Hamilton mechanica voor continue systemen en
akoestische zwarte gaten
Erina Koomen
12 juli 2019
Bachelorscriptie Wiskunde en Natuur- & Sterrenkunde Begeleiding: dr. Oliver Fabert, dr. Rudolf Sprik
Bron:Zheng (2013)[16]
Institute of Physics
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Samenvatting
Akoestische zwarte gaten zijn systemen waar geluidsgolven wel in kunnen, maar niet uit. Deze systemen hebben praktische toepassingen en worden ook gebruikt om gravita-tioniele zwarte gaten te bestuderen. In dit werk beschrijven we de dynamica van een systeem met eindig veel puntmassa ’s en veren, en bewijzen we dat dit naar de dynamica voor een continu¨um convergeert. Voor de dynamica van het 1D continu¨um gebruiken we de Lagrangiaan. De golfvergelijking voor dit systeem wordt expliciet opgelost met behulp van de methode van karakteristieken, en zo wordt een voorwaarde voor het ontstaan van akoestische zwarte gaten afgeleid. Dan wordt het Hamilton formalisme veralgemeniseert naar Hilbert Scales zodat we in brede setting Hamilton Mechanica kunnen toepassen. Dit passen we dan ook toe op een 2D elastisch systeem en vinden op die manier ook voor dat systeem de dynamica. Met de gevonden vergelijkingen kunnen we concluderen dat andere akoestische zwarte gaten onder de zelfde voorwaarden ontstaan. In dit hele project werken we met periodieke randvoorwaarden, wat niet in overeenstemming met het concept van een akoestisch zwart gat is.
Titel: Hamilton mechanica voor continue systemen en akoestische zwarte gaten Auteur: Erina Koomen, erikko@hotmail.com
Begeleiding: dr. Oliver Fabert, dr. Rudolf Sprik
Tweede beoordelaars: dr. Hessel Posthuma, dr. Edan Lerner Einddatum: 12 juli 2019
Institute of Physics
University van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.iop.uva.nl
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde University van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.kdvi.uva.nl
Inhoudsopgave
1 Inleiding 4
2 Mechanica voor 1D elastisch systeem 5
2.1 Lagrangiaan voor discreet systeem . . . 5
2.2 Lagrangiaan voor een continu systeem . . . 6
3 Wiskundige analyse op het 1D elastisch systeem 8 3.1 Homogenisatie theorie en WBK-benadering . . . 8
3.2 Convergentie van het discrete model naar het continue model . . . 9
4 Akoestische zwarte gaten 13 4.1 Introductie akoestische zwarte gaten . . . 13
4.2 Golf verschijnselen . . . 13
4.3 Voorbeelden akoestische zwarte gaten . . . 13
4.4 Voorwaarden voor een akoestisch zwart gat voor een 1D elastisch systeem 14 5 Formalisme voor Hamiltoniaanse Partial Differential Equations 18 5.1 Introductie . . . 18
5.2 Hilbert scales . . . 18
5.3 Morfismen van Hilbertscales . . . 19
5.4 Symplectische structuur en Hamiltonvergelijking . . . 20
6 Hamilton mechanica voor een 2D elastisch systeem 23 6.1 Inleiding . . . 23
6.2 Het discrete model . . . 23
6.3 Het continue model . . . 24
6.4 Analyse van dit model . . . 26
7 Conclusie 28
1 Inleiding
Geluidsgolven zijn samen met licht een van de eerste natuurlijke fenomenen waar een mens mee te maken krijgt. Voor beide fenomenen zijn er systemen waar het wel in kan maar niet meer uit kan, zogenaamde zwarte gaten. Terwijl zwarte gaten voor licht erg moeilijk onderzocht kunnen worden, kunnen zwarte gaten voor geluid wel makkelijk in het lab gemaakt worden. Akoestische zwarte gaten worden dan ook gebruikt om licht zwarte gaten te bestuderen, zoals in Visser (1998)[13]. Naast theoretische toepassin-gen zijn er ook praktische toepassintoepassin-gen van akoestische zwarte gaten, om bijvoorbeeld trillingsdemping ( Stephen 2015[1]).
Akoestische zwarte gaten worden vaak gemaakt door een materiaal geleidelijk in dikte of elastische eigenschappen te vari¨eren, waardoor het in het limiet geen dikte meer heeft. In de praktijk kan je niet een materiaal maken waar bij iets geleidelijk naar nul conver-geert. Daarom wordt in de praktijk een akoestisch zwart gat gecombineerd met andere demping. Vanwege de praktische moeilijkheden met het maken van een akoestisch zwart gat is het belangrijk om te weten wanneer een akoestisch zwart gat ontstaat.
De vraag waar dit project over gaat is daarom: onder welke voorwaarden ontstaat in een materiaal een akoestisch zwart gat? Het doel van dit project is een wiskun-dige voorwaarden opstellen voor het ontstaan van een akoestisch zwart gat in elastische materialen.
Deze vraag proberen we te beantwoorden door door een wiskundig rigoureuze om-schrijving te geven van dynamica van een akoestisch zwart gat. Eerst beantwoorden we deze vraag voor een 1D systeem. Daarbij wordt duidelijk dat het omschreven kan worden als het limiet van een eindig 1D systeem. Daarnaast wordt duidelijk dat er een krachtiger formalisme nodig is voor algemenere systemen. Daarom wordt het concept van Hilbert Scales uit Kuksin (2000) [7] verhelderd en toegepast op een 2D elastisch systeem. Het blijkt dat de bewegingsvergelijkingen die daar uit voortvloeien breed toegepast kunnen worden. Het blijkt dat afhankelijk van wat voor soort golven het akoestisch zwarte gat zou moeten opnemen de voorwaarden voor een akoestisch zwart gat vaak niet erg verschillend zijn van het 1D geval.
2 Mechanica voor 1D elastisch systeem
Om iets te kunnen zeggen over 1D akoestische zwarte gaten, is het nodig om de bewe-gingsvergelijkingen te weten voor een 1D-elastisch systeem. Dit doen we door eerst een eindig systeem te bekijken, daarna wordt een continu systeem geanalyseerd.
2.1 Lagrangiaan voor discreet systeem
We beschouwen een systeem dat uit n massa ’s met massa mibestaat met i = 1, 2, . . . , n.
Massa i en i + 1 zijn verbonden met een ideale veer met veerconstante ki, voor i =
1, 2, . . . , n − 1. Massa n − 1 is verbonden met massa 1 met een ideale veer met veer-constante k0. Elke veer heeft lengte a als er geen netto kracht op werkt. Hier wordt
aangenomen dat het verschil tussen kien ki−1niet heel groot is, zodat elke veer ongeveer
de zelfde lengte heeft in equilibrium. Dus in evenwicht is massa i een lengte a · (i − 1) van massa 1 verwijderd. We defini¨eren ui als de uitwijking van het evenwicht van massa
i. Het systeem is dus een rij van veren en massa ’s met lengte L = a · n, met de eind-punten vast. Dit systeem kan dus alleen longitudinale trillingen hebben. We gaan nu de
Figuur 2.1: Het 1D systeem wat we hier beschouwen. We nemen periodieke randvoor-waarden aan, dus dat m1 en mn vast zitten.
Lagrangiaan opstellen voor dit systeem. De totale kinetische energie T wordt gegeven door T ( ˙u1, . . . , ˙un) = 1 2 n X i=1 miu˙i2.
De uitwijking van het evenwicht voor veer i wordt gegeven door ui+1− ui voor i =
1, . . . , n − 1. Dus de totale potenti¨ele energie V wordt gegeven door
V (u1, . . . , un) = 1 2k0(u1− un) 2+ n−1 X i=1 1 2ki(ui+1− ui) 2. De Lagrangiaan is dus L( ˙u1, . . . , ˙un, u1, . . . , un) = 1 2 n X i=1 miu˙i2− 1 2k0(u1− un) 2− n−1 X i=1 1 2ki(ui+1− ui) 2.
De Euler-Lagrange vergelijkingen toepassen geeft de bewegingsvergelijkingen du2i
dt2 = ki−1(ui− ui−1) − ki(ui+1− ui) (2.1)
voor i = 2, . . . , −1. Voor i = 1 en i = n hebben we du2 1 dt2 = k0(u1− un) − k1(u2− u1) Respectievelijk du2 n dt2 = kn−1(un− un−1) − k0(u1− un)
In matrix vorm kunnen we dus schrijven
du2i dt2 = k0+ k1 −k1 0 . . . 0 0 −k0 −k1 (k1+ k2) −k2 0 . . . 0 0 0 . .. . .. . .. 0 . . . 0 0 . . . 0 −ki−1 (ki−1+ ki) −ki . . . 0 0 . .. −kn−1 −k0 . .. −kn−1 (kn−1+ k0) (2.2) Dit is een vierkante n × n matrix, die ook symmetrisch is. Omdat deze matrix symme-trisch is, heeft deze orthogonale eigen-vectoren, en re¨eel eigenwaarden.
