Contrast detail detectie bij echografie

Contrast detail detectie bij echografie

Citation for published version (APA):

van Oostrom, J. H. M. (1987). Contrast detail detectie bij echografie. (IPO-Rapport; Vol. 614). Instituut voor Perceptie Onderzoek (IPO).

Document status and date: Gepubliceerd: 11/10/1987

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

Instituut voor Perceptie 0nderzoek Postbus 513 - 5600 MB Eindhoven

Rapport no. 614

Contrast Detail Detectie bij echografie

Contrast Detail Detectie

bij echograf ie

door: Hans van Oostrom

begeleider: dr.ir.

J.B.O.S Martens

11 oktober 1987

Technische Universiteit,

Instituut voor Perceptie Onderzoek

S a m e n v a t t i n g

In dit verslag worden de theoretische achtergronden beschreven

voor Contrast Detail Detectie bij echografie. Als eerste wordt

daarbij een korte inleiding over echografie in het algemeen

gegeven. Verder worden de programma's beschreven die geschreven

zijn om de data van de echobeelden uit Nijmegen om te zetten naar data voor het beeldbewerkings-systeem van het IPO.

Als laatste worden de resultaten gegeven van de toetsing van de

gegeven theorie. Conclusies daarvan zijn dater geen reden is om

aan te nemen dat de theorie niet klopt. Verder kan geconcludeerd

worden. dat het niet nodig is om een Y factor in de berekening

I n h o u d

Samenvatting i

Inleiding . . . iii

Echografie

2 Contrast Detail Detectie 2.1 lnleiding

3

2.2 Contrast-Detail curves

2.3 Het communicatie probleem

2.4 Bepaling van de beslissingsfunctie 2.5 Analyse van de beslissingsfunctie

2.6 Beslissingfunctie met Y anders dan 2 2.7 bepaling van de optimale gamma

Programma's

. .

3.1 Inleiding 3.2 IPECHO 3.3 DlWi?ECHO 3.4 IPMEM 3.5 HISPLOT 3.6 File namen 4 Metingen 4.1 Inleiding

4.2 Rayleigh verdeling kegels en achtergrond 4.3 Meting contrast-detail curve

1 3 3 4 5 7 7 9 10 13 13 13 14 14 15 15 17 17 17 17 5 Conclusies en aanbevelingen . . . 20 Literatuur 21

I n l e i d i n g

In het kader van een studie Electrotechniek aan de Technische

Universiteit in Eindhoven, is het nodig om twee interne stages te

volbrengen. De tweede van deze stages heb ik verricht bij het

Instituut voor Perceptie Onderzoek (IPO). Bij het IPO wilde men

in samenwerking met het Radboud Ziekenhuis in Nijmegen. onderzoek doen naar Contrast Detail Detectie bij echografie.

Mijn taak daarbij was het verifieren van bestaande technieken en

computerprogramma's schrijven om de data van de beelden uit

Nijmegen op een goede manier op het beeldbewerkings-systeem van

Echografie is een afbeeldingstechniek waar gebruik wordt gemaakt

van ultrageluid. Ultrageluid is geluid met een frequentie hoger

dan door het menselijk oor waargenomen kan worden. In de

geneeskunde wordt ultrageluid met een frequentie tussen 1 en

10 MHz gebruikt.

Bij echografie

bepaalde richting

worden periodiek korte geluidspulsen in een

het lichaam ingezonden en in de periode tussen

twee pulsen wordt geluisterd naar eventuele terugkomende echo's.

Het tijdverschil tussen het uitzenden van een puls en het

terugontvangen van de echo is een maat voor de afstand tot het

reflecterende object, omdat de geluidssnelheid overal in het

lichaam (behalve in bot) ongeveer dezelfde waarde heeft.

Een reflectie van een geluidsgolf onstaat overal waar de golf een

verandering in akoestische impedantie tegenkomt. Er zijn twee

soorten reflectie: -speculaire reflectie -diffuse reflectie Speculaire reflectie abrupte. stapvormige ontmoet, bijvoorbeeld

reflecteert dan in een

onstaat wanneer

verandering in de

de begrenzing van

enkele richting, van uitval is hoek van inval.

de geluidsgolf een

akoestieke impedantie

een orgaan. D~ golf

volgens de regel: hoek

Diffuse reflectie ontstaat wanneer een geluidsgolf een groot

aantal veranderingen in akoestieke impedantie ontmoet, die elk

zeer klein van afmeting zijn, zoals bijvoorbeeld bloedlichaampjes

in een bloedvat. De golf reflecteert dan in alle richtingen: we

spreken dan ook wel van scattering. Op het echografie-plaatje

ontstaan door correlatie speckle cells. Dit zijn kleine stippen

van een bepaalde diameter (vastgelegd door het echo systeem) waar het beeld uit is opgebouwd.

Bij echografie wordt hetzelfde element dat de geluidssignalen

uitzendt meestal ook gebruikt om de echo's terug te ontvangen

(transducer).

gepresenteerd worden:

De A-mode (Amplitude mode), waarbij de reflecties als

piekjes worden weergegeven als functie van de tijd. Hierdoor is

de positie van zo'n piekje direct gerelateerd aan de positie van

het reflectievlak in het lichaam.

De B-mode (Brightness mode), waarbij de reflecties in plaats

van piekjes zoals bij de A-mode, weergegeven Worden als

lichtpuntjes van verschillende intensiteit.

Met de B-mode is het mogelijk, door een scantechniek toe te

passen, een beeld te vormen. Er kan, door de transducer snel rond

te laten draaien, een heel vlak bestreken worden, waaruit een

beeld gevormd kan worden. Ook kunnen er een heleboel transducers naast elkaar geplaatst worden. [1)

~

~

C o n t r a s t D e t a i l D e t e c t i e

2.1 Inleiding

Onderzoek naar detectie van objecten met laag contrast ten

opzichte van de achtergrond is nodig omdat dit soort plaatjes

voorkomen bij onder andere leveronderzoek. Als er in de lever een

lesie zit, dan is het zaak dat dat zo snel mogelijk gezien wordt

om een behandeling te kunnen starten. Bij een beginnende tumor

ontstaat in de lever een kleine structuur verandering in het

weefsel. Hierdoor onstaat een klein contrastverschil ten opzichte van de achtergrond (de lever zelf).

Het is moeilijk om detectie onderzoek aan de hand van echte

lever-plaatjes te doen. omdat die oncontroleerbaar zijn wat

betreft contrast en grootte van de lesie. Ook is nooit een

voldoende aantal verschillende (wat betreft contrast en detail)

plaatjes beschikbaar.

Om bovenstaande problemen op te lossen is een contrast-detail

phantom voor diagnostisch ultrageluid gemaakt (zie figuur 2.1).

figuur 2.1 contrast-detail phantom

Het phantom bestaat uit een blok met materiaal dat zich in een

echograf1e gedraagt als weefsel. Het materiaal bestaat uit gels

op water of olie basis. waarin kleine reflecterende deeltjes

zitten. In het phantom z1tten acht kegels op een diepte 7,5

centimeter, dit om organen zoals de lever te simuleren. Elke

contrast ten opzichte van de achtergrond heeft, tot een contrast van 12.4 dB.

Door nu de plaats van de doorsnede met echografie te varieren.

kan de grootte van het object op de echo gevarieerd worden. [2]

2.2

Contrast-Detail curves

Met het in de vorige paragraaf beschreven phantom is het mogelijk

om een hele serie plaatjes met objecten van verschillende dikte

en met verschillend contrast, op te nemen. Met deze plaatjes is

het mogelijk om detectie experimenten te doen. De plaatjes worden

dan voorgelegd aan personen die moeten bepalen of een object wel

of niet zichtbaar is.

Op basis van een 50/50 criterium (50% zag het object wel, 50% zag

het object niet) wordt een contrast detail curve uitgezet. Zo'n

curve ziet er uit als in figuur 2.2.

(dB) 20 18 16 1 ◄ 12 10 8 6 ◄ 2 2 4 Diameter (mm) 6 8 10

figuur 2.2 : een contrast detail curve

20

Het blijkt dus dat voor hoge contrast waarden l >4dB) de

contrast waarden ( <4dB het contrast.

is de detectie sterk afhankelijk van

2.3 Het communicatie probleem

In het gevai van detectie van kegels in een ruis achtergrond

kunnen we twee situaties onderscheiden: 1) Er is geen kegel aanwezig (alleen ruis) 2) Er is een kegel met ruis aanwezig

We kunnen een waarneming y definieren als

Y

=

n + 'T•S waarbij 'T

=

{0,1}.

n representeerd de ruis ens representeerd het signaal (van de

kege l) .

