Hoofdstuk 7 Examenvoorbereiding

Hoofdstuk 7:

Examenvoorbereiding

Functies en grafieken en vergelijkingen

Domein en Bereik 1 a. 6x 4 0 c. _9x2 _{0 d. x}2_{2x 3 0}



2 3 2 3 6 4 : , : 10 , f f x x D B     



2 ₉ 3 3 : 3 , 3 : , 6 h f x x D B       ( 3)( 1) 0 3 1 : , 1 1, 3 3 , : , 1 1, f f x x x x D B                   b. De grafiek van g is een dalparabool met top (3, -8) D_g:¡ en B_g: 8 ,



 

Limieten 2 a. 7 12 1 8 2 4 12 12 7 lim lim 1 4 8 8 x x x x x x      _{   }   b. 2 4 3 2 4 2 3 4 6 8 8 3 2 lim lim 8 6 1 x x x x x x x x x       _{  }   c. 4 3 3 3 30 12 2 3 2 4 4 2 3 (4 10) 12 3 30

lim lim lim 0

5 2 5 2 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x        _   _{ }    d. 2 3 9 10 15 2 3 2 2 2 3 1 6 (2 3)(3 5) 6 9 10 15

lim lim lim 2

(1 3 ) 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x x         _    _{  }    e. 2 4 2 1 4 lim lim 0 2 1 2 x x x x x x       f. 2 3 16 24 2 2 4 3 2 4 4 12 9 (3 4 ) 9 24 16

lim lim lim 3

12 3 12 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x       _   _{  }    Asymptoten en perforaties 3

a. De grafiek van f is een dalparabool en heeft dus geen asymptoten. b. _3x2_{6x 3 (x x2) 0}

0 2

x  x 

Voor deze waarden van x is de teller niet nul, dus verticale asymptoten: x0 en 2

x . Voor grote waarden van x geldt: 2 2 2 3 2 2 5 1 5 ( ) 1 3 6 3 x x g x x x x      . De grafiek van

g heeft een horizontale asymptoot: 2

3 1

y  .

c. Voor grote positieve waarden van x wordt 0,45x _{nagenoeg 0. De grafiek van h}

heeft een horizontale asymptoot: y 25. d. 1 1 1 1 voor 0 1 ( ) | | 1 voor 0 x x x k x x x       _{ }  _ 

4

a. voor grote waarden van x wordt de term 4 1

x bijna gelijk aan 0. De grafiek van f komt dan steeds dichter bij de lijn y 3x1.

b. ( ) 2 2 5 1 2 ( 4) 3( 4) 11 2 3 11 4 4 4 x x x x x g x x x x x               Scheve asymptoot: y 2x3 5 a. 2 5 20 5( 4) 5 ( ) 3 4 ( 4)( 1) 1 x x f x x x x x x           voor x4 perforatie: (4, 1) b. 3 2 2 2 ( 2)( 1) ( 1) ( ) 6 8 ( 2)( 4) 4 x x x x x x x x h x x x x x x              voor x  2 perforatie: (-2, 3) c. ( ) 2 5 4 ( 1)( 4) 4 1 1 x x x x x x x e e e e k x e e e           voor x 0 perforatie: (0, -4) d. 3 2 2 3 6 9 ( 3) 3 ( ) 9 ( 3)( 3) 3 x x x x x x m x x x x x x x            voor x0 en x 3 perforaties: (0, -1) en (-3, 0) Transformaties 6 a. _{f x( )} 4omhoog _{y x}2_6x  _{1 4} Vy as , 0.5 _{y (2 )x} 2 _{6 2x} _{5 4x}2_12x₅ b. _{f x( )} 3naar rechts _{y (x}₃₎2_6(x_{3) 1} _x2 ₈ Vx as , 4  2 2 4( 8) 4 32 y   x    x  c. _{f x( )}Vx as , 2 _{y 2(x}2_6x _{1) 2x}2_12x  ₂ 7omlaag _{y 2x}2_12x₅

Symmetrie van grafieken 7 a. 4 2 4 2 3 3 ( ) ( ) ( ) 8 6( ) 8 6 f x x x f x x x           b. _{g x( ) ( x2)}3 _6(x2)2_{12(x2) 8 } 3 ₆ 2 _{12 8 6(} 2 _{4 4) 12 24 8} 3 x x x x x x x           

c. _{g x(  ) ( x)}3 _{ x}3 _{ g x( ) De grafiek van g is puntsymmetrisch in (2, 0)}

Soorten functies 8 a. _{f x( )x}2_{8x17 ( x4)}2_33 b. 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) 3 12 20 3( 4 6 ) 3(( 2) 2 ) 3( 2) 8 f x  x  x  x  x  x   x  c. 2 2 1 2 1 1 2 1 2 4 2 4 ( ) 15 18 ( 15 18) (( 7 ) 74 ) ( 7 ) 74 f x  x  x   x  x   x    x  d. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ( ) 24 ( 2 48) (( 1) 49) ( 1) 24 f x  x  x  x  x  x   x  9

a. snijpunten x-as: (8, 0) en (-2, 0) top: (3, -50) snijpunt y-as: (0, -32) b. top: (-4, 15) snijpunt y-as: (0, -33)

snijpunten x-as: 2 2 3( 4) 15 ( 4) 5 4 5 4 5 4 5 4 5 x x x x x x                  c. 1 2 1 1 2 1 4 2 4 2 ( ) 12 ( 2 48) ( 8)( 6) h x   x  x   x  x   x x

snijpunt y-as: (0, 12) snijpunten x-as: (8, 0) en (-6, 0) top: 1 4 (1, 12 ) 10 a. 3x 8 0 b. _x2_{15 0 4 9 x 0} 2 3 3 8 2 x x   2 ₁₅ 15 en 15 x x x     49 9x 4 x     11 a. Bereik: 0 , 10



b. B _n: 2 5 ,_  en B_p: , 30



12 _h(2)_{ a} 2b _96 _{en h( 1)   a ( 1)}b _{ 3} 5 96 3 3 ( 1) (2) 2 2 ( 2) 32 ( 1) ( 1) 1 5 3 b b b b h a h a b a        _{ }              13 a. _{p c  q r} 2 _b. 3 2 t m c w   2 1 2 2 64 ( ) 2 16 8 8 c c c p q r         1000 25 1 2 3 2 40 20 2 c c c t m w      Vergelijkingen 14 a. _4x3 _7x2_{3x 0 b. ( 3 x5)}2 _16x2 2 3 4 (4 7 3) 0 (4 3)( 1) 0 x 0 1 x x x x x x x x            5 7 3 5 4 3 5 4 5 7 5 x x x x x x x              c. 12 ( 3) 2 ( 1) 3 ( 1)( 3) ( 3)( 1) x x x x x x x   _  _{ }     d. (2x3)(x1)(x2) ( x2)2 2 2 2 2 2 12 36 (2 2 ) 3( 2 3) 2 10 36 3 6 9 4 45 ( 9)( 5) 0 9 5 x x x x x x x x x x x x x x x                         2 2 2 0 2 5 3 2 2 2 6 5 0 4 0 x x x x x x x D               

