H7: Complexe getallen

(1)

Hoofdstuk 7:

Complexe getallen.

1.

a. Ja

b. Ja

c. Nee; het verschil van 1 en 3 is -2. d. Nee; het quotiënt van 1 en 3 is 1

3.

e. De som, het verschil en het product van twee gehele getallen is weer een geheel getal. Het quotiënt niet. (zie d)

2.

a. De som, het verschil en het product van twee rationale getallen is weer rationaal. b. ba   a d ad

b c bc c

d

is dus weer een breuk (rationaal).

3.

a. beide kanten kwadrateren: 2 2 2 a a b b 2 ( )  _. Hieruit volgt: _2b2 __a2_. 2

a is even en dus a is ook even (oneven keer oneven is oneven).

b. _b2_{is nu ook even, b is dan even en zowel a als b hebben nu een factor 2 gemeenschappelijk.}

4. a.   ¤5 c. 1    ¤ e. 6 2  ¤3 g. 6 3 ¤ b. 1 2   ¤ _d. _{5  ¤} _f. _ ₁₅_{ ¤} _h. 1 2 12,25 3  ¤ 5. a. 1000x 123,123123... 999x 1000x x 123   b. 123 999 x  c. 1000y 10y 2367,6767... 23,6767... 2344    2344 990 990y 2344 y   d. 100000z 100z 312567,567567... 312,567567... 312255    312255 99900 99900z 312255 z   6. a. (3 2 2) ( 4 6 2)      1 8 2 (3 2 2) ( 4 6 2) 3 2 2 4 6 2 7 4 2          (3 2 2) ( 4 6 2)     12 18 2 8 2 24 12 10 2     b. (a b 2) (c d 2) (a c) (b d) 2       (a b 2) (c d 2) (a c) (b d) 2       (a b 2) (c d 2) ac ad 2 bc 2 bd 2 (ac 2bd) (ad bc) 2            De som van a en b: a b Het verschil van a en b: a b Het product van a en b: a b Het quotiënt van a en b: a

(2)

c. _{1 2 2}_  _{1 2 2}_ _{1 2 2}_  _{1 8}_  _₇   11 2 d. 1 1 2 2 2 2 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2              e. 2 2 2 2 2 2 a b 2 a b 2 a b 1 1 a 2b a 2b a 2b a b 2 a b 2 a b 2 2               7. a. _x2 _₃ _b. _x2 _₀ _c. _x2 _{ }_{4 0} _d. _x2_{ }_{4 0} x  3  x 3 x 0 x2 4 x 2 x 2      2 x  4  8. a. 3i 2i 5i  b. _{3i 3i}_{   }_9i2 _₉ _c. _(4i)2_{ }_i4 _{16i 1}2_{  }_{16 1}_{  }₁₇ 9. a. _(z2__1)(z2__{1) 0}_ _b. _z(z2__{4) 0}_ 2 2 z 1 z 1 z 1 z 1 z i z i              2 z 0 z 4 z 0 z 2i z 2i           10. a. _x2__{6x x}_ 2 __{6x 9 9 (x 3)}_{  } _ 2_₉ b. _x2__{8x 19 (x 4)}_ _ _ 2__{16 19 (x 4)}_ _ _ 2_{ }_{3 0} 2 (x 4) 3 x 4 i 3 x 4 i 3 x 4 i 3 x 4 i 3               11. a. z z1 2    2 3i 5 7i 7 10i  z z1 2   2 3i (5 7i) 2 3i 5 7i       3 4i b. z z₁ ₂  4 3i 3  2 7i 3 2 10i 3  z z₁ ₂  4 3i 3 ( 2 7i 3) 6 4i 3     c. z z₁ ₂ 2 2 3i 7 2 2 3i 7 4 2    z z₁ ₂ 2 2 3i 7 (2 2 3i 7)    6i 7 12.

a. Re(a bi c di) a c Re(a bi) Re(c di)         Re(a bi (c di)) a c Re(a bi) Re(c di)         b. Im(a bi c di) b d Im(a bi) Im(c di)         Im(a bi (c di)) b d Im(a bi) Im(c di)        

(3)

14. a. z : (3, 2)1 en z : (1, 1)2  b. z3      3 2i 1 i 4 i z : (4, 1)3 c. Re(z ) 4 en Im(z ) 13  3  d. z4      3 2i (1 i) 2 3i z : (2, 3)4 Re(z ) 2 en Im(z ) 34  4  15.

a. Op de horizontale lijn door het punt (0, 3i) b. Links van de verticale as.

c. Im(z) Re(z) 3 2     6

d. In het tweede of vierde kwadrant.

e. Op de rechte lijn door de punten (4, 0) en (0, 4i).

