H2: De kettingregel

Hoofdstuk 2:

De kettingregel.

V_1. a. _{P 2(5 b)} 2_{10 2(25 10b b ) 10 } 2 _{  2b}2_{20b 60} b. 2 2 2 2 1 4 4 2 a a 1 1 a W 1 1 1 a 1 2 4          c. _{T  3(r}2_{  1) 5 3r}2_{  3 5 3r}2_8 d. R logx 5 4  V_2. a. u t 1 t 4 3x     b. 1 3 u t  x t 24  1 3x 4 t  4 3x 12x 1 3 24 72 t x x   V_3. a. 3x 2 3x 2 3 x 1 3 x 4 4 y 3 2_{ }  _{ }3 2 _2 _{ }3 (2 ) _{  }8 b. _{y 2(2 )} x 3_{ 2 2}3x _{ 2 (2 )}3 x _{ 2 8}x V_4.

a. _{y 3 log(4x) 3 ( log 4 }2 _{ } 2 _2_{logx) 3 2 3 logx 6 3 logx   }2 _{  }2

b. _{y 4 log8x 4 ( log8 }2 _{ } 2 _2_{logx) 4 3 4 logx 12 4 logx   }2 _{  }2

V_5. 2 2 2 2 1 2 1 a a 1 1 1 y a ( t) t x ( )       V_6. a. _{v 6 8 } 0,25 _{10,09 P 0, 4 10,09 } 3 _{411 Watt.} b. 0,25 3 3 0,25 3 3 0,75 1 1 1 P 0,4 (v h   ) 0,4 v (h  ) 0,4 v h 

c. Als h twee keer zo groot wordt, wordt het vermogen ₂0,75 _{1,68 keer zo groot; een toename}

van ongeveer 68%. d. _{0, 4v}3 _700 0,25 1 v 10 12,05 1 3 3 v 1750 v 1750 12,05    1 1 1,78 v 12,05 v 6,78 m / s    V_7. a. _{f(t) 6t 8t } 2_{12 16t  8t}2_{22t 12 f'(t) 16t 22} b. _{g(u) 4u u 2 u 4u  } 1,5_{2 u} g'(u) 6u0,5 2 1 6 u 1 2 u u      c. _{R(m) 2m 2m } 3_4m2_4 2 3 2 3 8 R'(m) 2 6m 8m 2 6m m       

V_8. _{f(t) (3t} 2_t)(2t2 _{ 1) 6t}4 _2t3 _3t2_{t f'(t) 24t} 3_6t2_{6t 1} V_9. a. T'(x) (x 1) 4x 2x 1 4x₂ 2 2 4x 2x₂ 2 2x2 4x₂ (x 1) (x 1) (x 1)              b. W'(q) (2q 2) 3 (3q 1) 2 (6q 6) (6q 2)_{(2q 2)}2 _{(2q 2)}2 _{(2q 2)}8 2               c. 2 2 2 2 2 (2p 3p) 0 4 (4p 3) 16p 12 A'(p) (2p 3p) (2p 3p)            V_10. a. 5 3 5 3 1 3 1 2 2 2 2 2 7t 3t 7t 3t f(t) 3 t 1 t 2t 2t 2t       1 2 1 2 2 f'(t) 10 t 1 b. 4 4 2 1 2 2 2 2 2 4t 3t 2 4t 3t 2 g(t) 4t 3t 2t t t t t            2 3 2 3 3 4 g'(t) 8t 3t 4t 8t t t         c. 7 7 0,5 4 2,5 3 3 3 t 2 t t 2t h(t) t 2t t t t        h'(t) 4t3 5t 3,5 4t3 ₃5 t t     

1. a. V(0) 400 _liter h(400) 31,6 _cm. b. h 80 _0,01t2 _{400 2560} 2,5 V 80 2,5 V 6400 V 2560      2 2 0,01t 2160 t 216000   t 465  t 465 _sec.

c. 4000 400 3600  liter in 600 sec. Gemiddelde vulsnelheid is 6 liter/sec. d. eerste 100 sec: Gemiddelde vulsnelheid=100₁₀₀1_liter/sec.

laatste 100 sec: Gemiddelde vulsnelheid=1100100 11liter/sec.

e. Op tijdstip 0 zit er 400 liter water in het reservoir. De waterhoogte is dan 31,6 cm. De waterhoogte stijgt dus 68,4 cm als er 3600 liter bij gevuld wordt. Dat is dan ₃₆₀₀68,4 0,02 cm/liter.