Dit is precies een golf vergelijking zoals je die zou verwachten. Als je namelijk alleen de 2×2 deel-matrix links boven beschouwd, krijg je de matrix zoals in Taylor(2005)(p.427)[11]. Als je alle k constant neemt, krijg je golfvergelijkingen zoals gezien bij Taylor(2005)(p.684)[11].
De focus van dit werk licht op continue systemen, en niet op discrete systemen zoals deze. Maar de verwachting is dat een continu systeem benaderd kan worden met het discrete systeem. Daarom wordt in de volgende sectie een continu 1D elastisch systeem beschreven.
2.2 Lagrangiaan voor een continu systeem
We gaan nu proberen om door middel van de Lagrangiaan de beweging van een continu systeem te beschrijven. We gaan eerst op een intu¨ıtieve manier de vergelijkingen afleiden, en dan laten zien dat dit het discrete geval reproduceert. Ook in dit geval kunnen we volgens Goldstein (2001)[4] het principe van stationaire actie gebruiken. De actie S is dan volgens Goldstein (2001)[4]
S = Z
Ldt,
waar L de Lagrangiaan is. In dit geval is de Lagrangiaan een integraal over x, omdat elk punt een potenti¨ele energie en snelheid heeft. Daarom wordt nu eerst de Lagrangiaanse
dichtheid opgesteld. De uitwijking u is nu een functie van x ∈ [0, L], en van de tijd, omdat het systeem veranderd door de tijd. De kinetische energie wordt daardoor
T ( ˙u) = 1 2
Z L
0
m(x) ˙u(x)2dx
De massa van een blokje wordt nu de dichtheid en wordt ook een functie van x, zodat de totale massa van het systeem gegeven wordt door te integreren. De veerconstante k wordt nu ook een functie van x. Omdat het systeem een lus is, moet gelden dat u(L) = u(0). De potenti¨ele energie wordt nu
V (u) = 1 2 Z L 0 k(x)(∂u ∂x) 2,
omdat we sommen vervangen hebben met integralen, en discrete verschillen met diffe-rentialen. We kunnen nu de Lagrangiaanse dichtheid defini¨eren als
L( ˙u,∂u ∂x) = 1 2(m(x) ˙u(x) 2− k(x)(∂u ∂x) 2)
Om de actie te minimaliseren hebben we nu met twee onafhankelijke variabelen te maken, namelijk x en t. De Euler-Lagrange vergelijking daarvoor is
∂L ∂u − ∂ ∂x( ∂L ∂u,x ) − ∂ ∂t( ∂L ∂u,t ) = 0
waar u,x= ∂u∂x en u,t= ∂u∂t. Er worden hier dus functional derivatives genomen, er wordt
afgeleid naar een functie in plaats van een variabele. In voorbeeld 3 van hoofdstuk 5 wordt een voorbeeld van een functional derivative uitgewerkt. De Lagrangiaan hangt niet direct van u af, maar alleen van afgeleiden daarvan. De product regel toepassen en de afgeleiden invullen geeft dat
m(x)∂ 2u ∂t2 = ∂ ∂x(k(x) ∂u ∂x) = ∂k ∂x · ∂u ∂x+ k(x) ∂2u ∂x2. (2.3)
Merk op dat als de dichtheid en veerconstante niet afhangen van x, dat deze vergelijking de golfvergelijking in een homogeen medium wordt: m∂∂t2u2 = k∂
2u
∂x2.
We hebben nu twee manieren om naar een 1D periodiek elastisch systeem te kijken. Het discrete systeem, dat bewegingsvergelijking 2.2 heeft, en het continue systeem met bewegingsvergelijking 2.3.
3 Wiskundige analyse op het 1D
elastisch systeem
De bewegingsvergelijking die we hebben gevonden zijn niet makkelijk op te lossen met een expliciete uitdrukking. Het is ook niet van te voren duidelijk dat het discrete geval een goede benadering is van het continue geval. Eerst willen we de vergelijking versim-pelen door het om te schrijven. Daarna wordt een wiskundig argument gegeven voor de convergentie van het discrete geval naar het continue geval.
3.1 Homogenisatie theorie en WBK-benadering
Vergelijking 2.3 is lineair, met co¨effici¨enten die niet lineair van x afhangen. Het is een lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking van orde twee met co¨effici¨enten die glad van x afhangen. Wat onder glad verstaan wordt, wordt in de volgende sectie toegelicht. Er zijn lineaire parti¨ele differentiaalvergelijkingen waarvan de co¨effici¨enten C∞ zijn (maar niet analytisch) die geen oplossingen hebben. Zoals Lewy’s Example [8].
Het blijkt dat we vergelijking 2.3 expliciet kunnen oplossen, maar de oplossing is nog steeds moeilijk uit te rekenen. Een bekende manier van het benaderen van dit soort vergelijkingen is de WKB-benadering (Gyori et al. [10]). De WKB-benadering kun je toepassen wanneer de co¨effici¨ent voor de hoogste orde afgeleide constant is. Dit is in vergelijking 2.3 niet het geval. Daarom willen we het omschrijven naar de golfvergelijking voor een homogeen materiaal met extra term, die alleen eerste orde afgeleiden bevat.
Homogenisatie theorie is geschikt als de co¨effici¨enten snel vari¨eren ten opzichte van de golflengte, wat het geval is bij een akoestisch zwart gat. Akoestische zwarte gaten worden in hoofdstuk 4 nader toegelicht. In Guidotti et al.(2006) [5] wordt het interval op een andere manier geparametriseert, waardoor de vergelijking de gewenste vorm krijgt. De parametrisatie die we gebruiken is Φ(x) = ¯cR0x c(ξ)1 dξ met ¯c = L
RL 0 1 c(x) −1 . Als we de substitutie y = Φ(x) toepassen kan de operator c2(x)∂x∂22 omgeschreven tot de vorm:
c2(x)∂ 2u ∂x2 = c 2 Φ−1(y) ∂ ∂x ∂u ∂y ∂y ∂x = c2 Φ−1(y)∂ 2u ∂y2 · ∂y ∂x· ∂y ∂x+ ∂u ∂y ∂2y ∂x2 .
Verder geldt dat ∂y∂x= ¯cc(x)1 en ∂∂x2y2 =
−¯c
c2(x)∂x∂c. Invullen geeft dan dat
c2(x)∂ 2u ∂x2 = c 2(x) ¯c c(x) 2∂2u ∂y2) − ¯ c c2(x) ∂c ∂x ∂u ∂y = ¯c2∂ 2u ∂y2 − ¯c ∂c ∂x x=Φ−1(y) ∂u ∂y.
Als we vergelijking 2.3 door m(x) delen, zien we dat we voor c(x) de waarde q
k(x) m(x)
moeten kiezen. Vergelijking 2.3 wordt dan ∂2u ∂t2 = 1 m(x) ∂k ∂x · ∂u ∂x+ k(x) m(x) ∂2u ∂x2 = ¯c2∂ 2u ∂y2 − ¯c ∂c ∂x x=Φ−1(y) ∂u ∂y + 1 m(Φ−1(y)) ∂k ∂y ∂y ∂x ∂u ∂y ∂y ∂x = ¯c2∂ 2u ∂y2 + ∂k∂y( ∂y ∂x)2 m(Φ−1(y))− ¯c ∂c ∂x x=Φ−1(y) ∂u ∂y = ¯c2∂ 2u ∂y2 + ∂k∂y · ¯c2 c2(x)m(Φ−1(y))− ¯c ∂c ∂x x=Φ−1(y) ∂u ∂y = ¯c2∂ 2u ∂y2 + ∂k∂y· ¯c2 k(Φ−1(y))− ¯c ∂c ∂x x=Φ−1(y) ∂u ∂y
Het is dus belangrijk dat k(x) en m(x) strikt positief zijn en differentieerbaar voor het omschrijven. We hebben nu een vorm die constant is in de hoogste orde afgeleide, maar moeten daarvoor wel van functies gebruik maken die moeilijk uit te rekenen kunnen zijn, namelijk φ(x) =Rx
0
q
m(x) k(x) en Φ
−1(y). De functie Φ is inverteerbaar, omdat die functie
strikt stijgend is. Een expliciete uitdrukking vinden kan wel moeilijk zijn. In sectie 4.4 vinden we een oplossing voor de formule, waar bij we exact het zelfde integraal moeten berekenen.
We hebben nu twee manieren om naar een 1D periodiek elastisch systeem te kijken. Het discrete systeem, dat bewegingsvergelijking 2.2 heeft, en het continue systeem met bewegingsvergelijking 2.3. In veel literatuur, zoals Goldstein (2001)(p.558)[4] en Taylor (2005)(p.683)[11], wordt op basis van non-standard analyse (met infinitesimalen rekenen) en intu¨ıtieve argumenten beargumenteert dat het discrete model convergeert naar het continue model, wanneer je het aantal deeltjes naar oneindig laat gaan en de totale lengte constant houd. In de volgende sectie willen we een wiskundig rigoureus argument geven voor deze convergentie. Op deze manier wordt duidelijk welke veranderingen in ons model gevolgen kunnen hebben voor het continue model.