Bij het detecteren moet er een uitspraak worden gedaan over het

feit of 'T de waarde O danwel de waarde 1 had, teen het echobeeld

gemaakt werd.

Er zijn dus twee hypothesen

Ho

-r

=

0,

H1

'T =

1

die tegen elkaar getoetst moeten worden. Na toetsing komt er een van de twee mogelijke beslissingen:

Do : Ho

wordt aanvaard

D1 : H1

wordt aanvaard

Onder

Ho

zijn de beslissingen

Do

en

_D1

mogelijk.

Do

is juist,

D1

is fout en heet een loos alarm (false hit). Onder

H1

zijn ook de

beslissingen

Do

en

_D1

mogelijk.

Do

is onjuist. dit heet een miss,

en D1 is juist en dit heet een detectie. Er treden vier kansen op:

P mo

Ho)

=

1

- a

Pm1

Ho)

= a loos alarm kans

P m1

H1) =

pd detectie kans

P

mo

H1)

1 -

pd mis kans.

We kunnen nu stellen dat cie waarneming y in twee gebieden van de

uitkomstenruimte

Y

kan liggen, nl.

Yo

en

Y1.

Als y E

Yo

dan nemen

we besiissing D0 . Als y E Y1 dan nemen we beslissing D1.

We veronderstellen dater een kansdichtheid onder

Ho

is. die we

fo(Y) noemen. en een kansdichtheid onder

H1,

die we f1(Y) noemen.

a=

J

t

₀(y) dV

Yl

Voor de beslissingskans geldt nu:

pd=

I

fl (y) dV

Yl

2.0.1

2.0.2

We nemen nu een willekeurige detectie drempel T die de gebieden

Yo

en

_Y1

onderscheidt. Dan geldt voor de loosalarmkans:

m a =

J

f O (y) dy 2.0.3 T en voor de beslissingskans m pd=

!

fl(y) dy 2.0.4 T

Als we nu T de waardes van O tot m laten doorlopen. dan neemt a

zowel als Pd af van 1 tot 0. Het verloop kan worden uitgezet in

een zogenaamde detectiekromme. Zie figuur 2.3

Pd

i

/ T=• / , / , / 0 , / / 0

~

neemt toe / , / , / , / , / , / , / / / / / / T=O / / , / / figuur 2.3 detectiekromme

We merken hierbij op dat:

1

1) Een punt waarvoor a= Pd geldt, de slechts denkbare detector

is. Er wordt nameli_ik de beslissing

Do

of

n1

gedaan. zonder

kennis te nemen van de waarneming.

2) Het punt dat de ideale detectie situatie weergeeft bev1ndt

zich linksboven. Daar is a=O, Pd=l.

d( pd )

=

T

=

L( y

Hl

2.0.5

da L( y

_HO

)

waarbij L( y I

_Ho

) _de waarschijnlijkheidsverdeling

behorende bij f

O

(y) is, en zo ook L( y I H1) bij f 1 (y) .

2.4 Bepaling van de beslissingsfunctie

In het geval van kegels in een ruisachtergrond worden de

waarschijlijkheidsverdelingen voor de waardes van de sterktes van

de echo Vi worden afgeleid. (lii~M, waarbij M het aantal speckle

cells in het object is)

Vi gegeven signaalniveau • 1 : M . 2

w

(V./• 1)exp(-V./2•1> . l l l 1= 2.1 Vi gegeven signaalniveau •2 : M 2

=

w

(V./• 2lexp(-V./2•2l - l l l l"" 2.2 De drempel voor waardes van Vi is dan:

II T 12

=

L({Vi}l•l)/L({Vi}lv2) M 7r <•21•1) exp [

cvf

/2)

<¼

i=l 2 2.3 Ti2 wordt nu als volgt gedefinieerd:

M

v~

"'1 - •2

T12 = L ( 2• V )

i=l l 1 2

2.4

Omdat _"'1 en _"'2 constant zijn bij een bepaalde achtergrond en

kegel wordt alleen

M

T12 = _{. 1} L V~ _l 1=

1 i i i M 2.5

bekeken. Dit is nu onze beslissingsfunctie.

2.5 Analyse van de beslissingsfunctie

Om iets te kunnen zeggen over hoe de beslissingsfunctie zich

gedraagt is de distributie van T12 nodig. Vi volgt de Rayleigh

p(V 2 )

=

l/(2v)exp(-V 2/2v), Vl0. 2.6

Bij sommatie over i zal, als i->oo, volgens de centrale limiet

stelling. een Gaussische distributie ontstaan. Hierdoor zijn

alleen de gemiddelden E[Ti2lv1], _{E[T12 1v2}

J

en de bijhorende

varianties nodig. (X)

Met E[Vnl

=

J

vn p(V) dV en

0

var[Vn] = E[V 2n] - E[Vn] 2

E[T12l"'1]

=

2M'llf1 var[Ti2l"'1l

=

4M'llff krijgen we ElT12jv2 J

=

_2Mv2 var[T12 jv2 ]

=

4M'llf~ 2.7 2.8a 2.8b

Hiermee kunnen we de optimale signaal-ruis verhouding SNRopt

uitrekenen.

SNR _opt

=

ofwel cM•C-= ½

'ljf

waarbij S = oppervlakte object

Sc= grootte van de speckle cell

2.9

Als we nu de optimale SNR₀pt gelijkstellen aan een drempel SNRt

dan krijgen we:

2 1 ½

SNRt = (wd •w S •S ) •Cv

ex cz

Cv

=

SNRt<Scx•Scz>½

<-=

>

waarbij Sex= grootte vd cell in laterale richting

Scz

=

grootte vd cell in range richting

2.10

Op een log-log schaal zal Cv uitgezet tegen d dus een rechte lijn moeten zijn met helling -1.

Uit figuur 2.2 volgt dan met de definitie van Cv (vgl 2.9) figuur

1.0 0.6 0.3

c..,

0.2 0.1 Slope= -0.75 • 0.07 r = -0.92 3.4mm 2 3 6 10 Diameter (mm)

I

20

figuur 2.4 : Cv versus diameter d

2.6

Beslissingfunctie met Y anders dan 2

In de vorige beslissingsfunctie paragrafen is 2 T12

=

I Vi. steeds In de uitgegaan van de praktijk zal deze beslissingsfunctie niet goed bruikbaar zijn (omdat y _dan

dan 2 kan zijn). Beter is dan de meer algemene functie T

te gebruiken, waarbij y _{de overdracht}

in~ensiteitswaarde naar het oog representeert. algemeen geen 2 zijn. Als we uitgaan van

M T = IV~ . 1 l 1= van de y _zal

dan moeten we ook de distributiefunctie p(VY) gebruiken.

anders

y

=IV· _l echte in het

We moeten nu ook net als in paragraaf 2.4 E[Tlv1), E[Tlvz), en de variaties berekenen.

Rayleigh verdeling:

Stel y=Vy dan

p(V)

=

(V/v)exp(-v2;2v) p(y)

=

p(V)/gy dV p(y) = (V/v)exp(-V2/2v)/yVY-1 p (y)

=

L

-v

2 exp l 2.,, vYVY "'

In het geval Y=2: p(V2) = (1/2v)expt-V 2 /2v)

- 9

-2.11

CD E[V]

=

J

V•p(V) dV 0 CD E[g(X)] =

J

g(X)•p(X) 0

(D

; exp( E[Vy] =

J

Vy • 0 dX -v2 2'1i"

1

J(D

vY+l -v2 = _{exp (} 2'1i" 'ljr 0

= (

₂'1i") Y/2 r(Y+2)

2 )

(D

In 2.12 is gebruikt:

J

0 n-1 p 1 -n n x exp(-ux) dx s -•u•-•r<-> p p p

De functie r(x) staat getabelleert in bijlage

C.

stel Y""2 stel Y=4

Uit 2.7 volgt voor de variantie:

var[VY]

2.12

2.13

2.14

2.15

Op dezelfde manier als in paragraaf 2.4 kunnen we de optimale signaal-ruis verhouding SNRopt uitrekenen.

2.16

2.7

bepaling van de optimale gamma

In de vorige paragraaf is SNR₀pt (2.16) berekend.

Stel nu G(Y)

=

r(½Y+l)

{r(Y+l) -

f

(½Y+l) }½

Het verloop van G(Y) is uitgezet in figuur 2.5. Omdat v_{1 het}

signaal niveau is, en

v

₂ het achtergrond niveau. kunnen we

stellen dat v1-v2+6v. We zijn namelijk alleen ge1nteresseerd in

kleine contrast verschillen tussen kegel en achtergrond.

