definiëren Y_t nu als een d dimensionale stochastische vector Yt={ ,..., }.Yt₁ Ytd In de modellering van de tijdreeksen zal nu rekening

moeten worden gehouden met de correlaties. De covariantiematrix bestaat nu uit auto- en kruiscovarianties.

30

Schrijven we hierbij de returns als de standaarddeviatie vermenigvuldigd met de storingen

(0,1)

t

ε

voor i =1,2, dan kunnen we dit schrijven als , , , , i t i t i t r = h

ε

(4.2) met 2 ,

( |

, 1

).

i t i t t

h

=

E r

F

₋ (4.3)

Als we bovenstaande substitueren in (4.1) dan zien we dat de conditionele correlatie gelijk is aan de conditionele variantie tussen de storingen.

1, 2, 1 12, 2 2 1, 2, 1 1, 1 2, 1 ( | ) ( | ). ( ) ( ) t t t t t t t t t t t E E E E

ε ε

ρ

ε ε

ε

ε

− − − − = F = F F F (4.4)

In de financiële wereld wordt veel gebruik gemaakt van de rolling correlatie als schatter. Deze wordt uitgedrukt als

1 1, 2, 1 12, _{1 1} 2 2 1, 2, 1 1 ˆ . t s s s t n t _{t t} s s s t n s t n r r r r

ρ

− = − − − − = − − = − − = (4.5)

We kunnen de correlatiematrix constant of tijdvariërend in het model opnemen. In het model van Bollerslev (1990) wordt verondersteld dat de conditionele correlaties constant zijn. In paragraaf 4.1 beschouwen we het Constant Conditional Correlation (CCC) model van Boller-lev (1990) met tijdsvariërende conditionele varianties en covarianties en een constante corre-latiematrix.

31

4.1 CCC-GARCH Model, Bollerslev (1990)

Een versimpelde versie van een multivariaat GARCH dat veelal toegepast wordt is het Con-stant Conditional Correlation model geïntroduceerd door Bollerslev (1990). In dit model worden de univariate processen geschat voor elk financieel instrument en vervolgens wordt de correlatiematrix geschat. De assumptie om de correlatie constant te houden maakt, volgens Engle and Sheppard (2001), het schatten van het model gebruiksvriendelijk voor de modelle-ring van een groot aantal instrumenten. Daarnaast is de schatter positief-semi-definiet (PSD) door te vereisen dat de univariate conditionele variantie niet-negatief en dat de correlatiema-trix van volle rang is.

Laat Y_teen k-dimensionale vector met k assets 1 [ ,..., ] ,T t t kt Y = Y Y (4.6) met , t t t t Y = + Σ

µ

Z (4.7) en (0, ), t k Z IID I (4.8)

De conditionele variantie V_t kunnen we dan schrijven als 1

( | ) T ,

t t t t t t t t

V =Cov Y F₋ = Σ Σ = ΩD D (4.9)

met Ω_tde conditionele correlatiematrix en D_t = h_{i t,} met h_{i t,} gedefinieerd in(4.3). Als schatter voor Ω_t kan de niet-conditionele correlatie van de gestandaardiseerde residuen wor-den gebruikt.

32

In het CCC-GARCH model is Ω = Ω_t , met ij2 univariate GARCH processen.

1 12 1 1 2 21 2 2 1 2

0

..

0

1

..

0

..

0

0

..

0

1

..

0

..

0

:

:

:.

:

:

:

:.

:

:

:

:.

:

0

0

..

..

1

0

0

..

t d t t d t t dt d d dt

V

σ

ρ

ρ

σ

σ

ρ

ρ

σ

σ

ρ

ρ

σ

=

t

Ω is de correlatiematrix die de conditionele correlaties bevat. Dit kunnen we zien als we (4.9) herschrijven als ' 1 1 1 ( _{t t} | _t ) _{t t t} , E

ε ε

D V D− − − = = Ω F (4.10) waarbij

ε

_{t =}D r_t−1_t.