e. 1 3 2 ( 1) 0 x x   f. (2x3)(3x8) ( x2)(3 2 ) x 3 3 0 2 2 x x x       2 2 2 6 7 24 2 6 8 8 30 0 x x x x x x          8 32 1 8 32 1 16 22 16 12 x _   _{  } x _   _ Wortelvergelijkingen 15 a. 1 2 x 3 b. 1 2 x  1 4x c. _x2_{  7 x 1} 1 2 9 2 8 4 x x x       2 2 3 8 1 2 1 8 16 16 6 2 (8 3) 0 0 x x x x x x x x x            2 ₇ 2 _{2 1} 2 6 3 x x x x x       d. _x2_{  3 x 3 e. 36 12 x   x x 6 f. x}2_{ 4 7x x} 2 2 ₃ 2 _{6 9} 6 12 2 x x x x x         1 2 1 4 12 30 2 6 x x x    2 7 9 1 4 2 7 9 4 2 7 4 0 4 x x x x            16 a. 1 3 3x 4 2 x5 b. 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 5 2 5 2 x  x  x  x  x x 2 3 1 2 1 2 9 13 13 x x x    2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 5 2 0 4 2 0 (2 1)( 2 ) 0 (2 1)( 2 ) 0 5 5 x x x x x x x x x x x x                      De oplossing: ¡ \ {5} c. _x3_2x2 _{8x d.} 1 2 1 6 x x2



 

2 ( 2 8) 0 ( 4)( 2) 0 0 4 2 2 , 0 4 , x x x x x x x x x                1 2 2 1 4 2 6 1 6 1 8 20 ( 10)( 2) 0 10 2 x x x x x x x x x x x                  De oplossing: 2 , 6



Uitdrukken in, schrijven als functie van

17 a. q  0,2p1,3 b. 3p12q 16p c. (2p  3) 7 8p(4q5) 0,2 1,3 5 6,5 p q p q       4 12 16 3 4 p q p q       14 21 32 40 (32 26) 21 p pq p p q       21 32 26 p q    d. 13p4(q2) pq e. 0,3q1,2pq4,5 0 f. (7q3 ) 3 4 (p    p8) (13 ) 4 8 4 8 13 p q q q p q       14 1,2 0,3 4,5 15 4 pq q p q       _{8 6} 13 13 21 9 4 32 13 21 32 1 2 q p p p q p q       

Substitutie 18 a. a 3b  6 3(8 2 ) 6 p   24 6 p 6 6p18 b. _a10b3b2 _{10(5p 1) 3(5p1)}2 _{50p10 3(25 p}2_{10p 1) 50p10 75 p}2_{30p 3 75p}2_80p13 c. 3ab20 2 b 2 2 2 3 3 3 20 20 10 3 3 6 9 a b p p        d. _{a b b } 2 _{(p 1) (p1)}2 _{  p 1 (p}2_{2p  1) p}2_3p2 Inverse functies en inverse bewerkingen

19 a. x  2 4y b. 12 3 2 x y   c. x  2 34y d. 5 1 2 3 y x y    1 1 4 2 4y x 2 y x     12 3y 2 x   3 3 4 2 4 ( 2) y x y x       5 1 2 3 (5 2 ) 1 3 y xy x y x x       2 3 4 y x   _{y  4 (x2)}3 1 3 5 2 x y x    Rekenregels gebruiken 20 a. 3_a3_{b 25 b. 2ab}3 _{ 1 5 c.} 1 1 6 3 2 4 0,4 a  b b b  3 3 3 3 25 (25 ) b a b a     3 2 b a  1 2 1 2 2 2 ₁ 2 0,4 4 2 10 b a b a     2 3 a b 2 5 1 2 (2 10) b a d. 3 a  16a2b0 1 2 2 3 4 7 3 b a a a b a     21 a. 1 2 1 (4q3)  p b. _(q₆₎5_2p ₁ 2 3 3 2 2 3 2 3 1 3 4 4 4 3 4 3 q p p q p q p        5 5 1 2 6 1 2 ( 6) p q p q     5 1 2( 6) p q   22 a. 1 3 9 ( 3)a_ b _{ b.} 1 2 2 8 ( ) 4a_{ } b_ a _c. 1 2 b a 3 0 1 2 2 1 1 2 (3 ) (3 ) 3 2 1 4 2 a b a b b a          3 1 2 2 2 (2 ) (2 ) 3 2 3 a b a a b a b a           2 3 4( 3) 4 12 b a b a a      

d. 2 b  3a 3 4 4b 3a b a   Examenopdrachten

23 Lijn door perforatie

1 ( ) ( )( ) b x b f x x b x b x b       voor x b De perforatie is 1 2 ( , )_b P b 1 2 2 2 1 1 4 2 4 1 8 2 1 8 2 1 (4 1)(2 1) 0 b b b b b b b b b b               24 Eerste- en derdegraadsfunctie 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 ( 1 ) 1 ( ) ( 1)( 1 ) ( 1)( 1 ) 1 x x h x x x x x x              mits x 112 verticale asymptoten: x 1 en x 1 perforatie: 1 4 2 5 (1 , )

25 Een gebroken functie en zijn inverse

4 4 1 x y    4 4 1 x y   4 1 4 y x    4 4 4 1 4 4 4 4 x x y x x x x           26 Een eivorm 2 3 1 6 87x3x 2x 0 2 3 2 2 3 705 4 87 3 2 (87 3 2 ) 0 0 2 3 87 0 x x x x x x x x x x              

De lengte van het ei is 3 1

4 4 705 5,89    cm 27 Verticale verbindingslijnstukken 1 6 2 1 1 a a  2 1 6 2 1 6 6 0 3 3 3 3 a a a a a a           28 Stuiterende bal a. 7 1 7 0 5 0 h h a  h 1 7 7 1 5 1 5 ( ) 0,79 a a   

b. 1 1 2 1,11 4,9 h T    4 4 2 0,68 4,9 h T    2 1,11 1 ( ) 4,9 1,5092 h    0,68 2 1 ( 2 ) 4,9 0,566 h    1 3 3 0,566 1,509 0,375 0,375 0,721 a a     1 0 2,1 h a h   meter

29 Dozen met een vaste inhoud

a. _{I (15 2 ) x} 2_{ x 100} 2 3 2 (225 60 4 ) 100 4 60 225 100 x x x x x x       

Voer in: y14x3 60x2225x en y2 100 intersect: x 0,51  x5,34 De lengte van de kartonnen rechthoek is 3 0,51 2 (15 2 0,51) 29,5      dm of

3 5,34 2 (15 2 5,34) 24,7      _dm. b. De lengte van de bodem is b2x.