(v +Tv)Y/2 - VY/2

SNR

=

M½•G(Y)• 2 2

opt (₂vY)½

2

2.18

In de eerste orde benadering, waar (l+x)a ~ l+ax a<l

SNR = M½•G(Y)•-1.· ((1 + ov)Y/ 2 - 1) opt ~2

v

₂

=

M½•G(Y)•-1· (

Y.

ov) ~2 2

v

₂ 2.19 2.20

Als we SNRopt uitzetten tegen y, _{dan bl ijkt dit een functie te}

zijn met een maximium bij Y=2. Dit was ook te verwachten omdat

voor Y=2 er optimale detectie is. Ook kan opgemerkt worden dat de

functie vanaf Y=0,5 een heel vlak verloop heeft.

{;,(J')

- --- . ·- ----~ _.,

4

\

~ 1 1 1

_'1

_{5 !' ➔}

5

- 2 / I

1

figuur 2.6 SNRopt versus Y

In figuur 2.6 is gebruikt: M

=

10

3

Prograrnrna'e

3.1

Inleiding

De eerste serie beelden die uit Nijmegen kwamen, waren plaatjes

waarvan de data gedemoduleerde samples van de scanlijnen was. Het

programma IPECHO is geschreven om de data te interpoleren naar

een rechthoekig beeld met horizontale beeldlijnen.

Bij de tweede serie beelden waren de samples niet gedemoduieerd.

I

Het demoduleren is een omhullende detectie. Dit kan door het

beeldbewerkings-systeem gebeuren, omdat het beeld alleen door een

(ideaal) laag-doorlaat-filter gestuurd moet worden. Als eerste

wordt dan de ruwe

programma DUIVJ.PECHO.

data in het beeldgeheugen gezet met het

Vervolgens wordt er laag-doorlaat gefilterd

en wordt die data door het programma

IPMEM

ge1nterpoleerd tot een

normaal beeld.

Om de grijswaarde verdeling, berekend door

programma HISBLK, te kunnen printen of plotten is

HISPLOT geschreven.

3.2

IPECHO

het standaard

het programma

Het programma IPECHO leest eerst het koprecord van de file.

Hieruit worden verschillende gegevens over het plaatje gehaald,

zoals het aantal scanlijnen, het aantal samples per lijn en de

vertraging (het bovengedeelte van de echo wordt nl. niet

opgeslagen). Vervolgens worden twee lijnen uit de file gelezen.

Het inlezen van een lijn gebeurt in de procedure RDLINE. Dan

wordt voor de twee scanlijnen het snijpunt met een horizontale

lijn (jp) bepaald en worden de tussenliggende punten met lineaire

interpolatie berekend. Dit wordt voor alle horizontale lijnen

gedaan, en herhaald voor alle scanlijnen.

In figuur 3.1 staan de verschillende variabelen, die gebruikt

figuur 3.1

Als laatste worden

lijnen lijn voor lijn

files kunnen op het

gemaak.t met LDDIF.

3.3

DUMPECHO

xb-lp pr

=

blp + (alp-blp)xb _ xa

de interpolatie van de scanlijnen

de grijswaarden van de totale horizontale

naar een uitvoer file geschreven. Deze

beeldbewerkings-systeem zichtbaar worden

Dit programma leest dezelfde informatie uit het koprecord als

IPECHO. Vervolgens worden de scanlijnen lijn voor lijn naar het

beeldgeheugen geschreven. Hierbij gaat het laatste deel van elke

scanlijn, en dus het onderste gedeelte van het echobeeld,

verloren omdat de scanlijnen over het algemeen langer zijn dan

512. Als laatste worden de waardes van het aantal lijnen, het

aantal samples en de vertraging naar het scherm geschreven. Deze

waardes zijn nodig als invoer voor het programma

IPMEM.

3.4

IPMEM

De werking van IPMEM is hetzelfde

hier de datafile niet gelezen.

De

koprecord moet ingevoerd worden.

beeldgeheugen gelezen.

als van IPECHO. allen wordt

benodigde informatie uit het

3.5

HISPLOT

Het programma HISPLOT maakt van de data, gemaakt door HISBLK een

file popfil.dat genaamd, welke door het programma DISP geprint of

geplot kan worden. Langs de horizontale as worden de 256

grijswaardes uitgezet, en langs de vertikale as de aantallen

pixels met die bepaalde grijswaarde.

Het programma vraagt ook nog om een text

karakters op te geven, welke rechtsboven

staan.

3.6 File namen

van maximaal 30 in de plot komt te

Er zijn 3 verschillende soorten data files, omdat er op 3

verschillende momenten echobeelden zijn opgenomen.

- Files metals achtervoegsel .DAT.

Deze files zijn als eerste gemaakt, en de data is gedemoduleerd.

De data kan geinterpoleerd worden door IPECHO. Het cijfer achter

de K in de file naarn geeft de kegel aan. Waarbij 1 de kegel is

die het lichtste is ten opzichte van de achtergrond, en 8 de

kegel die het donkerste is. Het cijfer achter de D geeft de dikte

van de doorsnede aan. 1 is het dikste. Files die beginnen met IP

zijn al geinterpoleerd.

- Files metals achtervoegsel .DIF.

De data in deze files is niet gedemoduleerd. De echo's kunnen

zichtbaar gemaakt worden door de programma's DUMPECHO en IPMEM.

De getallen in de file naam achter de K geven de kegels aan.

Bijvoorbeeld 13 betekend kegels 1,2 en 3. Waarbij 1 de donkerste

kegel en 8 de lichtste. Het allerlaatste getal in de filenaam is

de doorsnede. Waarbij 1 de grootste doorsnede is en 14 de

- Files metals achtervoegsel

.PAT.

Fi lenaam ke9:elnummer doorsnede

keg000001 6 + 7 19 mm keg000002 5 + 6 keg000003 5 + 6 17 mm keg000004 5 + 6 keg000005 5 + 6 keg000006 5 + 6 keg000007 5 + 6 12 mm kegOOOOOB 5 + 6 keg000009 5 + 6 kegOOOOlO 5 + 6 keg000011 1 + 2 16 mm keg000012 1 + 2 keg000013 1 + 2 keg000014 1 + 2 keg000015 1 + 2 keg000016 1 + 2

keg000017 2 + 3 (draad in het midden)

keg000018 2 + 3 keg000019 2 + 3 keg000020 2 + 3 keg000021 4 + 5 keg000022 4 + 5 keg000023 4 + 5 keg000024 4 + 5 keg000025 4 + 5 keg000026 4 + 5 keg000027 4 + 5 keg000028 4 + 5

kegelnummer

8 :

licht t.o.v. achtergrond

kegelnummer

1 :

donker t.o.v. achtergrond

Alleen waar doorsnedes vermeld zij n, zijn de doorsnedes gemeten

bij het maken van de echobeelden.

4

M e t i n g e n

4.1 Inleiding

Om

de theorie van hoofdstuk 2 te

metingen gedaan. Van verschillende

toetsen kegels verdel1ng opgenomen. Verder is geprobeerd om curve met het 50/50 criteriurn te maken.

4.2 Rayleigh verdeling kegels en achtergrond

zijn de volgende is de grijswaarde een contrast-detail

Uit de bijlagen Bl tot en met B5 blijkt dat de kegels niet echt

aan een Rayleigh verdeling voldoen. De donkere kegels (K8)

voldoen beter dan de lichte kegels (Kl). Als de grijswaardes niet

aan een Rayleigh verdeling voldoen dan zal de in paragraaf 2.4

afgeleide theorie in het algemeen niet meer opgaan. Gezien het

feit dat de verdeling wel wat weg heeft van een Rayleigh

verdeling, en dat in paragraaf 2.4 de centrale limiet stelling

gebruikt wordt. zal de theorie van paragraaf 2.4 een redelijke

benadering ziJn van de werkelijkheid.

4.3 Meting contrast-detail curve

Een goede manier om een contrast-detail curve op te nemen staat

beschreven in [2]. Zes medische natuurkundigen kregen een aantal echobeelden met kegels en achtergrond voorgehouden. De waarnemers

moesten aangeven of de kegel wel of niet zichtbaar was, en hoe

groot de kegel zou zijn. Als gemiddelde diameter werd het

gemiddelde van de zes waardes genomen. De detectie grens werd met

een 50/50 criteriurn bepaald. Op deze manier onstaat een figuur

als in figuur 2.2.