4.2 DCC-GARCH Model, Engle (2002)

Engle (2002) stelde een nieuwe klasse schatter voor die het voordeel van het schatten van het CCC model van Bollerslev (1990) behield en toeliet dat de correlaties met de tijd variëren. Het DCC model is een nieuwe klasse binnen de multivariate modellen. Het model heeft de flexibiliteit van een univariaat Garch model gecombineerd met een schaars gebruik aan pa-rameters, waarvan het aantal lineair groeit binnen het parametrische model voor correlaties. Daarnaast kunnen de parameters worden geschat in een tweestaps-procedure zodanig dat het aantal te schatten parameters die gelijktijdig geschat kunnen worden relatief klein is. In de eerste stap kunnen univariate GARCH modellen geschat worden voor elke asset en deze be-hoeven niet equivalent te zijn. Vervolgens kunnen de gestandaardiseerde residuen, die we hebben verkregen uit de eerste stap, inzetten om de modelparameters van de correlatie te schatten tussen de instrumenten.

Het DCC model is gebaseerd op rendementen van de tijdreeksen die conditioneel multivari-aat normaal zijn

1

| (0, ),

t t t

33

met V_t de conditionele covariantiematrix ( | ₁) T 1/ 2 1/ 2.

t t t t t t t t

V =Cov Y F₋ = Σ Σ =D ΩD Ieder element op de diagonaal van de matrix D_t kunnen we beschrijven als een univariaat GARCH model gelijk aan vergelijking (3.20). De conditionele correlatiematrix kunnen we in dit geval dan schrijven als

-0.5 -0.5 t t t =diag(Q ) Q diag(Q ) , t Ω (4.12) met ' ' t 1 1 t-1 Q =Q (

ττ

− −A B)+A

ε ε

_t− _t− +B Q , (4.13)

A en B een k x k symmetrische matrix,

ε

_{t =}D_t−1/ 2( )r_{t ,}

_τ

_{een vector met énen en}

1 ' 1 n t t t

Q n

−

ε ε

=

=

. Hierbij is Q de niet-conditionele correlatiematrix van de gestandaardi-seerde (volatility adjusted) residuen. Hierbij is het Hadamard product.

Als een van de matrices _{A B of,}

_ττ

'_{− −A B PSD is dan volgt dat}

t

Q PSD aldus Ding and Engle (2001). Hierbij zij opgemerkt dat de elementen van Ω_t,

, , , , , , , i j t i j t ii t jj t q q q

ρ

=

met q_{ii t,} , q_{jj t,} en q_{ij t,} elementen van Q_t.

Als we in vergelijking (4.13) de elementen van A gelijk stellen aan α en de elementen van B gelijk stellen aan

β

, in vergelijking (4.13) dan kunnen we Q_tschrijven als

'

t 1 1 t-1

Q =Q(1− −

α β αε ε

)+ t− t− +

β

Q , (4.14)

met

α

en

β

scalairen. Op deze manier geïmplementeerd zijn alle correlaties gelijk.

34

4.2.1 Schatten van de DCC modelparameters

Het schatten van de parameters van het model wordt in een tweestaps-procedure volbracht. In de eerste stap worden de univariate GARCH modellen geschat voor ieder instrument en in de tweede stap de correlaties tussen de instrumenten.

De loglikelihood functie van (4.14) kunnen we uitdrukken als

' 1 1 1 _{ln(2 ) ln | | ,} 2 T t t t t t L k

π

V r V r− = = − + + ' 1/ 2 1 1/ 2 1 1 _{ln(2 ) ln | | ,} 2 T t t t t t t t t t L k

π

D D r D− −D− r = = − + Ω + Ω ' 1 1 1 ' 1 1 ln(2 ) 2ln | | ln | | , 2 T t t t t t t t t t t t t L k

π

D

ε

−

ε

r D D r− −

ε ε

= = − + + Ω + Ω + −

die we kunnen maximaliseren voor de parameters van het model.

Uit het artikel van Newey en McFadden (1994) blijkt dat als aan bepaalde voorwaarden is voldaan de parameters van het DCC nog steeds consistent en asymptotisch normaal zijn.