De inhoud van de doos: l b h  (b2 )(x b2 )x x 100 2 100 (b 2 )x x   . c. A b (3x  2 (b 2 ))x  b (2b x ) 2 2 10 20 70 200 200 (2x )(3x ) 6x x 6x 70 x x x x x x          d. 2 22 2 12 1 12 1 2 1 1 200 50 50 6 70 6 16 70 2 96 140 A x x x x x x x x x            2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 200 50 6 70 96 140 150 90 70 0 x x x x x x x x x         Voer in: 12 1 1 150 90x 70 x x   _zero: x 0,97 dm

Differentiëren

Differentiequotiënt en afgeleide functie 30 1,001 1 (2 1,001) (2 1) 2,39 0,001 y x       

Regels voor het differentiëren 31 a. '( ) 4 8 4 4 2 f x x x x x     b. 5 4 3 4 5 ( ) 3 g x x x      20 5 3 5 20 '( ) 3 g x x x    c. 3 3 3 1 2 3 2 ( ) 2 2 x h x x x x      1 2 4 1 2 2 2 4 6 '( ) 1 6 1 h x x x x x     

d. ( ) ( 2 3)2 4 6 2 9 1 1 x x x k x x x        3 4 2 2 ( 1)(4 12 ) ( 6 9) 1 '( ) ( 1) x x x x x k x x          4 2 3 4 2 4 3 2 2 2 (4 12 4 12 ) ( 6 9) 3 4 6 12 9 ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x x               e. _{m x'( )  1 6x}2 f. 12 2 1 3 2 2 3 4 6 1 ( ) 2 2 4 6 2 n x x x x x x x            1 2 1 3 1 4 2 3 4 2 12 3 '( ) 2 12 1 2 n x x x x x x x x            g. 2 2 3 4 4 2 3 4 2 3 1 2 3 1 ( ) x x 2 3 p x x x x x x x x             3 4 5 3 4 5 4 9 4 '( ) 4 9 4 p x x x x x x x            h. 5 4 2 2 ( 2) (2 5) '( ) 5( 2) 5 2 5 ) x x q x x x x x x        

Stijgen en dalen, maximum en minimum, buigpunten 32 a. 2 1 12 21 1 2 12 2 2 '( ) ( 2 ) x (2 2) x ( 3 2) x 0 f x  x  x   e  x e   x  x e  2 1 2 3 2 0 3 5 3 5 x x x x         

Voor x 3 5 , 3 5 is de functie stijgend.

1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 4 2 2 2 1 1 1 1 4 2 4 4 "( ) ( 3 2) ( 3) ( 2 4) 0 2 4 ( 10 16) ( 2)( 8) 0 2 8 x x x f x x x e x e x x e x x x x x x x x                              

Voor x , 2  8 , is de afgeleide functie stijgend. Dus voor 3 5 , 2 is de functie toenemend stijgend. b. De buigpunten zijn: (2, 0) en (8, )484

e .

Raaklijn aan een grafiek, twee grafieken raken elkaar 33 a. 2 2 16 0 x x   4 ₁₆

x   : en deze heeft geen oplossingen b. _{g x( ) x}2_16x2 3 3 32 1 64 2 1 2 32 '( ) 2 32 2 '(4) 8 7 17 7 4 30 13 g x x x x x g b b b                1 2 7 13 y  x x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 -2 -4

c. 32₃ 2x x  4 4 2 32 16 2 2 x x x x      

Punten met horizontale raaklijn: (-2, 8) en (2, 8).

34 f x_a'( ) 3 f x_a( ) 3 x19 1 1 2 2 6 6 1 2 1 3 2 2 2 2 3 2 9 2 9 4 x a x a x a x a x a x a                1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 4 6 3 3(4 ) 19 22 32 1 10 a a a a a           35 f_a'( ) 0 enx  f x_a( ) 18 2 2 1 3 1 3 3 a 0 x x a x a     1 3 ₁ 3 3 18 3 3 2 3 18 3 9 a a a a a a a       3 81 27 a a   Examenopdrachten 36 Eerste- en derdegraadsfunctie 2 1 3 1 2 1 2 2 2 2 ( ) ( 1)( 1 ) 1 1 '( ) 3 3 1 '(0) 1 f x x x x x x f x x x f            

De vergelijking van de raaklijn aan f in 1 2 (0, 1 ) A is: 1 2 1 y   x

37 Driehoek bij een vierdegraadsfunctie

2 3 2 2 1 1 1 1 2 1 1 '( ) 4 4 0 4 (1 ) 0 0 ( ) p p B p A p A p _p p _p p f x x px x px x x x x y f p                  2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 4 1 1 3 1 1 1 ( ) ( ) (3 ) 0 p p p p p p p p p p p p p p p AB en OA            1 3 p

38 Raaklijn door perforatie

2 3 2 2 2 4 ( 2)( 2) 2 ( ) 2 ( 2) x x x x f x x x x x x          voor x 2 perforatie: (-2, -1) 2 ( ) 0 4 0 f x x   

3 2 2 2 4 3 4 2 3 3 2 2 3 2 2 4 2 3 2 2 1 4 2 2 ( 2 ) 2 ( 4)(3 4 ) 2 4 (3 12 4 16 ) '( ) ( 2 ) ( 2 ) 12 16 ( 2 ) '(2) x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x f                          1 4 y  x b gaat door (2, 0): 1 1 4 2 0 2 b     Punt (-2, -1) ligt op 1 1 4 2 y  x

39 Verzadigingsgraad van hemoglobine

a. 3 3 100 75 25 000 p p   3 3 3 75 1875 000 100 75 000 42 p p p p     b. 3 2 3 2 2 3 2 3 2 ( 25 000) 300 100 3 7 500 000 ' ( 25 000) ( 25 000) p p p p p v p p        

Plot de grafiek van de afgeleide. Deze is maximaal voor p23

c. _0,00004 3 100 v p v   3 3 3 3 3 3 3 3 0,004 0,00004 (1 0,00004 ) 0,004 0,004 100 1 0,00004 25 000 v p p v v p p p p v p p        

40 Tussen twee grafieken

2 3 2 (1 ) Opp p p p  p p p 2 2 1 3 ' 3 2 1 (3 2 1) (3 1)( 1) 0 1 Opp p p p p p p p p                  41 Horizontale verbindingslijnstukken 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 ( ) 1 1 '( ) 0 2 L b b b b b L b b b b b b                2 2 (2 ) 0 0 4 b b b b b b b b       

De maximale lengte van het verbindingslijnstuk is 1 4.

