Raaklijn en poollijn bij kegelsneden

Raaklijn en poollijn bij kegelsneden

Een algemene kegelsnede (cirkel, ellips, hyperbool, parabool) K heeft een vergelijking van de vorm: a x2

+bxy+c y2+dx +ey +f =0 .

Stel dat het punt A

(

xA, yA

)

op K ligt. We willen de vergelijking van de raaklijn aan K in

A opstellen. We stellen eerst de parametervoorstelling van een willekeurige lijn m door A op :

(

xy

)

=

(

x_A y_A

)

+λ

(

r

s

)

, waarbij r en s niet beide gelijk aan 0 kunnen zijn.

Uitgeschreven in beide componenten hebben we:

{

x =xA+λr y= y_A+λs .

De snijpunten van m met K vinden we door het oplossen van λ uit:

a

₍

x_A+λr

₎

2+b

₍

x_A+λr

_{) (}

y_A+λs

₎

+c

₍

y_A+λs

₎

2+d

₍

x_A+λr

₎

+e

₍

y_A+λs

₎

+f =0 ,

a

₍

xA2+2 λ xAr +λ2r2

)

+b

(

xAyA+λ xAs+λ yAr +λ2rs

)

+c

(

yA2+2 λ yAs+ λ2s2

)

+d x_A+λdr +e y_A+λes+f =0 ,

hetgeen te herschrijven is tot de vorm P λ2

+Qλ+R=0 , waarbij

P=ar2+brs+c s2 ,

Q=2 a x_Ar +b x_As +b y_Ar +2 c y_As+ dr +es en R=a xA2+b xAyA+c yA2+d xA+e yA+f .

Er geldt dat R=0 , omdat A op K ligt. Dit geeft: P λ2+Qλ=0.

Neem nu aan dat m een raaklijn aan K is. Dan heeft de vergelijking P λ2

+Qλ=0 een tweevoudige oplossing λ=0 en dit kan slechts het geval zijn als P≠ 0 en Q=0. We herschrijven Q=0 als

(

2 a xA+b yA+d

)

r +

(

b xA+2 c yA+e

)

s=0 .

Hieraan voldoen r=b xA+2 c yA+e en s=−

(

2 a xA+b yA+d

)

(en alle andere oplossingen zijn

van de vorm r=k ∙

₍

b x_A+2 c y_A+e

₎

, s=−k ∙

₍

2 a x_A+b y_A+d

₎

, met k ≠ 0 ) . De vergelijking van m is −sx+ry=−s xA+r yA , dus

(

2 a xA+b yA+d

)

x +

(

b xA+2 c yA+e

)

y=

(

2 a xA+b yA+d

)

xA+

(

b xA+2 c yA+e

)

yA

en dit is om te schrijven tot

2 a xAx +b

(

yAx + xAy

)

+2 c yAy +d

(

x + xA

)

+e

(

y + yA

)

+2 f =¿

2

₍

a xA

2

a x_Ax+1 2b

(

yAx +xAy

)

+c yAy + 1 2d

(

x +xA

)

+ 1 2e

(

y + yA

)

+f =0 .

Hiermee is de vergelijking van de raaklijn aan K in het punt A

(

xA, yA

)

gevonden.

Gegeven is nu een punt P(xP, yP) dat niet op K ligt en we veronderstellen dat er vanuit P

twee raaklijnen aan K te trekken zijn. Noem de twee raakpunten A

(

xA, yA

)

en B

(

xB, yB

)

.

Voor de raaklijnen r₁ in A en r₂ in B gelden volgens het eerder gevondene de volgende vergelijkingen r1: a xAx + 1 2b

(

yAx +xAy

)

+c yA y+ 1 2d

(

x +xA

)

+ 1 2e

(

y+ yA

)

+f =0 , r₂: a x_Bx +1 2b

(

yBx +xBy

)

+c yBy + 1 2d

(

x+xB

)

+ 1 2e

(

y + yB

)

+f =0 .

