Stochastische analyse van het afnameproces

(1)

STOCHASTISCHE ANALYSE VAN

HET AFNAMEPROCES

Bachelorscriptie Operationele Research

Universiteit van Amsterdam

Auteurs:

Wander van de Ven (10470476)

Joep Schlösser

(10163816)

Begeleiders:

Prof. Dr. N.M. van Dijk,

S.P.J. van Brummelen, MSc

5 juli 2015

(2)

Inhoudsopgave

1 Inleiding………. 4

1.1 Aanleiding……….. 4

1.2 Doelstelling……… 5

1.3 Opbouw……… 5

2 Meting bij Sanquin Uithof………. 6

2.1 Methode en waarnemingen………. 6

2.2 Resultaten……….. 7

2.3 Benutting van de resources……… 9

2.4 Vergelijking onze resultaten met de verkregen data van Sanquin………. 11

2.5 Bevindingen……….. 11

3 Theorie……… 13

3.1 Roosteringsproblemen………. 13

3.2 Offline & online roostering………. 15

3.3 Stochastisch procesmodel……….. 15

3.4 QQ Plot………. 20

3.5 Simulatie………. 21

4 Methodiek……… 23

4.1 Motivatie………. 23

4.2 Simulatie proces: Deterministisch simulatiemodel……….. 24

4.3 Simulatie proces: Stochastisch simulatiemodel……….. 26

4.4 Set-up van simulatiemodel………. 28

5 Resultaten………. 29

5.1 Introductie………..……….. 29

5.2 Scenario 1: Verschillende aankomstintensiteiten van volbloeddonoren………. 31

5.3 Scenario 2: Verschillende aan-/afkoppeltijden voor plasma- en volbloeddonoren…. 33 5.4 Scenario 3: Verdeling aankomsttijdstippen……….. 35

5.5 Scenario 4: Verdeling aan-, lig- en afkoppeltijden voor plasma- en volbloeddonoren ...38

5.6 Reële situatie……… 40

5.7 Flexibiliteit van bedden en assistenten……… 42

(3)

7 Dankwoord……….. 47

8 Bibliografie……….. 48

Appendix……… 49

A1 Aanvullende resultaten scenario 2….……….. 49

(4)

1 Inleiding

1.1 Aanleiding:

Bron: http://www.sanquin.nl/bloed-geven/donor-en-patientenverhalen/Peter-patientverhaal/"Zonder al die donors was Peter er niet meer"

Een fietstochtje over het spoor werd Peter bijna fataal. Na 17 operaties en 125 bloedtransfusies kwam hij er weer bovenop. "Zonder al die donors was ik er niet meer."

Bloed kan levens redden! Levens van slachtoffers door ongevallen en van patiënten die een operatie ondergaan. Daarnaast wordt volbloeddonatie gebruikt voor de productie van medicijnen, de

behandeling van patiënten met kanker of leukemie, brandwonden, bloedarmoede of

bloedstollingsziekten. Om alle medicijnen te kunnen produceren en alle bloed- en plasmatransfusies te kunnen realiseren is het voor Sanquin, de not-for-profitorganisatie die als enige de

bloedvoorziening in Nederland verzorgt, van vitaal belang dat er genoeg volbloeddonaties en plasmadonaties worden gedaan.

Het is dan ook essentieel dat de huidige 400.000 donoren het gevoel hebben dat ze niet alleen iets goeds doen, maar bovenal noodzakelijk zijn. Service is een van dé speerpunten van het in 1998 opgerichte Sanquin, aangezien donaties op geheel vrijwillige basis worden gedaan. Dit betekent dat stampvolle donatiecentra en urenlange wachttijden te allen tijde vermeden moeten worden. Donoren moeten snel geholpen worden en daarvoor zijn genoeg volbloed- en plasmabedden nodig evenals medewerkers en artsen. Dit brengt echter kosten met zich mee. Voor Sanquin is het dus zaak een optimale balans te vinden tussen de kwaliteit van service en de totale kosten.

(5)

1.2 Doelstelling:

In het verleden zijn reeds twee relevante scripties geschreven over het afnameproces: 1. Van Mechelen & Zonneveld [5] simuleren het volledige Sanquin proces. Binnen het

afnameproces hebben zij echter niet nadrukkelijk aandacht besteed aan de aankoppel-, lig- en afkoppeltijden.

2. Neeft [6] modelleert de optimale roostering van assistenten binnen het afnameproces bij Sanquin. Neeft [6] heeft daarvoor twee deterministische modellen geprogrammeerd in AIMMS, te weten het personeels- en capaciteitsmodel.

A. Het personeelsmodel minimaliseert het aantal assistenten gedurende een donatiesessie, gegeven vooraf bekende aankomsttijdstippen en vaste procestijden.

B. Het capaciteitsmodel berekent de maximale capaciteit aan donoren, gegeven een aantal assistenten en bedden. Hiermee kan voor verschillende sessies de oplosbaarheid

gecontroleerd worden.

Neeft [6] houdt in zijn modellen echter geen rekening met onzekerheid of variatie in aankomsttijdstippen en procestijden.

Deze twee scripties zijn voor ons aanleiding geweest om de volgende onderzoeksvraag te stellen:

In hoeverre zijn de modellen van Neeft [6] houdbaar als onzekerheid wordt geïntroduceerd?

Waar Van Mechelen & Zonneveld [5] het afnameproces in zijn geheel hebben gesimuleerd, hebben wij de deelprocessen middels simulatie aan nader onderzoek onderworpen.

1.3 Opbouw

Deze scriptie wordt ingeleid met een samenvatting van een meting die door ons is uitgevoerd bij Sanquin op de Uithof in Utrecht.

Daarna volgt een theoretisch kader waarin achterliggende theorie met behulp van literatuur nader wordt toegelicht. Het lezen en begrijpen van dit theoretisch kader is niet noodzakelijk voor de scriptie.

Op basis van deze theorie wordt in hoofdstuk 4 de methode beschreven welke de leidraad vormt voor ons onderzoek.

Hoofdstuk 5 geeft vervolgens de uitkomsten van verschillende scenario’s.

(6)

2 Meting bij Sanquin Uithof

2.1 Methode en waarnemingen

Op 27 mei zijn door ons gemeenschappelijk metingen verricht bij Sanquin Uithof te Utrecht. De metingen werden verricht van 17:15 tot 18:45 uur.

Op het moment van meten waren er 8 assistenten en 1 arts werkzaam. Van de assistenten konden er 7 ingezet worden voor registratie, keuring, volbloed- en plasma-afname. Eén assistent werd alleen ingezet voor keuring, registratie en volbloedafname. De arts werd, zoals gangbaar, ingezet bij de keuring.

De verdeling van de assistenten kwam op het moment van meten neer op:

1 assistent bij de receptie, 2 assistenten bij de keuring, 2 assistenten bij volbloedafname, 3 assistenten bij plasma-afname.

Daarnaast waren er 11 plasmabedden en 6 volbloedbedden aanwezig bij Sanquin op de Uithof.

2.1.1 Methode:

Bij de meting verdeelden wij onszelf in het begin over registratie, keuring en afname. Alle drie startten we een stopwatch op hetzelfde moment, zodat het moment van gebeurtenis als aantal minuten na de start kon worden genoteerd. Zo kon eenvoudig een tijdschema met tussentijden worden gemaakt. Er werden stickers beschreven met nummers 1 tot en met 18 en geplakt op de borst van de binnenkomende donoren. Zo kon per donor de tussentijd worden bijgehouden. Na 50 minuten verdeelden wij ons op een andere manier, namelijk 1 iemand bij de keuring en 2 bij het afnameproces. Er werd dus geen meting meer verricht bij de registratie. Deze keuze kwam voort uit het feit dat het afnameproces zo druk was dat dit niet door 1 iemand gemeten kon worden. Helaas mocht slechts met drie man tegelijk gemeten worden bij Sanquin Uithof.

Ter informatie werd ons verteld dat een volbloeddonatie gemiddeld 7 minuten duurt en na 15 minuten wordt afgekapt. Een plasmadonatie duurt gemiddeld 40 minuten.

(7)

2.2 Resultaten

De waarnemingen zijn terug te vinden in Appendix A2. 2.2.1 Tijd tot afname/afnameprocestijd/doorlooptijd

Tabel 2.1

VOLBLOED (in min) PLASMA (in min)

tijd tot

afname afnameprocestijd doorlooptijd

tijd tot

afname afnameprocestijd doorlooptijd

Gemiddelde Gemiddelde Gemiddelde Gemiddelde Gemiddelde Gemiddelde

26:30 13:15 39:45 20:42 48:57 9:39

Hierbij worden resultaten van de meting uitgelicht:

- Een volbloeddonor mag, na binnenkomst, na gemiddeld 26,5 minuut beginnen met het afnameproces.

- De gemiddelde tijd van een volbloeddonor in het afnameproces is iets meer dan 13 minuten. - Dit betekent dat een volbloeddonor gemiddeld bijna 40 minuten na binnenkomst klaar is met

doneren en weer naar huis kan.

- Een plasmadonor mag, na binnenkomst, na gemiddeld 20,4 minuten beginnen met het afnameproces.

