De raaklijn aan een kegelsnede
We laten de afleiding van een vergelijking van de raaklijn in een punt van een kegelsnede aan die kegelsnede hieronder zien voor de ellips.
Zij
2 2
2 + 2 =1
x y
a b
een vergelijking van de ellips.
We kiezen twee punten P1(x1, y1) en P2(x2, y2) op de ellips en bepalen een vergelijking van de lijn door die twee punten:
2 1
1 2
2 1
( )
y y
y y x x
x x
− = − −
− Daar de punten op de ellips liggen hebben we ook:
2 2
1 1
2 2 1
x y
a + b = en x222 y222 1 a + b = Aftrekking van beide gelijkheden geeft:
2 2 2 2
2 1 2 1
2 2
y y x x
b a
− −
= − zodat we via ontbinding van de tellers krijgen:
2
2 1 2 1
2 1 2 1
( )
( )
y y b x x
x x a y y
− +
− = − +
Dit is de richtingscoëfficiënt van de lijn P1P2 (zie de vergelijking van P1P2 hierboven).
Hiermee gaat die vergelijking dus over in:
2
2 1
1 2 1
2 1
( )
( )
( )
b x x
y y x x
a y y
− = − + −
+
Door nu het punt P2 met het punt P1 te laten samenvallen (kies x2 = x1 en y2 = y1) vinden we de raaklijn in het punt P1.
De vergelijking van de lijn P1P2 gaat daardoor over in:
2
1 2 1 1
1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
( )
y y b x x x a y a y y a y b x x b x b x x a y y b x a y
− = − −
− = − +
+ = +
Delen we nu beide kanten van de laatste vergelijking door a2b2, dan vinden we
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
x x y y x y a + b = a + b
Daar P1 op de ellips ligt, is het rechter lid van deze vergelijking gelijk aan 1 (we zagen dat al eerder).
Zodat
1 1
2 + 2 =1
x x y y
a b
een vergelijking is van de raaklijn in het punt (x1, y1) aan de ellips.