2.

a./b. 0,02 cm/liter en 6 liter/sec, dus 0,02 6 0,12  _cm/sec. c. eerste 100 sec: 35,4 31,6_{500 400} 0,038

  cm/liter en 1 liter/sec, dus 0,038 cm/sec.

laatste 100 sec: 100 85,1 15 1100

4000 2900  0,014 cm/liter en 11 liter/sec, dus 0,15 cm/sec.

Dus de gemiddelde stijgsnelheid in de laatste 100 sec is groter. d. _{h(t) 2,5 (0,01t} 2_{400) 0,025t}2_1000 e. gemiddelde snelheid 35,4 31,6 100 h(100) h(0) _0,037 100  

   cm/s over de eerste 100 seconden. En over de laatste 100 seconden is de gemiddelde snelheid 100 85,1

100 h(600) h(500) _0,149 600 500       cm/s. 3. a. u(x) x 0,5  _en y(u) 1 u  b. u(x) 1 x  _en y(u) u 0,5 

c. Als je de grafiek van f 0,5 naar rechts verschuift en vervolgens 0,5 omhoog, krijg je de grafiek van g.

d. Dat lijkt me duidelijk met bovenstaand voorbeeld.

4. _{u(q) 2} q_{19 en k(u) u u(t) 3t 6 en s(u) 0,7u  } 2 _{u(x) 2x 5 en w(u)} 3

u    5. a. _{O 2 6 } 2 _{72 dm}2 b. _{V 0,1 6 } 3 _{21,6 dm}3 _{en G 0,2 21,6 4,32   kg.} c. _{G 0,2 V 0,2 0,1 L    } 3 _{0,02 L} 3 d. 0,2 V 80  _{0,1 L} 3 _{400 O 2 15,87 } 2 _504dm2 V 400 1 3 3 L 4000 L 4000 15,87   

6.

a./b. h(400) 2,5 400 31,6  _{cm is de hoogte bij een inhoud van 400 liter.}

2

h(400) 0,025 400 1000 70,7 cm is de hoogte bij een tijd van 400 sec.

7. a. V



10,20



V(20) V(10) 133 55 7,8 t 20 10 10         l/s. b. h



55,133



h(133) h(55) 56 49,5 0,08 V 133 55 78  _  _  _   cm/l. c./d. h h V 0,65 t V t          cm/s.

e. Op tijdstip t 10 (helling van de raaklijn): ongeveer 5,3 l/s stijgsnelheid: 0,14 5,3 0,7  _cm/s. 8. a. V



10,20



450 150 30 t 10  _  _  _Vh



150,450



2 450 2 150₃₀₀ 0,06      h 10,20 1,79t





 _  b. V 10;10,001 20,001





t  _  Vh 150;150,02 0,082





 _  h 10;10,001 1,63t





 _  cm/s c. dV 2t dt  dh 2 1 dV 2 V  V dh₍₁₀₎ dV₍₁₀₎ dh_{(150) 20} 1 _1,6330 dt  dt dV   150  cm/l. 9. a. du 3 dx   dy 4udu 3 b. df du dy 3 4u3 12u3 12(2 3x)3 dx dx du          10. a. u(t) 3t 28 _{h u} 1,5 _{h'(t) 6t 1,5u } 0,5 _{9t u 9t 3t} 2_8 b. u(x) 7x 2 32 _{k u} 0,5 0,5 2 7x 7x k'(x) 14x 0,5u u _{7x 32}       c. u(x) 21x 1 f u 2 f'(x) 21 2u u  21x 1 d. u(x) x 37x _{g u} 3 _{g'(x) (3x} 2_{7) 3u} 2_3(3x2_7)(x3_7x)2 e. u(p) 1 p  2 h u 1 2 1 2 ₂ p p h'(p) 2p u u _{1 p}       f. u(x) 5x 12  _{k u} 6 _{k'(x) 5 6u } 5 _{30(5x 12)} 5 11. a. u(x) 2x 4  f 1₂ u 2 (2x 4) 2 u       b. f'(x) 2 2u3 _u34 _{(2x 4)}4 3        