- De gemiddelde tijd van een plasmadonor in het afnameproces is iets meer dan 49 minuten. - Dit betekent dat een plasmadonor gemiddeld bijna 1 uur en 10 minuten na binnenkomst

klaar is met doneren en weer naar huis kan.

Een plasmadonor mag dus gemiddeld 6 minuten sneller beginnen met het afnameproces dan

volbloeddonoren. De logische verklaring hiervoor is dat plasmadonoren bij Sanquin voorrang hebben op volbloeddonoren bij het aan- en afkoppelen.

(8)

2.2.2 Aan- en afkoppelen

Tabel 2.2

VOLBLOED (in min) PLASMA (in min) aankoppelen afkoppelen aankoppelen afkoppelen

Gemiddelde Gemiddelde Gemiddelde Gemiddelde

4:41 2:41 5:41 3:36

Deze tabel laat zien dat het in onze meting

- gemiddeld 5 min 41 seconden duurt om plasma aan te koppelen - gemiddeld 3 min 36 seconden duurt om plasma te afkoppelen

- gemiddeld 4 min en 41 seconden duurt om volbloed aan te koppelen - gemiddeld 2 min en 41 seconden duurt om volbloed te afkoppelen

2.2.3 Donatietijd Tabel 2.3 VOLBLOED PLASMA donatietijd donatietijd Gemiddelde Gemiddelde 5:53 39:10

- Een plasmadonor doneert gemiddeld iets meer dan 39 minuten. - Een volbloeddonor doneert gemiddeld iets minder dan 6 minuten.

(9)

2.3 Benutting van de resources

Aan de hand van de data zijn bezettingsgrafieken gemaakt van de resources.

2.3.1 Benutting volbloed- en plasmabedden

In de grafiek hieronder wordt de bedbezetting van de plasmabedden over de tijd gerepresenteerd door de oranje lijn. De verticale as geeft het aantal gebruikte bedden weer en de horizontale as de tijd.

In de grafiek hieronder wordt de bedbezetting van de volbloedbedden over de tijd gerepresenteerd door de rode lijn. De verticale as geeft het aantal gebruikte bedden weer en de horizontale as de tijd.

(10)

2.3.2 Bezetting medewerkers door aan- en afkoppelen

In de grafiek hieronder wordt door de lichtblauwe lijn weergegeven hoeveel volbloedmedewerkers er over de door ons gemeten tijd bezig zijn met aan- en afkoppelen.

In de grafiek hieronder wordt door de groene lijn weergegeven hoeveel plasmamedewerkers er over de door ons gemeten tijd bezig zijn met aan- en afkoppelen.

Administratieve bezigheden, het prepareren van de volbloed- en plasmabedden, het van

eten/drinken voorzien van de donoren etc. zijn hier niet in opgenomen. Het geeft dan ook geen goed inzicht in de werkdruk of benutting van de medewerkers.

(11)

2.4 Vergelijking onze resultaten met de verkregen data van Sanquin

Data Sanquin Eigen meting

Gemiddelde Standaardafwijking Gemiddelde Standaardafwijking

Aankoppelen volbloed 5,00 1,00 4,41 1,12 Afkoppelen volbloed 3,00 1,00 2,41 0,47 Aankoppelen plasma 5,00 1,00 5,41 1,22 Afkoppelen plasma 10,00 1,00 3,36 3,07 Ligtijd volbloed 8,00 1,23 5,53 1,18 Ligtijd plasma 20,00 4,83 39,10 4,00

Wat opvalt uit de resultaten:

- De afkoppeltijd van plasma is beduidend lager bij onze meting dan bij de meting van Sanquin. - De ligtijd van plasma is bij onze resultaten beduidend hoger dan bij de resultaten van

Sanquin, terwijl de ligtijd van volbloed juist iets lager is.

Afgezien van deze punten komen onze resultaten sterk overeen met de verkregen data van Sanquin.

2.5 Bevindingen

1. Plasma-assistenten hielpen geen volbloeddonoren, noch andersom. Dit deed ons vermoeden dat volbloed- en plasma-assistenten strikt gescheiden worden ingezet. Volgens de

teamleidster zijn de assistenten echter wel degelijk flexibel inzetbaar, maar alleen in geval van grote drukte wordt hiervan gebruik gemaakt.

2. Aan- en afkoppelen was niet eenduidig te omschrijven. Bijvoorbeeld, zonder dat een

afkoppelproces volledig was afgerond, werd al begonnen met het afkoppelen van een andere plasmadonor. Wanneer een assistent bezig was met het aan- of afkoppelen van een donor werd ook vaak nog een andere taak uitgevoerd. Dit maakte het meten van de aan- en afkoppeltijden erg lastig.

3. De taak van assistenten is niet slechts het aan- en afkoppelen. Er wordt eten en drinken voor plasmadonoren gehaald, de voortgang van donaties wordt gecontroleerd, er worden bedden verschoond en weer geprepareerd, administratie wordt bijgehouden en zo zijn er nog een aantal andere taken die door de assistent wordt uitgevoerd. Dus ondanks dat assistenten niet constant bezig zijn met aan- of afkoppelen, zijn ze wel bijna continu aan het werk.

4. Te merken was dat naarmate de tijd verstreek, de drukte toenam. Dit is terug te zien in de meetresultaten.

(12)

5. Opvallend was het feit dat voornamelijk plasmadonoren soms wel 5 minuten liggen te wachten om afgekoppeld te worden. Het bed is dan in gebruik zonder dat er gedoneerd wordt.

(13)

3 Theorie

Dit hoofdstuk bevat fundamentele achtergrondkennis tot het schrijven van deze scriptie. Begrip van deze theorie is echter niet noodzakelijk voor het lezen en begrijpen van de scriptie.

3.1 Roosteringsproblemen

Roosteringsproblemen komen voor in allerlei soorten en maten. Veel van deze problemen bevinden zich in personeelsplanning, maar ook bij het bepalen van dienstregelingen loopt men vaak tegen roosteringsvraagstukken aan. Bij roostering is het van belang dat er door inzet van

mensen/apparatuur voldaan wordt aan een bepaalde vraag of aan gestelde eisen. Om een voorstelling te geven, kunt u denken aan een gewenst aantal verpleegkundigen per uur in een ziekenhuis. Als dit over een complete dag beschouwd wordt, waarbij rekening wordt gehouden met verschillende werktijden, bestaan er diverse mogelijkheden om de verpleegkundigen zo in te plannen dat ze de gewenste zorg kunnen leveren.

Nu volgt een formulering in algemenere zin, waarbij onderscheid wordt gemaakt tussen het ‘covering’-probleem en het daaruit volgende ‘partitioning’-probleem. Laat S een verzameling items zijn en Sj een deelverzameling, bestaande uit één of meerdere items uit S. Bij elke deelverzameling Sj

horen kosten cj en neem aan dat er n deelverzamelingen zijn. Het ‘covering’-probleem bestaat dan

uit het samenstellen van deelverzamelingen, zodat de gehele verzameling S gedekt wordt tegen minimale kosten. Elk item moet dus tenminste één keer gedekt worden. Een variatie op het

‘covering’-probleem is het ‘partitioning’-probleem, waarin elk item precies één keer gedekt dient te zijn (Jensen & Bard, 2003).

Voorbeeld

Een elektronicabedrijf wil 6 nieuwe producten fabriceren. Kostenschattingen tonen aan dat elk product apart te vervaardigen teveel geld kost en benodigde machines/apparatuur erg duur zijn. Daarom worden opties onderzocht om door combinaties van apparatuur, met meerdere

functionaliteiten, de 6 producten te kunnen creëren. Er zijn in totaal 14 combinaties, die elk een deelverzameling aan producten kunnen maken. Op de volgende bladzijde staan een matrix A en een kostenvector c afgebeeld, waarin kolom Aj een overzicht geeft van de producten die met apparaat j

gefabriceerd kunnen worden en vector cj de kosten van apparaat j weergeeft. Kolom A14 laat

bijvoorbeeld zien dat apparaat 14 voor product 1, 4 en 5 gebruikt kan worden. De i-de rij van matrix A representeert de verzameling apparaten die het i-de product kunnen fabriceren.

(14)

Het doel is om de combinatie van apparaten te vinden waarmee alle 6 producten tegen minimale kosten geproduceerd kunnen worden.

A =

c =

De bijbehorende algemene Integer Programming (IP) formulering van het ‘covering’-probleem met in dit geval n=14 en m=6: min z = s.t. ≥ 1 i = 1,…,m xj = {0,1}, j = 1,…,n

xj = 1 als apparaat j geselecteerd wordt om te fabriceren, 0 anders

De restrictie eist dat voor elk product tenminste één apparaat, die dat product kan vervaardigen, geselecteerd wordt.

De optimale oplossing van dit probleem is x5=x7=x13=1 en alle andere variabelen zijn nul met kosten

62. Elk product wordt bij deze oplossing een keer gemaakt en product 2 zelfs twee keer.

IP-formulering van het ‘partitioning’-probleem: min z =

s.t.

= 1 i = 1,…,m

xj = {0,1}, j = 1,…,n

xj = 1 als apparaat j geselecteerd wordt om te fabriceren, 0 anders

Het onderscheid dat hier wordt gemaakt, is dat elk product slechts één keer gefabriceerd dient te worden, dus apparaten mogen geen overlap vertonen. De nieuwe optimale oplossing die ontstaat, is x1=x3=x5=x13=1 en alle andere variabelen zijn nul met kosten 63.