3.2 Convergentie van het discrete model naar het continue
model
We willen nu laten zien dat de discrete Lagrangiaan de continue benadert. Het idee is dat we een functie u(x, t) hebben die we benaderen met een functie nu(x, t), die gelijk
is aan u(x, t) op de n puntennxi = iLn. De discrete benadering die we gebruiken is dus
een systeem van n massa ’snmi = m(nxi), verbonden met veren die veerconstantenki=
k(nxi). De uitwijkingen van de massa ’s wordt dan gegeven door nui(t) =n u(nxi, t).
We bewijzen het eerst voor het geval dat de dichtheid en lokale veerconstante identiek 1 zijn.
Stelling 1 (Convergentie homogeen medium). Zijnx
iennui zoals reeds beschreven. Als
˙ u,∂u∂x ∈ L2[0, L] dan lim n→∞ 1 2 n X i=1 ( ˙nu i)2− 1 2 n−1 X i=1 (nui+1−nui)2= Z L 0 L( ˙u,∂u ∂x)dx, met L gedefinieerd zoals in vergelijking 2.2.
Bewijs. Uit de functionaal-analyse weten we dat L2[0, L] een separabele Hilbertruimte
is. De rij functies ei gegeven door e0 = (L1)
1
2, ei(x) = (2
L)
1
2cos(ωix) is een orthonormale
basis voor L2[0, L] voor ω
i = iπL. Omdat { ˙nui}i eindige rijtjes zijn, zitten die in `2.
We gaan eerst bewijzen dat
lim n→∞ n X i=1 ( ˙nu i)2= Z L 0 ˙ u(x)2dx.
Uit de definitie van nui(t) volgt dat nu˙i =n u(˙ nxi, t). Omdat de functie nu vast licht˙
op n punten, kunnen we nu kiezen dat nu =˙ Pn
i=1αi(t)ei(x). We kunnen de som en
integraal herschrijven door het standaard inproduct op respectievelijk `2 en L2[0, L] als volgt: n X i=1 ( ˙nu i)2 = h ˙nui, ˙nuii`2, Z L 0 ˙ u(x)2dx = h ˙u, ˙uiL2
Uit de eigenschappen van het inproduct en de definitie vann˙u
i volgt dat n X i=1 ( ˙nu i)2= h ˙nui, ˙nuii`2 = n X i=1 (αi(t))2ei(nxi) = n X i=1 (αi(t))2.
De laatste gelijkheid volgt uit de Poisson sommatie formule. Het toepassen van de stelling van Parseval geeft het resultaat dat
n X i=1 ( ˙nu i)2= Z L 0 (nu(x, t))˙ 2dx.
Het laatste integraal is de norm op L2[0, L], en daarom een continue afbeelding. Als n naar oneindig gaat, gaatnu(x, t) naar u(x, t). Hier uit volgt dat
lim n→∞ n X i=1 ( ˙nu i)2= Z L 0 ˙ u(x)2dx.
De laatste stap is bewijzen dat
lim n→∞ n−1 X i=1 (nui+1−nui)2 = Z L 0 ∂u ∂x 2 dx.
Hiertoe gebruiken we de tussenwaardestelling:
lim
n→∞ n−1
X
i=1
(nu(xi+1) −nu(xi))2 = lim n→∞ n−1 X i=1 ∂nu ∂x x=ξi 2 , ξi ∈ (xi, xi+1)
Omdat |xi+1− xi| naar 0 gaat, convergeert ξi naar xi. Verder hebben we dat ∂(
nu)
∂x
continu is, dus
lim
n→∞ n−1
X
i=1
(nu(xi+1) −nu(xi))2= lim n→∞ n−1 X i=1 ∂nu ∂x x=xi 2 (3.1)
Nu kunnen we de zelfde methode als voor nu op˙ ∂(∂xnu), en vinden dat
lim
n→∞ n−1
X
i=1
(nu(xi+1) −nu(xi))2 = lim n→∞ Z L 0 ∂u ∂x 2 dx
Hier uit volgt hetgeen dat te bewijzen was.
Merk op dat we nodig hebben dat zowel ˙u en ∂u∂x in L2[0, L] zitten. Dit houd in dat
u(x, t) niet alleen in een Hilbertruimte moet zitten, maar de afgeleiden ook. Dit heet een Sobolev ruimte. In hoofdstuk 5 wordt hier meer aandacht aan besteed.
De rede dat we hebben aangenomen dat m en k identiek 1 zijn, is zodat we gebruik kunnen maken van de Fourier-basis. Als m en k positieve functies zijn, dan kan de Lagrangiaan nog steeds geschreven worden in termen van een inproduct, maar niet meer het standaard inproduct. De Fourier-basis is dan niet meer orthogonaal. Gebruikmakend van stelling 1 kunnen de stelling ook voor continue positieve m en k bewijzen.
Stelling 2 (Convergentie inhomogeen medium). Zij nxi,nui,nki,nmi zoals reeds
be-schreven, en m(x), k(x) ∈ L1[0, L]. Als ˙u,∂u
∂x ∈ L2[0, L] dan lim n→∞ 1 2 n X i=1 nm i( ˙nui)2− 1 2 n−1 X i=1 nk i(nui+1−nui)2 = Z L 0 L( ˙u,∂u ∂x)dx, met L gedefinieerd zoals in vergelijking 2.2.
Bewijs. We bewijzen de stelling eerst voor het geval dat k en m indicator functies zijn. Laat A ⊂ [0, L] gesloten zijn. We beschouwen een nieuw inproduct op L2[0, L] gegeven door
hf, gi = Z L
0
1Af (x)g(x)dx.
Ten opzichte van dit inproduct is de Fourier-basis ook orthonormaal. Als A = [a, b], dan kunnen we het bewijs van stelling 1 herhalen met [0, L] vervangen door [a, b].
Stel dat m een lineaire combinatie is van indicator functies. Dan hebben we voor de kinetische energie term dat
n X i=1 m X j=1 mj1Aj( ˙nui) 2= m X j=1 mj n X i=1 1Aj( ˙nui) 2= m X j=1 mj Z L 0 1Aj(nu(x))˙ 2= Z L 0 m X j=1 mj1Aj(nu(x))˙ 2,
waar bij de overgang van som naar integraal hebben gebruikt dat de stelling geldt voor indicator functies. Als m ∈ L1[0, L] en positief is, dan is m het stijgende limiet van een rij lineaire combinaties van indicator functies. Volgens de Monotone Convergentie Stelling volgt dat convergentie geldt voor de kinetische energie.
Voor de potenti¨ele energie hebben we in stelling 1 formule 3.1 laten zien dat het voldoende is te bewijzen dat
lim n→∞ n−1 X i=1 nk i ∂(nu) ∂x x=nx i 2 = Z L 0 k(x) ∂u ∂x 2 dx.
Dit bewijzen we door opnki
∂(nu) ∂x x=nx i
de zelfde truc te doen als voor ˙u. Dit bewijst de stelling
In deze sectie is een analyse gedaan op het 1D systeem, en dan vooral met betrekking op de wiskundige vorm en validiteit. Het doel van het project is onderzoeken wanneer er een akoestisch zwart gat optreed. Daarom wordt er in het volgende hoofdstuk ingegaan op akoestische zwarte gaten.
4 Akoestische zwarte gaten
4.1 Introductie akoestische zwarte gaten
Een zwart gat in de sterrenkunde is een gebied waarvan de ontsnapping snelheid groter is dan de snelheid van het licht. Er zijn systemen waarbij de geluidssnelheid plaats afhankelijk zijn. Door een systeem te maken waarbij de geluidssnelheid naar nul gaat ontstaat een systeem waarin golven bijna tot stilstand komen, en niet terug reflecteren. In de sectie 4.3 worden wat voorbeelden gegeven van dergelijke systemen. Daarna gaan we in sectie 4.4 een voorwaarde opstellen voor het ontstaan van een akoestisch zwart gat. Maar eerst wordt in sectie 4.2 wat meer informatie gegeven over golf verschijnselen in het algemeen.
4.2 Golf verschijnselen
Een golf is een breed en veel voorkomend verschijnsel. In de breedste zin van het woord is een golf een grootheid die beschreven wordt door een functie van de vorm u(x, t) = f (x − vt). Je kunt het dus opvatten als een vorm die ”loopt”met de tijd, zonder van vorm te veranderen. Je kunt hier uit afleiden dat ∂∂t2u2 = v2f
00(x − vt) = v2 ∂2u ∂x2, dus
dat de functie aan de golfvergelijking voldoet,en dus een golf is. Deze vergelijking heeft sommen van sinus en cosinus functies als oplossing (Taylor (2005), p.686 [11]).
De functie u(x, t) die de beweging van een akoestisch zwart gat beschrijft is strikt genomen niet een golf, omdat het niet een vorm is die verplaatst maar niet van vorm veranderd. De golfsnelheid is namelijk plaats afhankelijk. De golven worden steeds smaller. Daarom moeten er met een lokale versie van golfgetal en frequentie gewerkt worden.