c. w(t) 3(t_ 2 _1)1 _{u(t) t} 2 _{1 w 3u} 1 2 2 2 26t 2 w'(t) 2t 3u 6t(t 1) (t 1)            1 2 2 g(p) (p_{ }p) _{u(p) p} 2 _p 1 2 g u_  12 1 2 1 1 2 2 1 2p 1 g'(p) (2p 1) u (p p)          12. a. f(x) (3x 5)  2 (3x 5)(3x 5) 9x   230x 25 f'(x) 18x 30  b. f'(x) 3 2u 6(3x 5) 18x 30      c. f'(x) 3 (3x 5) (3x 5) 3 9x 15 9x 15 18x 30            13.

a. De functie f heeft 3 extremen.

b. Met 2nd _{trace optie 3 en 4 (minimum en maximum): minimum 0 voor x 0 ; maximum 16 voor x 2}

en een minimum 0 voor x 4 .

c. u(x) x 24x f(u) u 2 f'(x) (2x 4) 2u 2(2x 4)(x     24x) (4x 8)(x  24x) d. f'(0) 0 f'(2) 0 f'(4) 0

14.

a. De grafiek van de functie u(x) x 26x 10 is een dalparabool en heeft dus een uiterste waarde. De top van de parabool (3, 1). Dus g(x) heeft ook een uiterste waarde bij x 3 en wel

1 1 . b. g(u) u g'(x) (2x 6) _{2 u 2 x 6x 10}1 ₂2x 6 ₂x 3 x 6x 10             g'(x) 0 x 3 0 x 3     15. a. b. _{u(t) 0,025t} 2_{1000 H(u) u} 2 1 t H'(t) 0, 05t 2 u _{40 0,025t 1000}     c. 5 min: H'(300) 0,13 _{cm/s 10 min:} H'(600) 0,15 _cm/s

d. De grafiek loopt na 600 seconden iets steiler dan bij 300 seconden. Het is een toenemend stijgende grafiek. Voor grote waarden van t wordt de helling vrijwel gelijk aan 0,158. 16.

a. Eerst ‘even’ de afgeleide van _{k(t) t}2_4t 2 2 2 1 2t 4 t 2 u(t) t 4t k(u) u k'(t) (2t 4) 2 u 2 t 4t t 4t             En dan de productregel: h'(t) 3 t2 4t 3t t 2₂ 3 t2 4t 3t2₂ 6t t 4t t 4t             

f(x)

x

1

f'(x)

2 x





t (in seconden) h (in cm) 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 -40 20 40 60 80 100

b. 2 2 2 2 2 4q 6q w'(q) 3 2q 4 3q 3 2q 4 2 2q 4 2q 4            17. a. _{100 q} 2 _{0  q}2 _{100  10 q 10 }

Maar q zal ook wel groter dan 0 moeten zijn; dus 0 q 10  b. TK heeft een maximum 400 als q 7, 07

c. 2 2 2 2 2q q f(q) 100 q : u(q) 100 q f(u) u f'(q) 2 100 q 100 q            En nu de productregel: 2 2 2 2 2 q 8q TK'(q) 8q 8 100 q 8 100 q 100 q 100 q            d. TK'(7, 07) 0 18.

a./b. H(t) 1500 6t  _{met H de hoogte in meter en t de tijd in seconde.}

Na 1 s is de hoogte 1506 m; na 2 s is de hoogte 1512 m en na 3 s is de hoogte 1518 m. c. p(H) 1013 0,095(H 1500)   _{met p de luchtdruk in millibar en H de hoogte in meter.}

Op 1506 m hoogte is de luchtdruk ongeveer 1012,43 mb. Op 1512 m hoogte is de luchtdruk ongeveer 1011,86 mb. En op 1518 m hoogte is de luchtdruk ongeveer 1011,29 mb.

d. p(t) 1013 0,095(1500 6t 1500) 1013 0,095 6t 1013 0,57t         e. De luchtdruk neemt per seconde af met 0,57 mb.