(15)

3.2 Offline & online roostering

Grofweg bestaan er twee typen roosteringsproblemen, namelijk offline en online roostering. Het verschil tussen beide komt tot uiting in de mate van beschikbare informatie op het moment van roosteren (Pinedo, 2008). Bij offline roosteringsproblemen worden beslissingen vooraf toegewezen aan bepaalde tijdstippen en heeft men dus volledige informatie. Bij online roosteringsproblemen hangen beslissingen daarentegen af van gebeurtenissen, waardoor onzekerheid een rol speelt (Fohler, 2011).

Door de puur deterministische aard van offline problemen is het eenvoudiger een optimale oplossing te vinden in vergelijking met online problemen. In stochastische systemen is het echter realistischer om online tot een oplossing te komen, omdat niet alles vooraf bepaald is. Om de optimaliteit van een online oplossing te meten wordt deze vergeleken met de oplossing van hetzelfde probleem in een offline situatie. Indien in een minimaliseringsprobleem een online oplossing wordt gevonden die op zijn grootst een factor c groter is dan de offline oplossing, wordt deze oplossing c-competitive genoemd (Pinedo, 2008).

3.3 Stochastisch procesmodel

3.3.1 Stochastische processen

Productie-omgevingen (ziekenhuizen, havendistributies, fabrieken) zijn in de realiteit onderhevig aan vele bronnen van onzekerheid en willekeur. Bronnen van onzekerheid, die een grote impact kunnen hebben, zijn bijvoorbeeld machinestoringen of onverwachte aankomsten van hoge prioriteit taken. Een andere bron van onzekerheid ligt in de verwerkingstijd en aankomstintensiteit die vooraf vaak niet vastliggen. Er zijn verschillende manieren waarop dergelijke vormen van willekeur kunnen worden gemodelleerd. Zo zou men bijvoorbeeld machinestoringen als afzonderlijk stochastisch proces kunnen modelleren, waarin bepaald wordt wanneer een machine beschikbaar is en wanneer niet.

(16)

Wanneer kenmerken van een proces worden bepaald door kansrekening hebben we te maken met zo’n stochastisch proces (Jensen & Bard, 2003). Een stochastisch proces is een collectie van random variabelen gelabeld met een parameter, te weten Xt waar t de tijd representeert. Zowel X als t

kunnen continu of discreet zijn. Zodoende bestaan er vier stochastische processen (Vrbik & Vrbik, 2010):

I. X discreet, t discreet

Vb. Binomiaal proces: Een munt n keer opgooien geeft de individuele uitkomsten X1, X2,…, Xn.

Xt = {0,1} voor t = 1 t/m n.

II. X discreet, t continu

Vb. Poisson proces: Het aantal volbloeddonoren X dat de volbloedbank binnenkomt van tijd 0 tot t.

III. X continu, t continu

Vb. Random walk: X de waarde van een variabele over de tijd, t.

IV. X continu, t discreet

Vb. Tijdreeksen: Maandelijkse fluctuaties in de aandelenmarkt.

X geeft de waarde van het aandeel, t de discrete tijdsmomenten (per maand).

3.3.2 Stochastische methoden

De faseruimte van een proces wordt gegeven door S = (s1, s2, s3, …, sn) met kleine si voor het aantal

wachtende(n) en in proces zijnde, in de verschillende serverstations i van het proces.

De bedieningstijd wordt gegeven door: µ De aankomstintensiteit gegeven door:

Er moet per server i gelden dat zijn bezettingsgraad, < 1, anders is er een grotere

aankomstintensiteit dan bedieningstijd en zal zich naarmate de tijd vordert een steeds grotere rij vormen voor server i.

(17)

Een serie geschakeld proces met meerdere stations (0,1, …, n+1) kunnen we vervolgens als volgt weergeven:

- Omdat tijd oneindig klein is kan het nooit zo zijn dat op precies hetzelfde moment 2

verschillende dingen gebeuren. Het kan dus niet zo zijn dat er iemand binnenkomt terwijl er op precies hetzelfde moment ook iemand weggaat. Noch kan het zo zijn dat er tegelijk twee mensen binnenkomen of tegelijk weggaan. –

Laat een serieproces gegeven zijn (zoals boven getekend) met 4 in serie geschakelde servers met toestandsruimte S =(s1, s2, s3, s4). Indien alle overgangskansen van

server 1 t/m 4 naar server 1 t/m 4 gegeven zijn, dan kan men een transitiematrix opstellen:

waarbij pij de kans is om van fase i naar fase j te gaan in een

transitie. Deze matrix kunnen we slechts opstellen als alle kansen bekend zijn waarvoor we van elke fase i naar fase j gaan.

Indien voor een stochastisch proces de overgangskansen niet bekend zijn, maar slechts de

gemiddelde wachttijden en procestijden is het noodzakelijk om aan alle variabelen X(t) een verdeling toe te kennen.

In 3.3.1 werd al gesteld dat de meetresultaten theoretisch gezien zouden kunnen worden beschreven door de Poisson verdeling. Aan de hand van het volgende stuk theorie wordt

verduidelijkt wat het voordeel is van het gebruik van de Poisson verdeling als representatie van de aankomstintensiteit voor een X discreet én t continu proces.

Een concurrent kandidaat tot het beschrijven van ons stochastisch proces is de binomiale verdeling. Nu kan vanuit de binomiale verdeling de Poisson gevonden worden, namelijk:

(18)

Stel we nemen een bepaalde tijd t en die delen we op in 5 blokken. Elke pijl symboliseert een binnenkomst. Elk blok is dan dus tijd lang. Met n = 5.

De binomiale verdeling zou maar 5 keer een succes rekenen, in elk blok is namelijk een binnenkomst. De Poisson zal echter wel 6 keer een succes rekenen. Dit wordt als volgt verklaard:

De binomiale verdeling kan een aantal maal een experiment op winst of verlies uitvoeren, waarbij de tijdsmomenten discreet zijn. De Poisson verdeling maakt deze tijdsmomenten zo klein dat het in zijn limiet een continu experiment op winst of verlies wordt. Namelijk,

de binomiale verdeling wordt gegeven door: Pr[Xn = k] = pk(1-p)n-k met k =0,1,2,…

p = de kans op arriveren in een blok.

Stel nou dat de blokken zo klein mogelijk worden gemaakt, richting 0. Dan is de kans op een binnenkomst in een blok = intensiteit per blok ( ) * gedeelte van een blok ( ) =

p * . Wanneer we dit voor p substitueren in de binomiale verdeling krijgen we: Pr[Xn = k] =

k

(1 - )n-k

Pr[k binnenkomsten bij limiet] = (1 - )n-k

= =

Als dit wordt opgedeeld en per onderdeel de limiet wordt berekend:

= 1*1*1*…*1 = 1 , aangezien n = = =

geeft dat de vergelijking gelijk is aan:

(19)

Vervolgens wordt geïllustreerd dat tussenaankomsttijden een exponentiële verdeling volgen als de aankomstintensiteit een Poisson verdeling volgt:

3.3.2 A. Verdeling van de tussenaankomsttijd

De pdf van tussenaankomsttijden tussen t = Ti en t = Tj met i en zowel i als j continu:

Indien tijdsmomenten niet overlappend zijn, zijn ze onafhankelijk -

wordt gegeven door fTj-Ti(t1). Als dan ten eerste wordt gezocht naar de FT1(t1).

FT1(t1) = Pr[T1 t1] = 1 – Pr[T1 t] = 1 – Pr[X(t1) = 0] = (m.b.v. Poisson verdeling) = 1 –

= 1

– . Dit is de exponentiële verdeling.

- Lemma: Wanneer de tussenaankomsttijd exponentieel verdeeld is, dan zal het aantal keer voorkomen van eenzelfde gebeurtenis in een gegeven tijdsbestek een Poisson verdeling kennen. –

Nu kunnen op dezelfde manier eveneens de volgende resultaten gevonden worden: fT1(t1) = [1 - ] = -(-1) =  fT1–T2(t) =

(20)

3.4 Q-Q Plot

De kwantiel-kwantiel plot, vaak geschreven als Q-Q plot, is een grafische techniek om te bepalen of twee datasets afkomstig zijn uit populaties met eenzelfde verdeling.

Een Q-Q plot vormt een grafiek van de kwantielen van de eerste dataset afgezet tegen de kwantielen van de tweede dataset. Met een kwantiel wordt de fractie van de punten onder de gegeven waarde bedoeld. Dat wil zeggen het 0,3-kwantiel is het punt waarbij 30% procent van de gegevens onder dit punt liggen.

Tevens wordt een 45-graden referentielijn uitgezet. Indien beide datasets uit een populatie met eenzelfde verdeling komen, zullen de punten ongeveer langs deze 45-graden referentielijn vallen. Des te groter de afwijking van de referentielijn, des te groter het bewijs voor de conclusie dat de twee datasets afkomstig zijn uit populaties met verschillende verdelingen.