We kunnen de loglikelihood ook schrijven als de som van de loglikelihood van de volatiliteit en de loglikelihood van de correlatie. Als we hierbij stellen dat we de parameters van D_t

35 We kunnen (4.17) verder uitschrijven als

2 , , 1 1 , 1 ( ) ln(2 ) ln( ) , 2 T k i t V i t t i i t r L h h

θ

π

= = = − + + (4.18)

en zien dan dat de volatiliteitsterm de som is van de individuele GARCH likelihoodfuncties.

Het maximaliseren van de gezamenlijke loglikelihood bestaat uit een tweestaps-procedure welke in eerste instantie de likelihood maximaliseert voor

{

}

ˆ arg max LV( ) .

θ

=

θ

(4.19)

Deze uitkomst gebruiken we vervolgens in de tweede stap, zijnde

{

ˆ

}

max

_ϕ

L

C

( , ) .

θ ϕ

(4.20)

5 Beschrijving van de data

De indices die gebruikt worden in de analyse zijn opgesplitst in 3 categorieën, zijnde de aan-delen-, vastgoed- en obligatiemarkt. Voor de aandelenmarkt zijn de FTSE World Developed Total Return (FTS7DEV), de FTSE All World Series Emerging Markets (FTSALEM), de MSCI Total Return Small Cap (GCUDWI) gebruikt. Voor de vastgoedmarkt wordt gebruik gemaakt van de EPRA/Nareit Global Total Return Real Estate (RNLG) index en voor de obligatiemarkt de EFFAS Government Bond Index > 1Yr (EUGATR). Deze obligatie-index heeft een looptijd (duration) >1 jaar.

36

De FTSE All-World Index Series is een large/mid Cap aandelen index bestaande uit 2700 aandelen en dekt ongeveer 98% van de geïnvesteerde marktkapitalisatie. Deze aandelenindex is onderverdeeld in FTSE World Developed en de FTSE All World Emerging Markets.

De FTSE World Developed (FTSEDEV) index. Deze index bestaat uit een samenstelling van 28 landen, 12 globale regio’s en 7 economische sectoren en vertegenwoordigen een marktka-pitalisatie van 85% van deze 28 landen. De marktkamarktka-pitalisatie bedraagt 28,815 miljard dollar voor 2036 aandelen.

FTSE All-World Emerging Market (FTSEEMM) index. Deze index meet het rendement van ongeveer de top 90% large en midcap van de emerging market aandelen. De FTSE All-World Emerging Index belegt in 25 opkomende markten die jaarlijks worden herzien.

De MSCI World Small Cap USD(MSCISML) index vertegenwoordigt het small cap segment in 23 van de ontwikkelde aandelenmarkt. De marktkapitalisatie bedraagt rond de 720 miljard dollar die belegt is in 1722 aandelen.

De EPRA/Nareit Global Real Estate(EPRAGLR) index is een vastgoedindex die onderver-deel wordt naar 3 onderliggende categorieën, die gebaseerd zijn op 37 indices in de Azië-Pacific, Europa en Noord-Amerika. De index bestrijkt 28 landen met een totale freefloat van 200 miljard dollar en bevat 247 vastgoedaandelen.

De Effas Governement Bond Index >1 Yr (EFFASBI) is een obligatiemarktindex met een totaal uitstaand nominaal bedrag van 3036.49 mln. dollar. De index bevat obligaties met een looptijd (duration) langer dan 1 jaar uit het Euroblok.

37

Figuur 1: Aandelen en vastgoed Indices ; 1 Jan. 1999 - 1 Jan. 2007.

Figuur 2: Index en duration van de EFFAS Obligatiemarkt > 1 Yr; 1 Jan. 1999 – 1 Jan. 2007.

38

Historische gebeurtenissen hebben een significante invloed hebben op de financiële markten. Een aantal van deze gebeurtenissen, in de periode van 1 januari 1999 tot en met 1 januari 2007 hebben plaatsgevonden is verzameld in onderstaande tabel.

In zien we de invloed van een gebeurtenis, uitgedrukt in rendementen, na 21 en na 60 dagen op de diverse indices. Het effect van een crisis is dus niet altijd aanwezig en daarnaast zien we hoe snel een effect wegebt ofwel de beurs herstelt

Tabel 1 zien we de invloed van een gebeurtenis, uitgedrukt in rendementen, na 21 en na 60 dagen op de diverse indices. Het effect van een crisis is dus niet altijd aanwezig en daarnaast zien we hoe snel een effect wegebt ofwel de beurs herstelt

Tabel 1: Historische gebeurtenissen.