Integreren

Rekenregels voor integralen 42

a. 1 5 1 4 1 2

10 2 2

( ) 2

b. 1 2 ( ) 2 2 g x  x  x 2 121 2 3 3 ( ) G x  x  x x c c. h x( ) 1₂ 4₃ x 2 4x 3 x x       1 2 2 1 2 ( ) 2 H x x x c x x          d. 1 6 42 ( ) (7 1) K x  x c e. _{m x( )x x}2₍ 3_{ 1) x}5_x2 1 6 1 3 6 3 ( ) M x  x  x c f. n x( ) 2x₃ 1 2₂ 1₃ 2x 2 x 3 x x x         1 1 2 2 ( ) 2 N x   x  x c 43 a. 1 2 1 2 2 2 ( ) ( 1) 1 ( 1) F x  x  x   x  1 2 2 2 1 2 '( ) 1 ( 1) 2 3 1 ( ) F x  x   x x x  f x b. 1 2 4 8 2 4 1 ( ) ( 1) 8( 1) F x x x        2 5 1 8 2 5 '( ) 4 ( 1) 2 ( ) ( 1) x F x x x f x x            c. _{G x'( ) 4 ( a x}2_{6x1) (2}3_{ x6) 8 ( a x3)(x}2_6x1)3 1 8 8a 1 a  

Berekenen van een oppervlakte van een gebied 44 a. 8 8 3 4 1 1 4 16 ₂ 2 255 Opp



x dx _ x _  b. 1 2 1 2 2 4x1 x  x(4 1 x) 0 2 3 2 3 2 2 2 2 3 20 1 1 2 2 ₀ 27 0 (4 1 ) 2 4 Opp

_

x x dx _ x  x _  2 3 0 2 x  x  c. 1 3 1 2 4x 4x12x 3 2 2 1 1 1 1 4 2 4 4 0 0 3 2 4 2 3 1 1 1 1 4 2 16 2 ₈ 8 2 2 2 3 2 3 4 1 1 1 1 2 4 2 16 ₀ 0 1 4 ( 6 16) ( 8)( 2) 0 0 8 2 ( (4 1 )) 2 128 (4 1 ) 2 3 L R x x x x x x x x x x x x Opp x x x dx x x x Opp x x x dx x x x                       _   _       _   _ 





45 a. 1 2 4 2 x  x 4 1 16 3 1 16 4 ( 64) 0 0 4 x x x x x x      

De coördinaten van de snijpunten zijn: (0, 0) en (4, 4)

b. 12 4 ₄ 1 2 3 1 1 1 1 4 3 12 ₀ 3 0 (2 ) 1 5 Opp



x  x dx _ x  x _ 

46 a. 1 3 2 1 3 3x 4x 12x16 3x 2 2 4 12 16 4( 3 4) 4( 4)( 1) 0 1 4 x x x x x x x x              De snijpunten zijn (-1, 1 3  ) en (4, 1 3 21 ) b. 4 4 2 0 0 ( ( ) ( )) ( 4 12 16) Opp



f x g x dx  



x  x dx  4 3 2 1 2 3 ₀ 3 1 x 6x 16x 74    _   _  c. 1 1 3 2 1 4 3 2 2 (3 4 12 16) 6 2 6 8 OPQ Opp_V   p p  p  p  p  p  p  p d. 1 3 2 1 4 1 3 2 3 12 3 ₀ 0 ( 4 12 16) 1 6 16 p p I en II Opp 



x  x  x dx _ x  x  x  x_  1 4 1 3 2 12p 13p 6p 16p     4 3 2 4 3 2 1 1 2 6 24 3 4 3 2 3 1 24 3 2 6 8 3 8 1 3 0 p p p p p p p p p p p           Voer in: 3 4 1 3 2 1 24 13 3 y  x  x  x zero: p0  p3,23  p7,44 47 a. 2 2 2 2 2 ( 4) 0 10 2 20 '( ) ( ) ( 4) ( 4) x x x F x f x x x           b. 4 4 1 1 2 2 2 2 2 1 1 20 10 (4) 2 1 ( 4) 4 x A dx x x       _{ } _{ }           



c. 9 10 2 2 2 2 1 1 20 10 10 ( ) 2 1 ( 4) 4 4 p p x A p dx x x p        _{ } _{ }          



1 10 2 2 10 4 96 4 6 p p p    

d. De oppervlakte onder de grafiek tussen 1 en p neemt steeds toe. Inhoudsberekeningen 48 30 30 2 0 0 0,318096( (30 )) 0,318096 (30 ) I 



x x dx 



x x dx  2 1 3 30 3 ₀ 0,318096 _15x  x _ 4497 cm3_. 49 a. xy y y32 2 3 2 1 1 3 3 3 8 8 ₈ 1 2 2 2 3 1 7 ₀ 7 0 0 (4 ( ) ) (16 ) 16 73 R y x I  x dx  x dx  x x     



 



  _  _  x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 5 10 15 20 25 30 -5

4 4 4 2 2 3 1 4 4 ₀ 0 0 (8 ( ) ) (64 ) 64 192 G I 

_

 x x dx 

_

x dx  _ x x _   b. 4 4 4 2 3 1 4 4 ₀ 0 0 ( ) 64 A I 

_

x x dx 

_

x dx _ x _   2 1 1 3 3 3 8 8 ₈ 1 2 2 3 6 7 ₀ 7 0 0 ( ) 54 B I 



x dx



x dx  _ x _   Het verschil in inhoud tussen A en B is 1

7 9  . 50 a. _x3_{ 1 x}2_1 3 2 2_{( 1) 0} 0 1 x x x x x x        De snijpunten zijn: (0, 1) en (1, 2) b. 1 1 2 2 3 2 4 2 6 3 0 0 (( 1) ( 1) ) ( 2 2 ) I 

_

x   x  dx 

_

x  x x  x dx  1 5 2 3 1 7 1 4 1 47 5x 3x 7x 2x ₀ 210     _    _  Examenopdrachten

51 Het achtste deel

a. 2 112 2 112 3 3 9 9 ( ) ( 9) ( ( 9) ) ( 9) p p A p x dx x dx p   



 



   b. 2 112 1 1 3(p9)  8 A(0) 2 4 1 2 2 3 1 ₃ 8 3 1 8 4 3 4 ( 9) 3 9 (3 ) 2 6 p p p        c. f x( )Vy as , 1     y x 9 9naar linksg x( )  (x 9) 9  x 1 2 1 1 2 2 1 2 0 0 0 2 1 4 4 4 4 9 9 2 9 4 (( 9) ( )) (2 9) 9 20 x x x x x x I  x x dx  x dx  x x _                

_

   

_

  _  _  52 Wortelfuncties 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 3 3 0 0 0 4 ₄ 1 1 1 2 1 2 3 3 3 1 2 1 3 3 3 2 2 3 3 ( ) ( ) 2 2 2 a a _a links rechts a a Opp x x dx x dx x a a Opp x dx x a a a a a a a a      _{ }     _{ }     







4 a a  geeft 2 3 4 a

53 Een gebroken functie en zijn inverse 3 3 2 1 2 ₀ 0 1 2 4 2 4 2 4 4ln | 1| 1 2(12 4ln(4) 4 ) 15 8ln(4) Opp x dx x x x x    _{ }   _  _ _  _    _           