De voordelen van een Q-Q plot:

1. De steekproefgrootten hoeven niet gelijk te zijn.

2. Veel verdelingsaspecten kunnen gelijktijdig worden getest. Bijvoorbeeld: verschuivingen in locatie, veranderingen in symmetrie en de aanwezigheid van uitschieters kunnen allemaal worden gedetecteerd uit deze plot. Indien twee datasets afkomstig zijn van populaties met verschillende verdelingen door een verschuiving in de locatie, dan dienen de punten alsnog langs een rechte lijn te lopen, maar evenwijdig boven of onder de 45-graden referentielijn.

Deze Q-Q plot laat zien dat:

1. Deze 2 datasets zeer waarschijnlijk niet van populaties zijn met eenzelfde verdeling.

(21)

3.5 Simulatie

Simulatie kan worden gezien als een alternatieve representatie van de werkelijkheid. Gegeven dat simulatie gebaseerd is op een wiskundig model, kunnen verdere verschillen worden gemaakt: deterministisch vs stochastisch, statisch vs dynamisch en discreet vs continu (Law & Kelton, 2000).

- Er is sprake van deterministische simulatie wanneer de variabelen en parameters een vaste waarde hebben en bekend zijn.

- Terwijl bij stochastische simulatie, kansverdelingen worden toegekend aan enkele of alle variabelen en parameters.

- Statische simulatie is niet gebaseerd op tijd. Er worden steekproeven getrokken om een statistisch resultaat te genereren.

- Daarnaast bestaat er dynamisch simuleren. Daarin worden veranderingen in de tijd nagebootst bij het simuleren.

- Discreet simuleren betekent dat op discrete momenten uit verdelingen wordt getrokken. - Continu simuleren betekent dat er continu uit verdelingen wordt getrokken.

3.5.1 Motivatie voor simulatie

Van de methoden die Operations Research kent, staat simulatie in volledig contrast met mathematische algoritmes en analytische modellen. Omdat simuleren gebruikmaakt van de computer, welke opereert als een nabootsing van de werkelijkheid, is het veel minder beperkt dan analytische modellen. Binnen de grenzen van de input en output interfaces, kan een programmeur zo goed als alles van de werkelijkheid nabootsen in simulatie. Wellicht is het meest voordelige van simulatie het vermogen om een model met willekeurige variabelen en verschillende verdelingen te laten wisselwerken in een random proces. Het laten wisselwerken van verschillende variabelen met verschillende verdelingen in een analytisch model is vaak enorm lastig.

Motivaties (Jensen & Bard, 2003):

1. Simulatie kan het enige alternatief zijn dat een oplossing kan geven voor een probleem.

Bijvoorbeeld: het is niet mogelijk op analytische wijze een tijdsafhankelijke oplossing voor complexe wachttijdmodellen te vinden.

2. Gesimuleerde modellen kunnen werkelijke problemen realistischer weergeven omdat ze minder assumpties en restricties nodig hebben.

3. Veranderingen in een simulatiemodel kunnen makkelijk gemaakt worden. 4. Simulatie is goedkoper dan echte experimenten.

(22)

3.5.2 Selecteren van input kansverdelingen.

Om een simulatie uit te voeren met behulp van willekeurige invoer zoals tussenaankomsttijden of grootte van de vraag, dient deze invoer te worden gerepresenteerd door een verdeling. Daarvoor dienen meestal metingen te worden verricht. De uitkomst van deze metingen kan vervolgens gebruikt worden om de meest representatieve verdeling aan de variabelen toe te kennen. Verschillende technieken worden gebruikt om te onderzoeken welke verdeling een variabele het best representeert.

(23)

4 Methodiek

4.1 Motivatie:

Het model van Neeft [6] gaat uit van:

 een vaststaand schema van donoren

 vaste aankoppeltijden

 vaste afkoppeltijden

 vaste ligtijden

Hiermee produceert Neeft [6] een volledig offline en deterministisch model in AIMMS. Het probleem is echter dat dit voorbijgaat aan de realiteit. De wereld waarin mensen op willekeurige momenten binnenlopen, geen afspraak maken en waarin aan-, lig- en afkoppeltijden stochastisch zijn. Neeft [6] stelt zelf dat: ‘de robuustheid van zijn uitkomsten dient te worden onderzocht’.

Met behulp van het simulatieprogramma ARENA simulation wordt getracht deze robuustheid te onderzoeken. Daar het lastig is de modellen van Neeft [6] te vergelijken met een simulatiemodel worden uitsluitend binnen het simulatiemodel verschillende scenario’s onderzocht. In deze scenario’s worden zowel deterministische als stochastische aanpassingen gedaan op een oorspronkelijk deterministisch simulatiemodel waarin geen wachttijden zijn.

1. Van deze aanpassingen wordt het effect gemeten op bezettingsgraden en wachttijden. De bezettingsgraad is het deel van de tijd dat een resource bezet is. Voor een bed spreekt dit voor zich en voor een assistent is dit het deel van de tijd dat hij/zij bezig is met aan-/afkoppelen van donoren.

2. Vervolgens wordt door middel van ‘trial & error’ nagegaan hoeveel extra bedden en

assistenten nodig zijn om weer een situatie zonder wachttijden te krijgen. Er is voor gekozen ‘geen wachttijd’ als norm te hanteren, omdat dit een duidelijke maatstaf is.

Om te kunnen simuleren zijn de volgende onderdelen noodzakelijk (Jensen & Bard, 2003): 1. De toestanden van het systeem

2. De mogelijke gebeurtenissen 3. De fasen

4. Simulatieklok

5. Een methode om willekeurig gebeurtenissen te geven 6. Een set van regels die de fase transacties reguleren

(24)

4.2 Simulatie proces: Deterministisch simulatiemodel

Er wordt onderscheid gemaakt tussen volbloeddonoren en plasmadonoren. De verschillende donoren komen namelijk met verschillende intensiteiten binnen en daarnaast onderscheiden de twee donoren zich in hun ligtijd: volbloed 8 minuten, plasma 20 minuten. Zodoende kun je het afnameproces als twee parallelle processen zien. Volbloed- en plasmabedden worden apart gebruikt, assistenten zijn daarentegen flexibel.

Dat betekent dat:

 Er 2 processen zijn, volbloed en plasma.

 Er aparte volbloed- en plasmabedden zijn.

 De assistenten over de twee processen verdeeld dienen te worden.

4.2.1 De beschrijving van proces en onderdelen in 4.1

Om als volbloed- en plasmadonor te kunnen doneren, moet het juiste bed(plasma/volbloed) vrij zijn. Deze moet in ARENA simulation in gebruik worden genomen. Dit wordt gedaan door het command: ‘seize’. Zodoende wordt station 1: ‘Seize volbloedbed’.

Daar op exact hetzelfde moment ook een assistent nodig is om de donor in het bed te plaatsen is de tijd om het bed te seizen 0 en is het seize (vastleggen), delay (bezig) releasen (vrijgeven) van de assistent, station 2.

De assistent wordt ‘geseized’, ‘gedelayed’ en ‘gereleased’, omdat ze a. beschikbaar moet zijn om te kunnen worden ‘geseized’ b. 5 minuten ‘gedelayed’ wordt voor het aankoppelproces c. om na voltooiing weer ‘gereleased’ te worden

Het bed is op dit moment nog in gebruik (pas na afkoppelen niet meer) en direct kan er begonnen worden met volbloed of plasma doneren in station 3.

Na respectievelijk 8 en 20 minuten dient er weer een assistent ‘geseized’ te worden, indien

beschikbaar, en vervolgens ‘gedelayed’ te worden om het afkoppelproces respectievelijk 3 minuten en 10 minuten in station 4 te kunnen voltooien. Als het afkoppelproces klaar is, wordt de assistent direct weer ‘gereleased’. Op exact hetzelfde moment wordt tevens het bed ‘gereleased’ met een procestijd van 0.

(25)

4.2.2 Het model

Onderstaande afbeelding geeft een overzicht van de processtappen die doorlopen worden in het afnameproces:

In ARENA simulation ziet het model er dan als volgt uit:

Er bestaan dus voor zowel plasma- als volbloeddonoren drie wachtmomenten: 1. Wachttijd voor een bed

(26)

4.3 Simulatie proces: Stochastisch simulatiemodel

Vervolgens wordt de werkelijkheid nagebootst en bezien of zo’n deterministisch model houdbaar is onder stochastische aannames door het model om te vormen tot een stochastisch simulatiemodel. Daartoe is het noodzakelijk dat ‘5. Een methode om willekeurig gebeurtenissen te geven’ wordt gevonden. Dat wil zeggen, de kansverdelingen voor de activiteitduren en intensiteiten van het netwerk zijn benodigd.

1. Volbloeddonoren komen, zo veronderstellen we, random binnen omdat ze geen afspraak maken. De plasmadonoren komen op afspraak, maar worden in het proces bij Sanquin al bij de registratie en keuring uit hun binnenkomstverdeling ‘getrokken’.

2. De verdelingen van de registratie en keuring kennen we niet, laat staan de wisselwerking tussen de verdelingen.

- Vanuit het modellerend perspectief is het noodzakelijk een grens te trekken tussen behandelen en

niet behandelen. Alles wat niet wordt behandeld dient als exogeen of constant te worden

verondersteld. Waar de grens getrokken wordt is vaak arbitrair maar hangt meestal af van de scope en beschikbaarheid van data. –

Om deze twee redenen worden respectievelijk:

1. Dezelfde verdelingen gebruikt voor de aankomstintensiteit van plasma als voor volbloed 2. Het afnameproces als alleenstaand onderdeel genomen. Registratie en keuring worden in

(27)

4.3.1 Verdeling van de aankomstintensiteit

Voor volbloed- en voor plasmadonoren moeten de aankomstintensiteiten bepaald worden. Er is sprake van een proces met continue tijd en een discrete faseruimte. Tijd is immers continu terwijl het aantal mensen in het proces discreet is.