P(xP, yP) ligt op beide raaklijnen, dus er geldt:

axAxP+ 1 2b

(

yAxP+xAyP

)

+c yAyP+ 1 2d

(

xP+xA

)

+ 1 2e

(

yP+yA

)

+f =0 . (1) a x_Bx_P+1 2b

(

yBxP+xByP

)

+c yByP+ 1 2d

(

xP+xB

)

+ 1 2e

(

yP+yB

)

+f =0 . (2)

Beschouw nu de lijn p met vergelijking:

ax x_P+1 2b

(

y xP+x yP

)

+cy yP+ 1 2d

(

xP+x

)

+ 1 2e

(

y + yP

)

+f =0.

Dit is een lineaire vergelijking in x en y dus het stelt inderdaad een lijn voor. Volgens (1) en (2) voldoen de coördinaten van A en B aan deze vergelijking.

De lijn p is derhalve de lijn door de raakpunten A en B en heet de poollijn van punt P t.o.v. de kegelsnede K . Als P op de cirkel ligt, dan is de poollijn gelijk aan de raaklijn in P aan K .

Op de eerder aangegeven manier zijn in de punten A en B de vergelijkingen van de raaklijnen r₁ en r₂ op te stellen. Men kan de vergelijkingen van r₁ en r₂ ook vinden door de

eenvoudige methode te gebruiken om de vergelijking van een lijn door twee gegeven punten op te stellen.

We vatten samen wat we gevonden hebben.

Werkschema voor het opstellen van de vergelijkingen van de raaklijnen vanuit punt P

₍

x_P, y_P

₎

aan de kegelsnede K : a x2

+bxy+c y2+dx +ey +f =0 : * stel de vergelijking van de poollijn van P t.o.v. K op: ax xP+ 1 2b

(

y xP+x yP

)

+cy yP+ 1 2d

(

xP+x

)

+ 1 2e

(

y + yP

)

+f =0

* los uit de vergelijking van de poollijn y of x op: y=mx +n of x=uy +v ; * substitueer y=mx +n of x=uy +v in de vergelijking van K ;

* los de tweedegraadsvergelijking in x of y die zo ontstaat op;

* bepaal hiermee de coördinaten van de snijpunten A en B van p met K ; * stel de vergelijkingen op van de twee raaklijnen aan K in de punten A en B ;

dit zijn tevens de vergelijkingen van de raaklijnen vanuit punt P aan de kegelsnede K .

1) cirkel: x2 +y2=r2 raaklijn: x xA+y yA=r 2 2) parabool: y2=4 px raaklijn: y yA=2 p(x +xA) 3) ellips: x2 a2+ y2 b2=1 raaklijn: x x_A a2 + y y_A b2 =1 4) hyperbool: x 2 a2− y2 b2=1 raaklijn: x xA a2 − y yA b2 =1

Dezelfde formules gelden ook voor de poollijn van punt P(xP, yP) t.o.v. de kegelsnede

(met x_{A vervangen door} x_{P en} y_{A vervangen door} y_{P ).}

De methode om vanuit de vergelijking van de kegelsnede K tot de vergelijking van de raaklijn in het punt A

₍

x_A, y_A

₎

te komen wordt wel ‘eerlijk delen’ genoemd.

Daartoe moeten we in de vergelijking van K :

x2=x ∙ x vervangen door x∙ xA , y2=y ∙ y vervangen door y ∙ yA , xy=1 2( xy + yx ) vervangen door 1 2

(

x yA+y xA

)

, x=1 2( x+ x ) vervangen door 1 2

(

x+xA

)

, y=1 2( y + y ) vervangen door 1 2

(

y + yA

)

en een constante losse term of een constante factor onveranderd laten.

Constante factoren worden meegenomen naar de vergelijking van de raaklijn, dus bijv. een term dx in de vergelijking van K gaat bij overstappen naar de vergelijking van de raaklijn over de term

d ∙1

2

(

x +xA

)

=

1

2d

(

x +xA

)

.