54 Tussen twee grafieken

1 1 2 2 ₁ 2 2 2 2 1 2 1 3 1 2 3 ₀ 3 0 0 (( 1 ) ) (1 ) I 



x x dx 



 x x dx  _x x  x _  

Exponentiële functies en logaritmische functies

Logaritmen 55

a. 2 2 2 2 36 2

9

log(36) log(9) log(5) log( 5) log(20)

b. 1 5 5 5 12 5 2 5

2 log(49) 2  log(3) log(49 ) log(3 ) log(63) c. _26_{log( )x } 6_log(36) 6_{log( )x } 6_{log(36 )x}

d. 4 4 3 4 2 4 1 4 2 4 17 2

64 64

3 2 log(9 )p log(4 ) log((9 ) )p log( ) log(81 )p log(1 p )

       

e. 8_{log(2 )a }8_{log(a3)} 8_{log(2 (a a3))} 8_log(2a2_{6 )a}

f. 42

0,1 0,1 2 0,1 4 0,1 2 0,1 0,1 2

4 log( ) log( ) log( ) log( ) log( )x log( )

x x x x x x       56 a. 2_{log( )a }2_{log( ) 3b  b.} 1 3 2 log( ) 5 a  b  2 2 2 2 log( ) 3 3 log( ) 1 1 log( ) log( ) 3 2 a 2 (2 a ) 8 b a b    a        3 10 2 10 2 1 9 log( ) 10 2 3 a 3 (3 )a 59049 ( )a b a b          c. 1 2 2 2 4 2 2 a  b b  b d. 3 a 16a 2b0 1 2 2 5 2 ₁ 2 2 1 5 1 2 2 2 ( 2) ( 2) b a b a a       1 2 2 3 4 7 3 b a a a b a     57 a. 2_{log(18 3 ) y x b.  2} 3_{log(2y 1) x c. 2 3} 5y _x 1 3 18 3 2 3 18 2 6 2 x x x y y y        3 2 2 1 1 2 2 log(2 1) 2 2 1 3 3 x x y x y y           5 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 log( ) y 5 log( ) y _x y x x  _     d. 1 1 2 10 ( )_ y _x 1 2 1 1 2 ( ) 10 log(10 ) 1 y _x y x  _{ }   

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen 58 a. _{8 4} x2 _{1 b.} 1 3 1 25 5 5 ( )5 x x    c. ₃2x1_7 3 2 2 0 1 2 2 (2 ) 2 3 2 4 0 x 3 x x         2 3 1 5 5 5 (5 ) 2 3 1 0 x x x x x  _  _{ }        3 3 3 1 1 2 2 2 1 log(7) 2 x log(7) 1 log(7) x x        d. _{2 5 7 } 4x _{17 e.} 3 1 2 6 log(x4) 5 f. _34_{log(x4) 6} 4 4 7 1 4 5 7 15 7 3 log(3) x x x      1 2 3 1 2 log( 4) 4 3 3 4 3 x x x         4 2 log( 4) 2 4 4 16 20 x x x      

Machten van e en natuurlijke logaritmen 59 a. ln(2x 1) 3 b. _2e5x _{3 c.} 1 2 ln( ) 1x  d. ₂ 3 4 x e  _ 3 3 3 1 1 2 2 2 1 2 1 x e x e x e       5 1 2 1 2 1 2 1 5 ln(1 ) 5 ln(1 ) x e x x  _     1 4 1 4 2 ln( ) 2x x e   3 3 3 2 ln(4) 2 ln(4) 2 ln(4) x x x       60 a. _b3e2a1 _{b. b2ln(a5) c. bln(2 ) ln(3 )a  a d. a}2 ₁ b e_  2 1 1 3 1 3 1 1 1 2 3 2 2 1 ln( ) ln( ) a e b a b a b  _     1 2 1 2 1 2 ln( 5) 5 5 b b a b a e a e       2 2 1 6 ln(6 ) 6 b b b a a e a e    2 2 1 ln( ) ln( ) 1 ln( ) 1 a b a b a b       

Afgeleiden en primitieven van exponentiële en logaritmische functies 61 a. 3 ln(2) 1 '( ) 3 5 f x x    b. '( ) 1500 ln(0,94) 0,94 t g t    c. 1 2 2 2 2 '( ) (1 ln( )) (1 ln( )) u s u u u u        d. _{h x'( ) x 2ln( )x} 1 _{1 ln ( ) 2ln( ) ln ( )}2 _{x x} 2 _x x        e. 2 ₁ 2 ₁ '( ) 3x ln(3) 2 2 ln(3) 3x k x _  _{ } x _ x _  f. 0,18 0,18 0,18 2 0,18 2 250 (15 0,18) 675 '( ) (1 15 ) (1 15 ) t t t t e e j t e e                 62 a. 2 3 2 3 ( ) 1 x F x _ e  _c b. g x( ) 2x₂ 1 2x₂ 1₂ 2 1₂ x x x x x       G x( ) 2ln( )x 1 c x   

c. 3 5 2ln(3) ( ) 3 x H x _  _  _c d. K x( ) 4 ln | 3  x5 | c 63 a. b. _(x2_4)ex _0 2 _{4 0} 2 2 x x e x x       

c. Voor grote negatieve waarden van x wordt _{e nagenoeg gelijk aan 0. De} x

functiewaarde gaat naar 0.

De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot: y  .0 d. _{f x'( ) ( x}2_4)ex _{2x e} x _(x2_{2x4)e}x _0 2 _{2 4 0 0} 1 5 1 5 x x x e x x            

e. De grafiek van f heeft een maximum: f( 1  5) 0,25 en een minimum:

( 1 5) 8,51 f     f. _{F x'( ) ( x}2_{bx c e )} x _{(2x b e )} x _(x2_{(b2)x(c b ))e}x 2 0 en 4 2 en 2 b c b b c          g. 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 4) x ( 2 2) x 2 6 Opp x e dx x x e e e      



   _    _   64 a. _{C t'( ) 160( e}0,2t _{ 0,2e}t_{  1) 160(e}t _0,2e0,2t₎ 0 0 '(0) 160( 0,2 ) 128 0

C  e  e   , dus C stijgt direct na de injectie. b. C t'( ) 0 0,2 0,8 0,8 0,8 1 4 0,2 (1 0,2 ) 0 0,2 1 5 1 ln(5) t t t t t t e e e e e e t  _  _  _{ }    Examenopdrachten 65 Onafhankelijk van a 2 2 2 2 2 2 2 2 1 '( ) (1 ) (2 ) 0 2 0 0 ( ) 1 ax ax ax a ax a a a a a e f x a e ax ae a a x e a a x e x f e                         