16.

a. (2 2i)(3 i) 6 6i 2i 2 4 8i        b. (2 i)(2 i) 4     1 5

c. _{(3 2i)}_ 2 __{(3 2i)(3 2i) 9 6i 6i 4 5 12i}_ _ _{     }

d. ( 2 4i)( 3 i) 6 12i 2i 4 10 10i          e. i(2 i) 1 2i  

f. _{(a bi)(c di) ac bci adi bdi}_ _ _ _ _ _ 2 __{(ac bd) (bc ad)i}_ _ _

17. a. 1 2i 1 2i 1 2i 1 4i 4 3 4i 3 4 1 2i 1 2i 1 2i     1 4  5   5 5i b. 6 2i 6 2i 1 i 6 8i 2 4 8i 1 i 1 i 1 i 1 1 2 2 4i                 c. 2i 2i 1 i 2 2i 2 2i 1 i 1 i  1 i  1 1  2 1 i              18. a. z : (4, 3)1 b. z2  4 3i c. z3     4 3i 4 3i 8 d. z4   4 3i (4 3i) 6i  19. a. z z1 2       2 i 2 3i 4i b.                 







  

1 2 z _{2 i} _{2 i} _{2 3i} _{4 2i 6i 3} _{1 8i} ₁ ₈ z 2 3i 2 3i 2 3i 4 9 13 13 13

i

c. z z₁ ₂ (2 i) ( 2 3i)           4 2i 6i 3 7 4i d. z z₂ ₂   ( 2 3i) ( 2 3i) 4 9 13      e. 2              2

(z ) ( 2 3i) ( 2 3i) 4 6i 6i 9 5 12i

f. 1₁















  





 

z _{2 i} _{2 i 2 i} _{4 2i 2i 1} _{3 4i} ₃ ₄ 2 i 2 i 2 i 4 1 5 5 5 z

i

g. 1



_{ }



_{ }



 _{ }



   _



 

  

2 z _{2 i} _{2 i} _{2 3i} _{4 2i 6i 3} _{7 4i} ₇ ₄ 2 3i 2 3i 2 3i 4 9 13 13 13 z

i

(4)

20.

a. _{z z (a bi) (a bi) a}_{ } _ _ _ _ 2__{abi abi b}_ _ 2 __a2__b2

b. _{z z a}_{ } 2 __b2 _₁_{alle punten op de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 1.}

c. z z₁ ₂ (a bi) (c di) (a c) (b d)i (a c) (b d)i (a bi) (c di)               

1 2

a bi c di z z

     

21.

a. _{(a bi)}_ 2 __{(a bi) (a bi) a}_ _ _ _ 2__{2abi b}_ 2 __a2__b2__2abi_{ ¡} _als_{a 0}_ _ _{b 0}_

b. Als _{(a bi)}_ 2_{zuiver imaginair moet worden dan moet gelden:}_a2__b2 _₀

Hieruit volgt: a b  a b 22. a. _z2__{16z 100 0}_ _ _b. _z2_{  }_{iz 4 0} 16 12i 2 ABC formule z  8 6i z 8 6i        2 i 15 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ABC formule(D i 4 1 4 15) z   15 i z 15 i               23.

a. _z2_{   }_{z 4 (z (1 i))(z (a bi)) z}_{ } _ _ _ 2_{    }_{( 1 i a bi)z (1 i)(a bi) 0}_{ } _ _

(1 i)(a bi) a b (a b)i 4 a b 4 en a b 0

       

    

Uit de tweede vergelijking volgt: a b. Dit invullen in de eerste vergelijking: b b 2b 4 b 2 en a 2 1 i a bi 1 i 2 2i 1 3i                       b. _az2__{bz c 0}_{ } 2 b c 2 1 2 1 2 1 2 a a b b 1 2 1 2 a 1 2 a c c 1 2 a 1 2 a z z (z z )(z z ) z ( z z )z z z 0 z z (z z ) z z z z z z                          c. 4 1 (1 i)(a bi)_ _ _  _{ }4 zie a: z2   2 2i 24.