Een veelgebruikte vorm voor golffuncties is u(x, t) = eiφ(x,t) = ei(kx−ωt, omdat dit sinus en cosinus functies geeft. De functie φ wordt de fase genoemd, k = ∂φ∂x het golf getal, en ω = −∂φ∂t wordt de frequentie van de golf genoemd. De golfsnelheid wordt dan
ω
k. Door het golfgetal en frequentie te defini¨eren in termen van de parti¨ele afgeleiden
van de fase, hebben we nu een lokaal golfgetal en lokale snelheid gedefinieerd.
4.3 Voorbeelden akoestische zwarte gaten
Er zijn verschillende systemen die een akoestisch zwart gat worden genoemd. Om gra-vitationele zwarte gaten te bestuderen wordt gebruik gemaakt van een vloeistof waarvan de stroomsnelheid groter is dan de geluidssnelheid, zoals beschreven in Fang et al. (2012)
[2]. Omdat de stroomsnelheid groter is dan de geluidssnelheid ontstaat er een akoesti-sche waarnemingshorizon op het punt waar de stroomsnelheid en geluidssnelheid gelijk zijn. Voor praktische toepassingen worden voorwerpen gebruikt met een vari¨erende golf-snelheid.
Dit kan bijvoorbeeld, zoals gedaan in Krylov (2014) [6] ,een wig-vormig materiaal zijn, zoals in figuur 4.1. Dit wordt gezien als een 1D zwart gat. Bij dit systeem kijkt men vooral naar transversale buigingsgolven. De dikte van de plaat speelt alleen een rol bij de elasticiteits-co¨effici¨enten. Het locale golfgetal wordt kleiner, en daarmee de golfsnelheid ook. In de praktijk is het niet mogelijk om op deze manier een perfect akoestisch zwart gat te maken, omdat het voorwerp een einde moet hebben, waar het nog steeds een zekere dikte heeft.
Figuur 4.1: Een wig-vormig akoestisch zwart gat. Bij dit systeem kijkt men vooral naar transversale buigingsgolven. De dikte van de plaat speelt alleen een rol bij de elasticiteits-coefficenten. Het locale golfgetal wordt kleiner, en daarmee de golfsnelheid ook. Bron: Wang (2019) [14]
Een akoestisch zwart gat kan ook worden gedaan zoals in Conlon et al. (2015) [1] door middel van een plaat met vari¨erende dikte, zoals weergegeven in figuur 4.2. De variatie in dikte zorgt er voor dat het golfgetal voor transversale buigingsgolven veranderd, omdat een dunner materiaal beter te buigen is.
In sectie 4.4 leiden we een voorwaarde af voor de dichtheid en elasticiteit modulus waarvoor er een akoestisch zwart gat optreed. Dit doen we eerst voor de golfvergelijking 2.3.
4.4 Voorwaarden voor een akoestisch zwart gat voor een
1D elastisch systeem
Vergelijking 2.3 beschrijft de golfbeweging voor het 1D elastisch systeem. Het blijkt mo-gelijk om een verzameling oplossingen te vinden onder zekere aannames. We beschouwen
Figuur 4.2: Bron: Zhao (2017) [15]. Door in een plaat een punt te maken waar de dikte naar nul gaat, ontstaat zoals in figuur 4.1 een akoestisch zwart gat, maar dan 2D.
u als een functie van de R2 naar C, waarbij het re¨ele deel de uitwijking op een zekere plaats en tijd aanduid. We maken de volgende aannames over het systeem:
1. m(x) en k(x) zijn positieve analytische functies zonder nulpunten.
2. u(x, t) is te schrijven als u(x, t) = eiφ(x,t), met φ een meromorfe complex-waardige functie.
De aanname over de vorm van u beperkt de mogelijke golffuncties aanzienlijk. Functies van deze vorm hebben geen nul punten, en zijn op een aftelbare verzameling na holomorf. Deze functies kunnen wel essenti¨ele singulariteiten hebben, en hoeven daarom in het algemeen niet in de eerder beschreven Sobolev ruimte te zitten.
We vullen onze aangenomen vorm van u in in vergelijking 2.3. Voor de punten waar u differentieerbaar is vinden we dat
m(x)(−∂φ ∂t 2 + i∂ 2φ ∂t2)u(x, t) = i ∂k ∂x ∂φ ∂xu(x, t) + k(x)(− ∂φ ∂x 2 + i∂ 2φ ∂t2)u(x, t)
Omdat u nergens nul is, kunnen we door u delen. We kunnen nu de vergelijking schrijven als f (x, t)+g(x, t)i = h(x, t)+j(x, t)i, met f, g, h, j complex-waardige functies. Als f = h en g = j, dan is aan deze vergelijking voldaan. Het omgekeerde geldt niet, we kunnen bij h een re¨eel getal q optellen, en iq bij j optellen om functies te vinden die ook aan de vergelijking voldoen. Als we stellen dat f = h en g = j, dan vinden we de twee vergelijkingen k(x) ∂φ ∂x 2 − m(x)∂φ ∂t 2 = 0 m(x)∂ 2φ ∂t2 = ∂k ∂x ∂φ ∂x+ k(x) ∂2φ ∂t2,
en zien we dat als φ(x, t) aan de golf vergelijking 2.3 voldoet, dat u(x, t) ook daar aan voldoet. De eerste vergelijking, die correspondeert met f en h, kan worden ontbonden
tot de vorm (pk(x)∂φ ∂x − p m(x)∂φ ∂t)( p k(x)∂φ ∂x + p m(x)∂φ ∂t) = 0
Merk op dat we beide vergelijkingen kunnen omschrijven naar een advectie vergelijking. We kunnen dus concluderen dat er een behouden grootheid is. Door de methode van karakteristieken te gebruiken vinden we dat
φ(x, t) = r± Z x 0 s m(ξ) k(ξ)dξ ± t ,
oplossingen geeft voor 2.3, met r(s) een functie die alleen van de beginvoorwaarden afhangt.
We willen nu inzien wanneer het systeem een akoestisch zwart gat wordt. Laat p(x) = Rx
0
q
m(ξ)
k(ξ)dξ. Stel dat de beginwaarden gegeven worden door u(x, 0) = e iα(x),
met α mogelijk complexwaardig. Dan volgt dat φ(x, t) = −iα(p−1(p(x) − t)), en u(x, t) = eα(p−1(p(x)−t)). Het bestaan van p−1 volgt uit het feit dat p(x) monotoon is. De golfsnelheid wordt gegeven door
ω κ = −∂φ∂t ∂φ ∂x = −idα dx · dp−1 dx · −1 idαdx ·dpdx−1 ·dpdx = −1 dp dx ,
waar κ gezien kan worden als een lokaal golfgetal. Als de golfsnelheid naar nul gaat als x naar L gaat, dan bereikt een golf nooit het einde, en wordt het ook niet gereflecteerd. Dan is er dus een akoestisch zwart gat. Dit betekend dat als
lim
x→L
k(x) m(x) = 0,
er dan een akoestisch zwart gat optreed. Merk op dat de oplossing alleen gedefinieerd is op het hele interval [0, L] op t = 0. Voor t > 0 is p−1(p(x) − t) een diffeomorfisme van [p−1(t), L] naar [0, L]. In Mironov (1988) [9] wordt beschreven dat een power-law vorm van afname voldoende is. Hier zien we dat er meer mogelijkheden zijn dan een power-law.
Zoals net gezien is het moeilijk om alle oplossingen te vinden, en die expliciet uit te rekenen. In de analyse van de golfvergelijking hier boven hebben we niet mee geno-men dat er nog een behouden grootheid is, de Hamiltoniaan. Een behouden grootheid maakt het in het eindig dimensionale geval makkelijker om banen te vinden. Door de Hamiltoniaan kunnen we veel zeggen over de oplossingen zonder die expliciet uit te re-kenen. Ook is er veel bekend over benaderingsmethoden voor Hamiltoniaanse PDE ’s, zoals Tohidi (2012)[12]. Daarom wordt er nu een formalisme beschreven waardoor het
mogelijk wordt om een Hamiltoniaan voor continue systemen te formuleren, en ook de Hamiltonvergelijkingen in dit geval op te stellen. Daar mee kunnen we ook naar hogere dimensionale voorwerpen en hoger dimensionale ruimtes kijken, en daar door naar meer golfverschijnselen. Zoals bijvoorbeeld transversale golven die we voor onze toepassing nodig hebben. Op die manier kunnen voorwaarden voor een akoestisch zwart gat redelijk algemeen geformuleerd worden.
5 Formalisme voor Hamiltoniaanse
Partial Differential Equations
5.1 Introductie
Door middel van een Hamiltoniaan kan de tijds-evolutie van een systeem beschreven worden. De Hamiltoniaan is een functionaal van een zekere ruimte van functies naar de re¨ele getallen. De Hamiltoniaan valt vaak samen met de energie in het systeem, maar dit is niet noodzakelijk. De functionaal
f 7→ 1 2 Z 1 0 m(x) ˙f (x)2dx +1 2 Z 1 0 k(x) ∂f ∂x 2 dx
kan een Hamiltoniaan zijn voor een elastisch systeem. Het is gelijk duidelijk dat de gebruikte afgeleiden kwadratisch integreerbaar moeten zijn, en dus in L2[0, 1] moeten zitten. Dit betekent dat deze functionaal niet op de hele L2 gedefinieerd is. De functie P
kk1e
kx is bijvoorbeeld wel in L2, maar de afgeleide er van niet. Dit betekent dat deze
functionaal gedefinieerd is op de Sobolev ruimte.
