Kwantumfysica: Examen 28 januari 2016 (namiddag)
Het examen is mondeling met schriftelijke voorbereiding: tijdens het mon-delinge examen zal ik je voorbereiding doornemen en hier en daar meer uitleg vragen. Zodra je met minstens ´e´en vraag klaar bent, kan je daarover in mijn bureau mondeling examen afleggen. Vroeg genoeg met het mondelinge exa-men beginnen heeft als voordeel dat je soms nog tijd hebt om een antwoord gedeeltelijk opnieuw uit te werken na een fout begin. De totale duur van het examen bedraagt hoogstens vier uur. Succes!
Vraag 1:
1. Definieer (eventueel aan de hand van tekeningen) de volgende begrip-pen uit de verstrooiingstheorie:
• impactparameter • verstrooiingshoek • differenti¨ele verstrooiingsdoorsnede • totale verstrooiingsdoorsnede • luminositeit • verstrooiingsamplitude (1,5 punten)
2. Leid het verband af tussen de differenti¨ele verstrooiingsdoorsnede en de verstrooiingsamplitude. (0,5 punt)
3. De integrale vorm van de Schr¨odingervergelijking is ψ(r) = ψ0(r) − m 2π¯h2 Z eik|r−r0| |r − r0| V (r0)ψ(r0) d3r0. (1)
Leid hieruit een uitdrukking voor de verstrooiingsamplitude af en pas daarop de (eerste) Bornbenadering toe. Hoe kan je het resultaat ver-eenvoudigen voor lage-energie-verstrooiing? (2 punten)
Vraag 2:
1. Vermeld zeer kort (in een of twee zinnen) het fysische effect dat ver-antwoordelijk is voor de hyperfijnstructuur van het waterstofatoom. (1 punt)
2. Hoe kan men de hyperfijnstructuur van het waterstofatoom experimen-teel waarnemen? (1 punt)
3. In het waterstofatoom wordt de verwachtingswaarde van de hyper-fijnstructuur-Hamiltoniaan in een toestand met l = 0 gegeven door hH0
hfi ∼ h~Sp· ~Sei. Wat zijn de “goede” toestanden om in
storingsthe-orie te gebruiken? Toon ook aan dat dit het geval is en dat andere voor de hand liggende toestanden niet “goed” zouden zijn. Wat zijn de bijhorende eigenwaarden van ~Sp· ~Se? (3 punten)
Vraag 3:
1. Leid de formule voor de eerste-orde-correctie op de energie af in niet-ontaarde, tijdsonafhankelijke storingstheorie. (1 punt)
2. Voor de harmonische oscillator
H = 1
2m[p
2+ (mωx)2] (2)
definieert men ladderoperatoren a± = 1 √ 2¯hmω(∓ip + mωx). (3) Ze voldoen aan [H, a±] = ±¯hωa±, H = ¯hω a+a−+ 1 2 . (4)
Bepaal hieruit de energie-eigenwaarden van de harmonische oscillator. (1 punt)
3. Nu laten we de veerconstante lichtjes toenemen terwijl we de massa constant houden: ω2 → (1+)ω2. Zoek de exacte nieuwe energieniveaus
en expandeer het resultaat als reeks in , tot op tweede orde. (1 punt) 4. Bereken nu de eerste-orde correctie op de energie door gebruik te maken van het eerste deel van deze vraag. Vergelijk met het exacte resultaat dat je net berekend hebt. (3 punten)
Vraag 4: De Schr¨odingervergelijking d2ψ dx2 = − p2 ¯ h2ψ, met p(x) ≡ q 2m[E − V (x)], kan benaderend opgelost worden door de golffunctie te schrijven als
ψ(x) = eif (x)/¯h, f (x) als reeks te ontwikkelen,
f (x) = f0(x) + ¯hf1(x) + ¯h2f2(x) + . . . ,
en de resulterende vergelijking orde per orde in ¯h op te lossen. Bereken op deze manier f0, f1 en de golffunctie tot eerste orde in ¯h. (3 punten)
Vraag 5:
Hoe kan men het principe van de covalente binding kwantummechanisch verklaren? (2 punten)