a. Kies z 2 i  _{. Dan is}iz i(2 i)    1 2i

b. vermenigvuldigen met i komt overeen met een draaiing om O over

1 2.

c. 3iz 3i(2 i)    3 6i_{: een draaiing om O over}1

2 en een

vermenigvuldiging met 3 t.o.v. de oorsprong. d. 2iz 2i(2 i) 2 4i   _{: een draaiing om O over -}1

2 en een

(5)

25.

a. _z2 _{ }_{(1 i)}2 _{ }_{(1 i)(1 i) 2i}_{ } _z3 _{ }_{(1 i)}3 __{2i(1 i)}_{   }_{2 2i}

b. _z _ ₁2_₁2 _ ₂_,_z2 _ ₀2_₂2 _{ en}₂ _z3 _ _{( 2)}_ 2_₂2 __{2 2}

c. De hoeken zijn resp. 1 1 3 4 ,2 en 4.

26.

a. z z₁ ₂ (2 2i)(2 3 2i) 4 3 4i 4 3i 4 4 4 3 (4 4 3)i         

b. 2 2 1 2 1 1 1 2 4 z _ 2 _{ }( 2) _2 2 en Arg(z ) tan ( )_   _{  } 2 2 1 2 1 2 2 2 3 6 2 2 1 4 4 3 1 3 2 4 4 3 12 z (2 3) 2 4 en Arg(z ) tan ( ) z (4 4 3) (4 4 3) 8 2 en Arg(z ) tan ( )                    c. z3  z z1 2  z z1  2 27. a. 2 2 2 2 1 2 z  a b en z  c d

b. z3 z z1 2 (a bi) (c di) ac adi bci bd ac bd (ad bc)i          

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

2 2 2 2 2 2 2 2

z (ac bd) (ad bc) a c 2abcd b d a d 2abcd b c a c b d a d b c                c. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 z z  a b  c d  (a b ) (c d ) a c a d b c b d  z 28. a. 1 1 1 1 6 2 6 2 x cos   3 en y sin   b. 1 6 1 en Arg( )      c. 1 1 p p 2 2 x y i 3 i     

29. dit is ontzettend niet leuk: leerlingpesterij

a. 7 7 5 5

3 36 36 36 36

z (3cos  3isin )(4cos  4isin  )

7 5 7 5 7 5 7 5

36 36 36 36 36 36 36 36

(12cos cos 12sin sin ) (12cos sin 12sin cos )i

           

b. 7 5 7 5 7 5 7 5 1 1

3 36 36 36 36 36 36 36 36 3 3

z 12(cos cos  sin sin  ) 12i(cos sin  sin cos  ) 12cos  12isin  1 1 2 2 12 12i 3 6 6i 3       30. a. 2 2 1 1 1 6 3 r_ ( 3) _1 _2 en _{ }tan ( ) _{ } 1 1 6 6 z 2(cos  isin ) b. 2 2 1 3 2 r ( 2) 3 13 en tan ( ) 2,16           z 13(cos2,16 isin2,16) c. 2 2 1 3 3 3 4 r ( 3) ( 3) 3 2 en tan ( )               3 3 4 4 z 3 2(cos(   ) isin( )) d. 2 2 1 3 4

r_ 4 _{ }( 3) _5 en _{ }tan ( )  _{ }0,64 z 5(cos( 0,64) isin( 0,64))   

e. 1 2 r 14 en    1 1 2 2 z 14(cos  isin ) f. r 8 en    z 8(cos  isin )

(6)

31.

a. 1 1 1

1 1 4

Arg(z ) tan ( )_   _{  } _b. 1 3

1 4 1 4 4 4

Arg(z z ) Arg(z ) Arg(z )         

c. 2 2

3

z  ( 2)  ( 2 3) 4 d. z z z1 1 2     1 i (1 i) 4i  5 3i  34

e. 3 1

2 2 2

arg(z ) 3 arg(z ) 1   _dus 3 1

2 2

Arg(z )   

f. 1 1 3

1 2 1 2 4 2 4

arg(z z ) arg(z ) arg(z )           _dus 3

1 2 4

Arg(z z )   

32.