Voorbeeld 1

Bepaal vergelijking van de raaklijn aan de cirkel c: x2

+y2−2 x+4 y −29=0 in het punt A (4,3) .

Oplossing

Eerlijk delen geeft voor de vergelijking van de raaklijn:

4 ∙ x +3 ∙ y −( x+4 )+2 ( y +3)−29=0 , dus 3 x+5 y =27 .

Voorbeeld 2

Bepaal vergelijking van de raaklijn aan de parabool p: y2_{=4 x +5 in het punt}

A (1 ,−3) .

Oplossing

De vergelijking van de raaklijn is

Voorbeeld 3

Bepaal vergelijking van de raaklijn aan de ellips

e : x2 15 +¿ y 2 10 ¿1 in het punt A (3 , 2) . Oplossing

De vergelijking van de raaklijn is 3 ∙ x

15 +¿ 2 ∙ y

10 ¿1 , dus x+ y=5 .

Voorbeeld 4

Bepaal vergelijking van de raaklijn aan de hyperbool h :3 x2

−5 y2=28 in het punt A (4,2) .

Oplossing

De vergelijking van de raaklijn is 3 ∙ 4 ∙ x−5 ∙ 2∙ y=28 , dus

Voorbeeld 5

Gegeven is de cirkel c: x2

+y2−2 x−6 y−3=0 . Bepaal de vergelijkingen van de raaklijnen aan c die gaan door het punt P(6, 4) .

Oplossing

Methode 1 (m.b.v. de poollijn)

De vergelijking van de poollijn p van P t.o.v. c is

6 x+4 y −(x+6)−3(y +4)−3=0 , dus

p: y=21−5 x .

Dit invullen in de vergelijking van c geeft:

x2+(21−5 x)2−2 x−6(21−5 x)−3=0 , 26 x2−182 x +312=0 , x2−7 x+12=0 ,

(x−3) (x−4)=0 , x=3 ∨ x=4 . De bijbehorende raakpunten zijn R1(3, 6) en R2(4,1 ). De raaklijnen aan c in deze twee punten zijn:

r1:3 x +6 y−(x +3 )−3 ( y+6)−3=0 , dus r1: 2 x +3 y=24 en

r₂: 4 x + y−( x +4)−3( y +1)−3=0 , dus r₂: 3 x−2 y=10 . Methode 2 (m.b.v. de formule van Hesse)

De algemene vergelijking van een lijn m door het punt P is y−4=k(x−6) . We herschrijven de vergelijking van c als (x−1)2

+(y−3)2=13 . Dit stelt een cirkel voor met middelpunt M (1,3) en straal

√

13 .

m raakt juist dan aan c als d (m, M )=

√

13 .

Volgende de formule van Hesse is dit gelijkwaardig aan

|

k ∙ 1 – 3+4 – 6 ∙ k

|

√

k2 +1 ¿

√

13 .

|1−5 k|

√

k2+1 ¿

√

13 , (kwadrateren) (1−5 k ) 2 =13

(

k2+1

)

, 12k2−10 k −12=0 , 6 k2−5 k−6=0 . D=(−5)2−4 ∙6 ∙ (−6)=169 . De oplossingen zijn k =¿ 5 ± 13 12 , dus k =11

y−4=11

2(x−6) en y−4= −2

3 (x−6) , oftewel 3 x−2 y=10 en 2 x +3 y=24 .

Voorbeeld 6 Gegeven is de ellips

e :2 x2+y2−4 x−4 y −11=0 .

Bepaal de vergelijkingen van de raaklijnen aan e die gaan door het punt P(6, 1) .

Oplossing

De vergelijking van de poollijn p van P t.o.v.

e is 2∙ 6 ∙ x+1 ∙ y−2(x+6)−2(y +1)−11=0 , dus p: y=10 x−25 .