Ik heb een heel beperkt aantal plaatjes bekeken, en daarvan

bepaald waar de grens tussen zichtbaar en onzichtbaar lag. De

diameter werd bepaald aan de hand van een aantal referentie

plaatjes. waar de diameter van gemeten is bij het opnemen van de

naam links rechts diameter kegl 19 mm keg2 2 l+S keg3 2+S 1 17 mm keg4 3+S 1 16

mm

keg5 3 1 14 mm keg6 4 1 13

mm

keg7 4 2 12 mm keg8 4 2 7 mm keg9 4 3 6 mm keglO 4 4 kegll 1 2+S 16 mm kegl2 1 2 14 mm keg13 1 2 keg14 2 3 7 mm keg15 3 4 6 mm keg16 4 4 keg17 l+S 2+S keg18 2 3 keg19 2 3 12 mm keg20 4 4 keg21 2 1 keg22 3 1 keg23 3 1 keg24 3 1 17 mm keg25 3a4 2 14 mm keg26 4 2 keg27 4 3 8 mm keg28 4

s

tabel 4.1 : contrast-detail metingen

1

=

zichtbaar

3 bijna onzichtbaar

S

=

storing

2

=

slecht zichtbaar

4

=

onzichtbaar

Aan de hand van deze tabel is een contrast-detail curve te maken.

De gegevens over het contrast van een kegel ten opzichte van de

achtergrond komt uit tabel 3.2.

Kegel

Contrast (dB)

1 2 3 4 5 6

7,0 -3,4 -1,8 1,8 3,6 7,1

tabei 3.2 : contrast van de kegels

7 8

8.9 12,4

Het contrast in tabel 3.2 is relatief ten opzichte van de

achtergrond.

getekend. (dB) 20 18 16 1 ◄ 12 10 8 6 ◄ 2 0 2 _◄ Diameter (mm) 6 ₈ 10

figuur 4.1 gemeten contrast detail curve

- 19

~

_-'

_{C o n c l u e i e e e n a a n b e ~ e l i n g e n}

1) Het is mogelijk gebleken om de echobeelden, zeals deze in

Nijmegen opgenomen zijn, goed om te zetten naar het

beeld-bewerkingssysteem van het !PO.

2) Als door verandering van de overdracht de factor Y

verandert. dan heeft dit nauwelijks effect op de detectie.

Voor 0.5

<

Y

<

5 verandert de Signaal Ruis verhouding

nauwelijks.

Aan te bevelen is dater. met wat meer data. een verantwoord

experiment wordt gedaan, om te kijken of er een contrast-detail

L i t e r a t u u r

[1) Metingen in de Geneeskunde II. Prof.dr.ir. J.E.W. Beneken e.a.

Diktaat TUE.

[2] A contrast-detail analyses of diagnostic ultrasound imaging,

S.W. Smith, H. Lopez

Med. Phys. 9(1). jan/febr 1982

[3) Statistische detectie en meettheorie. Prof .ir. E.W. Groneveld

Diktaat Technische Universiteit Twente, nr. 123112

[4) Low Contrast Detectability ans Contrast/Detail Analysis in

Medical Ultrasound. S.W. Smithe.a.

PROGRAM ipecho byte bdate(l0)

integer*2 ipar(50), nrec, lrec real*4 rpar(20)

real*8 r8par(20) byte freeb(l58)

byte inname(60), outname(60)

integer*2 i, j, flen, nlin, ilin, nsamp, delay, hori, vert, pri,n integer*4 jp,ip

real*4 dangle,tangle, anglel, angle2, scale, opx, opy real*4 xa,xb, ipa, ipb, r, ir, dr, pr

real*4 line1(1024), line2(1024) byte out(512,512)

byte prb

equivalence (pri,prb) parameter pi=3.14147

TYPE 100

.00 FORMAT ('$Enter input file name specification> ')

READ (5, 200, end=999) flen, inname

!00 FORMAT (q, 60al)

IF (flen .EQ. 0) GO TO 999

inname(flen+l)

=

0

TYPE 300

300 FORMAT ('$Enter output file name specification> ')

READ (5, 200, end=999) flen, outname

..

-....

...

-...

-...

-,.. .... ,.. .... IF (flen .EQ. 0) GO TO 999 outname(flen+l) = 0

OPEN (name=inname, unit=2, access='direct',

* recordsize=128, type='old', iostat=istat)

OPEN (name=outname, unit=7, access='sequential', form='unformatted',

*

recordsize=128, recordtype='fixed', type='new')

READ (unit=2, rec=l, err=998, iostat=istat)

*

nrec,lrec, bdate, ipar, rpar, r8par,freeb

nlin = ipar(33) nsamp = ipar(32) delay= ipar(18) hori=512 vert=512 dangle= 0 5*pi*l0./9./150. n=2

bereken de parameters voor de transformatie

CALL sctpar (nlin, nsamp, delay, dangle, hori, vert,

* scale, opx, opy, tangle)

haal de eerste scanlijn op nleft=128

CALL rdline(nlin,nsamp,n,line2,nleft) ilin=l

angle2

=

dangle*(ilin-1) - tangle/2

start loop voor de transformatie

haal steeds een lijn op en vul alle pixels tussen deze en de vorige lijn.

save de vorige lijn en lees de volgende. CALL copyar (line2, linel, nsamp)

anglel = angle2

CALL rdline(nlin,nsamp,n,line2,nleft) angle2 • dangle*(ilin-1) - tangle/2

vul alle pixels (ip, jp) die tussen sectorscanijn 1 en 2 liggen door middel van interpolatie.

Begin met loop voor de vertikale pixelcoordinaat DO jp=l, vert

Bereken de snijpunten van r1J JP met de vorige sectorlijn en de nieuwe in schermcoordinaten tov (opx, opy)

xa

=

(jp - opy)*tan(anglel)

xb = (jp - opy)*tan(angle2) ipa = int(xa) + 1

ipb

=

int(xb)

IF (ipb .LT. (-hori/2+1) .OR. ipa .GT. hori/2) GO TO 1000

DO ip

=

ipa, ipb

IF (ip .LT. (-hori/2+1) .OR. ip .GT. hori/2) GO TO 400

r

=

sqrt ((ip)**2 + (jp-opy)**2) / scale

ir s int(r - delay)

IF (ir .LT. 1 .OR. ir+l .GT. nsamp) GO TO 400

dr

=

r - int(r)

bepaal via interpolatie tussen omliggende sample punten de waarde van pixel (ip, jp)

aip = dr*(linel(ir+l) - linel(ir)) + linel(ir)

bip

=

dr*(line2(ir+l) - line2(ir)) + line2(ir)

pr= bip + (aip-bip)*(xb-ip)/(xb-xa) maak een getal tussen Oen 255 en

schrijf de gevonde waarde naar de outputmatrix pri=NINT(pr) IF (pri .LT. 0) pri=0 IF (pri .GT. 255) pri=255 out(ip+opx,jp)=prb ~00 END DO

;oo

END DO L000 END DO C

PRINT*,'--- values computed---' CLOSE(unit=2)

schrijf de outputmatrix naar de outputfile DO jp=l,512

WRITE(unit=7) (out(ip,jp),ip=l,512) END DO

PRINT*,'--- values written to file---' sluit de file af en stop

CLOSE (unit=7) GOTO 2000

... _{fouten afhandeling}

~

...

~

197 WRITE(S,900)

JOO FORMAT(' error writing output file') GO TO 2000

198 WRITE(S,901)

101 FORMAT(' error reading input file') GO TO 2000

}99 WRITE(S,902)

J02 FORMAT(' error reading file name')

?000 STOP

END

...

~---

_{SUBROUTINE sctpar (nlin, nsamp, delay, dangle, hori, vert,}

*

scale, opx, opy, tangle)

...

~---

_Auteur: Datum: ipo-versie: Bernard Oosterveld 14-mei-1985 23-maart-1987

Bereken parameters voor de transformatie van sectorcoordinaten

naar rechthoekige schermcoordinaten.

Input: nlin nsamp delay dangle hori vert Output: scale opx opy tangle

aantal lijnen in de sector aantal samples per lijn delay in aantal samples

hoek tussen de lijnen van de sector

aantal punten van het scherm horizontaal aantal punten van het scherm vertikaal schaalfactor van sector naar scherm

horizontale coord. vd tophoek van de sector vertikale coordinaat vd tophoek

totale openingshoek van de sector integer*2 hori,vert,nlin,nsamp,delay

real*4 dangle,scale,opx,opy,tangle real*4 height,width

tangle= (nlin-l)*dangle

height= delay*(l-cos(tangle/2)) + nsamp

width= 2*(delay + nsamp)*sin(tangle/2)

IF ((hori/width) .LT. (vert/height)) scale=hori/width

IF ((hori/width) .GE. (vert/height)) scale=vert/height

IF (scale .GT. 1.) scale= 1 !niet vergroten

opx = hori/2

opy = scale*(-delay*cos(tangle/2)) RETURN

END

:---

_{SUBROUTINE copyar (line2, linel, nsamp)}

..

