∫ ∫ ∫ Wiskunde 1 – Januari 2020

Wiskunde 1 – Januari 2020

1) a. Toon m.b.v. volledige inductie aan dat

∀ n≥ 1 :n

⁵

− n=5∗k k ∈ N

tip: gebruik het binomium van Newton.

b. Maak een schets van het gebied in het complexe vlak beschreven door

{z ∈C : ℑ(z

⁴

)<0 en∨z

⁴

∨¿ 16 }

2) Met

f ( x)= ln( √ ^{x )}

x

⁵

a. Bereken Taylorveelterm

P

₂

( x)

van f(x) rond x = 1

b. Zij rechte r de raaklijn van f in x=1: toon dat r(x) > f(x) voor alle x > 1 c. Los op

∫

1 +∞

f (x )dx

3) a. Zij a∈ R , los op en toon dat de oplossing niet afhangt van a:

∫

a a+2 π

cos (x ) sin(x )+2 dx

b. Bereken

∫ ^{2 x}

2

+ 4 x +5 x

³

+ 4 x

²

+ 9 x+10 dx

4) Differentiaalvergelijkingen van Bernoulli zijn niet-lineaire differentiaalvergelijkingen van de vorm:

y ' +P(x) y=Q( x) y

ⁿ

met

¿

n ∈ N {0,1 }

De eerste stap om zo’n differentiaalvergelijking op te lossen is het uitvoeren van een geschikte substitutie:

z= y

¹⁻ⁿ

1−n (1)

Beschouwd de differentiaalvergelijking :

xy ' + y=e

1

x

∗ y

²

voor x >0 (2)

a. Schrijf de differentiaalvergelijking als een dif. vgl. van Bernoulli: wat zijn P(x), Q(x) en n?

b. Substitueer (1) in de vergelijking uit (a) om volgend te vinden:

z '− 1 x z= e

1 x

x

c. Los de dif. vgl. uit (b) op naar z

d. Geef de oplossing van de dif vgl. (2) met beginwaarde y(1) = 1

5) a. Vind alle stationaire punten van f(x,y) = (x²+y²)

e

^−x

b. Vind alle lokale maxima, minima en zadelpunten van f. Welke zijn globale maxima/

minima?

c. Vind de vergelijking van de raaklijn aan de niveaukromme f(x,y) = 1 in (0,1)

d. Zoek de extrema van de functie f(x,y) onder de nevenvoorwaarde dat de afstand van (x,y) tot de oorsprong gelijk is aan 1.