Vrije Universiteit Brussel Academiejaar 2015-2016, Eerste zittijd, Versie 1
Examen Lineaire Algebra
Eerste Bachelor Chemie Eerste Bachelor Biologie Eerste Bachelor Geografie
Eerste Bachelor Computerwetenschappen
Derde Bachelor Computerwetenschappen Verkort Programma
Naam:
Rolnummer:
Richting:
Voor dit examen heb je 3 uur tijd. Vul je antwoorden in op deze formulieren en zorg dat het eindresultaat duidelijk en leesbaar is. Laat deze bundel vastgeniet en vul je naam, rolnummer en richting in op het eerste blad.
Schrijf je oplossingen duidelijk leesbaar op met alle tussenstappen en volledige uitwerking. Vermeld gebruikte eigenschappen en stellingen. Zorg dat je werkwijze duidelijk is. Rekenmachine is niet toegelaten.
We wensen je veel succes met het examen!
Vul in met waar (W) of vals (V).
1 Een vierkante matrix die diagonaliseerbaar is, is ook inverteerbaar. 2 Elke vierkante matrix is diagonaliseerbaar.
3 Elke vierkante matrix is inverteerbaar.
4 Stel dat A een 3 × 3 matrix is. Dan is A inverteerbaar als de lineaire transformatie horende bij A injectief en surjectief is.
5 Stel dat A, B en C n × n matrices zijn. Als AB = AC dan volgt B = C. 6 Zij V een vectorruimte. Als er een lineair afhankelijke verzameling {~v1, ..., ~vp}
bestaat in V , dan is dim V ≤ p.
7 Stel A is een 3 × 4 matrix. Dan is de dimensie van de kolomruimte van A gelijk aan 4.
8 Stel A is een 3 × 4 matrix. Dan is de dimensie van de rijruimte van A hoogstens 3.
9 Als het systeem A~x = ~b meer dan 1 oplossing heeft, dan geldt dit ook voor het systeem A~x = ~0
10 De rang van een 3 × 5 matrix kan gelijk zijn aan 5.
Vraag 2 (5 ptn)
Beschouw het volgende lineaire stelsel in x1, x2, x3:
−x2+ ax3 = 3 2x1+ 3x2+ x3 = −2 6x1+ 7x2+ a2x3 = a + 1
(a) Voor welke waarden van a ∈ R heeft het systeem (i) een unieke oplossing?
(ii) oneindig veel oplossingen? (iii) geen oplossing?
(b) In het geval dat ze bestaan, geef dan de oplossing(en) (in parametervorm) bij puntjes (i) en (ii) uit het eerste deel van de vraag.
Beschouw volgende lineaire transformatie
T : R3 −→ R3 : x1 x2 x3 7−→ 5x1− x2+ 3x3 −4x1+ 3x2 − 6x3 −3x1 + x2+ 2x3
(c) Geef de standaardmatrix behorende bij de lineaire transformatie T . (d) Is T injectief, surjectief of (geen van) beide? Leg uit.
Vraag 3 (3 ptn)
Beschouw de volgende matrices
A = 0 1 1 1 0 a 1 1 0 0 a 1 a 0 0 a en B = a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a .
a) Bereken det A, det(A − B) en det(8(A3(A − B)TA−1)2) in functie van a ∈ R.
b) Wat is de rang van A? c) Is A inverteerbaar?
Vraag 4 (5 ptn)
(a) Waarom zijn volgende verzamelingen geen deelruimtes van van de vectorruimte M2×2 van
2 × 2 matrices? H1 = a 0 b 0 ∈ M2×2| a ∈ R, b > −1 , H2 = 1 a 0 1 ∈ M2×2| a ∈ R , H3 = a 0 0 b ∈ M2×2| a ∈ R, b = a3 .
(b) Gegeven is de volgende deelruimte van R4:
H = c − a 0 2a b ∈ R 4 | a, b, c ∈ R .
Bepaal een eindige verzameling B ⊂ R4 zodat span(B) = H. Geef vervolgens een
eendimen-sionale deelruimte van H.
(c) Toon aan dat { 0 0 0 1 , 0 0 1 0 , 1 0 0 0
} een basis is van H.
(d) Is de verzameling B uit (b) ook een basis van H? Verklaar je antwoord.
(e) Wat zijn de co¨ordinaten van 2 0 6 7
ten opzichte van B? Verklaar je antwoord.
Vraag 5 (3 ptn)
Beschouw de volgende 3 × 3-matrix:
A = −2 7 −4 0 5 −4 0 2 −1 .
Is A diagonaliseerbaar? Zo ja, bepaal een inverteerbare 3×3-matrix P en een 3×3-diagonaalmatrix D zodat A = P DP−1.