_{~-- ---- -}

_---

_-

_---

_{- -}

---copieer line2 naar linel integer*2 nsamp, i

real*4 linel(nsamp), line2(nsamp) DO i=l, nsamp

END DO RETURN END

' '

---

_{SUBROUTINE rdline(nx,ny,n,bbuf,nleft)}

---lees de volledige sectorlijn, welke verdeeld is over verschillende records, in

integer*2 nrec, lrec integer*2 i,j,nleft,nx,ny integer*2 flen,n

real*4 bbuf(1024) real*4 rbuf(128),rnum nrec=n

READ(unit=2, rec=nrec, iostat=istat) rbuf

lrec = 0

DO WHILE (lrec .lt. ny) flen = ny - lrec IF (flen.ge.nleft) then DO j = 1, nleft rnum = rbuf(128-nleft+j) bbuf(j+lrec)

=

rnum END DO

lrec

=

lrec + nleft

nrec

=

nrec + 1

READ(unit=2, rec=nrec, iostat=istat) rbuf nleft-= 128 ELSE DO j = 1, flen rnum • rbuf(128-nleft+j) bbuf(j+lrec) = rnum END DO

nleft = nleft - flen lrec = ny END IF END DO n=nrec 000 RETURN END

..

-..

..

-..

Author: Hans van Oostrom

Date: 25-6-1987

This program interpolates the data as put in the image memory with the program dumpecho .

Before interpolating it is possible (and neccessary) to filter the image.

PROGRAM ipmem

integer*2 i, j, nlin, ilin, nsamp, delay, hori, vert, pri,n integer*4 jp,ip

real*4 dangle,tangle, anglel, angle2, scale, opx, opy real*4 xa,xb, ipa, ipb, r, ir, dr, pr

integer*2 line1(1024), line2(1024) byte out(512,512) byte prb ,rbuf(512) equivalence (pri,prb) parameter pi=3.14147 CALL MEMINI TYPE 110

Enter number of lines and the delay as printed by dumpecho

110 FORMAT('$Enter number of lines>')

READ(S,*) nlin nsamp=512 TYPE 130 130 FORMAT('$Enter delay>') read(S,*) delay hori=512

..

-

..

-..

-..

-..

_...

vert=512 dangle= O.S*pi*l0./9./150. n=2

calculate the parameters needed for the transformation CALL sctpar (nlin, nsamp, delay, dangle, hori, vert,

*

scale, opx, opy, tangle)

get the first scanline nleft=512 CALL MEMRD(6,0,0,0,1,0,512,rbuf) do i=l,512 line2(i) = IIV(rbuf(i)) end do ilin=l

angle2 = dangle*(ilin-1) - tangle/2

C

C start loop for the transformation

C get a line and fill all pixels between this line and the

C previous line

DO ilin=2, nlin

save the previous line and read the next line CALL copyar (line2, linel, nsamp)

anglel m angle2

CALL MEMRD(6,0,0,0,ilin,0,512,rbuf) do i=l,512

line2(i)

=

IIV(rbuf(i))

end do

angle2 = dangle*(ilin-1) - tangle/2

fill all pixels (ip,jp) that are between sectorscanline 1 and 2, by interpolating

Begin the loop for the vertical pixel coordinate DO jp=l, vert

Calculate the crossovers of row jp and the previous sectorline and of row jp and the new sectorline. The result is in

screencoordinates whit origin (opx, opy) xa = (jp - opy)*tan(anglel)

xb = (jp - opy)*tan(angle2) ipa = int(xa) + 1

ipb

=

int(xb)

IF (ipb .LT. (-hori/2+1) .OR. ipa .GT. hori/2) GO TO 1000

DO ip

=

ipa, ipb

IF (ip .LT. (-hori/2+1) .OR. ip .GT. hori/2) GO TO 400

r = sqrt ((ip)**2 + (jp-opy)**2) / scale

ir m int(r - delay)

IF (ir .LT. 1 .OR. ir+l .GT. nsamp) GO TO 400 dr = r - int(r)

Calculate by interpolation between the nearest samples the value of pixel (ip, jp)

aip = dr*(linel(ir+l) - linel(ir)) + linel(ir)

bip

=

dr*(line2(ir+l) - line2(ir)) + line2(ir)

pr= bip + (aip-bip)*(xb-ip)/(xb-xa)

make an integer between O and 255 and write that value to the output array

pri=NINT(pr) IF (pri .LT. 0) pri=0 IF (pri .GT. 255) pri=255 out(ip+opx,jp)=prb 100 END DO

;oo

END DO .000 END DO

PRINT*,'--- values computed---' write the outputarray to the screen do i=l,512

do j=l,512

rbuf(j) = out(j,513-i) end do

~ end do STOP END

#---~

SUBROUTINE sctpar (nlin, nsamp, delay, dangle, hori, vert,

* scale, opx, opy, tangle)

---Auteur: Datum: ipo-versie: Bernard Oosterveld 14-mei-1985

23-maart-1987 door Hans van Oostrom

Bereken parameters voor de transformatie van sectorcoordinaten naar rechthoekige schermcoordinaten.

Input: nlin nsamp delay dangle hori vert Output: scale opx opy tangle

aantal lijnen in de sector aantal samples per lijn delay in aantal samples

hoek tussen de lijnen van de sector

aantal punten van het scherm horizontaal aantal punten van het scherm vertikaal schaalfactor van sector naar scherm

horizontale coord. vd tophoek van de sector

vertikale coordinaat vd tophoek totale openingshoek van de sector integer*2 hori,vert,nlin,nsamp,delay

real*4 dangle,scale,opx,opy,tangle real*4 height,width

tangle= (nlin-l)*dangle

height= delay*(l-cos(tangle/2)) + nsamp

width= 2*(delay + nsamp)*sin(tangle/2)

IF ((hori/width) .LT. (vert/height)) scale=hori/width IF ((hori/width) .GE. (vert/height)) scale=vert/height

IF (scale .GT. 1.) scale= 1 !niet vergroten

opx = hori/2

opy = scale*(-delay•cos(tangle/2))

RETURN END

:---SUBROUTINE copyar (line2, linel, nsamp)

:---copieer line2 naar linel integer*2 nsamp, i

integer*2 linel(nsamp), line2(nsamp) DO i=l, nsamp

linel(i)=line2(i) END DO

RETURN END

=---c

_{This program dumps the data of the echo c}

on the screen. No filtering or whatsoever c

is done. c

:---c

program dumpecho byte bdate(lO)

integer*2 ipar(50), nrec, lrec real*4 rpar(20) real*B r8par(20) byte freeb(158) integer*2 i,j,nleft,nx,ny,off,boff integer*2 flen,delay byte fname(60) integer*2 buf(512),vword byte bbuf(1024),vbyte byte rbuf(512)

equivalence (buf(l),bbuf(l)), (vword,vbyte)

call MEMINI

type 100

100 format('$Enter file name specification> ')

read(5, 200, end=999) flen, £name

200 format(q, 60al)

.

...

. . .

.

..

. . .

.

,_

...

if (flen .eq. 0) go to 999 fname(flen+l) • 0

OPEN( name=fname, unit=2, access='direct',

*

recordsize=128, type='old', iostat=istat)

read heading record

read(unit•2, rec=l, err=999,iostat=istat)

*

nrec,lrec,bdate,ipar,rpar,r8par,freeb

get required information out of the heading record if (ipar(34) .ne. 6) call EXIT

nx

=

ipar(33) ny

=

ipar(32) delay= ipar(18) off= 0 boff

=

(ny - 512) / 2 nrec = 2

read the rest of the data line by line

one line is usually not the size of one record

read(unit=2, rec=nrec, err=999, iostat=istat) rbuf nleft = 512 rmin = 1000. rmax = -1000. call MEMCTL( 5, 0, 0, "377 do i

=

1, nx lrec = 0

do while (lrec .lt. ny) flen = ny - lrec

::

:: This program converts the datafile, as created by

:: the hisblk program of lisp, to a file named popfil.dat.

:: The file popfil.dat can be plotted on the NL200 VAX.

:: NOTE: The datafile for004.dat, as created by hisblk, has

:: to be renamed!

program hisplot integer*2 flen

byte fname(30), comtxt(30) character chartxt(30)

real*4 his(0:255), xhis(0:255) real*4 bar top

equivalence (chartxt,comtxt)

:: read input file

type 100

~00 format ('$Enter file name specification> ')

read (5,200) flen, fname

?00 format (q, 30al)

open (name=fname, unit=2, status='old', access='sequential') type 300

: read comment text

iOO format(' Enter comment text (max 30 characters) : ')

read (5,200) flen, comtxt

100 format (a) do i=0,255 read(2,*) his(i) end do close(unit=2) scaling top=0 do i=0,255

if (his(i) .gt. top) top=his(i) end do top=top+S0 : plot initialisation call COMPRS call UNITS('CM') call PAGE(25.,18.) call HEIGHT(.5) call SWISSL axis call XNAME('grijswaardes',12) call YNAME('aantal pixels',13) call INTAXS call YAXANG(0.) call AREA2D(20.,10.) call GRAF(0.,20.,260.,0.,50.,top) call MESSAG(%ref(chartxt),30,10.,11.) curve do i = 0, 255 xhis(i)

=

i end do bar= 20. / 255 call BARS(bar) call CURVE(xhis,his,256,0)

0

0

~

..

