Lineaire algebra 2 najaar 2009
Huiswerk week 7
Opgave 19.
Een n × n-matrix van de vorm
A=
1 a1 a21 · · · an−21 an−11 1 a2 a22 · · · an−22 an−12 1 a3 a23 · · · an−23 an−13
... ... ... ... ... ... 1 an a2n · · · an−2n an−1n
heet een Vandermonde matrix.
Laat zien dat det A =Q
1≤i<j≤n(aj− ai), d.w.z. det A is het product van alle factoren van de vorm aj− ai met j > i.
(Hint: Veeg de eerste rij op een slimme manier (met behulp van naburige ko- lommen van achter naar voren), ontwikkel de determinant naar de eerste rij en haal uit de rijen van de resterende (n − 1) × (n − 1)-matrix factoren zo dat dit weer een Vandermonde matrix wordt. Veronderstel dan dat de bewering voor (n − 1) × (n − 1)-matrices al bewezen is (d.w.z. gebruik inductie).)
Opgave 20.
(i) Een matrix A ∈ Rn×n heet een orthogonale matrix als At= A−1, m.a.w.
als AAt= In.
Laat zien dat voor een orthogonale matrix geldt dat det A = ±1.
(ii) Een matrix A ∈ Rn×nheet scheefsymmetrisch als At= −A.
Laat zien dat voor een scheefsymmetrische matrix geldt dat det A = 0 als n oneven is. Kan je ook voor even n een uitspraak doen?
Opgave 21.
Voor A ∈ Fn×n noteren we met ˜A de geadjungeerde matrix van A.
(i) Laat zien dat det ˜A= (det A)n−1.
(ii) Stel dat A inverteerbaar is. Bewijs dat gA−1 = ˜A−1.
(iii) Druk ˜A˜ (d.w.z. de geadjungeerde van de geadjungeerde) voor een inver- teerbare matrix A alleen maar door A en det A uit.
Oefenopgaven week 7
Opgave XXXIV Zij An∈ Rn×n met
An=
2 −1 0 0 . . . 0
−1 2 −1 0 0
0 −1 2 −1 0
... . .. ... ...
0 −1 2 −1
0 . . . 0 −1 2
dus (An)ij :=
2 als i = j,
−1 als |i − j| = 1, 0 anders.
Laat (bijvoorbeeld met inductie) zien dat det An= n + 1.
Hoe verandert het resultaat als op de plaats (n − 1, n) een −2 i.p.v. een −1 staat, dus als de 2 × 2 blok rechts onder 2 −2
−1 2 wordt?
Opgave XXXV
(i) Zij n even en zij A ∈ Fn×n de scheefsymmetrische matrix met
aij =
1 als i < j 0 als i = j
−1 als i > j
(bijv. A =
0 1 1 1
−1 0 1 1
−1 −1 0 1
−1 −1 −1 0
voorn= 4.)
Laat zien dat det A = 1.
(Hint: Veeg de eerste twee kolommen in de rijen 3 t/m n.)
(ii) Zij a ∈ F en zij A ∈ Fn×nmet aij := a|i−j| (bijv. A =
1 a a2
a 1 a
a2 a 1
voor n= 3).
Bewijs dat det A = (1 − a2)n−1.
(Hint: Breng A op bovendriehoeksvorm.)
Opgave XXXVI
(i) Zij A ∈ Fn×n een inverteerbare matrix. Laat zien dat dan ook At inver- teerbaar is en dat (At)−1= (A−1)t.
(ii) Een matrix A ∈ Fn×n heet symmetrisch als At = A. Laat zien dat voor een inverteerbare symmetrische matrix ook de inverse matrix symmetrisch is.
Opgave XXXVII
Voor een complexe matrix A ∈ Cn×nnoteren we met A de matrix met in iedere component de complex geconjugeerde van A, d.w.z. (A)ij = Aij.
(i) Laat zien dat det(A) = det(A).
(ii) Een matrix A ∈ Cn×n heet een unitaire matrix als At = A−1, m.a.w. als AAt= In.
Laat zien dat voor een unitaire matrix A geldt dat | det A| = 1.
Opgave XXXVIII
Een monomiale matrix is een matrix met in iedere rij en iedere kolom precies
´e´en element ongelijk aan nul. I.h.b. heeft een monomiale n × n-matrix dus precies n elementen ongelijk aan nul.
Laat zien dat voor een monomiale matrix A ∈ Fn×n geldt dat | det(A)| gelijk aan het product van de niet-nul elementen van A is.
Opgave XXXIX
We noteren met ˜Ade geadjungeerde matrix van A.
(i) Laat zien dat fAt= ( ˜A)t.
(ii) Bewijs dat ˜AA = det A · In (we hadden tijdens het college alleen maar gezien dat A ˜A= det A · In).
Opgave XL
Bepaal voor de volgende matrices de geadjungeerde matrix:
A1 =
−4 0 0 0 2 0 0 0 5
, A2 =
3 6 7 0 4 8 0 0 5
, A3 =
−1 2 5 8 0 −3
4 6 1
.
Webpagina: http://www.math.ru.nl/∼souvi/la2 09/la2.html