Voorbeelden van een discrete kansfunctie (boven) en zijn verdelingsfunctie (beneden).

Zoals in de theorie besproken kan de Poisson verdeling zo’n proces goed representeren daar het een soort ‘continue variant van een discrete verdeling is’. Zodoende wordt ervoor gekozen dat zowel volbloed- als plasma-aankomstintensiteiten worden gerepresenteerd door de Poisson verdeling.

(28)

4.3.2 Verdeling van de procestijden

De verdeling van de procestijden wordt, zoals in eerder onderzoek aangetoond, het best beschreven door de lognormale verdeling. Bewezen wordt in het onderzoek van Van Mechelen & Zonneveld [5] dat aan de hand van Q-Q plots kan worden aangetoond dat de meetresultaten goed worden gefit door de lognormale verdeling. Indien de resultaten de lognormale verdeling exact zouden volgen zouden de resultaten op de lineaire lijn liggen. Zie de grafieken op de volgende bladzijde,

overgenomen uit het onderzoek van Van Mechelen & Zonneveld [5].

4.4 Set-up van simulatiemodel

In het simulatiemodel is ervoor gekozen een replicatielengte van twee uur te hanteren met een uur opwarmperiode. In totaal duurt een replicatie dus drie uur met elk uur dezelfde gemiddelde tussenaankomsttijd en procestijden. Het uur opwarmperiode dient ervoor te zorgen dat het model gevuld is, voordat de echte meting begint. Zo wordt er vanuit gegaan dat het afnamecentrum al een uur draaiende is, waardoor eventuele wachtrijen zijn ontstaan. Vanwege de korte replicatielengte van twee uur is het aantal replicaties ingesteld op 200, zodat de precisie en betrouwbaarheid van de resultaten gewaarborgd blijft.

(29)

5 Resultaten

5.1 Introductie

In deze scriptie worden vier scenario’s geanalyseerd waarin bewerkingen worden aangebracht op aankomsttijdstippen en procestijden, welke in de scriptie van Neeft [6] deterministisch zijn verondersteld. Hieronder een overzicht van de vier te onderzoeken scenario’s:

1. Verschillende aankomstintensiteiten van volbloeddonoren

2. Verschillende aan-/afkoppeltijden voor plasma- en volbloeddonoren 3. Verdeling aankomsttijdstippen

4. Verdeling aan-, lig- en afkoppeltijden voor plasma- en volbloeddonoren

In deze vier gevallen worden afzonderlijk de effecten gemeten en vergeleken ten opzichte van een deterministische uitgangssituatie. Daar het puur een gevoeligheidsanalyse betreft en niet zozeer praktisch nut heeft voor Sanquin, wordt hierna een meer realistische situatie beschouwd. Daarin worden ook resultaten gepresenteerd aangaande het gebruik van flexibele bedden.

Per scenario worden de resultaten gepresenteerd in tabellen. Daarbij wordt, zoals vermeld, gevarieerd in aankomstintensiteiten, aan-/afkoppeltijden, aankomstverdelingen en aan-, lig- en afkoppeltijdverdelingen. Voor elk scenario wordt vervolgens eerst een overzicht gegeven van de bezettingsgraad, wachttijd in minuten en aantal wachtenden, gegeven eenzelfde inzet van resources. Daarna wordt door middel van ‘trial & error’ de inzet van resources bepaald zodanig dat er geen wachttijd meer is. Gele markeringen in de tabellen duiden op veranderingen ten opzichte van de oorspronkelijke situatie. Dit kan betrekking hebben op ontstane wachttijden of op extra inzet van resources om wachttijden weg te werken.

(30)

Er is bij elk scenario gesimuleerd aan de hand van gemaakte aannames die ten grondslag liggen aan de uitkomsten. Hieronder een lijst met alle aannames waarop soms aanpassingen zijn gedaan afhankelijk van het onderzochte scenario.

Aannames referentiemodel:

- Gemiddelde aankomstintensiteit van 10 per uur voor zowel plasma- als volbloeddonoren

- Aankoppeltijd plasmadonoren: 5 minuten

- Aankoppeltijd volbloeddonoren: 5 minuten

- Ligtijd plasmadonoren: 20 minuten

- Ligtijd volbloeddonoren: 8 minuten

- Afkoppeltijd plasmadonoren: 10 minuten

- Afkoppeltijd volbloeddonoren: 3 minuten

- Plasmadonoren krijgen voorrang bij het aan-/afkoppelen t.o.v. volbloeddonoren

- Aankoppelen heeft dezelfde prioriteit als afkoppelen

- Alle assistenten zijn flexibel m.b.t. plasma-/volbloeddonoren en aan-/afkoppelen

(31)

5.2 Scenario 1: Verschillende aankomstintensiteiten van volbloeddonoren

In het eerste scenario wordt gemeten wat de invloed is van een grotere aankomstintensiteit (kortere tussenaankomsttijden) van volbloeddonoren. Dit is alleen voor volbloeddonoren onderzocht, omdat deze in tegenstelling tot plasmadonoren (nog) niet op afspraak langskomen bij Sanquin. Er wordt bekeken welk effect een toename van de aankomstintensiteit van één, twee of drie volbloeddonoren heeft op de wachttijden en bezettingsgraden. Daarbij is uitgegaan van de deterministische situatie met constante tussenaankomsttijden en constante procestijden.

Tabel 5.1

Aankomstintensiteit volbloeddonoren per uur

10 11 12 13

Resources

Assistenten 5 5 5 5

Plasmabedden 7 7 7 7

Volbloedbedden 3 3 3 3

Gemiddelde bezettingsgraad (procenten)

Assistenten 77 79 80 80

Plasmabedden 83 83 83 83

Volbloedbedden 89 98 100 100

Gemiddelde wachttijd (minuten)

Plasmabed 0 0 0 0 Volbloedbed 0 0 7,2 15,5 Aankoppel plasma 0 0 0 0 Aankoppel volbloed 0 0 0 0 Afkoppel plasma 0 0 0 0 Afkoppel volbloed 0 0 0 0

Gemiddeld aantal wachtenden

Plasmabed 0 0 0 0 Volbloedbed 0 0 1,4 3,4 Aankoppel plasma 0 0 0 0 Aankoppel volbloed 0 0 0 0 Afkoppel plasma 0 0 0 0 Afkoppel volbloed 0 0 0 0

In de uitgangssituatie met een aankomstintensiteit van plasma- en volbloeddonoren van 10 per uur is er een minimale inzet van 5 assistenten, 7 plasmabedden en 3 volbloedbedden nodig om de

wachttijden en daarmee het aantal wachtenden gelijk aan nul te houden. Indien het aantal volbloeddonoren per uur stijgt naar 13 is er met dezelfde inzet van resources een gemiddelde wachttijd voor een volbloedbed te zien van 15,5 minuten. De minimale wachttijd bedraag 8,6 minuten voor een volbloedbed en de maximale wachttijd 23,7 minuten. Gemiddeld zijn er dan 3,4

(32)

bezettingsgraad van de assistenten is gestegen van 77 tot 80 procent en die van volbloedbedden van 89 tot 100 procent. Met een aankomstintensiteit van 13 volbloeddonoren per uur zijn de 3

volbloedbedden dus vrijwel de volledige tijd bezet.

Om te illustreren hoeveel extra resources het vergt om alle wachttijden en daarmee het aantal wachtenden voor elke beschouwde aankomstintensiteit weer gelijk aan nul te krijgen, staat in tabel 5.2 een overzicht van de opnieuw bepaalde minimale inzet van resources met bijbehorende

bezettingsgraden. Als er per uur één extra volbloeddonor arriveert, heeft dit geen invloed op de resources. Alléén de bezettingsgraad van een volbloedbed stijgt gemiddeld van 89 naar 98 procent. Voor 12 volbloeddonoren per uur in plaats van 10 komt het aanpassen van de resources neer op het inruilen van een plasmabed voor een volbloedbed. Hierdoor stijgt de gemiddelde bezettingsgraad van een plasmabed naar 97 procent en daalt die van een volbloedbed naar 80 procent. Ten opzichte van 12 volbloeddonoren per uur is er in de situatie met een aankomstintensiteit van 13 per uur één assistent extra nodig. Dit heeft wel een daling van de gemiddelde bezettingsgraad tot gevolg van 82 tot 71 procent.

Tabel 5.2

Aankomstintensiteit volbloeddonoren per uur

11 12 13

Resources

Assistenten 5 5 6

Plasmabedden 7 6 6

Volbloedbedden 3 4 4

Assistenten 79 82 71

Plasmabedden 83 97 97

(33)

5.3 Scenario 2: Verschillende aan-/afkoppeltijden voor plasma- en volbloeddonoren

Evenals in scenario 1 worden in scenario 2 absolute aanpassingen verricht, waarbij nog geen sprake is van onzekerheid. Zodoende blijft de situatie deterministisch met constante tussenaankomsttijden en constante procestijden. In dit scenario wordt de invloed onderzocht van het afzonderlijk verhogen van aan-/afkoppeltijd voor plasma- en volbloeddonoren.