Alle toppen liggen op de lijn y  _e12

x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

66 Logaritmen en vierde macht 4 3 3 3 3 ( ) 4ln( ) ln ( ) 4 1 4 4ln ( ) '( ) 4ln ( ) 0 4 4ln ( ) 0 ln ( ) 1 ln( ) 1 L p p p p L p p p p p p p p p e              De maximale lengte is _{L e( ) 4ln( ) ln ( ) 3 e } 4 _{e }

67 Vermenigvuldigen in horizontale en verticale richting

a. 1 ln( ) _, (1 ln( )) ,1 (1 ln( )) ( ) _{x as e} y as e V V x e x e ex f x y y x x ex           1 ln(ex) 1 ln( ) ln( )e x 2 ln( )x y x x x        b. 1 1 1 3 ln( ) 1 ln( ) 3 ln( ) 1 ln( ) 2 e e e W x x x x Opp dx dx dx x x x x x x x          _  _  _    _  _{ }       









2ln | |x



₁e 2  

68 Een exponentiële functie

a. '( ) 8 8₂ (8 8 )₂ 8 8 0 x x x x x x e x e e x x f x e e e          8 8 0 1 A x x    b. f x( ) 2 Voer in: y₁ 8x_x e  en y2 2 intersect: x 0,357 en x 2,153 Deze liggen niet 2 uit elkaar, dus een vierkant met zijde 2 past er niet in. c. 8x_x 8nx_nx e  e ( 1) ( 1) 1 1 8 8 8 ( ) 0 0 ( 1) ln( ) ln( ) nx x x n x n x n xe nxe xe e n x e n n x n x n              d. 1 2ln(3) 3 0 24 8 0,46 x x x x Opp dx e e    _  _   



.

Goniometrie

Goniometrische functies 69 a. 1 2 sin(23   ) 1 c. 3 4 tan( 2 ) 1 e. 1 1 6 2 cos(7   ) 3 b. 3 1 4 2 cos(3 ) 2 d. 2 1 3 2 sin(1 )  3 f. 2 1 3 2 cos( 3 )

70

a. 2sin( )x   3 b. sin( ) cos( ) 0x  x 

1 2 1 2 3 3 sin( ) 3 1 1 x x  x       1 1 2 2 1 1 2 2

sin( ) cos( ) sin( ) sin( )

x x ( ) 2 x x x x x x k                       1 2 3 4 2x 1 k 2 x k           c. 1 2sin( ) 0 x  d. 2 3 4 cos ( )x  1 2 5 1 6 6 sin( ) 1 1 x x  x       1 1 2 2 5 1 1 5 6 6 6 6 cos( ) 3 cos( ) 3 1 1 x x x  x  x  x            

Functievoorschrift bij een sinusoïde 71 a. minimum is 8 en maximum 16: 16 8 2 12 d _  _{ en} 16 8 2 4 a_  _ De periode is 13 5 8  , dus 2 1 8 4 b_  _{ }

Het ‘startpunt’ ligt precies tussen A en B: c7

1 4

( ) 4 sin( ( 7)) 12

f x   x 

b. Het ‘startpunt’ van de cosinus ligt in de top: c9 (of bij c1). 1

4

( ) 4cos( ( 1)) 12

f x   x 

Vergelijkingen met sinus, cosinus en tangens 72 a. 1 1 2 2 sin(2x ) 3 b. 2cos(3 ) 1x  1 1 1 2 2 3 2 3 5 7 12 12 2x ... 2x ... x k x k                       1 2 3 3 5 1 2 2 9 3 9 3 3x ... 3x 1 ... x k x k                   c. 1 4 sin(x ) cos(3 ) x 1 1 4 2 1 1 1 1 4 2 4 2 1 1 4 4 1 1 1 16 2 8 sin( ) sin( 3 ) 3 ... ( 3 ) ... 4 2 2 2 x x x x x x x k x k x k x k                                             d. 1 3

sin(3 ) sin(x  x ) e. _{2sin ( ) 1}2 _{x }

1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 1 6 3 2 3 ... 3 ( ) ... 2 ... 4 1 ... x x x x x x x k x k                                1 1 2 2 3 3 1 1 4 4 4 4 sin( ) 2 sin( ) 2 1 , 1 , , x x x  x  x  x          f. _{2cos ( ) sin( ) 1}2 _{x  x  g.} 1 3

tan(2 ) tan(x  x ) h. 3 sin(2 ) 3cos(2 )x  x

2 2 2(1 sin ( )) sin( ) 1 0 2sin ( ) sin( ) 1 0 (2sin( ) 1)(sin( ) 1) 0 x x x x x x           1 3 1 3 2 2 3 3 2 1 x x k x k x x                  1 3 1 1 6 2 tan(2 ) 3 2 x x k x k            1 2 5 1 1 6 6 2 sin( ) sin( ) 1 , 1 x x x  x  x          1 2 6 3 1 2 6 3 , , 1 1 x x x x         

Afgeleiden en primitieven 73

a. f x'( ) 6cos(2 ) x

b. g x'( ) 3 2cos( )  x  sin( )x  6 sin( )cos( )x x

c. 2 2

(1 sin( )) cos( ) sin( ) cos( ) cos( ) '( ) (1 sin( )) (1 sin( )) x x x x x h x x x         d. 2 2 2 sin(3 2) ( ) tan(3 2) cos(3 2) x k x x x      2 2 2 2 2 2 2 2 6 cos (3 2) 6 sin (3 2) 6 '( ) cos (3 2) cos (3 2) x x x x x k x x x        e. '( ) 1 4cos(4 ) 4cos(4 ) 2 sin(4 ) 2 sin(4 ) x m x x x x      f. 2 2 2 2 2

sin(2 ) 2sin(2 ) cos(2 ) 2cos(2 ) 2(sin (2 ) cos (2 )) 2 '( )

sin (2 ) sin (2 ) sin (2 )

x x x x x x n x x x x           74 a. 1 2 ( ) 1 cos(2 ) c F x   x  c. 1 2 ( ) 4 6 sin( ) c H x  x x  b. 1 3 ( ) 3sin( ) c G x    x  d. 2 2 3 ( ) 1 cos(6 3 ) c K x x   x 

Som en verschilformules, Verdubbelingsformules 75

a. 1 1 1 1 1

3 3 3 2 2

sin(x ) sin( ) cos( x  ) cos( ) sin( x  ) sin( )x  3 cos( )x

b. 1 1 1 1 1

4 4 4 2 2

cos(x ) cos( ) cos( x  ) sin( ) sin( x  ) 2 cos( )x  2 sin( )x

c. 1 1 1

2 2 2

cos(1  x) cos(1 ) cos( ) sin(1 x  ) sin( ) x  sin( )x

d. 1 1 1 1 1

4 4 4 2 2

sin(x1 ) sin( ) cos(1 x  ) cos( ) sin(1 x  )  2 sin( )x  2 cos( )x

76

a. _{f x( ) 4 sin( ) cos ( ) 4sin ( ) cos( ) 4sin( )cos( ) (cos ( ) sin ( )) x } 3 _{x } 3 _{x  x  x x } 2 _{x } 2 _{x } 2 2sin( )cos( ) cos(2 ) 2sin(2 ) cos(2 )x x x x x