19.

a./b. Eerst de afgeleide berekenen van h(t) (2t 4)  2.

2 2 2 2 2 2 4 4 4 h(t) (2t 4) (2t 4)(2t 4) 4t 16t 16 h'(t) 8t 16 (2t 4) 3 3t (8t 16) (12t 48t 48) (24t 48t) 12t 48 k'(t) (2t 4) (2t 4) (2t 4)                             20.

a. Voer de formule in. Stel x-waarden in het window in en dan zoom optie 0 (ZoomFit) om de y-waarden vast te stellen: xMin 0, xMax 20, yMin 0 en yMax 0,03   

b. _{f(t) (10t 20) } 2 2 u(t) 10t 20 f(u) u   f'(t) 10 2u 20(10t 20) 200t 400      En nu de quotiëntregel: 2 2 2 2 2 4 (10t 20) 16 16t (200t 400) (100t 400t 400) 16 (3200t 6400t) C'(t) ((10t 20) ) (10t 20)                2 4 1600t 6400 (10t 20)    

2 2 2 C'(t) 0 1600t 6400 0 1600t 6400 t 4 t 2 t 2          

Na 2 uur is de concentratie maximaal C(2) 0,02 c. C(t) 0,01 2 2 2 2 16t _0,01 (10t 20) 16t 0,01 (10t 20) 16t 0,01 (100t 400t 400) t 12t 4 0 t 0,34 t 11,66               

Dus de volgende injectie moet na ongeveer 11,6 uur gegeven worden.

d. Plot de grafiek van C'(t). Deze is in x 0 gelijk aan 0,04 en voor alle andere x-waarden kleiner dan 0,04.

21.

a. De eerste 14 dagen neemt het aantal slachtoffers steeds meer toe, en de laatste 10 dagen neemt het aantal slachtoffers steeds minder snel toe.

b. De groeisnelheid heeft na 14 dagen een maximum. c. Teken de raaklijn aan de grafiek in t 14 en bepaal het

richtingsgetal zo nauwkeurig mogelijk: 12000 0

17 11 2000

slachtoffers/dag. d. zie grafiek.

e. Een maximum op tijdstip 14. 22.

a. De helling van de grafiek is minimaal bij x 3. Vanaf dat moment stijgt de helling, wordt 0 (bij x 1, 4) en blijft toenemen tot

x 0,5. Vanaf die x-waarden neemt de helling weer toe. b. f(x) (x 22)2 2 x44x2  4 2 x44x22

3

f'(x) 4x 8x

2nd _{trace (calc) optie 4 (maximum): x 0,816}

In het punt (-0,816; -0,222) is de helling maximaal. 23.

a. _{h'(t) 12t 3, 9t } 2 _{h'(3) 0, 9}

cm/u b. De stijgsnelheid is maximaal als t 1, 5 c. Antwoord b is de top van de parabool. d. Bereken het maximum van de

hellingfunctie _{H(t) 12t 3,9t } 2_.

tijd (in dagen)

5 10 15 20 25 t h'(t) 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -5 f x 1 -1 -2 -3 10 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 f'

H'(t) 12 7,8t H'(t) 0 7,8t 12 t 1, 54     

e. De stijgsnelheid is dan H(1, 54) 9,23 _{cm/u. De waterhoogte is dan 9,47 cm.}

Wat is een buigpunt?

Kijk naar het punt A. Links van A draait de grafiek tegen de klok in. De helling neemt toe. Rechts van A draait de grafiek met de klok mee. De helling neemt af.

Omdat de grafiek in punt A van draairichting verandert, noemt men A een buigpunt. De

hellingfunctie heeft in punt A een maximale waarde. De grafiek stijgt in punt A het sterkst.

B, C en D zijn ook buigpunten. In de punten B en C

heeft de hellingfunctie een minimale waarde en in punt D een maximale waarde. In buigpunten heeft de hellinggrafiek (meestal) een maximum of een minimum. 24. a./b. c. f'(t) (3t2_(3t1) 0 1 6t2 ₁₎2 _(3t26t₁₎2          d. Voer in: y1 _(3x26x₁₎2  

 en bepaal de uiterste waarden. De helling is maximaal in het punt (-0,33; 0,75) en minimaal in het punt (0,33; 0,75) 25. a./b. c. _{W' 0,3u}2 _14u W’ is maximaal als u2 0,314 2331 Buigpunt: (23 ; 2540,74)31

d. De toename van de winst is bij een uurtarief van € 23,33 maximaal.