a. z cos  isin  1 (cos isin ) _{de modulus is 1.}

b. _z2 __(cos_{ }_{isin )}_{ }2 _cos2_{ }_{2isin cos}_ _{ }_sin2_{ }_cos2_{ }_sin2_{  }_{i 2sin cos}_ _{ }_cos2_{ }_isin2_

c. _z3 __(cos2_{ }_{isin2 )(cos}_ _{ }_{isin ) cos cos2}_{ } _ _{ }_{isin cos2}_ _{ }_{icos sin2}_ _{ }_{sin sin2}_ _{ }

4 2 2

cos cos2 sin sin2 i(sin cos2 cos sin2 )

z (cos2 isin2 )(cos2 isin2 ) cos 2 sin 2 2isin2 cos2 cos 4 isin 4

                              d. 1 1 2 1 1 3 1 4 1 1 2 2 2 2 2 2 2 z : ( 3, ) z : ( , 3) z : (0, 3) z : ( , 3) 33.

a. Punten op de lijn die in (0, 0) begint en door het punt 1 1 2 2 ( , 3) gaat. b. 2 2 1 1 3 3 2 2 z r(cos  isin ) r(    i 3) 34. a. b. 1 6 Arg(z 4 2i) Arg(z (4 2i))       c.

35.

a. 3

4 Arg(z 6)  

b. Vergelijkbaar met de lijn x y 6  _{in R}₂_.

c. Im(z) 0

36.

a. z 2, z 1 i 3, z    3 i en z 2i  b./c. _z _ _x2__y2 _₂

2 2

x y 4: dit is de verzameling punten op een cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 2.

37. a. z x yi  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y (x 2) y x y (x 2) y x 4x 4 y 4x 4 0 x 1                 a₂ a₁ b c

(7)

b. De verzameling A is de verticale lijn door (-1, 0) c. (-2, 0)

d. De afstand van z tot (0, 0) moet gelijk zijn aan de afstand van z tot (-2, 0). z ligt dan op de middelloodlijn van (0, 0) en (-2, 0).

38.

a./c. De afstand tot punt (0, -2i) is gelijk aan de afstand tot punt (2, 0). Dat is de lijn met vergelijking: Im(z) Re(z).

b. z 2i  z 2                      2 2 2 2 2 2 2 2 x (y 2)i x 2 yi x (y 2) (x 2) y x y 4y 4 x 4x 4 y 4y 4x y x d.   1  3 4 4 Arg(z) en Arg(z) 39. a. z z 4  b. _z2__(z)2 _₀ _c. _z2__{2z z (z)}_{ } 2 _₀ 2 2 (x yi)(x yi) 4 x y 4      2 2 2 2 2 2 (x yi) (x yi) 0 x 2xyi y x 2xyi y 0           2 2 (z z) 0 (x yi x yi) 0       2 2 2x 2y x y en x y     2 2 (2x) 4x 0 x 0    40.

a. AB : 2 Re(z) 6 en Im(z) 1   CD : 2 Re(z) 6 en Im(z) 4  

BC : Re(z) 6 en 1 Im(z) 4   AD : Re(z) 2 en 1 Im(z) 4  

b. 2 Re(z) 6 en 1 Im(z) 4    41. a. _{z z (x yi)(x yi) x}_{ } _ _ _ 2__y2 __{( x}2__{y )}2 2_ _z2 b. z z 3i z 3i z 16      2 2 2 2 2 2

(x yi)(x yi) 3i (x yi) 3i (x yi) x y 3xi 3y 3xi 3y 16 x y 6y x (y 3) 25

              

     

Dit is een cirkel met middelpunt z 3i en straal 5.

Re Im 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 -1 -2 Re Im 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 -1 -2 Re Im 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 -1 -2

(8)

42.

a. AB   3₄   uuur

w i( ) i(8 6i (5 2i)) i(3 4i) 4 3i 4 w 3                     ur 2 2 2 2 3 4 AB w 3 4 4 3 0 dus AB w 4 3 AB 3 4 ( 4) 3 w                          uuur ur uuur ur uuur ur b. C :        w 8 6i ( 4 3i) 4 9i  D :        w 5 2i ( 4 3i) 1 5i  43.

a. De vector die hoort bij i(q p)  i(5 7i (7 i))      i( 2 6i) 6 2i  _{staat loodrecht op en is} even lang als PQuuur.