0

0

0

a,

0

...

0

(0

...

0

-·

...

_{(I) N}

~ 0

Q) Q) ...

...

_C.

..

0

(D (I)

...

0

0

...

_a,

0

N

0

0

~

0

~

0

N 0

0

aantal pixels

...

0 0

...

g

tr

C

-·

S

::,

(0 (D

tr

-·

(D

Q.

--.

(I)

n

a,

:::,

--·

:::,

~

8,1

I

@---·-·-300]

260

(I)

-

_~

200

·-

C.

-

QJ

160

....

C

QJ

ca

₁₀₀

60

0

0

II rt

buitengebied (geinterpoleerd)

~

I

! . ' I ·1.,,1

~

l

111111111!111111l1l,1111i111 .

20

40

80

80

100 120 140 180 180 200 220 240 260

grijswaardes

-Cl)

-

CD

)(

·-

C.

-

_...

(0 C (tJ (tJ

· ·

-k1d1 binnengebied (int)

260

200

~~p

160

100

60

o_...~

,

0

20

40

80

80 100 120 140 180 180 200 220 240 280

grijswaardes

(C

-,

-·

0) 0 CD 0

....

0

0

~-

_ti>

....

_N

~ 0

a,

a, ....

a.~

CD

ti>

....

0)

0

....

CD

0

N

0

0

~

0

~

0

N 0)

0

0 0, 0

aantal pixels

....

0

0

~

0

i

Q.

-■.A

O"

-·

:::,

:::,

CD

:::,

(C

CD

O"

-·

CD

Q.

lo

d) · - - - · · - - - · - - - , - - ~ - - - -

---

· - - · • - - - ~ - -

·---,

u,

-

_~

·-

_c.

-

...,

a,

C

a,

CD

300

260

0

k8d1 binnengebied

0

20

40

60

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

grijswaardes

-I I

GAM.'\1A FUNCTION A.."'\D RELATED FUNCTIONS

t;.OntA. Dlt;AW\IA A'.\D TRIG.01'1A ft:\CTIO'.\S Table 6.1

1.000 1.005 1.010 1.015 1.020 1.025 1. 030 1.035 1.040 1.045 1.050 1.055 1.060 1.065 1.070 1.075 1.080 1.085 1.090 1.095 1.100 1.105 1.110 1.115 1.120 1.125 1.130 1.135 1.140 1.145 1.150 1.155 1.160 1.165 1.170 1.175 1.180 1.185 1.190 1.195 1.200 1.205 1.210 1.215 1.220 1.225 1.230 1.235 1.240 1.245 1.250 f/.1') 1.00000 00000 0.99713 85354 0.99432 58512 0.99156 12888 0.98884 42033 0,98617 39633 o. 98354 99506 0,98097 15606 0.97843 82009 0,97594 92919 o. 97350 42656 o. 97110 25663 0.96874 36495 0.96642 69823 o. 96415 20425 0.96191 83189 o. 9 5972 53107 0,95757 25273 0.95545 94882 0,95338 57227 o. 95135 07699 0.94935 41778 0.94739 55040 0,94547 43149 0,94359 01856 0,94174 26997 0. 93993 14497 o. 9 3815 60356 0.93641 60657 0.93471 11562 o. 9 3304 09311 0.93140 50217 0,92980 30666 0,92823 47120 o. 92669 96106 0,92519 74225 0.92372 78143 0.92229 04591 0,92088 50371 0.91951 12341 0.91816 87424 0.91685 72606 0.91557 64930 0.91432 61500 0.91310 59475 o. 91191 56071 0.91075 48564 0,90962 34274 0.90852 10583 0.90744 74922 0.90640 24771 In ri.,J 0.00000 00000 -0.00286 55666 -0.00569 03079 -0.0084 7 45187 -0.01121 84893 -0.01392 25067 -0.01658 68539 -0.01921 18101 -0,02179 76511 -0.02434 46490 -0.02685 30725 -0.02932 31868 -0.03175 52537 -0.03414 95318 -0.03650 62763 -0.03882 57395 -0.04110 81702 -0.04335 38143 -0.04556 29148 -0.04773 57114 -0.04987 24413 -0.05197 33384 -0.05403 86341 -0.05606 85568 -0.05806 33325 -0.06002 31841 -0.06194 83322 -0. 06383 89946 -0.06569 53867 -0. 06 751 77212 -0.06930 62087 -0,071 Ob 10569 -0.07278 24716 -0.07447 06558 -0.07612 58106 -0.07774 81345 -0.07933 78240 -0.08089 50733 -0.08242 00745 -0.08391 30174 -0.08537 40900 -0.08680 34780 -0.08820 13651 -0.08956 79331 -0.09090 33619 -0.09220 78291 -0.09348 15108 -0.094 72 45811 -0.09593 72122 -0.09711 95744 -0.09827 18364 In y! .,, (1) -0.57721 56649 -0,56902 09113 -0.56088 54579 -0.55280 85156 -0.54478 93105 -0.53682 70828 -0.52892 10873 -0.52107 05921 -0.51327 48789 -0.50553 32428 -0.49784 49913 -0.49020 94448 -0.48262 59358 -0.47509 38088 -0.46761 24199 -0.46018 11367 -0.45279 93380 -0.44546 64135 -0.43818 17635 -0.43094 47988 -0.42375 49404 -0.41661 16193 -0.40951 42761 -0.40246 23611 -0.39545 53339 -0.38849 26633 -0.38157 38268 -0.37469 83110 -0.36 786 56106 -0.36107 52291 -0.35432 66780 -0.34761 94 768 -0.34095 31528 -0.33432 72413 -0.32774 12847 -0.32119 48332 -0.31468 74438 -0.30821 86809 -0.30178 81156 -0.29539 53259 -0.28903 98966 -0.28272 14187 -0.27643 94897 -0.27019 37135 -0.26398 37000 -0.25780 90652 -0.25166 94307 -0.24556 44243 -0.23949 36791 -0.23345 68341 -0.22745 35334 d dy In y!

[(-g)7]

F 2 F 1 _{1 4} log10 ~=0.43429 44819 ,i,· (.r) 1.64493 40668 1.63299 41567 1.62121 35283 1.60958 91824 1.59811 81919 1.58679 76993 1.57562 49154 1.56459 71163 1.55371 16426 1.54296 58968 1.53235 73421 1.52188 35001 1.51154 19500 1.50133 03259 1.49124 63164 1.48128 76622 1.47145 21556 1.46173 76377 1.45214 19988 1.44266 31755 1.43329 91508 1.42404 79514 1.41490 76482 1.40587 63535 1.39695 22213 1.38813 34449 1.37941 82573 1.37080 49288 1.36229 17670 1.35387 71152 1.34555 93520 1.33733 68900 1.32920 81752 1.32117 16859 1.31322 59322 1.30536 94548 1.29760 08248 1.28991 86421 1.28232 15358 1.27480 81622 1.26737 72054 1.26002 73755 1.25275 74090 1.24556 60671 1.23845 21360 1.23141 44258 1.22445 17702 1.21756 30254 1.21074 70707 1.20400 28063 1.19732 91545 d• T2 lny! .l/

[(-:)2]

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0,025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0,055 0.060 0,065 0.070 0,075 0.080 0,085 0.090 0,095 0.100 0.105 0.110 0.115 0.120 0.125 0.130 0,135 0.140 0.145 0.150 0.155 0,160 0.165 0.170 0.175 0.180 0,185 0.190 0.195 0.200 0.205 0.210 0.215 0.220 0.225 0.230 0.235 0.240 0.245 0.250 y

Compiled from H. T. DaYis. Tables of the higher mathematical functions, 2 vols. (Principia Press. Bloomington, Ind., 1933, 1!)35) 1with permission). Known error has been corrected.

[

or,: see ,xamp e~ - .

_l {

r.

~

z) ::. ( I'\ - I+ Z ) ( n -:. + .!. ) - - ( I

+

Z)

l ( \

+ C

₎

--< ( . . ' -, c;;; -- -- : , . . . - ,r' -·: -:._, ·. .

-

. ~ Ci ... ( I -:. C _., :) ..

-

".)

: .. i"'.