    

b. sin(4 ) sin(2x  x2 ) sin(2 )cos(2 ) cos(2 )sin(2 ) 2sin(2 )cos(2 )x  x x  x x  x x f x( ) c. 5 5 8 8 ₅ 8 1 2 1 1 2 2 1 1 4 4 ( ) sin(4 ) cos(4 ) f x dx x dx x         _ _ 





Examenopdrachten

77 Gebroken goniometrische functie

a. 1 2cos( a) 0 1 2 1 1 3 3 1 1 3 3 cos( ) 2 2 2 2 a a k a k a k a k                        

b. Verschuif de functie f2 eerst 12 naar links: 1 2 1 2 sin(2( )) sin(2 ) ( ) 1 2cos(2( )) 1 2cos(2 ) x x g x x x        

    en toon aan dat g puntsymmetrisch is in de oorsprong.

sin( 2 ) sin(2 ) sin(2 )

( ) ( )

1 2cos( 2 ) 1 2cos(2 ) 1 2cos(2 )

x x x g x g x x x x                         

78 Tussen twee sinusgrafieken

a. 4 3 ₄ 3 1 3 1 3 1 1 3 3

(sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) 2

V Opp x x dx x x       



   _   _  b. 1 1 2 3 ( ) (sin( ) sin( ) h x  x  x  1 1 2 3 1 3 1 1 3 3 2 3 1 3 '( ) (cos( ) cos( )) 0 cos( ) cos( ) cos( )

2 2 2 2 h x x x x x x x x k x x k x k x k                                          h(x) is maximaal 1 2 3 voor 1 3 x   . De waarde van a is 1 2 3.

Het ‘beginpunt’ ligt een kwart periode links van punt A: 1 1 1

3 2 6

x      . De grafiek van sin(x) is dus 1

6 naar links verschoven: b 61.

79 Goniometrische functies a. sin( ) sin(2 ) 0x  x  1 2 2 3

sin( ) 2sin( )cos( ) sin( )(1 2cos( )) 0

sin( ) 0 cos( ) 0 O A B x x x x x x x x x  x               b. f x_a'( ) cos( ) 2 cos(2 ) x  a x 5 5 2 1 1 1 6 6 3 2 2 2 1 2 '( ) cos( ) 2 cos(1 ) 3 2 3 0 3 a f a a a a                Voer in: 1 1 sin( ) 2 3 sin(2 ) y  x   x maximum: x 0,96 c. 1 1 1 2 0 2 2 0

(sin( ) sin(2 )) cos( ) cos(2 ) (1 ) ( 1 ) 2

Opp x a x dx x a x a a









   _   _      

80 Rechthoeken bij een kwart cirkel

a. 1 2 ( ) (1 cos( )) sin( ) V t   t  t en 1 2 ( ) (1 cos( )) sin( ) W t   t  t 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3 3

sin( ) (1 cos( )) 3 sin( ) (1 cos( )) sin( ) 0 1 cos( ) 3 3cos( ) sin( ) 0 cos( ) 0 1 t t t t t t t t t t t  t                     b. ON RS OQ  RA invullen levert: 1 1 2(1 cos( )) 2sin( ) sin( ) 1 cos( ) t t t t    2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2

(1 cos( ))(1 cos( )) sin ( )

(1 cos ( )) sin ( ) sin ( ) cos ( ) 1 t t t t t t t       

c. 1 2 1 2 (1 cos( )) 1 cos( ) sin( ) sin( ) t t t t  _  1 4 1 4 3 5

sin( ) (1 cos( )) sin( ) (1 cos( ))

sin( ) 0 (1 cos( )) 1 cos( )

cos( ) t t t t t t t t k  t              

De zijden van vierkant ONPQ is 1 3 4

2(15) en die van ARST is 5 1  .35 25

Meetkunde en vectoren

Driehoeken

81 EAF  AEF  AFE 60o _{(gelijkzijdige driehoek)}

180 70 90 20

DAF

  o o o  o _{(hoekensom van een driehoek)}

90 60 20 10

BAE

  o o o  o _{(BAD 90}o₎

180 10 90 80

AEB

  o o o o_{(hoekensom van een driehoek)}

Als BEC en CFD gestrekte hoeken zijn, dan is CEF 40o _{en CFE50}o_. Bijzondere lijnen in driehoeken

82 a.

b. het midden van BC is D 1 1 2 2 (5 , 5 ). 2 2 1 1 1 2 2 2 (4 ) (4 ) 4 2 AD   en 2 1 3 42 2 3 2 AZ   

c. het middelpunt van de omgeschreven cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen d. het middelpunt van de ingeschreven cirkel is het snijpunt van de deellijnen.

Vierhoeken 83

a. waar: de diagonalen van een ruit staan loodrecht op elkaar, maar minstens één diagonaal van een vlieger wordt middendoor gedeeld.

b. waar: een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden. Als de vier hoeken dan ook nog even groot zijn (en dus 90°) is het parallellogram een rechthoek.

c. waar: een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden. Als de hoeken recht zijn, wordt de ruit een vierkant.

d. waar: een trapezium heeft één paar evenwijdige zijden. Als twee overstaande zijden van een vlieger evenwijdig zijn dan zijn de andere twee ook evenwijdig en is de vlieger een ruit.

Berekeningen in driehoeken 84

a. 1. BAS  DCS (Z-hoeken)

2. ASB  CSD (overstaande hoeken) 3. ABS CDS (hh) 4. 3 2 2 4 5 6 3 15 5 AS    b. 2 2 2 1 5 6 3 15 5 CS    c. 4 3

tan(CBD) geeft CBD53 _DBA90 _53 _37

d. 6

3

85

a. _{BP  6}2_32 _{3 5} b. _{AP  6}2_52 _{ 61}

c. DABS: DCPS (hh, met vergrotingsfactor 8 2 3 =23) 2 2 8 8 80 3 11 11 8 6 11 711 AS= ×AC= × + = = d. 1 1 2 6 5 2 61 APD Opp_D = × × = × ×DQ geeft 30 30 61 61 61 DQ= = e. 5 6

tan(PAD) geeft PAD40 f. DPQ DPA9040 50 g. BAP  APD50 _en 1 6 8 tan ( ) 37 BAC     _{, dus SAP 13} 1 6 3 180 180 50 tan ( ) 66 APS DPQ BPC             _{(gestrekte hoek)} 180 66 13 100 ASP        Sinus- en cosinusregel 86 a.  1806075 45 _b. 15 18,3 sin( ) sin(45 )   8,2