Meer algemeen kun je een Hamiltoniaan schrijven als h(x, t) = 12hAx, xi + h0(x, t),
met A een lineaire operator, en x in een inproduct ruimte, en h0 een potentieel niet
lineaire functionaal. Als je de Hamiltioniaan opstelt voor een elastisch systeem waarbij het materiaal perfect de wet van Hooke opvolgt, dan is h0 identiek 0. Als je een systeem
met demping of wrijving beschouwd, kan h0 niet lineair zijn in hogere orders afgeleiden.
De operator A bevat vaak (partie¨ele) afgeleiden van verschillende orders. De operator A is gedefinieerd op een Sobolev ruimte, en beeld af op een Hilbert ruimte.
Het probleem is dat Ax niet per se in L2 hoeft te zitten, ondanks dat x in een Sobolev ruimte zit. Om er voor te zorgen dat de Hamiltoniaan goed gedefinieerd is, introdu-ceren we het concept van een Hilbert scale en formuleren we de Hamilontiaan en de bewegingsvergelijkingen daar op. Deze concepten komen uit het boek Analysis of Ha-miltonian PDEs van Sergei B. Kuksin [7].
5.2 Hilbert scales
We beperken ons tot periodieke randvoorwaarden. Laat X0de Hilbertruimte L2(Td) zijn van L2functies van Tdnaar R met het standaard inproduct. We nemen |ωm| = max{ωm}
en ωm∈ Rd. Je kunt ωmzien als de frequentie van de m-de staande golf in een co¨ordinaat
richting. We nemen {em} = {Re(eiωm·x)}m∈Zd
+ ∪ {Im(e
iωm·x)}
m∈Zd
− als de Fourier basis
voor X0, en defini¨eren de Hilbertruimte Xs als de Hilbertruimte met {|ωm|−sem} als
Als u =P
kukek, v =Pkvkek, dan defini¨eren we het inproduct en norm op Xs als
hu, vis=X k ukvkω2sk , kuks = X k u2kωk2s.
Als x ∈ X0 en als de s-de afgeleiden van x in de co¨ordinaatrichtingen in L2 zijn, dan zijn
de Fourier coeffici¨enten van x in X0 het zelfde als die van de afgeleiden in Xs. Je kunt
Xs dus zien als de Hilbertruimte waarvan de s-de ordes afgeleiden in L2 zitten. Als de
s-de orde afgeleiden in L2 zitten, dan zitten de lagere orde afgeleiden dat ook. Dus als r < s, dan Xs ⊂ Xr. Verder defini¨eren we X−∞ =Ss∈ZXs en X∞ =Ts∈ZXs. Merk
op dat h|ωi|−sei, |ωj|seji = δij, dus de duale ruimte van Xs kunnen we identificeren met
X−s.
5.3 Morfismen van Hilbertscales
Zoals eerder vermeld willen we operatoren beschouwen die afgeleiden bevatten. Zij {Xs}
en {Ys} Hilbertscales en L : X∞→ Y−∞ een lineaire functie. We werken met X∞om er
voor te zorgen dat L goed gedefinieerd is, en met Y−∞om algemeen te zijn. Met kLks1,s2
bedoelen we de norm van L als een functie van Xs1 naar Ys2. Als L een afgeleide van
orde q ∈ N bevat, dan is het zo dat L(Xq) ⊂ X0. Daarom zal het vaak het geval zijn
dat s2 ≤ s1. Dit motiveert de definitie van de orde van L: als kLks,s−q < ∞ voor alle
s ∈ [s0, s1] ∩ N, dan is L een lineair morfisme van orde q voor s ∈ [s0, s1] ∩ Z.Als L−1
bestaat en een morfisme van orde −q is, dan is L een isomorfisme van orde q. Een automorfisme is op een gelijke manier gedefinieerd.
Voorbeeld 1. Definieer L : Xs → Xs als L(x) = f · x, met f een Cs functie op Td
zonder nulpunten. Dan is L een self-adjoint automorfisme, want L−1(x) = xf. Dit kan omdat 1f ook Ck is. Zowel L als L−1 hebben orde 0.
Voorbeeld 2. Definieer L : Xs → Xs−1 als L(u)(x) = lim→0 u(x+·e1)−u(x), de
afge-leide in de eerste co¨ordinaat-richting. Als we een basisvector van Xsvan de vorm uj(x) =
|ωj| Re(eiωj·x) nemen, dan is L(u) = −|ωj|−s(ωj· e1) Im(eiωj·x) = −|ωj|−(s−1)Im(eiωj·x).
We zien dus dat L inderdaad in Xs−1 afbeeld, en een begrensde dus continue operator
is. Dit is significant, omdat differentiaal operatoren op C∞ niet begrensd zijn. We zien zelfs dat de co¨ordinaten op een permutatie en tekenwisseling na het zelfde zijn. Ook zien we dat L orde 1 heeft. Als we periodieke randvoorwaarden aannemen, dan zien we dat
voor w ∈ X−s+1 hL(u), wi = Z Td ∂u ∂x1 wdx1dx2. . . dxd = Z Td−1 Z 1 0 ∂u ∂x1 wdx2. . . dxd = Z Td−1 [u(t)w(t)]t=1t=0− Z 1 0 u∂w ∂x1 dx2. . . dxd = − Z Td u∂w ∂x1 dx1dx2. . . dxd= hu, −L(w)i
Dus we zien dat L anti-selfadjoint is. Als L : X∞→ X−∞ en L = L∗ op X∞ dan heet
L selfadjoint. Als H : Xd → R Ck is, dan kunnen met behulp van het inproduct de
gradi¨ent map ∇H : Xd→ X−d defini¨eren als de functie zodat
h∇H(u), vi = dH(u)(v)∀v ∈ Xd
Deze functie Ck−1, omdat dH dat is. Het volgende voorbeeld is van belang voor de toepassing in hoofdstuk 8.
Voorbeeld 3. We nemen A : Xs → Xs−d een self-adjoint morfisme van orde d,en
H(x) = hAx, xi. Dan hebben we dat
H(u + v) − H(u) = hA(x + v, x + vi − hAx, xi = (hAv, xi + hAx, vi) + 2hAv, vi = (hAv, xi + hx, A∗vi) + 2hAv, vi = (h(A + A∗)v, xi) + 2hAv, vi. Dus dH(u)(v) = (A + A∗)v, en ∇H = A + A∗ = 2A
5.4 Symplectische structuur en Hamiltonvergelijking
Voor de formulering van Hamilton mechanica voor eindig dimensionale systemen is een zogenaamde Symplectic form noodzakelijk. Gezien we nu voor Hilbert Scales ook met een Hamiltoniaan willen werken, moeten we ook dit concept generaliseren. Elke sepa-rabele Hilbert ruimte heeft een anti-selfadjoint automorphism, namelijk de operator J gedefineerd door J (ek) = e−k voor k ∈ Zd+ en J (ek) = −e−k voor k ∈ Zd−. Voor elk
anti-selfadjoint automorphisme J kunnen we een alternerende 2-vorm definieeren in het geval van een re¨ele ruimte, en een skew-Hermitian vorm voor een complexe ruimte, door α(x, y) = h ¯J (x), yi, met ¯J = −J−1. In dit project werken we steeds met een re¨ele ruimte. Omdat ¯J inverteerbaar is, is α non-degenerate. Daarom geeft α een koppeling tussen de Hilbert ruimte en de duale daarvan, op een vergelijkbare manier als het inproduct dat
doet. Dus α is een symplectic form. We kunnen voor een voldoende gladde functie h nu het Hamiltonian vectorfield Vh defini¨eren als
α(Vh(x), ξ) = −dh(x)(ξ)∀ξ.
Door de definities uit te schrijven volgt dat Vh= J ∇h.
Nu we het Hamiltonian vectorfield gedefinieerd hebben, kunnen we de bewegingsver-gelijking opstellen. Als h(x, t) een voldoende gladde functie van Xs× R is, dan wordt
de bewegingsvergelijking
˙
x = J ∇xh(x, t) = Vh(x, t),
waar ∇xde gradi¨ent in x is, en ˙x de tijds-afgeleide is. De functie h heet de Hamiltoniaan.
Voorbeeld 1. Als voorbeeld nemen we een vrij algemene niet lineaire golfvergelijking. De hilbertscale die we gebruiken is χs(S1) × χs(S1), met χs(S1) de ruimte van functies op S1 waarvan de s-de afgeleide kwadratisch integreerbaar is. De Hamiltoniaan die we
hiervoor nemen is H(u, v) = Z S1 1 2|v| 2+1 2 ∂u ∂x 2 − f (x, u(x))dx,
met f een voldoende gladde functie R × S1 → R. Als r = (u, v), dan kunnen we dit omschrijven naar H(r) = 12hAr, ri −R
S1f (x, r(x))dx, met A(u, v) = (∆u, v). Uit
R
S1f (x, r(x) + j(x))dx =
R
S1f (x, r(x)) +
∂f
∂u|(x,r(x)·j(x) + O(2)dx zien we dat de
gradi¨ent van het niet-lineaire deel ∂f∂u|(x,r) is. De bewegingsvergelijkingen worden dan ˙u ˙v = −v −∆u − ∂f∂u(x, u) .