267

268

GAMMA FUNCTION AND RELATED FUNCTIONS

Table 6.1 GAMMA, DIGAMMA AND TRIGAMMA FUNCTIONS

X r(.r) In r(x) \lr(x) \Ir' (x) 1.250 0.90640 24771 -0.09827 18364 -0.22745 35334 1,19732 91545 0,250 1,255 0,90538 57bb3 -0,09939 41651 -0.22148 34200 1.19072 50579 0,255 1.260 0,90439 71178 -0,10048 67254 -0,21554 blb8b 1,18418 94799 0.260 1.265 0,90343 02940 -0.10154 %809 -0,20%4 14193 1,17772 14030 0,265 1.270 0,90250 30645 -0.10258 31932 -0,20376 88437 1.17131 98301 0,270 1.275 0,90159 71994 -0.10358 74224 -0,19792 81118 1.16498 37821 0.275 1.280 0,90071 84765 -0.10456 25269 -0,19211 88983 1.15871 22990 0.280 1.285 0,89986 66769 -0.10550 86634 -0.18634 08828 1.15250 44385 0.285 1.290 0,89904 15863 -0.10642 59872 -0.18059 37494 1,14635 92764 0.290 1,295 0,89824 29947 -0.10731 46519 -0,17487 71870 1,14027 59053 0,295 1,300 0,89747 06%3 -0.10817 48095 -O.lb919 08889 1.13425 34350 0.300 1.305 0,896 72 44895 -0.10900 66107 -0.16353 45526 1,12829 09915 0.305 1.310 0,89600 41767 -0.10981 02045 -0.15790 78803 1.12238 77175 0,310 1.315 0,89530 95644 -0.11058 57384 -0.15231 05782 1.11654 27706 0.315 1.320 0,89464 04630 -0.11133 33587 -0,146 74 23568 1.11075 53246 0.320 1.325 0.89399 66866 -0.11205 32100 -0.14120 29305 1.10502 45678 0.325 1.330 0,89337 80535 -0.11274 54356 -0,13569 20180 1,09934 97037 0,330 1,335 0,89278 43850 -0.11341 01772 -0.13020 93416 1,09372 99497 0.335 1.340 0,89221 55072 -0.11404 75756 -0.12475 46279 1.08816 45379 0.340 1.345 0.89167 12485 -0.11465 77697 -0.11932 76069 1.08265 27136 0.345 1,350 0,89115 14420 -0.11524 08974 -0.11392 80127 1,07719 37361 0.350 1.355 0,89065 59235 -0.11579 70951 -0.10855 55827 1.07178 68773 0.355 1.360 0.89018 45324 -0.11632 64980 -0.10321 00582 1.06643 14226 0.360 1,365 0,88973 71116 -0.11682 92401 -0.09789 11840 1.06112 66696 0.365 1.370 0,88931 35074 -0.11730 54539 -0.09259 87082 1.05587 19286 0.370 1,375 0,88891 35692 -0.11775 52707 -0.08733 23825 1.05066 65216 0.375 1.380 0,88853 71494 -0.11817 88209 -0.08209 1%19 1.04550 97829 0,380 1.385 0,88818 41041 -0.11857 62331 -0.07687 72046 1.04040 10578 0,385 1.390 0,88785 42918 -0.11894 76353 -0.07168 78723 1,03533 97036 0,390 1,395 0,88754 75 748 -0.11929 31538 -0.06652 37297 1.03032 50881 0.395 1.400 0.88726 38175 -0.11961 29142 -0.06138 45446 1.02535 65905 0.400 1.405 0.88700 28884 -0.11990 70405 -0.05627 00879 1.02043 3&002 0,405 1.410 0.88676 46576 -0.12017 56559 -0.05118 01337 1.01555 55173 0.410 1,415 0,88&54 89993 -0.12041 88823 -0.04611 44589 1.01072 17518 0.415 1.420 0.88635 578% -0.12063 68406 -0.04107 28433 1.00593 17241 0.420 1.425 0.88618 49081 -0.12082 %505 -0.03&05 50697 1.00118 48640 0,425 1.430 0.88603 623&1 -0.12099 74307 -0.03106 09237 0.9%48 06113 0,430 1.435 0.88590 %587 -0.12114 02987 -0. 02&09 01935 0.99181 84147 0.435 1.440 0,88580 50635 -0.12125 83713 -0.02114 26 703 0.98719 77326 0,440 1.445 0.88572 23397 -0.12135 17&38 -0.01&21 81479 0,982&1 80318 0.445 1.450 0.885&6 13803 -0.12142 05907 -0.01131 6422& 0.97807 8788& 0.450 1.455 0.88562 20800 -0.12146 4%57 -0.00&43 72934

o.

9735 7 9487 4 0.455 1.460 0.88560 4:;3&4 -0.12148 50010 -0.00158 05&20 0,%911 %215 0.4&0 1.465 0.88560 80495 -0.12148 08083 +0.00325 3%77 0,964&9 80921 0.4&5 1.470 0,88563 31217 -0.12145 24980 0.00806 E,4890 0,96031 &2091 0.470 1.475 0,8856 7 94575 -0.12140 01797 0.01285 71930 0.95597 lb8% 0.475 1.480 0,88574 b%4b -0.12132 3%21 0,017b2 62684

o.

95166 46592 0.480 1.485 0,88583 55520 -0.12122 39528 0.02237 39013 0,94739 4&509 0,485 1.490 0,88594 51316 -0.12110 02585 0,02710 02758

o.

9431& 12052 0.490 1.495 0,88607 56174 -0.12095 29852 0,03180 55736 0.93896 38700 0,495 1.500 0,88622 69255 -0.12078 2237& 0.03648 99740 0.93480 22005 0.500 y! In y! dy d In y!

Ti

d2 In y! .'I ]I

[<-g)4J

[(-:)4]

[<-g)4]

[(-:)9] Iog₁₀ e=0.43429 44819

I

I

GAMMA FUNCTION AND RELATED FUNCTIONS ₂₆₉

GAMMA, DIGAMMA AND TRIGAMMA Fl!l\CTIONS Table 6.1

.,. _{r(.r) In r(.r) 1/,(.1') 1/,' (.r)} 1,500 0.88622 69255 -0.12078 22376 0,03648 99740 o. 93480 22005 0.500 1.505 0.88639 89744 -0.12058 81200 0,04115 36543 0.93067 57588 0.505 1.510 0.88659 16850 -0.12037 07353 0.04579 67896

o.

92658 41142 0.510 1.515 0,88680 49797 -0.12013 01860 0,05041 95527

o.