Dit invullen in de vergelijking van e geeft: 2 x2 +(10 x−25)2−4 x−4(10 x−25)−11=0 , 102 x2_{−544 x +714=0 , 3 x}2_{−16 x +21=0 .} D=(−16)2−4 ∙3 ∙ 21=4 . De oplossingen zijn x=16 ±2 6 , dus x=3 ∨ x=2 1

3 . De bijbehorende raakpunten zijn

R1(3, 5) en R2

(

2 1 3,−1

2

3

)

. De raaklijnen aan c in deze twee punten zijn:

r₁: 2∙ 3∙ x +5 ∙ y −2( x +3)−2( y +5 )−11=0 , dus r₁: 4 x +3 y=27 en r₂: 2∙ 21 3∙ x−1 2 3∙ y −2

(

x +2 1 3

)

−2

(

y−1 2 3

)

−11=0 , dus r2:8 x−11 y =34 . Voorbeeld 7

Gegeven is de (scheve) ellips e : x2+4 xy +9 y2−10 x −46 y=24 .

Bepaal de vergelijkingen van de raaklijnen aan e die gaan door het punt P(−5, 11) .

1764−924 y +121 y2+336 y −88 y2+36 y2−840+220 y−184 y−96=0 ,

69 y2−552 y+828=0 , y2−8 y +12=0 , (y−6)(y −2)=0 , y=6 ∨ y=2 . De bijbehorende raakpunten zijn R1(−12, 6) en R2(10 , 2) .

De raaklijnen aan c in deze twee punten zijn:

r₁:−12 x+2(6 x−12 y )+9 ∙ 6 y−5 ( x−12)−23 ( y +6 )=24 , dus r₁:−5 x +7 y=102 en

r₂:10 x +2 (2 x +10 y )+9 ∙2 y−5 ( x +10)−23 ( y +2 )=24 , dus r₂: 3 x +5 y=40 .

Voorbeeld 8

Gegeven is de (scheve) parabool K : x2

+2 xy + y2+8 x +2 y=12 .

Bepaal de vergelijkingen van de raaklijnen aan K die gaan door het punt P(3,−6) .

Oplossing

De vergelijking van de poollijn p van P t.o.v. K is

3 x+(3 y −6 x)−6 y +4(x +3)+(y−6)=12 , dus p: x =2 y+6 . Dit invullen in de verg. van K : (2 y+ 6)2+2(2 y +6)y + y2+8(2 y+6)+2 y=12 , 9 y2+54 y +72=0 , y2+6 y+8=0 .

Dit geeft y=−2 ∨ y=−4 . De twee raakpunten zijn R1(2 ,−2) en R2(−2 ,−4) . De bijbehorende raaklijnen zijn: r₁: 4 x + y=6 en r₂: 2 x +5 y=−24 .

Appendix

Er is ook een andere manier om de vergelijking van een raaklijn te bepalen aan een kromme

K :ax2+bxy+c y2+ex +fy+g=0 in een punt A

(

xA, yA

)

op K . De letter d gebruiken we hier

niet omdat we deze reserveren voor de differentialen die we gaan gebruiken. Deze methode is ook op meer algemene krommen toepasbaar.

Uit ax2+bxy +c y2+ex+fy+ g=0 , volgt

ax

d (¿¿2+bxy +c y2+ex+fy+g)=d 0 ¿

(de d betekent hier ‘differentiaal’), 2 axdx+b ( xdy+ ydx)+2cydy+edx+fdy=0 ,

(2 ax+ by+ e )dx=−(2 cy+ bx+ f ) dy , dy_dx ¿−¿ 2 ax +by +e 2 cy +bx +f . De vergelijking van de raaklijn r aan K in A is daarom

r : y− y_A=−2 a xA+b yA+e 2 c yA+b xA+f

(x−xA) . We herleiden deze vergelijking.

(

2 a xA+b yA+e

) (

x−xA

)

+

(

y− yA

)(

2c yA+b xA+f

)

=0 ,

a x_Ax+1 2b

(

yAx +xAy

)

+c yAy + 1 2e

(

x +xA

)

+ 1 2f

(

y+ yA

)

+g=0 .