PCA van het DCC-model

Voor de PCA berekenen we dagelijks de eigenwaarden en eigenvectoren van de correlatiema-trix R_t uit het DCC model, waarbij R_t een ( x x )k k T matrix. In Figuur 8 worden de per-centages van de verklarende varianties per dag en de eigenwaarden (singuliere waarden) voor

1,...,

t= T weergegeven op basis van de correlatiematrix. Figuur 8: Singuliere waarde analyse

In Figuur 8 observeren we ten eerste dat de hoogste factor het grootste gedeelte van de vari-antie (66,06%, zie Tabel 12) op zich neemt. Het tweede wat opvalt, is het verschil tussen de hoogste en één na hoogste factor, wat duidt op een onderlinge samenhang.

De singuliere waarden kunnen we berekenen voor de correlatiematrices van het DCC model. De gemiddelden hiervan zijn weergeven in Tabel 12.

57

Tabel 12: Statistische eigenschappen singuliere waarden.

De gezamenlijke variantie van de twee factoren komt cumulatief neer op 83,2%. Door de singuliere waarden van de diverse criteria te analyseren kunnen we bepalen welke factoren er buiten beschouwing willen laten.

Figuur 9: Scree Plot en Parallel Analyse

Het Kaiser Criterion, Scree plot en Variance explained criteria duiden op twee onafhankelijke factoren. De andere criteria duiden op één factor, wat in dit geval zou deze duiden op een gezamenlijke factor. De vraag alleen is welke weging elke variabele heeft in een bepaald component en is deze weging constant over de tijd? Om deze vraag te kunnen beantwoorden, moeten we de factorladingen van de variabelen per component bekijken. In Figuur 10 laten we de factorladingen van factor 1 en 2 en in figuur 11 laten we de factorladingen van de fac-toren per variabele zien.

58 Tabel 13: Gemiddelde Factorladingen.

Als we de factorladingen bekijken van component 1 dan zijn de factorladingen voor de vier aandelenreeksen gemiddeld negatief afhankelijk van factor 1 met (-0.9). De EFFASGB heeft een positieve lading ten aanzien van factor 1 (0.4). Obligaties lijken dus in zekere mate af-hankelijk te zijn van de factor 1 in de periode waarin de correlatie tussen aandelen en obliga-ties negatiever begint te worden. Dit blijkt ook in Figuur 10 waarin de factorlading voor EF-FASGB voor factor 1 en factor 2 kunnen waarnemen. Daarnaast zien we dat de hoogste fac-torlading van factor 2 ten deel vallen aan obligaties zij het ook weer in mindere mate in de periode 2000-2005. We zien hier ook dat FTSEEMM enige lading ontwikkeld in deze perio-de naar factor 2.

Figuur 10: Tijdreeks van de Factorladingen per component.

Het patroon van de factorlading kunnen we ook weergeven in een zogenaamd scatterplot waarbij de ladingen van de factoren voor de variabelen worden afgebeeld.

59 Figuur 11: Factorladingen per variabele.

Bij ongecorreleerde variabelen is de uitkomst van een PCA gebaseerd op twee onafhankelijke factoren. Bij een hoge correlatie zie je dat de variabelen afhankelijk zijn van één of meer gemeenschappelijke factoren. Hetgeen wij waarnemen in Figuur 11 is een combinatie van beide!

60

Deze relatie tussen de correlatie in de variabelen en de factoren kunnen we inzichtelijk maken als we de factorladingen verdelen in twee perioden voor de FTSEEMM en de EFFASGB. In de periode voor 2000 en na 2005 laden de factorladingen zich op factor 1 voor aandelen en op factor 2 voor obligaties. In de periode tussen 2000 en 2005, waarin de aandelenindices en de obligatieindex (EFFASGB) licht negatiever gaan correleren, verschuiven de ladingen zich naar de andere factor. In hoge mate zien we dit terugkomen in Figuur 12 voor de obligatiein-dex en in mindere mate voor de aandelenindices.

Figuur 12: factorladingen van FTSEEMM en EFFASGB.

De PCA kunnen we ook verrichten op de logrendementreeksen. We kunnen dan zien of het patroon dat we hebben verkregen met de PCA op de correlaties van het DCC model ook aan-treffen in de PCA op de logrendementen.

61 6.3 PCA van de Logrendementen

In deze paragraaf gaan we een factoranalyse uitvoeren op de niet-conditionele correlatiema-trix, Tabel 5, van de gestandaardiseerde logrendementen.

Tabel 14: Factorladingen logrendementen.

Als we de factorladingen bekijken van Tabel 14 zien we hetzelfde patroon weer terug als we hebben gezien in Tabel 13. De aandelen hebben alleen een hoge lading voor factor 1. De ladingen voor obligaties (EFFASGB) is voor hoog voor factor 2 maar leunt ook gedeeltelijk op factor 1.

6.4 Conclusie

Beide PCA’s, zowel de PCA op de logrendementen als de PCA op het DCC model, leveren nagenoeg dezelfde uitkomst, waarbij de PCA op de logrendementen maar één waarneming heeft en de PCA op het DCC model correlaties geeft over de tijd. De PCA van de logrende-menten bevestigt het gevonden patroon van factorladingen van de PCA van het DCC model. Het gemiddelde van de waarnemingen van de PCA van het DCC model komt overeenkomt met de PCA van de logrendementen. De PCA van het DCC model verschaft ten opzichte van de PCA van de logrendementen ook inzicht in de verandering van de factorlading naar de onderliggende factoren gedurende de geobserveerde periode. Op een verandering in een van de factoren zou in een vroeg stadium kunnen worden geanticipeerd. Dit kan door bij te sturen in de assetallocatie naar een minder risicovolle assetallocatie of het bepalen van een assetal-locatie waarbij deze niet berust op een van de factoren.