De golfvergelijking wordt dan ¨u = ∆u +∂f∂u(x, u).
Ook al hebben we nu de bewegingsvergelijking, deze Hamiltoniaan is niet handig voor analyse van dit systeem. De operator A is namelijk niet een isomorfisme van deze Hilbertscale. Het zou handiger zijn om het om te schrijven naar H(ξ) = hξ, ξi + f (ξ). Op die manier kunnen we makkelijker het niet-lineaire deel apart beschouwen. Daarom gaan we nu voor het zelfde systeem een andere Hamiltoniaan vinden die van deze vorm is. Dit doen we door een andere ”verschoven”Hilbert scale te gebruiken, die niet meer het standaard inproduct heeft.
Voorbeeld 2. Als voorbeeld van een niet-lineare golfvergelijking nemen we de Sine-Gordon vergelijking, gegeven door ¨u = ∂∂x2u2 − sin(u). We gebruiken hiervoor de
Hilberts-cale Xs= χs+1(S1) × χs+1(S1). Voor het inproduct en symplectische vorm hebben we
een operator B nodig gedefinieerd door B(u) = −∂∂x2u2 + u. Om te laten zien dat dit
een automorphisme van de Hilbert scale is laten we zien dat de kern van B alleen de nul-functie bevat.
Bewijs. Omdat −∂∂x2u2 + u = 0, kunnen we met inductie laten zien dat ∂ 2nu
∂x2n = u en
∂2n+1u
∂x2n+1 = ∂u∂x. Hier uit volgt dat u in C∞ zit. De functie u is gedefinieerd op S1, dus er
zijn x 6= y ∈ S1 zodat u(x) = u(y). Dit betekend dat er een θ ∈ S1 is zodat ∂u∂x|x=θ= 0.
We schrijven u nu als een Taylor expansie rond θ, en passen de gelijkheden voor de afgeleiden toe: u(x) = ∞ X k=0 (x − θ)k k! ∂nu ∂xn|x=θ = ∞ X k=0 (x − θ)2k (2k)! ∂2ku ∂x2k|x=θ+ ∞ X k=0 (x − θ)2k+1 (2k + 1)! ∂2k+1u ∂x2k+1|x=θ = ∞ X k=0 (x − θ)2k (2k)! u(θ) + ∞ X k=0 (x − θ)2k+1 (2k + 1)! ∂u ∂x|x=θ = ∞ X k=0 (x − θ)2k (2k)! u(θ)
Als we u nu evalueren in θ, zien we dat u(θ) = 0. Per constructie hebben we dat
∂u
∂x|x=θ= 0. Daar uit volgt dat u(x) = 0 voor alle x.
Met twee keer partieel integreren kunnen we laten zien dat B self-adjoint is. Omdat hBu, ui = h−∂∂x2u2 + u, ui = h−∂
2u
∂x2, ui + hu, ui = h∂u∂x,∂u∂xi + hu, ui, zien we dat B een
positieve operator is, en dus een unieke wortel heeft. Het inproduct op X0 defini¨eren we
als hξ1, ξ2i = R S1 ∂ξ1 ∂x · ∂ξ2
∂x + ξ1· ξ2. Als inproduct op Xs nemen we hξ1, ξ2is= hB sξ
1, ξ2i.
Dit is inderdaad een inproduct omdat B self-adjoint is, B alleen 0 in de kern heeft, en positief is. We nemen als anti-selfadjoint automorphisme J (u, w) = (−√Bw,√Bu). Als we nu H(ξ) = 12hξ, ξi +R
S1f (u(x))dx, ξ = (u, w) nemen, dan vinden we dat
∇H = ξ + B−1∂f ∂u = u + B−1 ∂f ∂u w ,
met f (u) = − cos(u) − 12u2. De bewegingsvergelijkingen worden dan ˙u ˙ w = −√Bw √ B(u + B−1 ∂f∂u
Deze vergelijkingen substitueren geeft dat ¨u = −√B(√B(u + B−1 ∂f∂u) = −B(u + B−1 ∂f∂u) = B(u) +∂f∂u = −∂∂x2u2 + u + sin(u) − u = −∂
2u
∂x2 + sin(u), de Sine-Gordon
verge-lijking.
We hebben nu laten zien hoe de Hamiltoniaan voor een continu systeem gedefinieerd kan worden, en hoe daar de bewegingsvergelijkingen uit voortkomen. Nu wordt dat formalisme toegepast op een 2D elastisch systeem
6 Hamilton mechanica voor een 2D
elastisch systeem
6.1 Inleiding
In hoofdstuk 2.1 hebben we aan de hand van een discreet systeem de bewegingsver-gelijking afgeleid voor een continu systeem via de Lagrangiaan. Daarna hebben we een formalisme beschreven die we kunnen toepassen in veel algemenere context. In dit hoofdstuk wordt dat formalisme toegepast om de bewegingsvergelijking voor een 2D elastisch systeem in een 2D ruimte. Het hoofdstuk wordt afgesloten met een analyse van dit systeem, met betrekking op akoestische zwarte gaten. We moeten periodieke randvoorwaarden stellen om met het formalisme te kunnen werken. Dit betekend dat de buitenste punten van het materiaal de zelfde snelheid hebben, dus effectief gezien stil blijven staan. Net zoals voor het 1D systeem beginnen we met een discreet systeem.
6.2 Het discrete model
We bekijken nu een systeem bestaande uit een rooster van n bij n massa ’s die alleen met hun naaste buren verbonden zijn, en alleen in het platte vlak kunnen bewegen. Volgens Friesecke en Matthies[3] kunnen we in het geval van een homogene harmonische potentiaal een evenwichts afstand defini¨eren. In dit geval nemen we kleine verschillen in veer-constanten en massa ’s aan, zodat dit nog steeds kan. Massa mij heeft een
verschuiving van uij t.o.v het evenwicht. We defini¨eren Aij := ui,j+1− ui,j en Bij :=
ui+1,j−ui,j zoals in figuur 6.1. Merk op dat Aij en Bij vectoren zijn, en niet noodzakelijk
de hele tijd horizontaal of verticaal hoeven te blijven. De horizontale veren hebben veerconstante αij en de verticale hebben veerconstante βij.
De totale energie voor dit systeem is
E = n X i,j=1 1 2miju˙ 2 ij+ n−1 X i,j=1 1 2αijA 2 ij+ 1 2βijB 2 ij.
De vectoren uij zijn de canonieke co¨ordinaten, en de canonieke impuls pij is pij = miju˙ij.
De Hamiltoniaan van het systeem wordt dan
H({uij}, {pij}) = n X i,j=1 kpijk2 2mij + n X i=1 n−1 X j=1 1
2αijkui,j+1−ui,jk
2+ n X j=1 n−1 X i=1 1
2βijkui+1,j−ui,jk
Figuur 6.1: Horizontale veren geven we aan met Aij, verticale veren met Bij en de massa
’s met mij.
Met de Hamilton vergelijkingen komt daar uit dat ˙
pij = −
∂H ∂uij
= −(αi,j−1(ui,j− ui,j−1) + αi,j(ui,j+1− ui,j)+
βi−1,j(ui,j− ui−1,j) + βi,j(ui+1,j− ui,j))
(6.1)
Hier in kunnen we de som van twee golf vergelijkingen zoals vergelijking 2.1 herkennen.
6.3 Het continue model
Zoals eerder laten zien, moeten we voor het continue geval sommen vervangen met integralen, en discrete verschillen vervangen met differentialen. Voor een stuk materiaal van L × L, worden de elasticiteits-co¨effici¨enten functies van [0, L] × [0, L] naar R+. De
totale energie, en daarmee de Hamiltoniaan van het systeem wordt dan H(u, p) = Z Z [0,L]2 p2(x, y) 2m(x, y)+ 1 2α(x, y)( ∂u ∂x) 2+1 2β(x, y)( ∂u ∂y) 2dxdy.