S :    7 i (6 2i) 13 3i   _enR :   5 7i (6 2i) 11 9i    b. C:   9 5i 44. a. z1  3 4i z2   5 12i 3 4 25 25 5 12 169 169 1 1 3 4i 3 4i _i 3 4i 3 4i 3 4i 9 16 1 1 5 12i 5 12i _i

5 12i 5 12i 5 12i 25 144

                            b./c. d. De punten O, z en 1

z liggen op een halve rechte.

e. z x yi  2 2 2 2 y x 2 2 x y x y x yi x yi 1 1 1 _i x yi x yi x yi x y z               y 2 2 x y y 2 2 x y y y 1 1 1 1 x z x

Arg(z) tan ( ) en Arg( ) tan (  ) tan ( ) 

  

  

45.

a. i(x 1 yi) x 1 yi     _b. (x 3 yi)(x yi i) 18 14i     

                     xi i y x 1 yi (x y 1) (1 x y)i 0 x y 1 0 en 1 x y 0 x y 1 Re(z) Im(z) 1                               2 2 2 2 2 2 (x 3 yi)(x yi i) 18 14i x 3x y y (x 3y 3)i 18 14i x 3x y y 18 en x 3y 3 14 Uit de tweede volgt : x 3y 17 (3y 17) 3(3y 17) y y 18               2 2 5 4 2 5 5 ABC formule 10y 94y 220 0 y 4 y 5 z 3 4 i z 2 5i z

1 z

(9)

46. a. 6z 2wi 10   z 2wi 5  5z 5 b. z 1 c. i 2w 5i      2w 4i w 2i

47. _{a(2 i)} 2_{b(2 i) 1 2i a(4 4i 1) 2b bi 1 2i (3a 2b 1) ( 4a b 2)i 0}                 

                     3a 2b 1 0 en 4a b 2 0 Uit (2) : b 4a 2 In (1) : 3a 2( 4a 2) 1 5a 5 0 a 1 en b 2                               2 2 z 2z 1 2i 0 (z (2 i))(z (a bi)) 0

z ( a bi 2 i)z (2a 2bi ai b) 0 a bi 2 i 2 en 2a 2bi ai b 1 2i           2 a 2 2 en b 1 0 a 0 en b 1 z i 48. a. b. 0 (3 4i) 0, 1 (3 4i) 3 4i                     

(1 i) (3 4i) 3 4i 3i 4 1 7i, i (3 4i) 4 3i

De nieuwe figuur is weer een vierkant met zijden 5.

c. Vermenigvuldig het vierkant ten opzichte van O met 5 en draai het vierkant om O over

14 _ o 3 tan 53 d.      3 4 4 3 e.                      3 4 1 3 4 1

4 3 1 4 3 7 dus 1 i wordt afgebeeld op  1 7i. f. _    _{  }  _



    

p q x px qy

q p y qx py dus x yi wordt afgebeeld op (px qy) (qx py)i  

         

(x yi)(p qi) xp xqi ypi yq (xp yq) (xq yp)i

g.             

  

x yi x yi 5 12i 5x 12y (12x 5y)i 5x 12y 12x 5y_i

5 12i 5 12i 5 12i 169 169 169

                    21 2 ₁₆₉1 5 12 5 12 x 5x 12y 12 5 y 12x 5y

(10)

T_1. a. x 0,2678678678...       2676 9990 10000x 10x 2678,678678.... 2,678678... 2676 9990x 2676 x b.               9 7 22 22 3 3 3 3 2 4 3 18 14 3 ₃ 4 48 2 4 3 2 4 3 2 4 3 T_2. a. x yi (2 3i)i x yi 2i 3 x 3 (y 2)i 1            x 2, y 2 : z  2 2i b. i(x yi) 2(2 3i) xi y 4 6i          y 4 (x 6)i 1  y 3, x 6 : z 6 3i    c. (1 i)(x yi) i(2 3i) x xi yi y 2i 3 x y 3 (x y 2)i 3 i                 