62

De constatering dat meerdere meetpunten een betere inschatting geven in de PCA kunnen we natuurlijk ook maken ten aanzien van de niet-conditionele correlatiematrix versus de conditi-onele correlatiematrices. De niet-conditiconditi-onele correlatiematrix geeft één observatie, terwijl de conditionele correlaties van het DCC model worden weergeven over de tijd. Zo geeft de niet-conditionele correlatiematrix een over- of onderschatting van de correlatie als we deze verge-lijken met de conditionele correlatiematrices van het DCC model.

63

7 Referenties

ATKINSON,K.E. (1989): An Introduction to Numerical Analysis. John Wiley & Sons.

BERA, A.K., C.M.JARQUE, and L.-F. LEE (1984): "Testing the Normality Assumption in Limited Dependent Variable Models," International Economic Review, 25, 563-578.

BISSELING, VARDY, PELETIER, and SEVERENS (2006): "Brainstormen Voor Bruikbare Wiskunde," Amsterdam, 44-51.

BOLLERSLEV,T. (1986): "Generelized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity,"

Jour-nal of Econometrics, 31, 303-27.

— (1990): "Modelling the Coherence in Short-Run Nominal Exchange Rates: A Multivariate Generalized Arch Model," The Review of Economics and Statistics, 72, 498-505.

BOLLERSLEV,T., and J.WOOLDRIDGE (1992): "Quasi Maximum Likelihood Estimation and Inference in Dynamic Models with Time-Varying Covariances.," Economic Reviews, 11, 143-172.

BOX,G.E.P., and JENKINS (1976): Time Series Analysis: Forecasting and Control. Holden-Day.

DARTON,R.A. (1980): "Rotation in Factor Analysis," The Statistician, 29, 167-194.

DICKEY,D.A., and W.A.FULLER (1979): "Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root," Journal of the American Statistical Association, , 74, 427– 431.

ENDERS,W. (1995 ): Applied Econometric Time Series. John Wiley & Sons, Inc.

ENGLE, R.F. (1982): "Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation," Econometrica, 50, 987-1008.

— (2002): "Dynamic Conditional Correlation: A Simple Class of Multivariate Garch Mod-els," Forthcoming Journal of business and Economics Statistics.

ENGLE,R.F., and V.K.NG (1993): "Measuring and Testing the Impact of News on Volatil-ity," The Journal of Finance, 48, 1749-1778.

ENGLE, R.F., and K.SHEPPARD (2001): "Theoretical and Empirical Properties of Dynamic Conditional Correlation Multivariate Garch," NBER Working Paper 8554.

64

GLOSTEN,L.R., R.JAGANNATHAN, and D.E.RUNKLE (1993): "On the Relation between the Expected Value and the Volatililty of the Nomina Excess Returns on Stocks.," Journal of

Finance, 48, 1779-1801.

HIGGINS,M.L., and A.K.BERA (1992): "A Class of Nonlinear Arch Models," International

Economic Review, 33, 137-158.

HULL,J.C. (1986): Options, Futures and Other Derivatives. Prentice-Hall, Inc.

LIU,S.-M., and B.W.BRORSEN (1995): "Maximum Likelihood Estimation of a Garch-Stable Model," Journal of Applied Econometrics, 10, 273-285.

LJUNG,G.M., and G.E.P.BOX (1978): "On a Measure of Lack of Fit in Time Series Mod-els," Biometrika, 65, 297-303.

LUMSDAINE,R.L. (1996): "Consistency and Asymptotic Normality of the Quasi-Maximum Likelihood Estimator in Igarch(1,1) and Covariance Stationary Garch(1,1) Models,"

Econo-metrica, 64, 575-596.

MANDELBROT, B. (1963): "The Variation of Certain Speculative Prices," The Journal of

Business, 36, 394-419.

MCCULLOUGH,B.D., and G.R.CHARLES (1998): "Benchmarks and Software Standards: A Case Study of Garch Procedures " Journal of Economic and Social Measurement 25, 59-71. NELSON,C.R., and I.CHARLES (1982): "Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series: Some Evidence and Implications," Journal of Monetary Economics, 10, 139-162. NELSON,D.B. (1991): "Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach,"

Econometrica, 59, 347-370.

PERACCHI,F. (2001): Econometrics. John Wiley & Sons Ltd.

PERRON,P., and T.J.VOGELSANG (1992): "Testing for a Unit Root in a Time Series with a Changing Mean: Corrections and Extensions," Journal of Business & Economic Statistics, 10, 467-470.

PHILLIPS,P.C.B., and P.PERRON (1988): "Testing for a Unit Root in Time Series Regres-sion," Biometrika, 75, 335-346.

RABEMANANJARA,R., and J.M.ZAKOIAN (1993): "Treshold Arch Models and Asymmetries in Volatility," Journal of Applied Econometrics, 8, 31-49.

STEWART,J. (1991): Econometrics. Philip Allan.

65

WONG,A.S. K., and P.J.G.VLAAR (2003): "Modelling Time-Varying Correlations of Fi-nancial Markets.," DNB.

YEOMANS,K.A., and P.A.GOLDER (1982): "The Guttman-Kaiser Criterion as a Predictor of the Number of Common Factors," The Statistician, 31, 221-229.