Deze Hamiltoniaan is tijds-onafhankelijk. We willen proberen dit te schrijven als hAx, xi, met x = (u, p), en A een lineare operator op een Hilbert Scale, zodat we de bewegingsvergelijking kunnen opstellen en analyseren. We nemen X0 = (L2([0, L]2))2×
(L2([0, L]2))2, de Hilbertruimte van paren van functies (u, p) die [0, L] × [0, L] afbeelden
op R4 en L2[0, L]:
h(u, p), (q, r)iX0 = hu, qi(L2([0,L]2))2 + hp, ri(L2([0,L]2))2
= hux, qxiL2([0,L])+ huy, qyiL2([0,L])+ hpx, rxiL2([0,L]2)+ hpy, ryiL2([0,L]2) = Z Z [0,L]2 ux(s, t)qx(s, t) + uy(s, t)qy(s, t)dsdt+ Z Z [0,L]2 px(s, t)rx(s, t) + py(s, t)ry(s, t)dsdt
Door de definities van het inproduct te gebruiken kunnen we schrijven dat H(u, p) = h 1 2m· p, pi + 1 2hα · ∂u ∂x, ∂u ∂xi + 1 2hβ · ∂u ∂y, ∂u ∂yi = h 1 2m· px, pxi + h 1 2m· py, pyi+ 1 2hα · ∂ux ∂x , ∂ux ∂x i + 1 2hα · ∂uy ∂x , ∂uy ∂x i +1 2hβ · ∂ux ∂y , ∂ux ∂y i + 1 2hβ · ∂uy ∂y , ∂uy ∂y i = H(ux, px) + H(uy, py)
Omdat er periodieke randvoorwaarden worden aangenomen, kunnen Green’s eer-ste eer-stelling gebruiken om RR[0,L]2α(x, y)∂u∂xx(x, y) · ∂u∂xx(x, y)dxdy om te schrijven naar
RR
[0,L]2−∂x∂ (α(x, y)∂u∂x) · u(x, y)dxdy. De Hamiltoniaan wordt dan
H(u, p) = h p 2m, pi − 1 2h ∂ ∂x(α · ∂u ∂x), ui − 1 2h ∂ ∂y(β · ∂u ∂y), ui
De operator A die we zoeken heeft dus orde 2, en is gedefinieerd door A(p, u) = (Ax, Ay)(p, y) = (2mp ,−12 ∂x∂ (α · ∂u∂x) + −12 ∂y∂ (β · ∂u∂y). Als α en β constant en gelijk zijn,
kunnen we daar de Laplaciaan in herkennen. Verder kan Ay ook gezien worden als
Ay = (∂x∂ )∗α∂x∂ + (∂y∂ )∗β∂y∂. Zo wordt gelijk duidelijk dat A = A∗. Dus ∇H(u, p) =
2A(u, p). Als self-adjoint automorphisme nemen we J (u, p) = ¯J (u, p) = (p, −u). de bewegingsvergelijkingen worden dan
˙u ˙ p = p m ∂ ∂x(α · ∂u ∂x) + ∂ ∂y(β · ∂u ∂y) . (6.2)
Merk op dat dit een stelsel is van 4 vergelijkingen. Als we de substituties toepassen voor (ux, px) vinden we dat ¨ ux= 1 m ∂ ∂x(α · ∂ux ∂x ) + ∂ ∂y(β · ∂ux ∂y ) = 1 m∇ · ( α 0 0 β ∇ux). (6.3)
Voor ¨uy kunnen we het zelfde doen. Als we in vergelijking 6.3 β identiek 0 zetten,
komen we op de zelfde vergelijking uit als 2.3. Als β identiek 0 is, dan is het systeem een verzameling 1D systemen, wat verklaard waarom de vergelijkingen overeen komen. Gezien het een lineaire differentiaal vergelijking is, kunnen we de oplossingen bij elkaar optellen en met constanten vermenigvuldigen om nieuwe oplossingen te krijgen.
6.4 Analyse van dit model
Als we aannemen dat de co¨effici¨enten van vergelijking 6.2 op elk punt differentieerbaar zijn, dan kunnen we lokaal gezien de vergelijking benaderen als een golfvergelijking met constante co¨effici¨enten. Dus we kunnen een lokale golfsnelheid defini¨eren. De golfverge-lijking wordt dan makkelijk op te lossen, en de golfsnelheid wordt dan de vector (mα,mβ). Voor een akoestisch zwart gat moet de lengte van deze vector naar 0 gaan.
Als we een 2D materiaal willen beschrijven in een 3D ruimte, kunnen we op de zelfde manier de bewegingsvergelijkingen opstellen. Aan vergelijking 6.2 kun je niet zien dat het een voorwerp in een 2 dimensionale ruimte beschrijft, maar je kunt wel zien aan de parti¨ele afgeleiden dat het voorwerp zelf minimaal twee dimensies heeft. In hogere dimensie kunnen we dus nog steeds de zelfde vergelijking gebruiken. Als we vergelijking 6.3 willen oplossen, kunnen we eerst kijken naar oplossingen die constant zijn in de x of y richting. Als we 1 richting constant veronderstellen, krijgen we vergelijking 2.3 waarvan we de oplossingen exact hebben gevonden. Lineaire combinaties van oplossingen van de vergelijking zijn ook weer oplossingen, omdat de vergelijking lineaire is in de differentialen. Dus door eerst oplossingen te vinden die constant zijn in de x richting en daarna oplossingen die constant zijn in de y richting, krijgen we alle oplossingen.
Figuur 6.2: Een veel gebruikt systeem voor een akoestisch zwart gat.
Een veel gebruikt model voor een akoestisch zwart gat is een wig-vormig systeem, zoals in figuur 6.2. De dikte verwaarlozen we en de verandering in dikte zien we als een verandering in elastische eigenschappen van het systeem. In dit systeem zijn we vooral ge¨ınteresseerd in de transversale golven. De golfvergelijking die we hiervoor gebruiken is ¨ uz = 1 m∇ · (M ∇uz), M = α γ γ β (6.4) Een belangrijk verschil met vergelijking 6.3 is dat hier de matrix M niet diagonaal is. De matrix die tussen de gradi¨enten staat in vergelijking 6.3 (de matrix M in vergelijking 6.4) is diagonaal, omdat er geen inproduct van ∂u∂x en ∂u∂y in voor komt. De fysische betekenis van een γh∂u∂x,∂u∂yi term is dat sheer transformatie op het systeem de totale
energie zou veranderen. Het discrete systeem dat daarbij hoort is een systeem waarbij de puntmassa ’s zijn verbonden met horizontale, verticale, en diagonale veren. Als er wel een h∂u∂x,∂u∂yi zou zijn, zou de matrix in 6.3 symmetrisch zijn. In een systeem zoals figuur 6.2 bekijkt men vooral planaire transversale golven. Bij deze golven is de parti¨ele afgeleide in 1 co¨ordinaat richting constant, en moet dus aan de vergelijking voor het 1D geval voldoen om een akoestisch zwart gat te zijn.
Omdat de matrix M symmetrisch is, kan er op ieder punt een basis gekozen worden waarin de matrix alsnog diagonaal is, en de zelfde analyse als eerder toepassen op een klein genoeg gebied. Dit betekend dat ook in dit geval de reeds gevonden voorwaarden voor een akoestisch zwart gat nog steeds in een klein genoeg gebied moeten gelden. Het is mogelijk om een de co¨effici¨enten zo te laten vari¨eren, dat de operator norm van de matrix M constant blijft, maar de richting van de eigen-vectoren snel vari¨eren. Dit betekend dat de totale versterkten van de horizontale, verticale en diagonale veertjes niet snel varieert, maar de verhouding tussen die drie wel. Dus de basis die we moeten kiezen om de matrix diagonaal te maken veranderd dan ook snel, en het gebied waarop we de eerdere analyse kunnen toepassen wordt dan erg klein. In dit geval kunnen we de bewegingsvergelijking niet direct reduceren tot twee keer het 1D geval, want in de bewegingsvergelijking zou dan een term van de vorm ∂y∂ (γ(x, y)∂u∂x zitten. Als u dan constant in de x richting is, is die term nog niet 0. Deze problemen hebben gevolgen voor de praktijk. Als we een akoestisch zwart gat willen maken met het wig-systeem zoals in figuur 6.2, kunnen we aannemen dat het materiaal niet in te drukken of uit te rekken is, en de beweging de totale lengte van de wig constant houd, dus dat α en β heel groot zijn, en niet veel veranderen. Omdat het om transversale golven gaat, komt de golfsnelheid vooral voort uit de buigbaarheid, en dus de waarde van γ. In dit geval kunnen we de matrix M ontbinden in P · Λ · P−1, met P een unitaire 2 × 2-matrix. In dit geval zijn deze matrices rotaties. Als deze hoek bijvoorbeeld overal 90 graden is, betekent dit dat transversale golven zich gedragen als golven in het 1D geval. Als deze hoek overal 0 graden is, is de matrix al diagonaal en hebben het eerdere geval terug.
Bij het afleiden van vergelijking 6.2 hebben we aangenomen dat we periodieke rand-voorwaarden hebben. Dit was nodig om de berekeningen uit te kunnen voeren. In het geval van een akoestisch zwart gat is deze aanname niet terecht. De beweging van een punt precies op de rand van het zwarte gat is niet goed gedefinieerd, omdat de snelheid van dat punt naar oneindig zou gaan. De golffunctie is dus alleen goed gedefinieerd op een (half)open interval, en we kunnen dus geen periodieke randvoorwaarden gebruiken.