Tabel 5.3

Aankoppeltijd volbloeddonoren (minuten)

6 7 8

Resources

Assistenten 5 5 5

Plasmabedden 7 7 7

Plasmabed 0 0 0 Volbloedbed 0 0 6 Aankoppel plasma 0 0 0 Aankoppel volbloed 0 0 0 Afkoppel plasma 0 0 0 Afkoppel volbloed 0 0 0

In tabel 5.3 wordt bekeken wat het effect is op bezettingsgraden en wachttijden als bijvoorbeeld de aankoppeltijd van een volbloeddonor gedurende een heel uur constant 6, 7 of 8 minuten is ten opzichte van de oorspronkelijke 5 minuten. Als de aankoppeltijd van een volbloeddonor steeds 6 minuten bedraagt, heeft dat geen effect op de wachttijden. Uitsluitend de bezettingsgraad stijgt van 89 naar 94 procent. In het geval de aankoppeltijd van een volbloeddonor constant 8 minuten is, ontstaat er een gemiddelde wachttijd van 6 minuten voor een volbloedbed met een minimum van 3 en een maximum van 9 minuten. Gemiddeld staat er dan één donor te wachten. De gemiddelde bezettingsgraad van 100 procent laat zien dat volbloedbedden continu bezet zijn.

(34)

Net als bij scenario 1 staat in tabel 5.4 vermeld hoeveel extra resources minimaal nodig zijn om de wachttijden weg te werken als de aankoppeltijd van een volbloeddonor steeds 8 minuten bedraagt. Te zien valt dat er behoefte is aan één extra volbloedbed.

Tabel 5.4

Aankoppeltijd volbloeddonoren (minuten)

5 8

Resources

Assistenten 5 5

Plasmabedden 7 7

Volbloedbedden 3 4

Assistenten 77 87

Plasmabedden 83 83

Volbloedbedden 89 79

De tabellen 5.5 t/m 5.10 kunnen op vergelijkbare wijze geïnterpreteerd worden als bij het vergroten van de aankoppeltijd voor volbloeddonoren. Deze zijn terug te vinden in Appendix A1.

(35)

5.4 Scenario 3: Verdeling aankomsttijdstippen

Tot nu toe zijn er slechts constante veranderingen in aankomstintensiteiten en in aan-/afkoppeltijden van plasma- en volbloeddonoren ter sprake gekomen, maar de aankomsttijdstippen en procestijden waren vooraf bekend en staan vast. Deze zogeheten deterministische situatie is niet realistisch aangezien er wel degelijk afgeweken wordt van vooraf geplande aankomsttijdstippen bij

plasmadonoren en bepaalde procestijden. Aankomsttijdstippen voor volbloeddonoren zijn vooraf niet eens bekend. In scenario 3 wordt een meer realistische situatie gecreëerd door er vanuit te gaan dat de tussenaankomsttijden niet constant zijn, maar een exponentiële verdeling volgen. Door de geheugenloze eigenschap van de exponentiële verdeling is het goed mogelijk dat er een aantal donoren vlak achter elkaar binnenkomt en daarna een tijdje geen. Zo is het bovendien aannemelijk dat het ene uur 8 donoren binnenkomen en het andere uur 13 als de gemiddelde

aankomstintensiteit 10 per uur is.

Exponentiële tussenaankomsttijden zijn meer plausibel voor volbloeddonoren dan voor plasmadonoren, omdat volbloeddonoren op willekeurige tijdstippen binnenkomen, terwijl plasmadonoren op afspraak langs moeten komen. Voor plasmadonoren bestaan de

tussenaankomsttijden dus naar alle waarschijnlijkheid deels uit een constante term en deels uit een variabele door te vroeg of te laat arriverende donoren. In tabel 5.11 wordt:

1. De invloed onderzocht van uitsluitend exponentiële tussenaankomsttijden voor

volbloeddonoren met nog steeds constante tussenaankomsttijden voor plasmadonoren. 2. Tevens de tussenaankomsttijd voor plasmadonoren exponentieel gekozen, ondanks dat dit

(36)

Tabel 5.11 Tussenaankomsttijden Plasma constant Volbloed exponentieel Exponentieel Resources Assistenten 5 5 Plasmabedden 7 7 Volbloedbedden 3 3

Assistenten 76 73

Plasmabedden 83 83

Plasmabed 0 5,6 Volbloedbed 9,2 10,0 Aankoppel plasma 0,0 0,3 Aankoppel volbloed 0,1 0,4 Afkoppel plasma 0,0 0,3 Afkoppel volbloed 0,1 0,5

Plasmabed 0 1,1 Volbloedbed 1,8 1,9 Aankoppel plasma 0,0 0,1 Aankoppel volbloed 0,0 0,1 Afkoppel plasma 0,0 0,0 Afkoppel volbloed 0,0 0,1

In de situatie met alleen exponentiële tussenaankomsttijden voor volbloeddonoren is er een flinke verhoging van 9,2 minuten in de gemiddelde wachttijd voor volbloedbedden ten opzichte van de uitgangssituatie. De maximale wachttijd bedraagt zelfs 78,6 minuten. Als ook de

tussenaankomsttijden van plasmadonoren een exponentiële verdeling volgen, gaat de gemiddelde wachttijd voor een volbloedbed nog iets verder omhoog naar 10,0 minuten en voor een volbloedbed ontstaat er een gemiddelde wachttijd van 5,6 minuten.

(37)

Het elimineren van wachttijd in het geval van exponentiële tussenaankomsttijden van beide donorgroepen vraagt om een flinke aanpassing van de resources. Er zijn 9 assistenten, 9

plasmabedden en 7 volbloedbedden extra nodig. Een wachttijd van nul minuten is redelijkerwijs niet nastreefbaar aangezien de gemiddelde bezettingsgraden enorm dalen. Om zo transparant mogelijke verschillen te krijgen worden alle scenario’s echter vergeleken op basis van eenzelfde maatstaf. Tabel 5.12 Tussenaankomsttijden Plasma constant Volbloed exponentieel Exponentieel Resources Assistenten 11 14 Plasmabedden 6 16 Volbloedbedden 11 10

Assistenten 35 27

Plasmabedden 97 37

(38)

5.5 Scenario 4: Verdeling aan-, lig- en afkoppeltijden voor plasma- en volbloeddonoren

Net als in scenario 3 wordt in scenario 4 variatie toegebracht, ditmaal aan de procestijden (aan-, lig-, en afkoppeltijd). Waar er voorheen vanuit werd gegaan dat alle verschillende procestijden voor elke donor exact hetzelfde waren, wordt in scenario 4 een verdeling toegekend aan deze tijden. Uit eerder onderzoek is gebleken dat voor zowel aan-, lig- als afkoppeltijd de lognormale verdeling het beste past. Door het toekennen van de lognormale verdeling is het bijvoorbeeld voor de

aankoppeltijd van plasmadonoren mogelijk dat bij de één het aankoppelen 2 minuten duurt en bij de ander 7 minuten, terwijl het gemiddelde op 5 minuten is vastgesteld.

Allereerst is in tabel 5.13 het afzonderlijke effect gemeten van lognormale procestijden onder constante tussenaankomsttijden. Daarbij valt op te merken dat er overal wachttijd verschijnt, weliswaar minimaal. Vervolgens staan in de laatste kolom de resultaten van een simulatiemodel met exponentiële tussenaankomsttijden en lognormale procestijden.

Tabel 5.13 Procestijden Lognormaal + constante tussenaankomsttijden Lognormaal + exponentiële tussenaankomsttijden Resources Assistenten 5 5 Plasmabedden 7 7 Volbloedbedden 3 3

Assistenten 76 73

Plasmabedden 84 82

Plasmabed 0,1 5,6 Volbloedbed 0,4 11,1 Aankoppel plasma 0,1 0,3 Aankoppel volbloed 0,1 0,4 Afkoppel plasma 0,2 0,3 Afkoppel volbloed 0,3 0,5

Plasmabed 0,0 1,1

Volbloedbed 0,1 1,9

Aankoppel plasma 0,0 0,1

(39)

Tabel 5.14 Procestijden Lognormaal + constante tussenaankomsttijden Lognormaal + exponentiële tussenaankomsttijden Resources Assistenten 9 14 Plasmabedden 9 15 Volbloedbedden 4 12

Assistenten 43 28

Plasmabedden 65 37

Om alle wachttijden weg te werken zijn er in de online situatie met exponentiële tussenaankomsttijden en lognormale procestijden 9 assistenten, 8 plasmabedden en 9

volbloedbedden additioneel nodig ten opzichte van de volledig offline situatie. Opnieuw geldt dat de bezettingsgraden die ontstaan niet wenselijk zijn, maar er wordt vergeleken aan de hand van

(40)

5.6 Reële situatie

In de beschreven vier scenario’s zijn tot dusver de ontstane wachttijden vergeleken en de extra benodigde resources om die wachttijden weer weg te werken. Nuttig analysemateriaal, maar weinig praktisch bruikbaar. Daarom wordt in deze paragraaf onderzocht met welke minimale inzet van resources een voorbeelddoelstelling van Sanquin met betrekking tot gemiddelde doorlooptijden behaald kan worden. Met doorlooptijd wordt de totale tijd bedoeld dat een volbloeddonor in de volbloedbank verblijft. Oftewel, het moment van binnenkomst tot het moment van vertrek.