                   1  1  1 1 2 2 2 2 x y 3 3 en x y 2 1 x y 6 y 6 y 2 2y 4 1 2y 3 y 1 , x 4 : z 4 1 i

d. _{(x yi)} 2 _x2_{2xyi y} 2 _x2_y2_{2xyi 4i}

                          2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 1 x x x x 4 2xy 4 en x y 0 y x ( ) x (x 4) 0 x 4 2 x 2 y 2 : z 2 i 2 y 2 : z 2 i 2 T_3. a. Re(z) Im(z) 0   

Re(z) 0 en Im(z) 0 (tweede kwadrant) of Re(z) 0 en Im(z) 0  (vierde kwadrant)

b. 2 Re(z) Im(z) 4  

   

   

2 x y en x y 4

y x 2 en y x 4 De strook tussen de lijnen y x 2 en y x 4   

c. Im(z) Re(z) 6 

 

Im(z) Re(z) en Re(z) 6 Onder de lijn y x en links van de lijn x 6 .

T_4.

a. (2 3i) (3 2i) (2 3i) (3 2i) 6 4i 9i 6 12 5i             b.                        21 21 2 3i 2 3i 2 3i 1 i 2 2i 3i 3 ₂ _i (1 i)i 1 i 1 i 1 i 1 1 c. _{(2 i)} 3 _{(2 i) (2 i) (4 4i 1)(2 i) (3 4i)(2 i) 6 3i 8i 4 2 11i} 2               d. _ _                         2 7 24 25 25 5i 25 25 25 7 24i 175 600i _i

(11)

T_5. a.  3  3   4 4 z 4(cos1 isin1 ) 2 2 2i 2 b.  1  1 6 1 1 6    3 3 2 2 z 2(cos isin ) 2( i 3) 2 1 2 c.  1  1   2 2

z 3i(sin icos ) 3i(1) 3i

T_6. a.     1  1 2 2 i 1(cos( ) isin( )) b.        2  2      1 3     2 1 3 1 i 3 ( 1) ( 3) 4 2 en Arg( 1 i 3) tan ( )      2  2 3 3 1 i 3 2(cos( ) isin( )) c. _ _ 2_ 2 _ _ _ 1  2 _{ } 2 2 i 2 2 ( 2) 6 en Arg(2 i 2) tan ( ) 0,62      2 i 2 6(cos( 0,62) isin( 0,62)) d.                  12 12 21 14 14 1 1 1 i 1 i _i _2(cos( _{) isin(} ₎₎ 1 i 1 i 1 i 1 1 e.  2      1  1 2 2 (1 i) 1 2i 1 2i 2(cos isin ) T_7.

a. z 1 1  : een cirkel met middelpunt (-1, 0) en straal 1.

b. z 1  z i c. z 1  z i                 2 2 2 2 2 2 2 2 (x 1) y x (y 1) x 2x 1 y x y 2y 1 2x 2y y x                  2 2 2 2 2 2 2 2 (x 1) y x ( y 1) x 2x 1 y x y 2y 1 2x 2y y x T_8. a. Arg(AB) 0uuur  b. uur _{  } 1 3 3 _{ }2 3 3 Arg(BC) tan ( ) c. uur _ 1 3 3 _{    }2 3 3 Arg(CA) tan ( ) T_9. a.  2_ 2  2_ 2  2 _ 2  x yi y z x _{i i} z _x _y _x _y _x _y        2 2 2 2 2 y x _{0 en} ₁ x y x y y y x 0 en dan 1 y y

mits

y



0

want anders is 2

y

 

y

b. _   _  _ _ _  _ _  _   _         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y x y z x x _{1 1} x y x y x y z _x _y _x _y

(12)

T_10. Als z 0 of w 0  _isz w  z w _. Als         

   2 2

x yi x yi u vi xu yv (yu xv)i

u vi u vi u vi u v een positief reëel getal is, dan is yu xv 0  en

 

xu yv 0

         2  2  2  2 2  2

x yi u vi x u (y v)i (x u) (y v) x 2xu u y 2yv v     2 2  2 2

x yi u vi x y u v Geen idee.

T_11.

a. (a bi)(c di) ac bd (ad bc)i      _{is reëel als}_{ad bc 0}  b. … is zuiver imaginair als ac bd 0 

c. … een getal met lengte 1 als _{(ac bd)}_ 2__{(ad bc)}_ 2 _₁

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (ac bd) (ad bc) 1 a c 2abcd b d a d 2abcd b c 1 a (c d ) b (c d ) (a b )(c d ) 1                 