sin(75 ) sin(60 ) sin(45 ) 8,2 sin(60 ) sin(75 ) 7,4 BC AC BC          18,3 sin(45 ) 15 sin( ) 0,86 60 180 45 60 75                 8,2sin(45 ) sin(75 ) 6,0 AC    15 sin(45 ) sin(75 ) AB    geeft 15 sin(75 ) sin(45 ) 20,5 AB    c. _AC2 _5,72_9,32_{ 2 5,7 9,3 cos(30 ) 27,2 }  _{ geeft AC}_5,2 5,2 9,3 sin( ) sin(30 ) 9,3 sin(30 ) 5,2 sin( ) 0,89 63           5,2 5,7 sin( ) sin(30 ) 5,7 sin(30 ) 5,2 sin( ) 0,55 33           d.  180 35 100 45 _{e. BC}2 _4,12_8,32_{68cos(120 ) 119,73} _ 12,5

sin(45 ) sin(100 ) sin(35 ) 12,5 sin(100 ) sin(45 ) 12,5 sin(35 ) sin(45 ) 17,4 10,1 BC AB AB BC              10,9 8,3 sin( ) sin(120 ) 8,3 sin(120 ) 10,9 10,9 sin( ) 0,66 BC         41 en 180 120 41 19            f. sin(120 )8,3   sin( )4,1  18012025 35 4,1sin(120 ) 8,3 sin( ) 0,43 25        8,3 sin(120 ) sin(35 ) 8,3 sin(35 ) sin(120 ) 5,5 AC AC        Oppervlakte

87 De driehoeken zijn allemaal gelijkzijdig met zijde 4 cm. 1

2 4 2 3 4 3

driehoek

Opp     en Opp_cirkel   42 16

Gevraagde percentage: 6 4 3

88 a. 1 2 3 6 5 6 33 ABCP Opp       b. 1 2 33 8 6 9

APC ABCP ABC

Opp Opp Opp     

c. DABS: DCPS met verhouding 8:3. De hoogtelijn van S op AB is 8 4

11 6 411 OppABS   12 8 4114 17115

d. 5 6

11 11

48 17 9 21

ASPD ABCD ABS BCP

Opp Opp Opp Opp    

89

a. de straal van de afgeronde hoeken is 10 6 2 2 omtrek 1 4 10 3 3 6 2 ( 2 2) 22 2 28,3            cm b. 1 2 4 10 3 6 2 2 ( 2 ) 42 2 48 Opp            cm2

Stellingen over cirkels

90 1. PQ QM en PRRM (raaklijn aan cirkel) 2. Q ligt op een cirkel met middellijn PM (Thales) 3. R ligt op een cirkel met middellijn PM (Thales)

91 1. MAQ NBQ90 _{(raaklijn, en A en B zijn de raakpunten)} 2. AQM  BQN (overstaande hoeken)

3. DAMQ: DBNQ (hh) 4. 8 3 MQ NQ  en MQ NQ 33 5. 3MQ8NQ8(33MQ) 264 8  MQ 11_MQMQ_24264 6. PQ 16 en RQ6 Vectoren 92

Vectoren en kentallen, inproduct

93 8 6 AB_{  }      en 13 3 AC_{  }      2 2 2 2 8 13 6 3 cos( ) 0,91 8 ( 6) 13 ( 3) 24 BAC BAC                

Examenopdrachten 94 Loodrecht a. 2 2 3 3 21 3 14 3 C B y  y    1 3 21 7 D x    2 3 14 3 1 28 2 42 (42 21) 28 : 3 C x OC y x x         1 3 7 3 1 35 5 21 3 7 3 : 3 D y AD y b x b           1 2 5 5 0 3 42 8 3 b    1 1 2 2 5 5 7 2 10 5 3 3 8 3 3 8 3 12 x x x x         b. 9 15 3 EB _{ } _    en 30 6 3 EA_{ } _     . 9 30 15 3 6 3 0 EB EA        , dus EBEA

95 Twee vierkanten tegen een driehoek

a. AB 2 p q      _     omdat ADAB is 2 q AD p     _     2 2 p q p q OD OA AD q p p q          _{  } _{ } _             b. MA p 1 q          en ( ) 2 2 ( ) 2 2 p q p q q ED p q p q p        _{  } _           ( 1) 2 (2 2 ) 2 2 2 2 0 MA ED   p  q q   p  pq q q pq  , dus de richtingsvectoren van de lijnen MA en ED staan loodrecht op elkaar.

Lijnen en cirkels

Vergelijkingen van lijnen 97 a. 10x5y 7 3x6y  5 2 5 5 10 7 2 1 y x y x     1 5 2 6 6y 3x 5 y x       b. y  3x5 3x y 10 2 3 3 1 1 1 5 5 1 5 3 5 1 x y x y x y       1 3 3 1 10 10 1 1 10 3 1 1 x y x y    

c. rico van l is -3; rico van k is 2; rico van r is 1 2

 en rico van s is -3.

Als het product van de rico’s gelijk is aan -1, staan de lijnen loodrecht op elkaar. Dus alleen k en r staan loodrecht op elkaar.

98 a. 8x4y 7 3 4 4 8 7 2 1 y x y x    

De richtingscoëfficiënt van de lijn die hier loodrecht op staat is 1 2

b. 1 2 y   x b 1 2 1 2 3 4 1 1 b y x         

Vectorvoorstelling van een lijn 99 a. 2 5  0 b. 5 4 m n _{  }    uur 2 5 2 2 5 5 5 2 3 4 1 x           5 4 5 3 4 2 7 5 4 7 x y d d x y            

Afstand tot een lijn 100 a. 2 2 |2 0 3 9 1| 26 13 2 ( 3) ( , ) 2 13 d P l         

b. Neem een willekeurig punt P op m: (1, 1)

2 2 |3 1 1 2| 4 2 5 10 3 ( 1) ( , ) 10 d P n         101 a. 8x y 34 b. 2 2 |8 34| |8 34| 65 8 ( 1) ( , ) p q p q d P l         8 34 4 7(8 34) 2 60 240 4 (4, 2) y x x x x x S         2 2 |4 7 2| |4 7 2| 65 4 7 ( , ) ( , ) ( , ) | 8 34 | | 4 7 2 | p q p q d P m d P l d P m p q p q             

c. De twee lijnen zijn de bissectrices van de hoeken die de lijnen l en m met elkaar maken. d. 8p q 34 4 p7q2  8p q 34 4p7q2 1 2 4 8 32 0 12 6 36 0 8 4 32 6 12 36 4 2 6 p q p q q p q p q p q p                   

De vergelijking van de twee bissectrices zijn: 1

2 4

y  x en y  2x6.

Het product van de richtingscoëfficiënten is -1, dus ze staan loodrecht op elkaar. Hoek tussen twee lijnen

102 a. 2 2 2 2 2 1 5 3 17 290 2 5 1 3 cos( )    0,998       _{geeft  3}o b. 6 1 rv _{  }     2 2 2 2 6 7 1 2 40 1961 6 ( 1) 7 2 cos( )    0,903        _{geeft  25}o c. 1 1 2 rv _{  }     en 2 2 1 rv _{  } 