Voorbeeld

Stel dat Sanquin een gemiddelde doorlooptijd nastreeft van 70 minuten voor plasmadonoren en 50 minuten voor volbloeddonoren.

Aangenomen wordt dat het gemiddeld 20 minuten duurt, voordat een plasma- /volbloeddonor van het moment van binnenkomst via registratie en keuring bij het afnameproces terechtkomt. Dat betekent dat er voldaan moet worden aan een gemiddelde afnametijd van:

- maximaal 50 minuten voor plasmadonoren - maximaal 30 minuten voor volbloeddonoren

Onder exponentiële tussenaankomsttijden en lognormale procestijden staan in tabel 5.15 alle gegevens, waarmee aan de doorlooptijdeis voor beide donorgroepen voldaan wordt.

Door middel van ‘trial & error’ wordt in het simulatiemodel de minimale inzet van resources bepaald. Met 4 assistenten, 6 plasmabedden en 4 volbloedbedden kennen volbloeddonoren een gemiddelde doorlooptijd van 26,9 minuten met een minimum van 11,1 minuten en een maximum van 82,1 minuten. Plasmadonoren doen er gemiddeld 46,4 minuten over met een minimum van 23,1 en een maximum van 129,7 minuten. Uit de tabel valt af te lezen dat de gemiddelde bezettingsgraad vrij hoog is, waardoor de resources goed bezet blijven. De gemiddelde totale wachttijd in het

afnameproces voor volbloeddonoren is gelijk aan 12,2 minuten (=7,7+2,1+2,4) en voor

plasmadonoren 15,7 minuten (=14,0+0,8+0,9). In dit voorbeeld moeten plasmadonoren met name een poosje wachten op een vrij bed.

(41)

Tabel 5.15 Reële doorlooptijden Resources Assistenten 4 Plasmabedden 6 Volbloedbedden 4 Bezettingsgraad Assistenten 0,87 Plasmabedden 0,91 Volbloedbedden 0,81 Wachttijd (minuten) Plasmabed 14,0 Volbloedbed 7,7 Aankoppel plasma 0,9 Aankoppel volbloed 2,1 Afkoppel plasma 0,8 Afkoppel volbloed 2,4 Wachtenden Plasmabed 2,7 Volbloedbed 1,5 Aankoppel plasma 0,1 Aankoppel volbloed 0,3 Afkoppel plasma 0,1 Afkoppel volbloed 0,4

(42)

5.7 Flexibiliteit van bedden en assistenten

Nu alle scenario’s geanalyseerd zijn, wordt er op een ander aspect binnen het afnameproces gefocust, namelijk de flexibiliteit van bedden en assistenten. Wij hebben vernomen dat er in meerdere vaste afnamecentra enkele flexibele bedden beschikbaar zijn. Bovendien leek het er bij onze meting in Sanquin Uithof op dat er een strikte scheiding werd gehanteerd tussen assistenten die plasmadonoren helpen en assistenten die volbloeddonoren helpen. Daarom worden verschillen in totale inzet van bedden en assistenten onderzocht in de extreme situaties dat naast alle

assistenten ook alle bedden flexibel zijn en dat naast alle bedden ook alle assistenten gescheiden zijn.

In tabel 5.16 staat een overzicht van inzet van resources in verschillende situaties met de eis dat aan de eerder genoemde gemiddelde doorlooptijd van 30 minuten voor volbloeddonoren en 50 minuten voor plasmadonoren voldaan moet worden. De gemiddelde bezettingsgraad staat er tussen haakjes achter. Ten opzichte van de oorspronkelijke toestand met flexibele assistenten en gescheiden bedden is er, indien de bedden ook flexibel zijn, alleen een extra assistent benodigd.

Waar voorheen aangenomen werd dat plasmadonoren ‘slechts’ voorrang kregen bij het aan-/afkoppelen, wordt nu aangenomen dat zij ook nog eens voorrang krijgen bij het innemen van bedden, doordat deze flexibel zijn. Hierdoor is een extra assistent nodig om de gemiddelde

doorlooptijd van volbloeddonoren onder de 30 minuten te krijgen. De gemiddelde doorlooptijd van volbloeddonoren is dan 26,4 minuten met een minimum van 10,6 en een maximum van 120,9 minuten. Door de voorkeursbehandeling van plasmadonoren doen zij er gemiddeld 37,5 minuten over met een minimum van 23,6 en maximum van 66,7 minuten. Intuïtief zou je verwachten dat indien de bedden flexibel zijn er in totaal minder nodig zijn dan in een situatie met gescheiden bedden. Dat blijkt hier echter niet het geval.

De laatste kolom in tabel 5.16 laat zien dat zodra de bedden gescheiden zijn en er ook bij de

assistenten een strikte scheiding bestaat, er in totaal één assistent extra nodig is en één volbloedbed minder ten opzichte van de uitgangssituatie. Bij volledige scheiding van de resources genieten plasmadonoren niet meer hun voorkeursbehandeling binnen het afnameproces, doordat ze uitsluitend door plasma assistenten op plasmabedden geholpen kunnen worden. Daarmee is hun gemiddelde doorlooptijd 46,0 minuten met een minimum van 23,6 en maximum van 103,7 minuten. Bloeddonoren doorlopen het afnameproces gemiddeld in 25,8 minuten. De minimale doorlooptijd

(43)

Tabel 5.16

Flexibiliteit assistenten + bedden Flexibele assistenten Gescheiden bedden Flexibele assistenten Flexibele bedden Gescheiden assistenten Gescheiden bedden Assistenten Flexibele assistenten 4 (0,87) 5 (0,75) Plasma assistenten 3 (0,74) Volbloed assistenten 2 (0,63) Totaal 4 5 5 Bedden Flexibele bedden 10 (0,87) Plasmabedden 6 (0,91) 6 (0,91) Volbloedbedden 4 (0,81) 3 (0,86) Totaal 10 10 9

(44)

6 Conclusies

6.1 Bevindingen

Na het bestuderen van de modellen van Neeft [6] kan er geconcludeerd worden dat ze optimaal zijn voor het oplossen van offline roosteringsproblemen, waarbij de input vooraf bepaald is. Door het invoeren van het aankomstpatroon van donoren worden zowel het aantal donoren als de tijdstippen waarop ze binnenkomen vastgesteld. In de realiteit zit hier echter enige variatie in. Voor

volbloeddonoren meer dan voor plasmadonoren omdat naast het tijdstip, dat onbekend is bij

volbloeddonoren, ook het aantal niet vooraf bekend is. Deze beperkte informatie over de toekomst is kenmerkend voor online roosteringsproblemen.

Met behulp van een simulatiemodel is het in tegenstelling tot het model van Neeft [6] wel mogelijk onzekerheid in te bouwen. Daarvan gebruikmakend zijn er verschillende analyses uitgevoerd in het simulatieprogramma ARENA simulation. Vier scenario’s zijn aan bod gekomen, waarbij effecten zijn gemeten van verschillende aankomstintensiteiten, procestijden, aankomsten procestijdverdelingen op wachttijden en bezettingsgraden. Daarbij is opgevallen dat, met dezelfde inzet van resources, door het nemen van exponentiële tussenaankomsttijden en lognormale procestijden wachttijden ontstaan voor bedden, aan- en afkoppelen. Per scenario hebben we daarna onderzocht hoeveel extra assistenten en bedden vereist zijn om alle wachttijden weer gelijk aan nul te krijgen. Dit is uiteraard geen reëel streven, maar het geeft een indicatie in hoeverre de resources aangepast moeten worden om te voldoen aan de uitgangssituatie zonder wachttijden. In het geval met exponentiële tussenaankomsttijden en lognormale procestijden zijn er 9 assistenten, 8

plasmabedden en 9 volbloedbedden extra nodig ten opzichte van de oorspronkelijke situatie met constante tussenaankomsttijden en constante procestijden.

Om naast dit vergelijkingsmateriaal ook een bruikbare uitkomst aan Sanquin te bieden, is er de minimale inzet van resources bepaald om te voldoen aan een vooraf gestelde doorlooptijdeis van maximaal 30 minuten voor volbloeddonoren en 50 minuten voor plasmadonoren. Dit wordt bereikt met 4 assistenten, 6 plasmabedden en 4 volbloedbedden. Onder dezelfde voorwaarden van

maximale gemiddelde doorlooptijden is vervolgens bekeken waartoe flexibiliteit van bedden en assistenten leidt. Dit leverde geen spectaculaire resultaten.

(45)

6.2 Opmerkingen

1. Verondersteld werd dat de aankomstintensiteiten van plasma- en volbloeddonoren beide worden gerepresenteerd door een Poisson verdeling. Daar plasmadonatie op afspraak is, is het discutabel of de Poisson verdeling deze aankomstintensiteit het best representeert. Omdat niet bekend is welke verdeling beter bij een aankomstproces op afspraak past, is desondanks om theoretische redenen voor de Poisson verdeling gekozen.