26.

a. f’ heeft drie nulpunten waar de afgeleide ook van teken verandert, dus de grafiek van f heeft drie toppen.

b. Voor een minimum moet de afgeleide van negatief naar positief gaan. Dat gebeurt bij x 4 en x 3 .

c. Er zijn buigpunten bij de toppen van de afgeleide. De grafiek van f heeft 2 buigpunten. d. De grafiek heeft een horizontale raaklijn als de afgeleide 0 is. Dat is voor x 2 en x 1 _. e. De afgeleide is links en rechts van x 1 positief. De grafiek van g blijft stijgen.

f. De helling in het linker buipunt (x 1) is 4 en in het rechter buigpunt (x 1 ) 0.

x

1 -1

1

uurtarief (in euro) Winst per maand

10 20 30 40 50 60 70 80 1000 2000 3000 4000 5000 -1000

27.

a. _{x 6,5}2_62 _2,5m.

b. Op tijdstip t 0 is de afstand 2,5 meter en wordt per seconde 1cm (= 0,01 meter) groter; u 2,5 0,01 t   c. _{h 6,5}2_u2 _{ 42,25 u} 2 d. _{h 6,5}2_{(2,5 0,01 t) } 2 _{ 42,25 (6,25 0,05t 0,0001t )  } 2 _{ 36 0,05t 0,0001t } 2 e. h 0 ABC formule 2 2 36 0,05t 0,0001t 0 36 0,05t 0,0001t 0 t 900 t 400            2 2 u(t) 36 0,05t 0,0001t en h(u) u 1 u'(t) 0,05 0,0002t en h'(u) 2 u 1 h'(t) ( 0,05 0,0002t) 2 (36 0,05t 0,0001t )              

Na 400 sec. komt de top van h'(400) bestaat niet; de snelheid is oneindig groot. de stut op de grond.

28.

a. Er zijn 120 mensen op 30 3 90  m2_{. Dat is} 90

120 0,75 m2 per voetganger.

b. Bij v 50 m/min is M ongeveer 0,65 m2 _{per voetganger. (onderste grafiek)}

c. Er verlaten elke minuut dan ongeveer 225 voetgangers de tunnel. (bovenste grafiek)

d. N is maximaal als M ongeveer 0,4 m2 _{per voetganger is (bovenste figuur). De snelheid is dan}

ongeveer 35 m/min. (onderste figuur). e.

f.

g. Als er 75 mensen per minuut de tunnel verlaten, dan is M ongeveer 0,25 m2_{/voetganger. Als de tunnel breder wordt, dan}

krijgen ze meer ruimte (M wordt groter) en bereikt N z'n maximale waarde.

29.

a. Geheel langs de weg: K 7000 20 €140000,= ´ =

-Geheel door het bos: _{K 1000 5 } 2_{2 25 €134629,}2 _{  }

Door het bos is dus goedkoper.

b. De kosten voor het stuk PC zijn dan: 4000 20 €80000,  _{. En de kosten voor het gedeelte PH} zijn: _{1000 1} 2 _{2 25 €55902,}2 _{   . De totale kosten zijn dan ongeveer €135902,}

c. 0 x 5000  : x moet ergens tussen C en Q liggen. d. PC: (5000 x) 20 100000 20x    PH: ₂₀₀₀2 _{x 25 25 4000000 x}2 _{  } 2 2 AK(x) 100000 20x 25 4000000 x    e. AK'(x) 20 25 2x ₂ 20 25x ₂ 2 4000000 x 4000000 x          V 0 20 40 60 80 M 0,25 0,35 0,5 0,9 3,0 N 0 175 240 200 80

2 2 2 2 2 8 2 6 AK'(x) 0 25x ₂₀ 4000000 x 25x 20 4000000 x 625x 400(4000000 x ) 225x 16 10 x 7,1 10 x 2667             f.