92252 &8425 0.515 1.520 0.88703 87833 -0.11986 65735 0.05502 21146 0.91850 352&5 0.520 1.525 0.88729 30231 -0.1195 7 99983 0.05960 46439 0.91451 37552 0.525 1.530 0.88756 76278 -0.11927 05601 0.06416 73074 0.91055 71245 0.530 1.535 0.88786 25287 -0.11893 83580 0,06871 02697 0.90663 32361 0.535 1.540 0.88817 76586 -0.11858 34900 0.07323 36936 0,90274 16984 0,540 1.545 0.88851 29527 -0.11820 60534 0.07773 77400 0.89888 21253 0,545 1.550 0.88886 834 78 -0.11780 61446 o. 08222 256 75 0.89505 41371 0.550 1.555 0.88924 37830 -0.11738 38595 o. 08668 83334 0.89125 73596 0.555 1.560 0.88963 91990 -0.11693 92928 0,09113 51925 0,88749 14249 0.560 1.565 0.89005 45387 -0.11647 25388 o. 09556 32984 0.88375 59699 0.565 1.570 0.89048 97 463 -0.11598 36908 0.09997 28024 0.88005 06378 0.570 1.575 0,89094 47686 -0.11547 28415 0.10436 38544 0,87637 50766 0.575 1.580 0,89141 95537 -0.11494 00828 0.10873 66023 0.87272 89402 0,580 1.585 0.89191 40515 -0.11438 55058 0.11309 11923 0.86911 18871 0.585 1.590 0.89242 82141 -0.11380 92009 0.11742 77690 0.86552 35815 0.590 1.595 0.89296 19949 -0.11321 12579 0.12174 64754 0.8&196 36921 0.595 1.600 0.89351 53493 -0.11259 17657 0.12604 74528 0.85843 18931 o.&oo 1.605 0.89408 82342 -0.11195 08127 0.13033 08407 0.85492 78630 0.605 1.610 0.89468 06085 -0.11128 84864 0.13459 67772 0.85145 12856 0.610 1.615 0.89529 24 327 -0.11060 48737 0.13884 53988 0.84800 18488 0.615 1.620 0.89592 36685 -0.10990 00610 0.14307 68404 0.84457 92455 0.&20 1.625 0.89657 42800 -0.10917 41338 0.14729 12354 0.84118 31730 0.625 1.630 0.89724 42326 -0.10842 71769 0.15148 87158 0.83781 33330 0.630 1.635 0.89793 34930 -0.10765 92746 0.15566 94120 0.83446 94315 0,635 1.640 0.89864 20302 -0.10687 05105 0.15983 34529 0,83115 11790 0,640 1.645 0.89936 98138 -0.10606 09676 0.16398 09660 0,82785 82897 0,645 1.650 0.90011 68163 -0. l 052 3 072 82 0.16811 20776 0.82459 04826 0.650 1.655 0.90088 30104 -0.10437 98739 0.17222 69122 0.82134 74802 0.655 l.660 0.90166 83712 -0.10350 84860 0.17632 55933 0.81812 90092 0.660 1.665 0.90247 28748 -0.10261 66447 0.18040 82427 0.81493 48001 0.665 1.670 o. 90329 64995 -0.10170 44301 0.18447 49813 0.81176 45875 0.670 1.675 0.90413 92243 -0.10077 19212 0.18852 59282 0.80861 81094 0.675 1,680 0.90500 10302 -0.09981 91969 0.19256 12015 0.80549 51079 0,680 1.685 0.90588 18996 -0.09884 63351 0.19658 09180 0.80239 53282 0.685 1.690 0,90678 18160 -0.09785 34135 0.20058 51931 o. 79931 85198 0.690 1.695 0.90770 07650 -0.09684 05088 0.20457 41410 o. 79626 44350 0.695 1. 700 0.90863 87329 -0.09580 76974 0.20854 78749 o. 79323 28302 0.700 1. 705 0.90959 57079 -0.09475 50552 0.21250 65064 o. 79022 34645 0.705 1.710 0.91057 16796 -0.09368 26573 0.21645 01462 o. 78723 61012 0,710 1.715 0.91156 66390 -0. :J9259 05 785 0.22037 89037 o. 78427 05060 0,715 1.720 o. 91258 05 779 -0.09147 88929 0.22429 28871 o. 78132 64486 0.720 1.725 0.91361 34904 -0.09034 76741 0.22819 22037 o. 77840 37011 0.725 1.730 0.91466 53712 -0.08919 69951 0.23207 69593 o. 77550 20396 0.730 1,735 0.91573 62171 -0.08802 69286 0.23594 72589 o. 77262 12424 o. 735 1,740 0.91682 60252 -0.08683 75466 0.23980 32061 0.76976 10915 o. 740 1. 745 0.91793 47950 -0.08562 89203 0.24364 49038 0.76692 13714 o. 745 1. 750 0.91906 25268 -0.08440 11210 0.24747 24535

o.

76410 18699 0.750 In .11! d J2 ,

y! - Iny! d" Iny. .II

dy Y·

[(-:)3]

[<-:)3]

[(-:)3]

[<-:)4]

270 GAM.'\1A FUNCTION A.-..;D RELATED FUNCTIONS

Table 6.1 GA'1MA, DIG.HOIA A!\D TRIG.OHIA FU~CTIO~S

J' r(.r) In r(.,·) y,(1') ,J,' (.r) 1.750 O. 91906 2526B -0.0B440 11210 0.24747 24535

o.

76410 18699 0.750 1,755 0.92020 92224 -0.0B315 42192 0.25128 59559

o.

76130 23773 0.755 1.760 0.92137 48B46 -0.0B18B B2847 0.2550B 55103 O. 75B52 26870 0.760 1.765 0.92255 95178 -0.0B060 33B71 0,25887 12154

o.

75576 25950 0.765 1.770 0.92376 31277 -0.07929 95955 0.26264 31686

o.

75302 19003 0.770 1.775 0,92498 57211 -0.07797 69782 0.26640 14664

o.

75030 04040 0.775 1.780 0.92622 73062 -0.07663 56034 0.27014 62043 0.74759 79107

o.

780 1.785 0.9274B 78926 -0.07527 55386 0.27387 74769 0. 74491 42268 0,785 1.790 0,92876 74904 -0.07389 68509 0.27759 53776

o.

74224 91617

o.

790 1.795 0.93006 61123 -0.07249 96070 0.28129 99992 0.73960 25271 0,795 1.800 0.93138 37710 -0.07108 38729 0.28499 14333

o.

73697 413 75 0.800 1.805 0.93272 04811 -0.06964 97145 0.28866 97707

o.

73436 38093 0.805 1.810

o.

93407 62585 -0.06819 71969 0.29233 51012

o.

73177 13620 0.810 1.815 0.93545 11198 -0.06672 63850 0.29598 75138 0.72919 66166 0.815 1.820 0.93684 50832 -0.06523 73431 0.29962 70966

o.

72663 93972 0.820 1.825 0.93825 81682 -0.06373 01353 0.30325 39367

o.

72409 95297 0.825 1.830 0.93969 03951 -0.06220 4824B 0.306B6 81205 0.72157 68426 O.B30 1.835 0.94114 17B59 -0.06066 14750 0.31046 97335

o.

71907 11662 0.835 1.840 0.94261 23634 -0.05910 014B3 0.31405 88602

o.

71658 23333 0.840 1.845 0.94410 21519 -0.05752 09071 0.31763 55846

o.

71411 01788 0.845 1.850

o.

94561 11764 -0.05592 38130 0.32119 99895

o.

71165 45396 0.850 1.855 0,94713 94637 -0.05430 89276 0.32475 21572

o.

70921 52546 0.855 1.860

o.

94868 70417 -0.05267 63117 0.32829 21691 0.70679 21650 0.860 1.865 0.95025 39389 -0.05102 60260 0.33182 01056

o.

70438 51138 0.865 1.870 0.95184 01855 -0.04935 81307 0.33533 60467

o.

70199 39461 0.870 1.875 0.95344 58127 -0.04 76 7 26854 0.33884 00713 0.69961 85089 0.875 1.880 0.95507 08530 -0.04596 97497 0.34233 22577 0.69725 86512 0.880 1.885 0.95671 53398 -0.04424 93824 0.34581 26835 0.69491 42236 0.885 1.890

o.

9583 7 93077 -0.04251 16423 0.34928 14255 0.69258 50790 0.890 1.895 0,96006 27927 -0.04075 65875 0.35273 85596 0.69027 10717 0.895 1.900 0.96176 58319 -0.03898 42759 0.35618 41612 0.68797 205B2 0.900 1.905

o.

96348 84632 -0.03719 47650 0.35961 83049 0.68568 78965 0.905 1.910 0.96523 07261 -0.03538 81118 0.36304 10646 0.68341 84465 0.910 1. 915 0.96699 26608 -0.03356 43732 0.36645 25136 0.68116 35696 0,915 1.920 0.96877 43090 -0.03172 36054 0.36985 27244 0.67892 31293 0.920 1.925 0.97057 57134 -0. 02986 58646 0.37324 17688 0.67669 69903 0.925 1.930 0.97239 69178 -0.02799 12062 0.37661 97179 0.67448 50194 0.930 1.935 0.97423 79672 -0. 02609 96858 0.37998 66424 0.67228 70846 0.935 1.940 0.97609 89075 -0.02419 13581 0.383 34 26119 0.67010 30559 0.940 1.945 0.97797 97861 -0.02226 62778 0.38668 76959 0.66 793 28044 0.945 1.950

o.

97988 06513 -0.02032 44991 0.39002 19627 0.66577 62034 0.950 1.955

o.

98180 15524 -0.01836 60761 0.39334 54805 0.66363 31270 0.955 1.960 0.98374 25404 -0.01639 10621 0.39665 83163 0.66150 34514 0.960 1.965 0.98570 36664 -0.01439 95106 0.39996 05371 0.65938 70538 0.965 1.970 O. 98768 49B3B -0.01239 14744 0.40325 22088 0.65728 38134 0,970 1.975 0.98968 65462 -0.01036 70060 0.40653 33970 0.65519 36104 0,975 1.980

o.

99170 84087 -0.00832 61578 0.40980 41664 0.65311 63266 0.980 1.985 0.99375 06274 -0.00626 89816 0,41306 45816 0.65105 18450 0.985 1.990

o.

99581 32598 -0.00419 55291 0.41631 47060 0.64900 00505 0.990 1.995

o.

99789 63643 -0.00210 58516 0.41955 46030 0.64696 08286 0.995 2.000 1.00000 00000 0.00000 00000 0.42278 43351 0.64493 40668 1.000 y! In y! _dy -d In _. 11! dy2 d2 In y! y

[<-g)2]

[(-f

)2]

[(-f

)2] log₁₀ f'=0.43429 44819

e-:)2J