2. In deze scriptie wordt slechts het afnameproces bekeken. Indien registratie en keuring worden meegenomen, zal er zeer waarschijnlijk niet meer gewerkt kunnen worden met de gebruikte intensiteiten (dan is uitval mogelijk bij keuring) en de gebruikte verdelingen. Dat komt omdat er in dat geval een wisselwerking zal optreden tussen de verdelingen en intensiteiten van de registratie, keuring en het afnameproces.

3. Aangenomen is dat assistenten altijd beschikbaar zijn zolang ze niet bezig zijn met aan- of afkoppelen. Dit is niet realistisch omdat assistenten tevens bezig zijn met andere taken. Daarnaast hebben ze pauzes en werktijden waarmee rekening dient te worden gehouden. 4. Er is voor de meting geen concrete definitie gevormd wat tot de aan- en afkoppeltijd wordt

gerekend. Onvoorzien waren medewerkers niet constant bezig met het aan- en afkoppelen van donoren. Dat wil zeggen, ze begonnen met het afkoppelen van de ene donor, maar begonnen intussen ook met het afkoppelen van een andere donor. Daarnaast voerden ze tegelijkertijd andere taken uit, zoals administratie of het kort helpen van andere donoren.

Zodoende is er geen exacte duur van de aan- of afkoppeling gemeten, maar een start tot eind (met in sommige gevallen dus een korte pauze) van het aan- en afkoppelingproces.

5. In ons simulatiemodel komt het voor dat een donor op assistent wacht, terwijl hij op een bed zit. Dit is in werkelijkheid onmogelijk. Een assistent is nodig om iemand een bed toe te wijzen. Hierdoor is de bezettingsgraad van volbloedbedden en plasmabedden veel hoger dan hij in werkelijkheid zou moeten zijn.

(46)

6.3 Aanbevelingen

- Hoewel er een aantal analyses is verricht en er nog veel meer denkbaar zijn, is simuleren geen middel tot optimalisatie. Door het combineren van het model van Neeft [6] met de als input gesimuleerde aankomstpatronen en procestijden, is het bieden van een realistische optimale oplossing meer waarschijnlijk.

- Om het model van Neeft [6] te kunnen vergelijken met een model waarin onzekerheid is geïntroduceerd, is het noodzakelijk eerst een patroon in te voeren in ARENA simulation. Dit patroon dient een oplossing te zijn uit het model van Neeft [6]. Vervolgens dient hier, met verkregen/berekende verdelingen, onzekerheid op uitgeoefend te worden teneinde de invloed van onzekerheid te kunnen vaststellen.

- Voor vervolgonderzoek is het interessant om per assistent in kaart te brengen welke handelingen deze verricht op welke tijdstippen. Op deze manier kan een overzicht worden gecreëerd van de bezetting van een medewerker per taak.

- Zoals eerder benoemd bestaan de taken van de medewerkers niet alleen uit aan- en afkoppelen. Het zou daarom wellicht beter zijn extra taken op te nemen in het proces. Bijvoorbeeld, bij elke donatie hoort wat administratief werk in het afnameproces. Daarnaast dienen de plasma- en volbloedbedden elke keer na donatie geprepareerd te worden voor de volgende donatie. Beide taken zijn noodzakelijk bij elke donatie en nemen tijd van de

medewerkers in beslag.

- Aangezien Sanquin in de nabije toekomst ook volbloeddonoren op afspraak wil laten komen, is het een interessant vraagstuk welke verdeling het beste past bij aankomsten op afspraak. Wanneer deze verdeling bekend is, is het mogelijk realistischere simulaties te runnen.

(47)

7 Dankwoord

De bachelor Econometrie & Operationele Research is van zichzelf behoorlijk theoretisch en abstract. Door op een meer praktische manier aan de slag te gaan met hetgeen we geleerd hebben, ging voor ons de dagelijkse praktijk van Operationele Research veel meer leven. Het heeft ons alleen maar enthousiaster gemaakt voor dit vak. De mensen met wie we hiervoor hebben samengewerkt, hebben hier een belangrijke bijdrage aan geleverd.

Graag willen wij een aantal personen, die hebben bijgedragen aan het tot stand komen van deze scriptie, in het bijzonder bedanken:

- Prof. dr. N.M. van Dijk voor zijn achtergrondkennis, deskundige hulp en vertrouwen bij het maken van deze scriptie. Zonder zijn hulp was deze scriptie nooit tot stand gekomen. - S.P.J. van Brummelen (MSc), PhD student aan de TU Twente, voor zijn deskundige hulp en

kennis van onder andere het simulatiemodel. Daarnaast was Sem immer bereid al onze vragen zeer snel te beantwoorden.

- Prof. W.L. de Kort voor de tijd die hij heeft vrijgemaakt om ons rond te leiden door het hoofdkantoor van Sanquin in Amsterdam.

- De medewerkers van de vestiging van Sanquin op de Uithof in Utrecht voor hun medewerking en toestemming om een meting te mogen uitvoeren.

- G. Heijkoop van Systems Navigator voor zijn tijd en gastvrijheid om ons wegwijs te maken in ARENA simulation.

(48)

8 Bibliografie

[1] Croarkin, C., Tobias, P., (2012). Engineering Statistics Handbook, NIST*/SEMATECH. [2] Fohler, G. (2011). How different are Offline and Online Scheduling?

[3] Jensen, A.J., Bard, J.F. (2003). Operations Research Models and Methods. John Wiley & Sons, Inc.

[4] Law, A.M., Kelton, W.D. (2000). Simulation Modeling and Analysis. Mc Graw Hill [5] Mechelen van, I.S., Zonneveld, P.L.M. (2013). Capaciteitplanning en Wachttijdbepaling. [6] Neeft, J. (2014). Afnameroostering voor donatiecentra Sanquin.

[7] Patwari, N., (2009). Poisson Processes.

Derivation,https://www.youtube.com/watch?v=tRiyhaeKzhE. University of Utah

[8] Pinedo, M.L. (2008). Scheduling: Theory, Algorithms, and Systems. Springer

[9] Vrbik, J., Vrbik, P. (2010). Informal Introduction to Stochastic Processes with Maple. Springer [10] http://www.sanquin.nl/over-sanquin/over-sanquin/

(49)

Appendix

A1 Aanvullende resultaten scenario 2

Bijgevoegd zijn tabellen met resultaten van verschillende aankoppeltijden voor plasmadonoren en verschillende afkoppeltijden van zowel volbloed- als plasmadonoren.

Tabel 5.5

Aankoppeltijd plasmadonoren (minuten)

6 7 8

Resources

Assistenten 5 5 5

Plasmabedden 7 7 7

Plasmabed 0 0 0 Volbloedbed 0 0 0 Aankoppel plasma 0 0 0 Aankoppel volbloed 0 0 0 Afkoppel plasma 0 0 0 Afkoppel volbloed 0 0,0 1

Plasmabed 0 0 0 Volbloedbed 0 0 0 Aankoppel plasma 0 0 0 Aankoppel volbloed 0 0 0 Afkoppel plasma 0 0 0 Afkoppel volbloed 0 0 0,2 Tabel 5.6

Aankoppeltijd plasmadonoren (minuten)

5 8

Resources

Assistenten 5 6

Plasmabedden 7 7

Volbloedbedden 3 3

Assistenten 77 72

Plasmabedden 83 90

(50)

Tabel 5.7

Afkoppeltijd volbloeddonoren (minuten)

4 5 6

Resources

Assistenten 5 5 5

Plasmabedden 7 7 7

Plasmabed 0 0 0 Volbloedbed 0 0,0 1 Aankoppel plasma 0 0 0 Aankoppel volbloed 0 0 0 Afkoppel plasma 0 0 0 Afkoppel volbloed 0 0 0 Tabel 5.8

Afkoppeltijd volbloeddonoren (minuten)

3 6 Resources Assistenten 5 5 Plasmabedden 7 7 Volbloedbedden 3 4 Bezettingsgraad Assistenten 77 87 Plasmabedden 83 83 Volbloedbedden 89 79

(51)

Tabel 5.9

Afkoppeltijd plasmadonoren (minuten)

11 12 13 Resources Assistenten 5 5 5 Plasmabedden 7 7 7 Volbloedbedden 3 3 3 Bezettingsgraad Assistenten 80 83 87 Plasmabedden 86 88 93 Volbloedbedden 89 89 93 Wachttijd (minuten) Plasmabed 0 0 0 Volbloedbed 0 0 0,1 Aankoppel plasma 0 0 0 Aankoppel volbloed 0 0 0 Afkoppel plasma 0 0 1,0 Afkoppel volbloed 0 0 0,8 Wachtenden Plasmabed 0 0 0 Volbloedbed 0 0 0,0 Aankoppel plasma 0 0 0 Aankoppel volbloed 0 0 0 Afkoppel plasma 0 0 0,2 Afkoppel volbloed 0 0,0 0,1 Tabel 5.10

Afkoppeltijd plasmadonoren (minuten)

10 13

Resources

Assistenten 5 6

Plasmabedden 7 7

Volbloedbedden 3 3

Assistenten 77 72

Plasmabedden 83 90

(52)

A2 Waarnemingen meting

# : Donornummer

N/O : Nieuwe/’Oude’ donor Type : Bloed/Plasma Start : Binnenkomst Registratie : Tijd aan balie Keuring : Tijd in kamer WT : Wachttijd PT : Procestijd