g. Er moet ongeveer 2333 meter leiding langs de

weg en 3334 meter door het bos gelegd worden. De minimale aanlegkosten bedragen

€130000,-x (in meters) AK (in euro) 1000 2000 3000 4000 5000 6000 -1000 50000 100000 150000

T_1.

a. u(a) a 25 en f(u) u 3 _{b. g(u) (u )} 3 2_{ 5 u}6 _5

T_2. a. u(t) 2t 3  _{h(u) u} 4 _{h'(t) 2 4u } 3 _{8(2t 3)} 3 b. u(p) 2p 25p K(u) u K'(p) (4p 5)  _{2 u 2 2p 5p}1  4p 5₂  c. u(q) 3q 6  _w(u) 2 _2u 1 u    w'(q) 3 2u 2 6 ₂ (3q 6)        d. _{u(x) x} 2_{10 f(u) 2u} 2 _{f'(x) 2x 4u 8x(x  } 2 _10) e. u(t) 3t 4  g(u) u g'(t) 3 1 3 2 u 2 3t 4     f. u(p) 2p 1  _w(u) 3 _3u 1 u    h'(p) 2 3u2 6 ₂ (2p 1)        T_3. a. 900 cm3_{/min = 0,9 dm}3_{/min V 0,9 t } b. H (V 1)  13 1 (0,9t 1) 131 c. u(t) 0,9t 1  1 3 H(u) u 1 1 23 32 3 H'(t) 0,9 u_{ }  _0,3(0,9t 1)_  H'(0) 0,3 _{dm/min = 0,005 dm/s = 0,5 mm/s} d. H'(2) 0,151 _{dm/min = 0,25 mm/s}

e. 2 keer zo grote vulsnelheid: V 1,8 t 

2 2

3 3

H'(t) 0,6 (1,8t 1)     2 0,3 (0,9t 1)   . Erik heeft geen gelijk.

T_4. a.

b. Er zijn drie buigpunten. c. f'(x) 15x 4 30x2 H(x) d. H'(x) 60x 360x 60x(x 21) 2 H'(x) 0 60x 0 x 1 x 0 x 1 x 1 (0, 0) ( 1, 7) (1, 7)               T_5.

a. Voer in: y120000x (x 500)  1 en y2 10000. Intersect: x 500

b. O(q)20000q_{q 500} 2 2 (q 500) 20000 20000q 1 10000000 O'(q) (q 500) (q 500)        

c./d. O'(q) 0 _{voor alle waarden van q. Dat wil zeggen dat de opbrengstfunctie een stijgende} functie is; geen maximum dus.

x y 1 2 -1 -2 -3 10 20 -10 -20

T_6.

a. Na 6 minuten zijn de ribben 3 mm korter. De lengte is dan 9,7 cm. Het volume is dan ongeveer 912,7 cm3_.

b. r 10 0,05 t   _{met r de lengte in cm en t de tijd in minuten.} c. _{V r} 3 _{(10 0,05t)} 3

d. De snelheid waarmee het blokje afneemt is: V'(t) 0,05 3r 2 0,15r2  0,15(10 0,05t) 2 e. V'(0) 15_cm/min 2 2 1 3 V'(t) 5 0,15(10 0,05t) 5 (10 0,05t) 33 10 0,05t 5,77 0,05t 4,23 t 84,53 minuten               T_7.

a. O'(t) 5 _cm2_{/sec. Klopt.}

b. O  R2  R2 O  R O

  R kan namelijk niet negatief zijn.

c. Omdat je de wortel trekt uit een gelijkmatig stijgende functie neemt de straal steeds langzamer toe. d. R  O  5t   e. 1 O 1 5 5 O 5t u R(u) u R'(t) 5 2 u ₂ O ₂ 5t               5 _{0,15 5 0,3} 5t 5t _5,31 5t _{28,14 5t 88,42 t 17,68} 5t 2             sec. T_8.

a. De afgeleide van een tweede graads functie is een eerste graads functie. De grafiek van een eerste graads functie is een rechte lijn en die heeft geen minimum of maximum.

b. De afgeleide functie van een derde graads functie is een tweede graads functie. De grafiek daarvan is een parabool en die heeft altijd een minimum of een maximum.