7 Conclusie
In dit project is gekeken naar akoestische zwarte gaten. In het hele project hebben we met periodieke randvoorwaarden gewerkt. Er zijn bewegingsvergelijkingen opgesteld voor een systeem wat bestaat uit n puntmassa ’s die met veren met elkaar verbonden zijn (zie vergelijking 2.2). Op basis van het 1D discrete systeem is de bewegingsverge-lijking voor een continu systeem opgesteld door middel van de Lagrangiaan en het actie principe, zie vergelijking 2.3. Omdat expliciete oplossingen vaak moeilijk te vinden zijn , is er een wiskundige analyse gedaan door middel van homogenisatie theorie waardoor de WKB-methode toegepast kan worden op vergelijking 2.3. Op basis van resultaten uit de Fourier-analyse wiskundig bewezen dat het discrete systeem een goede benadering is. Daarna is er een algemene beschouwing van akoestische zwarte gaten gedaan, en hebben we een lokaal golfgetal en golf frequentie gedefinieerd. Door vergelijking 2.3 expliciet op te lossen in termen van de dichtheid en elasticiteitsmodulus hebben we een voorwaarden gevonden voor het ontstaan van een 1D akoestisch zwart gat zonder benaderingen te hoe-ven doen. Om meer algemeen iets te kunnen zeggen over akoestische zwarte gaten is er een wiskundig formalisme opgehelderd uit Kuksin (2000)[7] om Hamilton-vergelijkingen op te stellen voor continue elastische systemen. Wat dit werkt aan Kuksin (2000) [7] toevoegt zijn uitwerkingen en nadere motivatie en uitleg die niet in Kuksin (2000) staan. Vervolgens is er op een vergelijkbare manier als in het 1D geval een 2D discreet systeem bestudeerd, en daar de bewegingsvergelijking van opgesteld, zie vergelijking 6.1. Ook van dit discrete systeem hebben we de totale energie uitgerekend voor het continue systeem, en dat als Hamiloniaan gebruikt. Op die hamiltoniaan hebben we de bewegingsverge-lijkingen opgesteld door middel van het eerder beschreven formalisme. Uit de daar op volgende analyse is gebleken dat de eerder opgestelde voorwaarden voor een akoestisch zwart gat ook voor veel transversale golven van toepassingen is.
Een grote beperking aan dit project zijn de periodieke randvoorwaarden. Bij een akoestisch zwart gat is de golffunctie in een limiet punt niet goed gedefinieerd. Daarom kan je dan geen periodieke randvoorwaarden toepassen. Periodieke randvoorwaarden zijn in dit project aangenomen, omdat het de wiskundige analyse sterk versimpeld. Volgend onderzoek zou zich bezig kunnen houden met analyse van HPDE’s die op een (half) open interval gedefinieerd zijn.
In dit project zijn alleen akoestische zwarte gaten in elastische systemen bestudeerd, en ook alleen het gat zelf en niet de rand. Voor toepassingen binnen onderzoek naar graviationele zwarte gaten wordt vooral gebruik gemaakt van vloeistof. Bij dat soort onderzoek licht de focus voor een deel op fenomenen die zich bij de waarnemingshorizon afspelen, zoals Hawking straling. Volgend onderzoek kan onderzoeken of/wanneer er een analoog van Hawking straling optreed in elastische akoestische zwarte gaten, of een voorwaarde opstellen voor een akoestisch zwart gat in vloeistof.
Bibliografie
[1] Stephen C. Conlon, John B. Fahnline, and Fabio Semperlotti. Numerical analysis of the vibroacoustic properties of plates with embedded grids of acoustic black holes. The Journal of the Acoustical Society of America, 137(1):447–457, jan 2015. [2] HENGZHONG FANG, KAIHU ZHOU, and YUMING SONG. PHONON
EMISSION FROM ACOUSTIC BLACK HOLE. Modern Physics Letters A, 27(25):1250140, aug 2012.
[3] Gero Friesecke and Karsten Matthies. Geometric solitary waves in a 2d mass-spring lattice. Discrete and Continuous Dynamical Systems-series B - DISCRETE CONTIN DYN SYS-SER B, 3:105–144, 02 2003.
[4] Herbert Goldstein. Classical Mechanics (3rd Edition). Pearson, jun 2001.
[5] Patrick Guidotti, James V. Lambers, and Knut Solna. Analysis of wave propagation in 1d inhomogeneous media. Numerical Functional Analysis and Optimization, 27(1):25–55, 2006.
[6] Victor V. Krylov. Acoustic black holes: recent developments in the theory and appli-cations. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 61(8):1296–1306, aug 2014.
[7] Sergei B. Kuksin. Analysis of Hamiltonian PDEs (Oxford Lecture Series in Mathe-matics and Its Applications). Clarendon Press, nov 2000.
[8] Hans Lewy. An example of a smooth linear partial differential equation without solution. Annals of Mathematics, 66(1):155–158, 1957.
[9] MA Mironov. Propagation of a flexural wave in a plate whose thickness decreases smoothly to zero in a finite interval. Soviet Physics Acoustics-USSR, 34(3):318–319, 1988.
[10] G. (eds.) Elaydi S.; Gyori, I.; Ladas. Advances in Difference Equations: Proceedings of the Second International Conference on Difference Equations. CRC Press, jan 1998.
[11] John R. Taylor. Classical Mechanics. University Science Books, jan 2005.
[12] Emran Tohidi. Legendre approximation for solving linear hpdes and comparison with taylor and bernoulli matrix methods. Applied Mathematics, 03, 01 2012.
[13] Matt Visser. Acoustic black holes: horizons, ergospheres and hawking radiation. Classical and Quantum Gravity, 15(6):1767–1791, June 1998.
[14] Xiaoran Wang, Xiandong Liu, Junfei Tai, Tian He, and Yingchun Shan. A novel method of reducing the acoustic emission wave reflected by boundary based on acoustic black hole. Ultrasonics, 94:292–304, April 2019.
[15] Liuxian Zhao and Fabio Semperlotti. Embedded acoustic black holes for semi-passive broadband vibration attenuation in thin-walled structures. Journal of Sound and Vibration, 388:42–52, February 2017.
[16] Li-Yang Zheng, Ying Wu, Xiao-Liu Zhang, Xu Ni, Ze-Guo Chen, Ming-Hui Lu, and Yan-Feng Chen. A new type of artificial structure to achieve broadband omnidirec-tional acoustic absorption. AIP Advances, 3:–, 10 2013.
Populaire samenvatting
De zwaartekracht bij een zwart gat is zo sterk, dat zelf licht er in gezogen wordt. Omdat zwarte gaten ver in de ruimte voorkomen en er niet van terug komt is het erg moeilijk om daar experimenten mee te doen. Daarom hebben wetenschappers iets gemaakt wat op een zwart gat lijkt, maar een stuk makkelijker is om te bestuderen: akoestische zwarte gaten. Bij akoestische zwarte gaten zijn het geluidsgolven die opgezogen worden niet kunnen ontsnappen. Je zou het dus ook een ¨stil gat kunnen noemen. De akoestische zwarte gaten waar dit artikel over gaat zijn voorwerpen waar een geluidsgolf in kan. Bij-voorbeeld een plastic plaat met een verdunning er in, of een een steeds dunner wordende plastic balk. Hoe dunner het materiaal, hoe buigbaarder het is. Als een golf van de dikke kant van de balk naar de dunne kant gaat, wordt de golf als het ware in elkaar geschoven en gaan de golf steeds minder snel vooruit. Hierdoor komt de golf uiteindelijk zo goed als stil te staan. Een golf die stil staat, kan nergens tegen botsen en terug kaatsen. Dus blijft die golf daar hangen en komt dus niet terug.
Omdat het in de praktijk oneindig niet bestaat, kan er geen plaat gemaakt worden die oneindig dun wordt. Daarom is het belangrijk om te weten wanneer een akoestisch zwart gat ontstaat, zodat we weten of het makkelijker gemaakt kan worden. Omdat te kunnen doen worden de wetten van newton in een nieuw jasje gestoken. De moderne variant van de wetten van Newton worden op elk oneindig klein stukje materiaal toegepast. Het is een best raar idee om een materiaal in oneindig veel kleine stukken te knippen. Dat is niet iets wat in het echt kan. Daarom wordt er een wiskundig bewijs gegeven dat het wel een goede manier is om er over na te denken. Eerst is dit gedaan voor een 1 dimensionaal voorwerp, een elastiekje. Maar in het echte leven zijn veel ingewikkeldere voorwerpen nodig om een akoestisch zwart gat te maken. Daarom hebben we de weten van Newton nog meer vernieuwd zodat het bijna alle systemen kan beschrijven waarbij de snelheden veel kleiner zijn dan de lichtsnelheid, en de voorwerpen groter dan losse moleculen. Met die wiskunde hebben we dan naar een 2D systeem gekeken, een rubberen plaat bijvoorbeeld. Van dat systeem is uitgerekend hoe het beweegt en buigt als je er aan trekt of duwt. De voorwaarden voor een akoestisch zwart gat bleken niet heel veel anders te zijn dan in het 1D geval.
Toch is een akoestisch zwart gat heel moeilijk als je met een rond elastiekje werkt. Je moet echt het elastiekje open knippen, omdat het erg snel gaat trillen op het punt van het akoestische zwarte gat.