Het totale rendement voor de verschillende indices staan vermeld in Tabel 2. Hieruit blijkt dat ondank de terroristische aanslagen e.d. het totale rendement voor small caps en emerging market niet gering is met minimaal 240%.

39

Voor het bepalen van de conditonele variantie worden de indexreeksen getransformeerd naar logrendementen op dagbasis. We definiëren het logrendement, ook wel continuously com-pounded rate of return genoemd, als

1

ln

t

,

t t

S

y

S

₋

=

(5.1)

voor t=2,...,Tmet St de geobserveerde tijdreeks ofwel indexwaarden. Het aantal

waarne-mingen voor S_t, T, bedraagt in dit geval 2087.

In zijn de logrendementen weergegeven. We zien daarin dat grote prijsveranderingen neigen te worden opgevolgd door grote veranderingen (onafhankelijk van het teken) en kleine ver-anderingen worden veelal gevolgd door kleine verver-anderingen. Dit wordt ook wel volatiliteits-clustering genoemd.

40

De statistieken van de getransformeerde logrendementen worden weergegeven in Tabel 3. Het gemiddelde,

µ

_c, is berekend over de logrendementen en is hier dus de “continously compounded rate of return”, waarbij het gemiddelde van de “geometric rate of return”,

µ

het cumulatieve rendement is, waarbij eµc = +1

µ

. Het gemiddelde is voor alle reeksen zeer

klein te noemen en de standaarddeviatie is zoals verwacht voor aandelen groter dan voor obligaties. De standaarddeviatie is, zoals gebruikelijk, uitgedrukt in jaren

(

σ σ

= daily 250 .

)

Als we dit in combinatie bekijken met het totaalbehaalde rendement dan is er vanuit het risi-corendement perspectief dus relatief weinig rendement behaald voor de FTSEDEV versus de EFFASGB.

Tabel 3: Statistieken dagelijkse logrendementen.

In navolgende testen we of de reeksen normaal verdeeld zijn en of de reeksen seriële autocor-relatie vertonen. De maatstaven voor het toetsen op normaliteit zijn scheefheid, kurtosis en de Jarque-Bera test. Voor het toetsen van seriële autocorrelatie en volatiliteitsclustering gebrui-ken we de Ljung-Box Q test, de McLeod-Li Q (1983), ARCH-LM test en bekijgebrui-ken we de correlogrammen.

41

kritieke waarde met een

χ

_α2-verdeling met

α

=0.05en 2 vrijheidgraden zodat we de nulhy-pothese in alle gevallen verwerpen. De P-waarde geeft aan of er twijfel bestaat t.a.v. het ver-werpen van de nulhypothese. De P-waarden in Tabel 4 zijn voor alle reeksen significant. Tabel 4: Normaliteittoets.

Om ons te vergewissen of de logrendementen seriële correlatie vertonen toetsen we deze met behulp van de Ljung-Box Q test op 21 tijdsvertragingen. De toetsgrootheid van de Ljung-Box Q test heeft een

χ

2-verdeling met m=21 vrijheidgraden.

Tabel 5: Autocorrelatietest logrendementen.

Als we verder de Box-Jenskens methode vervolgen, bekijken we de ACF en PACF correlo-grammen. We zien in Figuur 4 geen significante uitschieters voor de diverse vertragingen.

42

In een financiële tijdreeksanalyse wordt voor het toetsen op volatiliteitsclustering de McLe-od-Li Q (1983) test gebruikt. Deze test is speciaal geval van de Ljung-Box(1978) Q, maar wordt getest op

ε

t2. De significante autocorrelaties van de gekwadrateerde logrendementen

leveren het bewijs voor volatiliteitsclustering dat veroorzaakt kan zijn door een hoge waarde van de kurtosis. Hierbij heeft de toetsgrootheid, in

Tabel 6, van McLeod-Li Q (1983) een

_χ

2_{-verdeling met k vrijheidgraden met k=21} ver-tragingen.